2020年黑龙江省牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校中考数学试题
牡丹江、鸡西地区朝鲜族学校 2020 年初中毕业学业考试数学试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 36 分）
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】B
【解析】
解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形；
第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；
第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；
既是轴对称图形，又是中心对称图形的有 2 个．故选 B．
2.下列运算正确的是（ ）
A. (a＋b)(a－2b)=a2－2b2 B. 2 21 1( )2 4a a
C. －2(3a－1)=－6a＋1 D. (a＋3)(a－3)=a2－9
【答案】D
【解析】
【分析】
本题根据代数式运算法则及公式即可做出选择．
【详解】A、原式＝ 2 2 2 22 2 2a ab ab b a ab b ，故此选项错误；
B、原始＝ 2 1
4a a ，根据完全平方公式可以做出判断，故此选项错误；
C、原式＝ 6 2a ，根据乘法分配律可以做出判断，故此选项错误；
D、原式＝a2－9，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查代数式运算公式及法则，掌握相关公式及运算法则是解答本题的关键．
3.如图是由 5 个立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个
几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边有 1 竖列，有 1 个立方块；中
间有 2 竖列，其中 1 列有 2 个立方块；右边是 1 竖列，有 1 个立方块；结合四个选项选出答案．
【详解】解：从正面看去，一共三列，左边有 1 竖列，中间有 2 竖列，其中 1 列有 2 个立方块，右边是 1
竖列．
故选：A．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能
力．
4.现有两个不透明的袋子，一个装有 2 个红球、1 个白球，另一个装有 1 个黄球、2 个红球，这些球除颜色
外完全相同，从两个袋子中各随机摸出 1 个球，摸出的两个球颜色相同的概率是（ ）
A. 1
3 B. 4
9 C. 3
5 D. 2
3
【答案】B
【解析】
【分析】
列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解：列表如下：
黄 红 红
红 （黄，红） （红，红） （红，红）
红 （黄，红） （红，红） （红，红）
白 （黄，白） （红，白） （红，白）
由表知，共有 9 种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有 4 种结果，
所以摸出的两个球颜色相同的概率为 4
9
．
故选：B．
【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识以及概率公式，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等
可能的结果列举出来，难度不大．
5.一组数据 4，4，x，8，8 有唯一的众数，则这组数据的平均数是（ ）
A. 28
5 B. 32
5
或 5 C. 28
5
或 32
5 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
因为这组数据有唯一的众数，那么众数可能是 4，也可能是 8，分情况讨论即可．
【详解】解：当众数为 4 时，x=4， 284 4 4 8 8 5 5x ，
当众数为 8 时，x=8， 324 4 8 8 8 5 5x ，
即这组数据的平均数是 28
5
或 32
5
．
故答案为：C．
【点睛】本题考查众数的概念和平均数的求解，在一组数据中，出现次数最多的数就是这组数据的众数．
6.如图，在△ABC 中，sinB= 1
3
， tanC=2，AB=3，则 AC 的长为（ ）
A. 2 B. 5
2
C. 5 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
过 A 点作 AH⊥BC 于 H 点，先由 sin∠B 及 AB=3 算出 AH 的长，再由 tan∠C 算出 CH 的长，最后在 Rt△ACH
中由勾股定理即可算出 AC 的长．
【详解】解：过 A 点作 AH⊥BC 于 H 点，如下图所示：
由 1sin = 3
AHB AB
，且 =3AB 可知， =1AH ，
由 tan =2 AHC CH
，且 =1AH 可知， 1
2CH ，
∴在 Rt ACH 中，由勾股定理有： 2 2 2 21 51 ( )2 2
