中考数学三轮真题集训冲刺知识点38相似位似及其应用pdf含解析

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中考数学三轮真题集训冲刺知识点38相似位似及其应用pdf含解析

1 / 41 一、选择题 1.(2019·苏州)如图,在△ABC 中,点 D 为 BC 边上的一点.且 AD=AB=2,AD⊥AB,过点 D 作 DE⊥AD,DE 交 AC 于点 F.若 DE=1,则△ABC 的面积为( ) A.4 2 B.4 C.2 5 D.8 第 10 题图 【答案】B 【解析】∵AB⊥AD,AD⊥DE,∴∠BAD=∠ADE=90°,∴DE∥AB,∴∠CED=∠CAB,∵∠C=∠ C,∴ △CED∽△CAB,∵DE=1,AB=2,即 DE∶AB=1∶2,∴S△DEC∶S△ACB=1∶4,∴S 四边形 ABDE∶ S△ACB=3∶4,∵S 四边形 ABDE=S△ABD+S△ADE 1 2 = × 2×2 1 2 +×2×1=2+1=3,∴S△ACB=4,故选 B. 2.(2019·绍兴)如图 1,长、宽均为 3,高为 8 的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水, 水 面高为 6,绕底面一棱长进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图 2 是此时的示意图,则图 2 中水面高度为 ( ) A. 5 24 B. 5 32 C. 17 3412 D. 17 3420 【答案】A 【解析】如图所示:设 DM=x,则 CM=8﹣x, H M B A D C 知识点 38——相似、位似及其应用 2 / 41 根据题意得: (8﹣x+8)×3×3=3×3×5, 解得:x=4,∴DM=6, ∵∠D=90°,由勾股定理得:BM= 2 2 2243BD DM+=+=5, 过点 B 作 BH⊥AH,∵∠HBA+∠ABM=∠ABM +∠ABM=90°, ∴∠HBA+=∠ABM,所以 Rt△ABH∽△MBD, ∴ BH BD AB BM = ,即 3 85 BH = ,解得 BH= 5 24 ,即水面高度为 5 24 . 3.(2019·杭州)如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在 AB 和 AC 边上,DE∥BC,M 为 BC 边上一点(不与点 B,C 重合)连接 AM 交 DE 干点 N,则( ) A. AD AN AN AE = B. BD MN MN CE = C. DN NE BM MC = D. DN NE MC BM = 【答案】C 【解析】根据 DE∥BC,可得△ADN∽△ABM 与△ANE∽△AMC,再应用相似三角形的性质可得结论.∵DN∥ BM,∴ △ ADN∽△ABM,∴ DN AN BM AM = ,∵ NE∥MC,∴ △ ANE∽△AMC,∴ NE AN MC AM = ,∴ DN NE BM MC = .故 选 C. 4.(2019·常德)如图,在等腰三角形△ABC 中,AB=AC,图中所有三角形均相似,其中最小的三 角 形的面积为 1,△ABC 的面积为 42,则四边形 DBCE 的面积是( ) A.20 B.22 C.24 D.26 【答案】D 【解析】∵图中所有三角形均相似,其中最小的三角形的面积为 1,△ABC 的面积为 42,∴最小的三角 形与△ABC 的相似比为 1 42 ,∵△ADE∽△ABC,∴ ADE ABC S S   = 2DE BC   ,∵ DE BC =4× 1 42 = 4 42 ,∴ N E A B C D M 3 / 41 ADE ABC S S   = 16 42 = 8 21 , ∴S△ADE= 8 21 ×42=16,∴四边形 DBCE 的面积=S△ABC-S△ADE=26,故选项 D 正确. 5.(2019·陇南)如图,将图形用放大镜放大,应该属于( ) A.平移变换 B.相似变换 C.旋转变换 D.对称变换 【答案】B 【解析】由图可知,放大前与放大后图形是相似的,故选:B. 6. (2019·枣庄)如图,将△ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC 的面积为 16,阴 影部分三角形的面积为 9,若 AA'=1,则 A'D 等于( ) A.2 B.3 C.4 D. 3 2 【答案】B 【解析】由平移可得,△ABC∽△A'MN,设相似比为 k,∵S△ABC=16,S△A'MN=9,∴k2=16:9,∴k=4:3,因为 AD 和 A'D 分别为两个三角形的中线,∴AD:A'D=k=4:3,∵AD=AA'+A'D,∴AA':A'D=1:3,∵AA'= 1,则 A'D=3,故选 B. 4 / 41 7.(2019·淄博)如图,在 △ ABC 中,AC=2,BC=4,D 为 BC 边上的一点,且∠CAD=∠B. 若 △ ADC 的面积为a ,则 △ ABD 的面积为() A. 2a B. 5 2 a C.3a D. 7 2 a 【答案】C. 【解析】在 △ BAC 和 △ ADC 中,∵∠C 是公共角,∠CAD=∠B.,∴△BAC∽△ADC,∴ 2BC AC = , ∴ 2AB DA =( ) 4C C S BC S AC =  ,又∵△ADC 的面积为 a ,∴△ABC 的面积为 4a ,∴△ABD 的面积为3a . 