2010年江苏省镇江市中考数学试卷

2010年江苏省镇江市中考数学试卷

一、填空题（共12小题，每小题2分，满分24分）‎ ‎1、（2010•镇江）‎1‎‎3‎的倒数是 ；‎﹣‎‎1‎‎2‎的相反数是 ．‎ 考点：倒数；相反数。‎ 分析：根据倒数和相反数的定义直接写答案．‎ 解答：解：∵‎1‎‎3‎‎×3=1‎，∴‎1‎‎3‎的倒数是3；‎﹣‎‎1‎‎2‎的相反数是‎1‎‎2‎．‎ 点评：倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．‎ 相反数的定义：符号相反，绝对值相等的两数互为相反数．‎ ‎2、（2010•镇江）计算：﹣3+2= ；（﹣3）×2= ．‎ 考点：有理数的乘法；有理数的加法。‎ 分析：根据有理数加法运算法则和有理数乘法的运算法则计算即可．‎ 解答：解：﹣3+2=﹣1；‎ ‎（﹣3）×2=﹣3×2=﹣6．‎ 点评：本题非常简单，主要利用有理数的加法运算法则和乘法运算法则求解，运算法则需要熟练掌握．‎ ‎3、（2010•镇江）化简：a5÷a2= ；（a2）2= ．‎ 考点：同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方。‎ 分析：根据同底数幂的除法和幂的乘方的性质计算即可．‎ 解答：解：根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，a5÷a2=a3；‎ 根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，（a2）2=a4．‎ 点评：本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．‎ ‎4、（2010•镇江）计算：①‎8‎‎×‎‎2‎= ；②‎8‎‎﹣‎‎2‎= ．‎ 考点：二次根式的加减法；二次根式的乘除法。‎ 分析：①先将二次根式的积转化为积的二次根式再开方；‎ ‎②将‎8‎化为2‎2‎，然后合并同类二次根式．‎ 解答：解：①‎8‎×‎2‎=‎8×2‎=‎16‎=4；‎ ‎②‎8‎﹣‎2‎=2‎2‎﹣‎2‎=‎2‎．‎ 点评：解答此题要根据二次根式的乘法法则和加法法则计算：‎ ‎①二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并；‎ ‎②二个二次根式之积，把被开方数的积作为积的被开方数．‎ ‎5、（2010•镇江）分解因式：a2﹣3a= ；化简：（x+1）2﹣x2= ．‎ 考点：提公因式法与公式法的综合运用。‎ 分析：（1）提取公因式a；‎ ‎（2）利用平方差公式分解．‎ 解答：解：（1）a2﹣3a=a（a﹣3）；‎ ‎（2）化简：（x+1）2﹣x2‎ ‎=（x+1+x）（x+1﹣x），‎ ‎=2x+1．‎ 点评：本题考查用提公因式法进行分解因式和用公式法进行分解的能力．‎ ‎6、（2010•镇江）一组数据按从小到大顺序排列为：3，5，7，8，8，则这组数据的中位数是 ；众数是 ．‎ 考点：中位数；众数。‎ 分析：根据中位数和众数的定义解答．‎ 解答：解：数据按从小到大排列：3，5，7，8，8，所以中位数是7；‎ 数据8出现2次，次数最多，所以众数是8．‎ 故填7；8．‎ 点评：本题考查了中位数，众数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．‎ ‎7、（2010•镇江）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE过点C，且DE∥AB，若∠ACD=50°，则∠A= 度，∠B= 度．‎ 考点：直角三角形的性质；平行线的性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据两直线平行，内错角相等即可求出∠A，再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠B．‎ 解答：解：∵DE∥AB，∠ACD=50°，‎ ‎∴∠A=∠ACD=50°，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣50°=40°．‎ 点评：本题主要考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质．‎ ‎8、（2010•镇江）函数y=‎x﹣1‎中自变量x的取值范围是 ，当x=2时，函数值y= ．‎ 考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据二次根式的意义，被开方数是非负数，求出自变量x的取值范围；把x=2代入y=‎x﹣1‎ ‎，即可得出y的值．