初三数学试卷 2009

初三数学试卷 2009

北京市西城区2009年抽样测试 初三数学试卷 2009．5‎ 考生须知 ‎1．本试卷共4页，共五道大题，25道小题，满分120分，考试时间120分钟。‎ ‎2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称和姓名。‎ ‎3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。‎ ‎4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题(共8道小题，每小题4分，共32分)‎ ‎1．－2的相反数等于 A．2 B．－‎2 ‎C． D．－‎ ‎2．2009年，全国普通高校本、专科共计划招生6 290 000人，将6 290 000用科学记数法表示应为 A．6.29×105 B．62.9×‎105 ‎C．6.29×106 D．0.629×107‎ ‎3．右图是由五个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是 ‎4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为 A．5 B．‎6 ‎C．7 D．8‎ ‎5．2004～2008年社会消费品零售总额及增长速度情况如右图所示，那么社会消费品零售总额比上年增长最快的年份是 A．2005年 B．2006年 C．2007年 D．2008年 ‎6．如图，AB∥DF，AC⊥BC于点C，CB与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于 A．110° B．100°‎ C．80° D．70°‎ ‎7．如图，在边长为1的等边三角形ABC中，若将两条含120°圆心角的、及边AC所围成的阴影部分的面积记为S，则S与△ABC面积的比等于 A． B． C． D．‎ ‎8．若m、n(m＜n)是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是 A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 二、填空题(共4道小题，每小题4分，共16分)‎ ‎9．在函数y＝中，自变量x的取值范围是________．‎ ‎10．若＋(y－4)2＝0，则xy的值等于________．‎ ‎11．如图，△ABC中，∠ABC的平分线交AC于E，BE⊥AC，DE∥BC交AB于D，若BC＝4，则DE＝________．‎ ‎12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＜AC，若BC·AC＝AB2，则∠A＝________．‎ 三、解答题(本题共30分，每小题5分)‎ ‎13．计算：．‎ ‎14．解不等式组在数轴上表示它的解集，并求它的整数解．‎ ‎15．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BC为最大边，点D、E分别在BC、AC上，BD＝CE，F为BA延长线上一点，BF＝CD．‎ 求证：∠DEF＝∠DFE．‎ ‎16．解方程：．‎ ‎17．已知抛物线y＝－x2＋(m＋2)x＋‎3m－20经过点(1，－3)，求抛物线与x轴交点的坐标及顶点的坐标．‎ ‎18．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠A＝60°，BC＝4，求CD的长．‎ 四、解答题(本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分)‎ ‎19．已知：如图，AB为⊙O的弦，过点O作AB的平行线，交⊙O于点C，直线OC上一点D满足∠D＝∠ACB．‎ ‎(1)判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎(2)若⊙O的半径等于4，tan∠ACB＝，求CD的长．‎ ‎20．有三个完全相同的小球，上面分别标有数字1、－2、－3，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次(第一次摸出球后放回摇匀)，设第一次摸到的球上所标的数字为m，第二次摸到的球上所标的数字为n，依次以m、n作为点M的横、纵坐标．‎ ‎(1)用树状图(或列表法)表示出点M(m，n)的坐标所有可能的结果；‎ ‎(2)求点M(m，n)在第三象限的概率．‎ ‎21．某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装8吨甲种苹果，或10吨乙种苹果，或11吨丙种苹果．公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须满载．已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨，且每种苹果不少于一车．‎ ‎(1)设用x辆车装甲种苹果，y辆车装乙种苹果，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎(2)若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示：‎ 苹果品种 甲 乙 丙 每吨苹果所获利润(万元)‎ ‎0.22‎ ‎0.21‎ ‎0.2‎ 设此次运输的利润为W(万元)，问：如何安排车辆分配方案才能使运输利润W 最大，并求出最大利润．