中考数学专题复习圆中的有关计算与证明专题卷训练（pdf，含解析）

中考数学专题复习圆中的有关计算与证明专题卷训练（pdf，含解析）

2020年中考数学圆中的有关计算与证明专题卷训练1.[2019·福建]如图，四边形ABCD内接于☉O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF，CF.(1)求证：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值.解：(1)证明：∵AC⊥BD，∴∠AED=90°，在Rt△AED中，∠ADE=90°-∠CAD，∵AB=AC，∴t=t，∴∠ACB=∠ABC.∴∠BAC=180°-2∠ACB=180°-2∠ADB=180°-2(90°-∠CAD)，即∠BAC=2∠CAD.(2)∵DF=DC，∴∠FCD=∠CFD，∴∠BDC=∠FCD+∠CFD=2∠CFD.∵∠BDC=∠BAC，∠BAC=2∠CAD，∴∠CFD=∠CAD.∵∠CAD=∠CBD，∴∠CFD=∠CBD，∴CF=CB.∵AC⊥BD，∴BE=EF，故CA垂直平分BF，∴AC=AB=AF=10，设AE=x，则CE=10-x，22222在Rt△ABE和Rt△BCE中，AB-AE=BE=BC-CE，又∵BC=45，2222∴10-x=(45)-(10-x)，解得x=6，∴AE=6，CE=4， ∴BE=t2-2=8.∵∠DAE=∠CBE，∠ADE=∠BCE，∴△ADE∽△BCE，∴==，tttt∴DE=3，AD=35，过点D作DH⊥AB于H.1133∵S△ABD=AB·DH=BD·AE，BD=BE+DE=11，∴10DH=11×6，∴DH=，22533在Rt△ADH中，AH=2-2=6，∴tan∠BAD==5=11.56252.[2019·绵阳]如图，AB是☉O的直径，点C为t的中点，CF为☉O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.(1)求证：△BFG≌△CDG；(2)若AD=BE=2，求BF的长.解：(1)证明：∵C是t的中点，∴t=tt.∵AB是☉O的直径，且CF⊥AB，∴tt=t，∴t=t，∴CD=BF.∠=∠th，在△BFG和△CDG中，∵∠ht=∠ht，t=t， ∴△BFG≌△CDG(AAS).(2)如图，过C作CH⊥AD，交AD延长线于H，连接AC，BC，∵t=tt，∴∠HAC=∠BAC.∵CE⊥AB，∴CH=CE.∵AC=AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，∴AE=AH.∵t=tt，∴CD=BC.又∵CH=CE，∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，∴DH=BE=2，∴AE=AH=AD+DH=2+2=4，∴AB=4+2=6.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEC， ∵∠EBC=∠ABC，∴△BEC∽△BCA，ttt∴=，ttt2∴BC=AB·BE=6×2=12，∴BF=BC=23.3.[2019·合肥瑶海区三模]如图，四边形ABCD是☉O内接四边形，点D是弧BC中点，DE⊥AC，垂足为E，F是CA延长线上一点，且AF=AB.求证：点E是FC的中点.证明：连接BD.∵点D是弧BC的中点，∴DB=DC，∴∠DBC=∠DCB.又∵∠DAF+∠DAC=180°，∠DAC=∠DBC，∴∠DAF+∠DCB=180°.∵四边形ABCD是☉O内接四边形，∴∠DAB+∠DCB=180°，∴∠DAF=∠DAB.又∵AB=AF，AD=AD，∴△DAF≌△DAB(SAS)， ∴DF=DB，又∵DB=DC，∴DF=DC.又∵DE⊥AC，∴EF=EC，∴点E是FC的中点.4.[2019·马鞍山三模]如图，已知AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上的一点，AF，CD的延长线相交于点G.(1)若☉O的半径为32，且∠DFC=45°，求弦CD的长；(2)求证：∠AFC=∠DFG.解：(1)如图①，连接OD，OC.∵直径AB⊥CD，∴t=tt，DE=CE，1∴∠DOE=∠DOC=∠DFC=45°.2又∵在Rt△DEO中，OD=32，则DE=3，CD=6.(2)证明：如图②，连接AC.∵直径AB⊥CD，∴t=， ∴∠ACD=∠AFC，∵四边形ACDF内接于☉O，∴∠DFG=∠ACD，∴∠DFG=∠AFC.|类型2|圆的切线判定与性质5.[2019·菏泽]如图，BC是☉O的直径，CE是☉O的弦，过点E作☉O的切线，交CB的延长线于点G，过点B作BA⊥GE于点F，交CE的延长线于点A.(1)求证：∠ABG=2∠C；(2)若GF=33，GB=6，求☉O的半径.解：(1)证明：连接OE，∵EG是☉O的切线，∴OE⊥EG，∵BF⊥GE，∴OE∥AB，∴∠A=∠OEC，∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，∴∠A=∠C，∵∠ABG=∠A+∠C，∴∠ABG=2∠C.(2)∵BF⊥GE，∴∠BFG=90°，∵GF=33，GB=6，∴BF=th2-h2=3， ∵BF∥OE，∴△BGF∽△OGE，tth36∴=，∴=，h6+∴OE=6，∴☉O的半径为6.6.[2019·天水]如图，AB，AC分别是☉O的直径和弦，OD⊥AC于点D.过点A作☉O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.(1)求证：PC是☉O的切线；(2)若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长.解：(1)证明：连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC.=t，在△OAP和△OCP中，=t，=，∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP=∠OAP.∵PA是☉O的切线，∴∠OAP=90°.∴∠OCP=90°，即OC⊥PC， ∴PC是☉O的切线.(2)∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°，∵AB=10，∴OC=5，由(1)知∠OCF=90°，∴CF=OCtan∠COB=53.7.[2019·安庆一模]如图，已知☉O的半径为5，AB为☉O的弦，C为弧AB上一点，过点C作MN∥AB.(1)若AB=8，MN与☉O相切于点C，求弦AC的长；(2)连接OB，CB，若四边形OACB是平行四边形，求证：MN是☉O的切线..解：(1)连接OC交AB于点D.∵MN与☉O相切于点C，∴OC⊥MN.∵AB∥MN，∴OC⊥AB，11∴AD=AB=×8=4.22在Rt△OAD中，OD=2-2=52-42=3.∴CD=OC-OD=5-3=2. 在Rt△ACD中，AC=2+t2=42+22=25.(2)证明：连接OC.在平行四边形OACB中，OA=OB，∴平行四边形OACB是菱形，∴OC⊥AB.∵AB∥MN，∴OC⊥MN.∵C为弧AB上一点，∴MN为☉O的切线.8.[2019·合肥五十中二模]如图，在☉O中，AB是直径，点F是☉O上一点，点E是的中点，过点E作☉O的切线，与BA，BF的延长线分别交于点C，D，连接BE.(1)求证：BD⊥CD；(2)已知☉O的半径为2，当AC为何值时，BF=DF?并说明理由.解：(1)证明：如图①，连接OE.∵CD与☉O相切于点E，∴OE⊥CD，∴∠CEO=90°.∵点E是的中点，∴=，∴∠2=∠3. ∵OB=OE，∴∠2=∠1，∴∠1=∠3，∴OE∥BD，∴∠D=∠CEO=90°，∴BD⊥CD.(2)当AC=4时，BF=DF.理由如下：如图②，连接AF.∵AB是☉O的直径，∴∠AFB=90°.由(1)可知∠D=90°，∴∠D=∠AFB，∴AF∥CD，tt∴=.t当AC=4时，∵☉O的半径为2，∴AB=4，tt此时AC=AB，则==1，t∴BF=DF.