AC AH CH ．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造
直角三角形进而求解．
7.如图，点 , ,A B S 在圆上，若弦 AB 的长度等于圆半径的 2 倍，则 ASB 的度数是( )．
A. 22.5° B. 30° C. 45° D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】
设圆心为O ，连接OA OB、 ，如图，先证明 OAB 为等腰直角三角形得到 90AOB ，然后根据圆周角
定理确定 ASB 的度数．
【详解】解：设圆心为O ，连接OA OB、 ，如图，
∵弦 AB 的长度等于圆半径的 2 倍，
即 2AB OA ，
∴ 2 2 2OA OB AB ，
∴ OAB 为等腰直角三角形， 90AOB ，
∴ 1 452ASB AOB °．
故选 C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半．
8.若 2
1
a
b
是二元一次方程组
3 52
2
ax by
ax by
的解，则 x＋2y 的算术平方根为（ ）
A. 3 B. 3，－3 C. 3 D. 3 ，－ 3
【答案】C
【解析】
【分析】
将 2
1
a
b
代入二元一次方程组中解出 x 和 y 的值，再计算 x＋2y 的算术平方根即可．
【详解】解：将 2
1
a
b
代入二元一次方程
3 52
2
ax by
ax by
中，
得到： 3 5
2 2
x y
x y
，解这个关于 x 和 y 的二元一次方程组，
两式相加，解 7
5x 得，将 7
5x 回代方程中，解得 4
5y ，
∴ 7 4 152 2 35 5 5
x y ，
∴x＋2y 的算术平方根为 3 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程组的解法是解
决本题的关键．
9.如图，在菱形 OABC 中，点 B 在 x 轴上，点 A 的坐标为（2，2 3 )，将菱形绕点 O 旋转，当点 A 落在 x
轴上时，点 C 的对应点的坐标为（ ）
A. ( 2 2 )3 , 或 (2 3, 2) B. (2,2 3)
C. ( 2,2 3) D. ( 2 2 )3 , 或 (2,2 3)
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示，过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E，根据题意易得△AOB 为等边三角形，在旋转过程中，点 A 有两次
落在 x 轴上，当点 A 落在 x 轴正半轴时，点 C 落在点 C′位置，利用旋转的性质和菱形的性质求解，当 A 落
在 x 轴负半轴时，点 C 落在点 C′′位置，易证此时 C′′与点 A 重合，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E，
则 2 3tan AOE= = 32
∠ ，OA= 222 2 3 =4 ，
∴∠AOE=60°，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴△AOB 是等边三角形，
当 A 落在 x 轴正半轴时，点 C 落在点 C′位置，
此时旋转角为 60°，
∵∠BOC=60°，∠COF=30°，
∴∠C′OF=60°-30°=30°，
∵OC′=OA=4，
∴OF= C'Ocos C'OF=2 3∠ ，
C′F= C'Osin C'OF=2∠ ，
∴C′（ 2, 2 3 ），
当 A 落在 x 轴负半轴时，点 C 落在点 C′′位置，
∵∠AOC=∠AOC+∠BOC=120°，
∴∠A′′OC=120°，∠GOC′=30°
又∵OA=OC′′，
∴此时 C′′点 A 重合，C C′′ (2,2 3) ，
综上，点 C 的对应点的坐标为 ( 2 2 )3 , 或 (2,2 3) ，
故答案为：D．
【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形和旋转的性质，解题的关键是根据题意，分析点 A 的运动情
况，分情况讨论．
10.若关于 x 的分式方程 2
1
m
x x
有正整数解，则整数 m 的值是（ ）
A. 3 B. 5 C. 3 或 5 D. 3 或 4
【答案】D
【解析】
【分析】
解带参数 m 的分式方程，得到 212 2
mx m m
，即可求得整数 m 的值．
【详解】解： 2
1
m
x x
，
两边同时乘以 1x x 得： 2 1x m x ，
去括号得： 2x mx m ，
移项得： 2x mx m ，
合并同类项得： 2 m x m ，
系数化为 1 得： 212 2
mx m m
，
若 m 为整数，且分式方程有正整数解，则 3m 或 4m ，
当 3m 时， 3x 是原分式方程的解；
当 4m 时， 2x 是原分式方程的解；
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为 0 这个条件．
11.如图，A，B 是双曲线 ky x
上的两个点，过点 A 作 AC⊥x 轴，交 OB 于点 D，垂足为 C，若△ODC 的