8. (2019· 巴中)如图, ABCD,F 为 BC 中点,延长 AD 至 E,使 DE:AD=1:3,连接 EF 交 DC 于点 G,则 S △DEG:S△CFG=( ) A.2:3 B.3:2 C.9:4 D.4:9 【答案】D 【解析】因为 DE:AD=1:3,F 为 BC 中点,所以 DE:CF=2:3,  ABCD 中,DE∥CF,所以△DEG∽△CFG, 相似比为 2:3,所以 S△DEG:S△CFG=4:9.故选 D. 9.(2019·乐山)把边长分别为 1 和 2 的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为( ) A. 6 1 B. 3 1 C. 5 1 D. 4 1 【答案】A 第 8 题答图 【解析】∵四边形 ABCD 与四边形 CEFG 都是正方形,∴AD=DC=1,CE=2,AD∥CE,∴△ADH∽△ ECF,∴ AD DH CE CH = ,∴ 1 21 DH DH = − ,解得 DH= 1 3 ,∴阴影部分面积为 1 2 × 1 3 ×1= 1 6 ,故选 A. B A CD 5 / 41 10.(2019·乐山)如图,在边长为 3 的菱形 ABCD 中,∠B = 30°,过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ,现 将△ ABE 沿直线 AE 翻折至△ AFE 的位置, AF 与CD 交于点G .则CG 等于( ) A. 3 −1 B.1C. 2 1 D. 2 3 第 10题图 【答案】A 【解析】∵ BCAE ⊥ ,∴∠AEB=90°,菱形 ABCD 的边长为 3 , °=∠ 30B ,∴AE= 1 2 AB= 1 2 3 , BE=CF= 22AB AE− =1.5,BF=3,CF=BF-BC=3- 3 ,∵ AD∥CF,∴ △ AGD∽△FGC,∴ DG AD CG CF = , ∴ 33 33 CG CG − = − ,解得 CG= 3 −1 ,故选 A. 11.(2019·凉山)如图,在△ABC 中,D 在 AC 边上,AD∶DC = 1∶2,O 是 BD 的中点,连接 A0 并 延长交 BC 于 E,则 BE∶EC=( ) A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 2∶3 【答案】B 12.(2019·眉山)如图,一束光线从点 A(4,4)出发,经 y 轴上的点 C 反射后,经过点 B (1,0),则点 C 的坐标是( ) A.(0, 1 2 ) B.( 0, 4 5 ) C.( 0,1) D.( 0,2) G FE DA B C 第11题图 第11题解答图 6 / 41 【答案】B 【解析】解:过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D,∵∠ADC=∠COB=90°,∠ACD=∠BCO,∴△OBA∽△ DAC,∴ OC DC OB AD = ,∴ 4 14 OC OC−= ,解得:OC= 4 5 ,∴点 C(0, 4 5 ),故选 B. 13.(2019·眉山)如图,在菱形 ABCD 中已知 AB=4,∠ABC=60°,∠EAF=60°,点 E 在CB 的延长线上,点 F 在 DC 的延长线上,有下列结 论:①BE=CF,②∠EAB=∠CEF;③ △ABE∽△EFC,④若∠BAE=15°,则点 F 到 BC 的距离为 2 3 − 2 ,则其中正确结论的个 数是( ) A.1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】连接 AC,在菱形 ABCD 中,AB=BC,∠ABC=60°,∴△ABC 是等边三角形,∴AB=AC, ∠BAC=60°,∵∠EAF=60°,∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°,即∠EAB=∠CAF,∵ ∠ ABE= ∠ACF=120°,∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF,故①正确;由△ABE≌△ACF,可得 AE=AF,∵∠ EAF=60°,∴△AEF是等边三角形,∴∠AEF=60°,∴∠AEB+∠CEF=60°,∵∠AEB+∠EAB=60°, ∴∠CEF=∠EAB,故②正确;在△ABE 中,∠AEB<60°,∠ECF=60°,∴③错误;过点 A 作 AG ⊥BC 于点 G,过点 F 作 FH⊥EC 于点 H,∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,∴∠AEB=45°,在 Rt△ AGB 中,∵∠ABC=60°,AB=4, ∴BG= 1 2 AB=2,AG= 3 BG= 23,在 Rt△AEG 中,∵∠AEG=∠EAG=45°,∴AG=GE= 23, ∴EB=EG-BG= 23-2,∵ ∠ BAC=∠EAF=60°,∴∠BAE=∠CAF,∵ ∠ ABC=∠ACD=60°,∴∠ABE= ∠ACF=120° 在△AEB 和△AFC 中,    ∠∠ ∠∠ ° EAB FAC AB AC ABE ACF 120 = = = = ,∴△AEB≌△AFC,∴AE=AF,EB=CF= 23-2, 7 / 41 在 Rt△CHF 中,∵∠HCF=180°-∠BCD=60°,CF= 23-2,∴ FH=CF•sin60°=( 23-2)• 3 2 =3- 3 . ∴点 F 到 BC 的距离为 3- 3 .