‎ ‎22．已知：如图，△ABC中，AC＜AB＜BC．‎ ‎(1)在BC边上确定点P的位置，使∠APC＝∠C．请画出图形，不写画法；‎ ‎(2)在图中画出一条直线l，使得直线l分别与AB、BC边交于点M、N，并且沿直线l将△ABC剪开后可拼成一个等腰梯形．请画出直线l及拼接后的等腰梯形，并简要说明你的剪拼方法．‎ 说明：本题只需保留画图痕迹，无需尺规作图．‎ 五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分)‎ ‎23．已知：反比例函数y＝和y＝在平面直角坐标系xOy第一象限中的图象如图所示，点A在y＝的图象上，AB∥y轴，与y＝的图象交于点B，AC、BD与x轴平行，分别与y＝、y＝的图象交于点C、D．‎ ‎(1)若点A的横坐标为2，求梯形ACBD对角线的交点F的坐标；‎ ‎(2)若点A的横坐标为m，比较△OBC与△ABC面积的大小，并说明理由；‎ ‎(3)若△ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请直接写出点A的坐标．‎ ‎24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋6与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．‎ ‎(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；‎ ‎(2)若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出｜QA－QO｜的取值范围．‎ ‎25．已知：PA＝，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．‎ ‎(1)如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；‎ ‎(2)当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．‎ 北京市西城2009年抽样测试 初三数学评分标准及参考答案 2009．5‎ 阅卷须知：‎ ‎1．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎2．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分。‎ 一、选择题(共8道小题，每小题4分，共32分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A C B D D A B A 二、填空题(共4道小题，每小题4分，共16分)‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 x≠－2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎15‎ 三、解答题(本题共30分，每小题5分)‎ ‎13．解：‎ ‎＝2＋1－2－2…………………………………………………………………4分 ‎＝－1．………………………………………………………………………………5分 ‎14．解：‎ 由①得x≥1．………………………………………………………………………………1分 由②得x＜5．………………………………………………………………………………2分 不等式组的解集在数轴上表示如下：‎ ‎ ………………………………………………………………………………………3分 所以原不等式组的解集为1≤x＜5．……………………………………………………4分 所以原不等式组的整数解为1，2，3，4．……………………………………………5分 ‎15．证明：如图1，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠C．……………………………………………………………………………1分 在△BDF和△CED中，‎ ‎∴△BDF≌△CED．………………………………………………………………………3分 ‎∴DF＝ED．………………………………………………………………………………4分 ‎∴∠DEF＝∠DFE．………………………………………………………………………5分 ‎16．解：去分母，得x(x＋2)－(x2－4)＝2．………………………………………………1分 去括号，得x2＋2x－x2＋4＝2．…………………………………………………………2分 整理，得2x＝－2．………………………………………………………………………3分 解得x＝－1．………………………………………………………………………………4分 经检验，x＝－1是原方程的解．…………………………………………………………5分 ‎17．解：∵抛物线y＝－x2＋(m＋2)x＋‎3m－20经过(1，－3)点，‎ ‎∴－12＋(m＋2)＋‎3m－20＝－3．‎ 整理，得‎4m－19＝－3．‎ 解得m＝4．………………………………………………………………………………1分 ‎∴二次函数的解析式为y＝－x2＋6x－8．………………………………………………2分 令y＝0，可得－x2＋6x－8＝0．