面积为 1，D 为 OB 的中点，则 k 的值为（ ）
A. 3
4 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
过点 B 作 BE x⊥ 轴，易得 DCO BEO△ ∽△ ，得到 4BEOS △ ，即可求解 k 的值．
【详解】解：如图，过点 B 作 BE x⊥ 轴，设 ,B a b ，则 ,0E a ，
∵ BE x⊥ 轴， DC x 轴，
∴ DCO BEO ，
∴ DCO BEO△ ∽△ ，
∵D 为 OB的中点，
∴ 1
4
DCO
BEO
S
S
△
△
，
∴ 4BEOS △ ，
即 1 42 ab ，解得 8ab ，
∴k 的值为 8，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标，解题的关键是作出辅助线，得
到两个相似的三角形．
12.如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为 1
2x ，且经过点（2，0). 下列说法：①abc<0；
②－2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若 1
5( )2 y ， ， 2
5( )2 y， 是抛物线上的两点，则 y1
m(am+b) (其
中 m≠ 1
2 )．其中说法正确的是（ ）
A. ①②④⑤ B. ①②④ C. ①④⑤ D. ③④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】
根据抛物线开口方向得到 0a ，根据抛物线的对称轴得 0b a ，则 2 0a b ，根据抛物线与 y 轴的交
点在 x 轴上方得到 0c ，则 0abc ，于是可对①进行判断；根据对称轴和一个与 x 轴的交点，求得另一个
交点，由根与系数的关系即可得出 2c a ，则得到 2 0b c ，于是可对②进行判断；由于经过点 (2,0) ，
则得到 4 2 0a b c ，则可对③进行判断；通过点 5( 2
， 1)y 和点 5(2
， 2 )y 离对称轴的远近对④进行判断；
根据抛物线的对称轴为直线 1
2x ，开口向下，得到当 1
2x 时，y 有最大值，所以 1 1 ( )4 2a b m am b （其
中 1)2m ，由 a b 代入则可对⑤进行判断．
【详解】解： 抛物线开口向下，
0a ，
抛物线对称轴为直线 1
2 2
bx a
，
0b a ，
抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，
0c ，
0abc ，所以①正确；
对称轴为 1
2x ，且经过点 (2,0) ，
抛物线与 x 轴的另一个交点为 ( 1,0) ，
1 2 2c
a
，
2c a ，
2 2 2 0b c a a ，所以②正确；
抛物线经过点 (2,0) ，
2x 时， 0y ，
4 2 0a b c ，所以③错误；
点 5( 2
， 1)y 离对称轴要比点 5(2
， 2 )y 离对称轴要远，
1 2y y ，所以④正确．
抛物线的对称轴为直线 1
2x ，
当 1
2x 时， y 有最大值，
21 1
4 2a b c am bm c （其中 1)2m ，
1 1 ( )4 2a b m am b （其中 1)2m ，
a b ，
1 1 ( )4 2b b m am b ，
1 ( )4 b m am b ，所以⑤正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数 2 ( 0)y ax bx c a ，二次项系数 a 决定抛
物线的开口方向和大小，当 0a 时，抛物线开口向上；当 0a 时，抛物线开口向下；一次项系数b 和二
次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与b 同号时（即 0)ab ，对称轴在 y 轴左； 当 a 与b 异号时（即
0)ab ，对称轴在 y 轴右．（简称：左同右异）．抛物线与 y 轴交于 (0, )c ．抛物线与 x 轴交点个数：
△ 2 4 0b ac 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△ 2 4 0b ac 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；
△ 2 4 0b ac 时，抛物线与 x 轴没有交点．
二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）
13.一周时间有 604800 秒，604800 用科学记数法表示 为______．
【答案】 56.048 10
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，
小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝
对值＜1 时，n 是负数．
【详解】 5604800 6.048 10 ，
故答案为： 56.048 10 ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整