‎ 解答：解：根据题意得：x﹣1≥0，‎ 解得x≥1；‎ 把x=2代入y=‎x﹣1‎，得y=1．‎ 点评：本题主要考查了求函数自变量的范围．‎ 函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．‎ ‎9、（2010•镇江）反比例函数y=‎n﹣1‎x的图象在第二、四象限，则n的取值范围为 ，A（2，y1），B（3，y2）为图象上两点，则y1 y2（用“＜”或“＞”填空）．‎ 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质。‎ 分析：根据反比例函数的性质再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求解．‎ 解答：解：因为反比例函数y=n﹣1‎x的图象在第二、四象限，‎ 所以n﹣1＜0，‎ 所以n＜1．‎ 又因为A（2，y1），B（3，y2）在第四象限，‎ 所以y1＜y2．‎ 故答案为：n＜1，＜．‎ 点评：反比例函数图象上点的坐标特征：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．‎ ‎10、（2010•镇江）如图，在平行四边形ABCD中，CD=10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且AEEC‎=‎‎2‎‎5‎，则‎△AEF的面积‎△CDE的面积= ，BF= ．‎ 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质。‎ 分析：由于四边形ABCD是平行四边形，可得①AB∥CD，②AB=CD；由①易证得△AEF∽△CED，已知了对应边AE、EC的比例关系，即可得到两个三角形的相似比；‎ ‎（1）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得它们的面积比；‎ ‎（2）根据两个三角形的相似比即可得到AF、DC的比例关系，也就能求出AF的长，由②知：AB=CD，根据BF=AB﹣AF=CD﹣AF即可求出BF的长．‎ 解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，AB=CD；‎ ‎∴△AEF∽△CED；‎ ‎∴S‎△AEFS‎△DEC=（AEEC）2=‎4‎‎25‎；‎ AFCD‎=‎AEEC‎=‎2‎‎5‎，即AF=‎2‎‎5‎CD=4；‎ ‎∴BF=AB﹣AF=CD﹣AF=10﹣4=6．‎ 点评：此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．‎ ‎11、（2010•镇江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=10，CD=8，那么线段OE的长为 ．‎ 考点：垂径定理；勾股定理。‎ 分析：连接OC，由垂径定理可求出CE的长度，在Rt△OCE中，根据CE和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OE的长．‎ 解答：解：连接OC；‎ Rt△OCE中，OC=‎1‎‎2‎AB=5，CE=‎1‎‎2‎CD=4；‎ 由勾股定理，得：OE=OC‎2‎‎﹣‎CE‎2‎=3；‎ 即线段OE的长为3．‎ 点评：此题考查的是垂径定理及勾股定理的应用．‎ ‎12、（2010•镇江）已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为 ．‎ 考点：二次函数的应用。‎ 分析：将函数方程x2+3x+y﹣3=0代入x+y，把x+y表示成关于x的函数，根据二次函数的性质求得最大值．‎ 解答：解：由x2+3x+y﹣3=0得 y=﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：‎ x+y=x﹣x2﹣3x+3=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4≤4，‎ ‎∴x+y的最大值为4．‎ 故应填4．‎ 点评：本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，即完全平方式法．‎ 二、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）‎ ‎13、（2010•镇江）下面几何体的俯视图是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：简单组合体的三视图。‎ 分析：找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看得到的棱都应表现在俯视图中．