‎ 解得x1＝2，x2＝4．………………………………………………………………………3分 ‎∴抛物线与x轴的交点坐标为(2，0)，(4，0)．………………………………………4分 ‎∵y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为(3，1)．…………………………………………………………5分 ‎18．解：连结BD，作DE⊥BC于点E．(如图2) …………………………………………1分 ‎∵AB＝AD＝2，∠A＝60°，‎ ‎∴△ABD为等边三角形，BD＝2，∠ADB＝60°．…………………………………2分 ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DBC＝60°．…………………………………………………………………………3分 在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠DBE＝60°，‎ ‎∴DE＝BD·sin 60°＝，BE＝BD·cos 60°＝1．…………………………………4分 在Rt△CDE中，∠CED＝90°，CE＝BC－BE＝3，‎ ‎．…………………………………………………………5分 解法二：作DE∥AB交BC于E，作EF⊥CD于F．‎ 解法三：连结BD，并延长BA、CD交于E.‎ 四、解答题(本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分)‎ ‎19．解：(1)直线BD与⊙O相切．‎ 图3‎ 证明：如图3，连结OB．………………………………………………………………1分 ‎∵∠OCB＝∠CBD＋∠D，∠1＝∠D，‎ ‎∴∠2＝∠CBD．‎ ‎∵AB∥OC，‎ ‎∴∠2＝∠A．‎ ‎∴∠A＝∠CBD．‎ ‎∵OB＝OC，‎ ‎∴∠BOC＋2∠3＝180°，‎ ‎∵∠BOC＝2∠A，‎ ‎∴∠A＋∠3＝90°．‎ ‎∴∠CBD＋∠3＝90°．‎ ‎∴∠OBD＝90°．…………………………………………………………………………2分 ‎∴直线BD与⊙O相切．…………………………………………………………………3分 ‎(2)解：∵∠D＝∠ACB，tan∠ACB＝，‎ ‎∴tan D＝．……………………………………………………………………………4分 在Rt△OBD中，∠OBD＝90°，OB＝4，tanD＝．‎ ‎，．‎ ‎∴CD＝OD－OC＝1．……………………………………………………………………5分 ‎20．解：(1)组成的点M(m，n)的坐标的所有可能性为：‎ 或列表如下：‎ ‎ 第一次 第二次 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎(1，1)‎ ‎(－2，1)‎ ‎(－3，1)‎ ‎－2‎ ‎(1，－2)‎ ‎(－2，－2)‎ ‎(－3，－2)‎ ‎－3‎ ‎(1，－3)‎ ‎(－2，－3)‎ ‎(－3，－3)‎ ‎…………………………………………………………………………………………3分 ‎(2)落在第三象限的点有(－2，－2)，(－2，－3)，(－3，－2)，(－3，－3)，因此点M落在第三象限的概率为．…………………………………………………………５分 ‎21．解：(1)∵8x＋10y＋11(10－x－y)＝100，……………………………………………1分 ‎∴y与x之间的函数关系式为y＝－3x＋10．…………………………………………２分 ‎∵y≥1，解得x≤3．‎ ‎∵x≥1，10－x－y≥1，且x是正整数，‎ ‎∴自变量x的取值范围是x＝1或x＝2或x＝3．………………………………………３分 ‎(2)W＝8x×0.22＋10y×0.21＋11(10－x－y)×0.2＝－0.14x＋21．…………………４分 因为W随x的增大而减小，所以x取1时，可获得最大利润，此时W＝20．86(万元)．‎ ‎ …………………………………………………………………………………………５分 获得最大运输利润的方案为：用1辆车装甲种苹果，用7辆车装乙种苹果，2辆车装丙种苹果．……………………………………………………………………………………６分 ‎22．解：(1)答案见图4(任选一种即可)．…………………………………………………２分 ‎(2)答案见图5．…………………………………………………………………………３分 剪拼方法：取AB的中点M，过点M作AP的平行线l，与BC交于点N，过点A作BC的平行线，与l交于点H，将△BMN绕点M顺时针旋转180°到△AMH，则四边形为拼接后的等腰梯形．‎ ‎ ‎ 图4 图5‎ 五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分)‎ ‎23．解：(1)如图6，当点A的横坐标为2时，点A、B、C、D的坐标分别为A(2，4)，B(2，1)，C(，4)，D(8，1)．………………………………………………………………1分 解一：直线CD的解析式为．…………………………………………2分 ‎∵AB∥y轴，F为梯形ACBD的对角线的交点，‎ ‎∴x＝2时，．‎ ‎∴点F的坐标为(2，)．……………………………………………………3分 图2‎ 解二：AC＝，BD＝6，AB＝3．‎ ‎∵梯形ACBD，AC∥BD，F为梯形ACBD的对角线的交点，‎ ‎∴△ACF∽△BDF．‎ ‎．