数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
14.如图，在四边形 ABCD 中，AD//BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件____，使四边形
ABCD 是平行四边形（填一个即可）．
【答案】AD=BC（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定方法添加一个条件即可．
【详解】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加条件 AD=BC，
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加条件 AB∥DC，
本题只需添加一个即可，
故答案为：AD=BC（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
15.在函数
2 1
xy
x
中，自变量 x 的取值范围是_______．
【答案】 1
2x
【解析】
【分析】
直接利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解即可．
【详解】解：函数
2 1
xy
x
中： 2 1 0
2 1 0
x
x
，
解得： 1
2x ．
故答案为： 1
2x ．
【点睛】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握二次根式和分式有意义的条件是解题关键．
16.“元旦”期间，某商店单价为 130 元的书包按八折出售可获利 30%，则该书包的进价是____元．
【答案】80
【解析】
【分析】
根据题意设出方程，解出即可．
【详解】设书包进价是 x 元，由题意得：
130×0.8－x=30%x
解得 x=80．
故答案为：80．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键在于根据题意找出等量关系．
17.将抛物线 y=(x－1)2－5 关于 y 轴对称，再向右平移 3 个单位长度后顶点的坐标是_____．
【答案】(2，－5)
【解析】
【分析】
先求出抛物线的顶点坐标，再根据题意进行变换即可求解．
【详解】抛物线 y=(x－1)2－5 的顶点为（1，-5），
∴关于 y 轴对称的坐标为（-1，-5），再向右平移 3 个单位长度后的坐标为（2，-5），
故答案为：(2，－5) ．
【点睛】此题主要考查抛物线顶点，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．
18.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第 1 个图形中一共有 4 个圆，第 2 个图形中一共
有 8 个圆，第 3 个图形中一共有 14 个圆，第 4 个图形中一共有 22 个圆……按此规律排列下去，第 9 个图
形中圆的个数是___个．
【答案】92
【解析】
【分析】
根据图形得出第 n 个图形中圆的个数是 ( 1) 2n n 进行解答即可．
【详解】解：因为第 1 个图形中一共有1 (1 1) 2 4 个圆，
第 2 个图形中一共有 2 (2 1) 2 8 个圆，
第 3 个图形中一共有 3 (3 1) 2 14 个圆，
第 4 个图形中一共有 4 (4 1) 2 22 个圆；
可得第 n 个图形中圆的个数是 ( 1) 2n n ；
所以第 9 个图形中圆的个数 9 (9 1) 2 92 ，
故答案为：92．
【点睛】本题考查图形的变换规律，根据图形的排列规律得到第 n 个图形中圆的个数是 ( 1) 2n n 是解决本
题的关键．
19.在半径为 5 的⊙O 中，弦 AB 垂直于弦 CD，垂足为 P，AB=CD=4，则 S△ACP=______．
【答案】 1
2
或 3
2
或 9
2
【解析】
【分析】
作 OE 垂直于 AB 于 E，OF 垂直于 CD 于 F，连接 OD、OB，则可以求出 OE、OF 的长度，进而求出 OP 的
长度，进一步得 PE 与 PF 长度，最后可求出答案.
【详解】如图所示，作 OE 垂直于 AB 于 E，OF 垂直于 CD 于 F，
∴AE=BE= 1 AB2 =2，DF=CF= 1
2 CD =2，
在 Rt OBE△ 中，
∵OB= 5 ，BE=2，
∴OE=1，
同理可得 OF=1，
∵AB 垂直于 CD，
∴四边形 OEPF 为矩形，
又∵OE=OF=1，
∴四边形 OEPF 为正方形，
又∵ ACPS△ 有如图四种情况，
∴（1） ACPS△ = 1
2 AP∙CP= 1
2 ×1×3= 3
2
，
（2） ACPS△ = 1
2 AP∙PC= 1
2 ×1×1= 1
2
，
（3） ACPS△ = 1
2 PC∙PA= 1
2 ×3×3= 9
2
，
（4） ACPS△ = 1
2 AP∙PC= 1
2 ×3×1= 3
2
，
故答案为： 1
2
或 3
2
或 9
2
【点睛】本题主要考查的是垂径定理和勾股定理还有圆的综合运用，熟练掌握方法是关键.