‎ 解答：解：从上面看，这个几何体只有一层，且有3个小正方形，故选A．‎ 点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．‎ ‎14、（2010•镇江）已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于（　　）‎ ‎ A、8π B、9π ‎ C、10π D、11π 考点：圆锥的计算。‎ 分析：圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可．‎ 解答：解：侧面积=4×4π÷2=8π．‎ 点评：本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式．‎ ‎15、（2010•镇江）有A，B两只不透明口袋，每只品袋里装有两只相同的球，A袋中的两只球上分别写了“细”、“致”的字样，B袋中的两只球上分别写了“信”、“心”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成“细心”字样的概率是（　　）‎ ‎ A、‎1‎‎3‎ B、‎‎1‎‎4‎ ‎ C、‎2‎‎3‎ D、‎‎3‎‎4‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 分析：列举出所有情况，看刚好能组成“细心”的情况占总情况的多少即可．‎ 解答：解：‎ 共有4种情况，刚好能组成“细心”字样的情况有一种，所以概率是‎1‎‎4‎，故选B．‎ 点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，注意本题是不放回实验．‎ ‎16、（2010•镇江）两直线l1：y=2x﹣1，l2：y=x+1的交点坐标为（　　）‎ ‎ A、（﹣2，3） B、（2，﹣3）‎ ‎ C、（﹣2，﹣3） D、（2，3）‎ 考点：两条直线相交或平行问题。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据题意知，两直线有交点，所以列出方程组，解方程组即可．‎ 解答：解：根据题意得：‎‎&y=2x﹣1‎‎&y=x+1‎ 解得：‎‎&x=2‎‎&y=3‎ ‎∴两直线l1：y=2x﹣1，l2：y=x+1的交点坐标为（2，3），‎ 故选D．‎ 点评：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式．‎ ‎17、（2010•镇江）小明新买了一辆“和谐”牌自行车，说明书中关于轮胎的使用说明如下：小明看了说明书后，和爸爸讨论：小明经过计算，得出这对轮胎能行驶的最长路程是（　　）‎ ‎ A、9.5千公里 B、‎3‎‎11‎千公里 ‎ C、9.9千公里 D、10千公里 考点：一元一次不等式的应用。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据题意，设一只轮胎在前轮用x千米，在后轮用y千米；则另一只轮胎在前轮用y千米，在后轮用x千米；可得‎1‎‎11‎x+‎1‎‎9‎y=‎1‎‎11‎y+‎1‎‎9‎x=1关系式，解可得x、y的值，进而可得答案．‎ 解答：解：设一只轮胎在前轮用x千米，在后轮用y千米；‎ 根据题意，有‎1‎‎11‎x+‎1‎‎9‎y=‎1‎‎11‎y+‎1‎‎9‎x=1，‎ 解可得，x=y=‎99‎‎20‎=4.45；‎ 则x+y=2x=9.9；‎ 故选C．‎ 点评：题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．‎ 三、解答题（共11小题，满分81分）‎ ‎18、（2010•镇江）计算化简：‎ ‎（1）‎（‎5‎‎）‎‎2‎﹣（cos60°‎）‎‎0‎+∣﹣4∣‎；‎ ‎（2）‎‎6‎x‎2‎‎﹣9‎‎+‎‎1‎x+3‎ 考点：特殊角的三角函数值；分式的加减法。‎ 分析：（1）先开平方，取绝对值，再计算；‎ ‎（2）先通分后计算．‎ 解答：（1）原式=5﹣1+4=8；‎ ‎（2）原式=‎‎6‎‎（x+3）（x﹣3）‎‎+‎‎1‎x﹣3‎ ‎=‎‎6+x﹣3‎‎（x+3）（x﹣3）‎ ‎=‎x+3‎‎（x+3）（x﹣3）‎ ‎=‎1‎x﹣3‎．‎ 点评：考查实数的有关运算及分式的运算．‎ ‎19、（2010•镇江）解方程或不等式组；‎ ‎（1）‎&2x﹣1＞1‎‎&x﹣2≤‎x﹣1‎‎2‎；‎ ‎（2）‎1‎x‎=‎x‎3x﹣2‎．‎ 考点：解分式方程；解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式组。