‎ ‎，，点F的纵坐标为．………………………………2分 ‎∴点F的坐标为(2，)．……………………………………………………3分 ‎(2)如图7，作BM⊥x轴于点M．作CN⊥x轴于点N．当点A的横坐标为m时，点A、B、C、D的坐标分别为．‎ 图7‎ ‎．……………………………………………4分 S△OBC＝S梯形CNMB＋S△OCN－S△OBM ‎＝S梯形CNMB.……………………………………………5分 ‎∴S△OBC＞S△ABC…………………………………………………………………………6分 ‎(3)点A的坐标为(2，4)．……………………………………………………………7分 ‎24．解：(1)点C的坐标为(3，0)．………………………………………………………1分 ‎∵点A、B的坐标分别为A(8，0)，B(0，6)，‎ ‎∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝a(x－3)(x－8)．‎ 将x＝0，y＝6代入抛物线的解析式，得a＝．……………………………………2分 ‎∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝．………………………3分 ‎(2)可得抛物线的对称轴为x＝，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．‎ 直线BC的解析式为y＝－2x＋6．…………………………………4分 设点P的坐标为(x，－2x＋6)．‎ 图8‎ 解法一：如图8，作OP∥AD交直线BC于点P，连结AP，作PM⊥x轴于点M．‎ ‎∵OP∥AD，‎ ‎∴∠POM＝∠GAD，tan∠POM＝tan∠GAD．‎ ‎，即．‎ 解得x＝．经检验x＝是原方程的解．‎ 此时点P的坐标为．………………………………………………5分 但此时OM＝，，OM＜GA．‎ ‎，，∠POM＝∠GAD，‎ ‎∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，‎ ‎∴直线BC上不存在符合条件的点P．………………………………………6分 解法二：如图9，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．‎ 则∠PEO＝∠DEA，PE＝DE．‎ 可得△PEN≌△DEG．‎ 由OE＝＝4，可得E点的坐标为(4，0)．‎ ‎，，．‎ ‎∴点P的坐标为．……………………………………………………5分 ‎∵时，，‎ ‎∴点P不在直线BC上．‎ ‎∴直线BC上不存在符合条件的点P．………………………………………6分 ‎ ‎ 图9 图10‎ ‎(3)|QA－QO|的取值范围是0≤|QA－QO|≤4．‎ 说明：如图10，由对称性可知QO＝QH，|QA－QO|＝|QA－QH|．当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，|QA－QO|取得最大值4(即为AH的长)；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，|QA－QO|取得最小值0．‎ ‎25．解：(1)①如图11，作AE⊥PB于点E．……………………………………………1分 图11‎ ‎∵△APE中，∠APE＝45°，PA＝，‎ ‎∴AE＝PA·sin∠APE＝×＝1，‎ PE＝PA·cos∠APE＝×＝1．‎ ‎∵PB＝4，‎ ‎∴BE＝PB－PE＝3．………………………………………………………………………2分 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，‎ ‎．…………………………………………………………3分 ‎②解法一：如图12，因为四边形ABCD为正方形，可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P′AB，可得△PAD≌△P′AB，PD＝P′B，PA＝P′A．‎ ‎∴∠PAP′＝90°，∠APP′＝45°，∠P′PB＝90°．‎ ‎∴PP′＝PA＝2．…………………………………………………………4分 ‎∴PD＝P′B＝．………………………5分 图12‎ 解法二：如图13，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G．‎ 在Rt△AEG中，可得 ‎，，PG＝PB－BE－EG＝．‎ 在Rt△PFG中，可得PF＝PG·cos∠FPG＝PG·cos∠ABE＝．‎ FG＝．…………………………………………………………………4分 在Rt△PDF中，可得 ‎ .‎ ‎ ………………………………………………………………………………5分 图13‎ ‎(2)如图14所示，将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P′AB，PD的最大值即为P′B的最大值．‎ ‎∵△P′PB中，P′B＜PP′＋PB，PP′＝PA＝2，PB＝4，‎ 且P、D两点落在直线AB的两侧，‎ ‎∴当P′、P、B三点共线时，P′B取得最大值(见图15)．‎ 此时P′B＝PP′＋PB＝6，即P′B的最大值为6．………………………………………6分 此时∠APB＝180°－∠APP′＝135°．……………………………………………………7分 ‎ ‎ 图14 图15‎