20.正方形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 CD 上，若∠BEF=∠EBC，AB=3AE，则下列结论：①DF=FC；
②AE+DF=EF；③∠BFE=∠BFC；④∠ABE+∠CBF=45°；⑤∠DEF+∠CBF=∠BFC；⑥ DF:DE:EF=3:4:5；
⑦ BF:EF= 3 5 :5．其中结论正确的序号有_____．
【答案】①②③④⑤⑥⑦
【解析】
【分析】
设正方形的边长为 3，假设 F 为 DC 的中点，证明 RtRt EDF PCF 进而证明 PE=PB 可得假设成立，
故 可 对 ① 进 行 判 断 ； 由 勾 股 定 理 求 出 EF 的 长 即 可 对 ② 进 行 判 断 ； 过 B 作 BG⊥EF ， 证 明
Rt BFG Rt BFC 即可对③进行判断；过点 E 作 EH⊥BF，利用三角形 BEF 的面积求出 EH 和 BH 的长，
判 断 △BEH 是 等 腰 直 角 三 角 形 即 可 对 ④ 进 行 判 断 ； 过 F 作 FQ//AD ， 利 用 平 行 线 的 性 质 得
DEF CBF BFE ，从而可对⑤进行判断；根据 DE，DF，EF 的长可对⑥进行判断；根据 BF 和
CF 的长可对⑦进行判断．
【详解】如图，不妨设正方形 ABCD 的边长为 3，即 3AB BC CD DA ，
3AB AE ，
1AE ， 2DE ，
①假设 F 为 CD 的中点，延长 EF 交 BC 的延长线于点 P，
在 Rt EDF 和 Rt PCF 中
90
DF CF
EFD PFC
D PCF
RtRt EDF PCF
2PC DE
由勾股定理得，
2
2 3 52 2 2EF PF
，
5PE EF PF ， 3 2 5BP BC PC ，
PE PB ，
PEB PBE ，故假设成立，
DF FC ，故①正确；
② 1AE ， 3
2DF ，
3 51 2 2AE DF ，
而 5
2EF ，
AE DF EF ，故②正确；
③过 B 作 BG EF ，垂足为 G，
ABCD BEF ABE DEF BCES S S S S 正方形
2 1 1 3 1 33 3 1 2 32 2 2 2 2
15
4
而 1 15
2 4EF BG
3BG
BG BC
在 Rt BGF 和 Rt BCF 中，
BG BC
BF BF
∴ Rt BGF Rt BCF
BFG BFC ，
即 BFE BFC ，故③正确；
④过 E 和 EH BF ，垂足为 H，
∵ 15
4BEFS ，
又 2 2 3 5
2BF BC CF ，
1 15
2 4BEFS EH BF ，
5EH
在 Rt EHF 中， 5EH ， 5
2FF ，
5
2HF
5BH
在 tR ABE 中， 1AE ， 3AB
10BE ，
而 2 2 2( 5) ( 5) ( 10)
2 2 2BH EH BE
BHE 是等腰直角三角形，
45EBF ，
90 45ABE CBE EBF ，故④正确；
⑤过 F 作 FQ// AD，交 AB 于 Q，则 FQ// BC，
DEF QFE ， CBF QFB ，
DEF CBF BFE
BFE BFC ，
DEF CBF BFC ，故⑤正确；
⑥ 3
2DF ， 2DE ， 5
2EF
: : 3:4:5DF DE EF ，故⑥正确；
⑦ 3 5
2BF ， 5
2EF ，
3 5 5: : 3 5 :52 2BF EF ，故⑦正确；
综上所述，正确的结论是①②③④⑤⑥⑦．
故答案为：①②③④⑤⑥⑦．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
等知识，假设出 AB=3 是解答此题的关键．
三、解答题（共 60 分）
21.先化简，再求值：
2 2
2
1 6 9 9
3 3 2
x x x
x x x x
其中 x=1－2tan45°．
【答案】 3
3 x
， 3
4
．
【解析】
【分析】
原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，再计算出 x 的值，
把 x 的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
2 2
2
1 6 9 9