故④错误.故选 B. 14.(2019·重庆 B 卷)下列命题是真命题的是( ) A.如 果 两 个 三 角 形 相 似 , 相 似 比 为 4:9,那 么 这 两 个 三 角 形 的 周 长 比 为 2:3 B.如 果 两 个 三 角 形 相 似 , 相 似 比 为 4:9,那 么 这 两 个 三 角 形 的 周 长 比 为 4:9 C.如 果 两 个 三 角 形 相 似 , 相 似 比 为 4:9,那 么 这 两 个 全 角 形 的 面 积 比 为 2:3 D.如 果 两 个 三 角 形 相 似 , 相 似 比 为 4:9,那 么 这 两 个 三 角 形 的 面 积 比 为 4:9 【答案】B 【 解 析 】 如 果 两 个 三 角 形 相 似 ,那 么 这 两 个 三 角 形 的 周 长 比 等 于 相 似 比 , 面 积 比 是 相 似 比 的 平 方 .即 如 果 两 个 三 角 形 相 似 ,相 似 比 为 4:9,那 么 这 两 个 三 角 形 的 周 长 比 为 4:9;面 积 比 是 相 似 比 的 平 方 , 即 16:81.故 选 B . 15.(2019·重庆 A 卷)如图,△ABO∽△CDO,若 BO=6,DO=3,CD=2,则 AB 的长是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C. 【解析】∵△ABO∽△CDO,∴ AB BO CD DO = .∵BO=6,DO=3,CD=2,∴ 6 23 AB = .∴AB=4.故 选 C. 二、填空题 1.(2019·滨州)在平面直角坐标系中,△ABO 三个顶点的坐标分别为 A(-2,4),B(-4,0),O (0,0).以原点 O 为位似中心,把这个三角形缩小为原来的 1 2 ,得到△CDO,则点 A 的对应点 C 的坐标是________________________. 【答案】(-1,2)或(1,-2) 【解析】点 A 的对应点 C 的坐标是(-2× 1 2 ,4× 1 2 )或(-2×(- 1 2 ),4×(- 1 2 )),即(-1, 2)或(1,-2). 8 / 41 2.(2019·滨州)如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E,交 BD 于 点 F,且∠ABC=60°,AB=2BC,连接 OE.下列结论: ① EO⊥AC; ② S△AOD=4S△OCF; ③ AC: BD= :7; ④ FB2=OF•DF.其中正确的结论有____________.(填写所有正确结论的序号) 【答案】①③④ 【解析】在Y ABCD 中,AB∥DC,∠ABC=60°,∴∠BCD=120°.∵CE 平分∠BCD,∴∠BCE=60°,∴ △BCE 是等边三角形,∴BE=BC=CE,∠BEC=60°.∵AB=2BC,∴AE=BE=CE,∴∠EAC=∠ACE=30°,∴∠ ACB=90°.在Y ABCD 中,AO=CO,BO=DO,∴OE 是△ACB 的中位线,∴OE∥BC,∴OE⊥AC, 故①正确;∵OE 是△ACB 的中位线,∴OE= 1 2 BC,∵OE∥BC,∴△OEF∽△BCF,∴OF:BF=OE: BC=1:2,∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF,故②错误;在 Rt△ABC 中,∵AB=2BC,∴AC= 3 BC,∴OC= 3 2 BC.在 Rt△BCO 中,OB= 7 2 BC ,∴BD= 7 BC,∴AC:BD= 3 BC: 7 BC = 21 :7,故③ 正确;∵OF:BF=1:2,∴BF=2OF,OB=3OF,∵OD=OB,∴DF=4OF,∴BF2=(2OF)2=4OF2, OF·DF=OF·4OF=4OF2,∴BF2=OF·DF,故④正确. 3.(2019·凉山)在□ABCD 中,E 是 AD 上一点,且点 E 将 AD 分为 2∶3 的两部分, 连接 BE、AC 相 交于 F,则 S△AEF∶S△CBF 是 . 【答案】4:25 或 9∶25 【解析】在□ABCD 中,∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF.如答图 1,当 AE∶DE=2∶3 时,AE∶AD=2∶ 5,∵AD=BC,∴AE∶BC=2∶5,∴S△AEF∶S△CBF=4∶25;如答图 2,当 AE∶DE=3∶2 时,AE∶AD=3∶5, ∵AD=BC,∴AE∶BC=3∶5,∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.故答案为 4∶25 或 9∶25. (第 3 题图答图 1) (第 3 题图答图 2) 9 / 41 4. (2019·自贡)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,CD∥AB,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 E,DE= . 【答案】 9 5 √ 5. 【解析】∵BD 平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD, ∵AB∥CD, ∴∠D=∠ABD, ∴∠CBD=∠D, ∴CD=BD=6. 在 Rt△ABC 中,AC= √
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