3 3 2
x x x
x x x x
=
21 ( 3) 2
3 ( 3) ( 3)( 3)
x x
x x x x x
= 1 2
3 3x x
= 1 2+3 3x x
＝ 3
3 x
，
当 x＝1－2tan45°=－1 时，原式＝ 3
4
．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时还考查了特殊角的三角函
数值．
22.已知抛物线 y=a(x－2)2+c 经过点 A(－2,0)和点 C(0, 9
4 )，与 x 轴交于另一点 B，顶点为 D．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标；
（2）如图，点 E，F 分别在线段 AB，BD 上（点 E 不与点 A，B 重合），且∠DEF=∠DAB，DE=EF，直接
写出线段 BE 的长．
【答案】（1）y= 3
16
(x－2)2+3；顶点 D 的坐标为(2,3)；（2）BE=5．
【解析】
【分析】
（1）本题可利用待定系数法，将 A,C 两点代入抛物线求解即可．
（2）本题可利用等腰三角形性质，通过角的互换证明 BD=BE，最后利用勾股定理求解 BD 即可解答．
【详解】（1）将点 A(-2,0)，C(0, 9
4 )代入 y = a(x - 2)2 + c，得：
16 0
94 4
a c
a c
，解得：
3
16
3
a
c
．
∴抛物线的解析式为 y= 3
16
(x－2)2+3 ．
∴顶点 D 的坐标为(2,3)．
（2）∵A,B 两点为抛物线与 x 轴两交点，D 为坐标顶点，
∴DA=DB，故∠DAB=∠DBA，
∵DE=EF，
∴∠EDF=∠EFD．
∵∠EFD=∠FEB+∠EBD，∠DEF=∠DAB，
∴∠EDF=∠FEB+∠DEF，
∴∠BDE=∠BED，
故 BD=BE．
∵A(-2,0)，D(2,3)，
∴利用对称性可得 B(6,0)，
经计算 BD=5,
故 BE=5．
【点睛】本题考查二次函数，第一问为常规题目，利用待定系数法求解即可；第二问属于二次函数与几何
综合，解答时需要结合等腰三角形性质与判定求解本题．
23.等腰三角形 ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=45º，以 AC 为腰作等腰直角三角形 ACD，∠CAD 为 90º，请
画出图形，并直接写出点 B 到 CD 的距离．
【答案】画出图形见解析；点 B 到 CD 的距离为 2 2 或 4 2 2 ．
【解析】
【分析】
根据题目描述可以作出两个图形，利用等腰直角三角形的性质分别进行求解即可．
【详解】本题有两种情况：
（1）如图，
∵ ACD△ 是等腰直角三角形， 90CAD ，
∴ 45ACD ，
∵ 45BAC ，
∴ //AB CD ，
∴点 B 到 CD 的距离等于点 A 到 CD 的距离，
过点 A 作 AE CD ，
∵ 4AB AC ，
∴ 2 2
2
ACAE ，
∴点 B 到 CD 的距离为 2 2 ；
（2）如图：
∵ ACD△ 是等腰直角三角形， 90CAD ，
∴ 45ACD ，
∵ 45BAC ，
∴ 90AEC ，
∴点 B 到 CD 的距离即 BE 的长，
∵ 4AB AC ，
∴ 2 2
2
ACAE ，
∴ 4 2 2BE AB AE ，即点 B 到 CD 的距离为 4 2 2 ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，根据题目描述作出两个图形是解题的关键．
24.为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校
部分学生进行了问卷调査（问卷调査表如图 1 所示），并根据调查结果绘制了图 2、图 3 两幅统计图（均不
完整），请根据统计图解答下列问题．
（1）本次接受问卷调查的学生有________名．
（2）补全条形统计图．
（3）扇形统计图中 B 类节目对应扇形的圆心角的度数为________．
（4）该校共有 2000 名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数．
【答案】（1）100；（2）见解析；（3） 72 ；（4）160 人.
【解析】
【分析】
（1）根据 D 的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数；
（2）根据（1）中的结果和图 1 中的数据可以将条形统计图补充完完整；
（3）根据条形统计图中的数据可以求得扇形统计图中 B 类节目对应扇形的圆心角的度数；
（4）根据统计图中的数据可以求得该校最喜爱新闻节目的学生人数．
【详解】（1）本次接受问卷调查的学生有： 36 36% 100 （名），
故答案为 100；
（2）喜爱 C 的有：100 8 20 36 6 30 （人），
补全的条形统计图如右图所示；
（3）扇形统计图中 B 类节目对应扇形的圆心角的度数为： 20360 72100
，
故答案为 72 ；
（4） 82000 160100
（人），
答：该校最喜爱新闻节目的学生有 160 人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结
合的思想解答．
25.A，B 两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过 C 市，甲车从 A 市到 B 市，乙车从 C 市到 A 市，甲车
的速度比乙车的速度慢 20 千米/时，两车距离 C 市的路程 y(单位：千米)与驶的时间 t(单位：小时)的函数图
象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是_____千米/时，在图中括号内填入正确的数；
（2）求图象中线段 MN 所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；
（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距 C 市的路程之和是 460 千米．
【答案】（1）60，10；（2）y = 80t－320；（3）甲车出发 1
3
小时或 9 小时时，两车距 C 市的路程之和是 460
千米．
【解析】
【分析】
（1）由图象分析可得甲车行驶 480km 用时为 8 小时，即可求解其速度，进而乙车速度也可知，则图中括
号内的数字也可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）分析整个运动过程，分三种情况进行讨论，分别求出对应的 t 即可求解．
【详解】（1）由图象可知甲车在 8t 时行驶到 C 市，此时行驶的路程为 480km ，故速度为 480 60km/h8
，
∴乙车的行驶速度为： 60 20 80km/h ，
∴乙车由 C 市到 A 市需行驶 480 6h80
，
∴图中括号内的数为 4 6 10 ，
故答案为：60，10；
（2）设线段 MN 所在直线的解析式为 y = kt + b ( k ≠ 0 ) .
把点 M（4，0），N（10，480）代入 y = kt + b，得： 4 0
10 480
k b
k b
，
解得： 80
320
k
b
，
∴线段 MN 所在直线的函数解析式为 y = 80t－320．
（3）若在乙车出发之前，即 4t 时，则 480 60 460t ，解得 1
3t ；
若乙车出发了且甲车未到 C 市时，即 4 8t 时，则 480 60 80 4 460t t ，解得 17t （舍）；
若乙车出发了且甲车已到 C 市时，即 8t 时，则 60 480 80 4 460t t ，解得 9t ；
综上，甲车出发 1
3
小时或 9 小时时，两车距 C 市的路程之和是 460 千米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函
数的性质解答．
26.∆ABC 中，点 D 在直线 AB 上.点 E 在平面内，点 F 在 BC 的延长线上，∠E=∠BDC，AE=CD，
∠EAB+∠DCF=180º．
（1）如图①，求证 AD+BC=BE；
（2）如图②、图③，请分别写出线段 AD，BC，BE 之间的数量关系，不需要证明；
（3）若 BE⊥BC，tan∠BCD= 3
4
，CD=10，则 AD=______．
【答案】（1）见解析；（2）图②结论：BC－AD = BE，图③结论：AD－BC = BE；（3）14－6 2 或 2+6 2 .
【解析】
【分析】
（1）证明∠EAB=∠BCD，用 ASA 证明△EAB≌△DCB，可得 AD+BC=BE；
（2）利用（1）的解题思路，证明△EAB≌△DCB，即可得到图②的结论 BC－AD = BE；图③的结论 AD
－BC = BE；
（3）利用（2）的结论，过点 D 作 BC 边长的垂线，构造直角三角形，结合 tan∠BCD= 3
4
，计算相应边的
长度，即可得到 AD 的值．
【详解】（1）证明：∵∠EAB+∠DCF=1800，∠BCD+∠DCF=1800，∴∠EAB=∠BCD，
∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC，
∴AD+BC=AD+AB=BD=BE.
（2）图②结论：BC－AD = BE，
证明如下：∵∠EAB+∠DCF=1800，∠BCD+∠DCF=1800，∴∠EAB=∠BCD，
∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC，
∴BA－AD=BC－AD= BE，即 BC－AD=BE
图③结论：AD－BC = BE.
证明如下：∵∠EAB+∠DCF=1800，∠BCD+∠DCF=1800，∴∠EAB=∠BCD，
∵∠E=∠BDC，AE=CD，∴△EAB≌△DCB，∴BE=BD， AB=BC，
∴AD－AB=AD－BC= BD=BE，即 AD－AB=BE
（3）如图②所示，作 DG BC 于 G
由（2）知△EAB≌△DCB，∴ EBA ABC
∵ BE BC
∴ 45EBA ABC
在 Rt DCG 中，CD=10， 3tan 4
DGBCD GC
，∴ 6, 8, 14DG GC BC
在 Rt BDG 中， 6BG DG ， 6 2BD
∴ 14 6 2AD AB BD BC BD
如图③所示，作 DH BC 于 H
由（2）知△EAB≌△DCB，∴ DBC EBAÐ = Ð
∴ DBE CBA HBD
∵ BE BC
∴ 45HBD DBE
在 Rt DCHV 中，CD=10， 3tan 4
DHBCD HC
，∴ 6, 8DH HC
在 Rt BDH 中， 6BH DH ， 6 2BD
∴ 8 6 6 2 2 6 2AD AB BD BC BD
综上所述：AD 的长度为 14－6 2 或 2+6 2 .
【点睛】本题考查了由图形变化引起的类比探究，快速确定全等三角形，并准确利用全等三角形的性质是
解题的关键．
27.某商场准备购进 A、B 两种型号电脑，每台 A 型号电脑进价比每台 B 型号电脑多 500 元，用 40 000 元购
进 A 型号电脑的数量与用 30 000 元购进 B 型号电脑的数量相同，请解答下列问题：
（1）A，B 型号电脑每台进价各是多少元？
（2）若每台 A 型号电脑售价为 2 500 元，每台 B 型号电脑售价为 1 800 元，商场决定同时购进 A，B 两种
型号电脑 20 台，且全部售出，请写出所获的利润 y(单位：元)与 A 型号电脑 x（单位：台）的函数关系式，
若商场用不超过 36 000 元购进 A，B 两种型号电脑，A 型号电脑至少购进 10 台，则有几种购买方案？
（3）在（2）问的条件下，将不超过所获得的最大利润再次购买 A，B 两种型号电脑捐赠给某个福利院，请
直接写出捐赠 A，B 型号电脑总数最多是多少台．
【答案】（1）每台 A 型号电脑进价为 2000 元，每台 B 型号电脑进价为 1500 元；（2） 200 6000y x ，
有三种方案；（3）捐赠 A，B 型号电脑总数最多是 5 台．
【解析】
【分析】
（1）设每台 A 型号电脑进价为 a 元.，则每台 B 型号电脑进价为 500a 元，根据题意列出分式方程求解
即可；
（2）若 A 型号电脑 x 台，则 B 型号电脑 20 x 台，根据题意列出 y 与 x 的关系式；根据题意可列出关于
x 的一元一次不等式组 2000 1500 20 36000
10
x x
x
，求解即可得到方案；
（3）根据（2）得到最大利润，优先购买 B 型号电脑，即可求解．
【详解】（1）设每台 A 型号电脑进价为 a 元.，则每台 B 型号电脑进价为 500a 元，
由题意，得 40000 30000
500a a
，解得：a=2000，
经检验 a=2000 是原方程的解，且符合题意，
2000－500=1500（元）．
答：每台 A 型号电脑进价为 2000 元，每台 B 型号电脑进价为 1500 元．
（2）由题意，得 y=(2500－2000)x+(1800-1500)(20－x)=200x+6000，
∵ 2000 1500 20 36000
10
x x
x
，解得10 12x ，
∵x 是整数，∴x=10，11，12，∴有三种方案．
（3）∵利润 200 6000y x ，随 x 的增大而增大，
∴当 12x 时可获得最大利润，最大利润为 200 12 6000 8400 （元），
若要使捐赠 A，B 型号电脑总数尽可能多，则优先购买 B 型号电脑，可购买 5 台，
所以捐赠 A，B 型号电脑总数最多 5 台．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用等内容，理
解题意并列出方程或不等式组是解题的关键．
28.如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的边 OC 在 x 轴上，OA 在 y 轴上．O 为坐标原点，AB//OC，
线段 OA，AB 的长分别是方程 x2－9x+20=0 的两个根（OA
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