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）分别求出两个不等式的解集，然后取两个解集的公共部分，即是不等式组的解集；‎ ‎（2）运用分式方程的解法，两边同乘以x（3x﹣2），转化为整式方程，然后移项，解方程．‎ 解答：解：（1）由①得，x＞1；（2分）‎ 由②得，x≤3，（4分）‎ ‎∴原不等式组的解集为1＜x≤3；（5分）‎ 解：（2）两边都乘以x（3x﹣2），（1分）‎ 得出3x﹣2=x2（2分）‎ 移项得x2﹣3x+2=0，‎ ‎（x﹣1）（x﹣2）=0，‎ ‎∴x1=1，x2=2．‎ 经检验，x1=1或x2=2是原方程的解．（5分）‎ 点评：本题考查的知识点是：不等式组的解法，分式方程的解法．‎ ‎20、（2010•镇江）如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△ADE；‎ ‎（2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．‎ 考点：旋转的性质；全等三角形的判定。‎ 专题：计算题；证明题。‎ 分析：（1）根据“ASA”直接判断两三角形全等；‎ ‎（2）由旋转的性质可知△ACE为等腰三角形，已知∠AEC=75°，根据内角和定理可求∠CAE，即为旋转角的度数．‎ 解答：解：（1）∵∠BAC=∠DAE，AB=AD，∠B=∠D，‎ ‎∴△ABD≌△ADE．‎ ‎（2）∵△ABC≌△ADE，‎ ‎∴AC与AE是一组对应边，‎ ‎∴∠CAE的旋转角，‎ ‎∵AE=AC，∠AEC=75°，‎ ‎∴∠ACE=∠AEC=75°，‎ ‎∴∠CAE=180°﹣75°﹣75°=30°．‎ 点评：通过已知条件证明三角形全等，发现两全等三角形的旋转关系，根据旋转的性质解题．‎ ‎21、（2010•镇江）在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线建立直角坐标系．‎ ‎（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中A，B，C分别和A1，B1，C1对应；‎ ‎（2）平移△ABC，使得A点在x轴上，B点在y轴上，平移后的三角形记为△A2B2C2，作出平移后的△A2B2C2，其中A，B，C分别和A2，B2，C2对应；‎ ‎（3）填空：在（2）中，设原△ABC的外心为M，△A2B2C2的外心为M，则M与M2之间的距离为 ．‎ 考点：作图-轴对称变换；作图-平移变换。‎ 分析：（1）从三角形的各点向对称轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接即可，然后从坐标中读出各点的坐标．‎ ‎（2）使得A点在x轴上，B点在y轴上，即A点向下移4个单位，B点向左移一个单位．也就是说此三角形向下移4个单位再向左移一个单位即可．‎ ‎（3）画出它们的外心，即三边垂直平分线的交点，读出坐标，利用勾股定理计算．‎ 解答：（1）见图21；（2分）‎ ‎（2）见图21；（4分）‎ ‎（3）从图可知：外心也是向下移动了4个单位，向左移动了1个单位．‎ 故根据勾股定理得：‎4‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎17‎．（6分）‎ 点评：本题主要考查轴对称图形及平移作图的画法及三角形的外心，及平移的性质．‎ ‎22、（2010•镇江）在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点．‎ ‎（1）求直线l的函数关系式；‎ ‎（2）求△AOB的面积．‎ 考点：待定系数法求一次函数解析式。‎ 专题：数形结合；待定系数法。‎ 分析：（1）把两点坐标代入函数解析式得到关于k、b的二元一次方程组并求解即可得到函数解析式；‎ ‎（2）求出直线与坐标轴的交点，代入三角形面积公式即可．‎ 解答：（1）设直线l的函数关系式为y=kx+b（k≠0），（1分）‎ 把（3，1），（1，3）代入①得‎&3k+b=1‎‎&k+b=3‎（2分）‎ 解方程组得‎&k=﹣1‎‎&b=4‎，（3分）‎ ‎∴直线l的函数关系式为y=﹣x+4．（4分）‎ ‎（2）当x=0时，y=4，∴B（0，4），‎ 当y=0，﹣x+4=0，解得x=4，∴A（4，0）（5分）‎ ‎∴S△AOB=‎1‎‎2‎AO•BO=‎1‎‎2‎×4×4=8．（6分）‎ 点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式，在平面直角坐标系中求三角形的面积，找出点的坐标或边的长度是解题的关键．‎ ‎23、（2010•镇江）已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点．‎ ‎（1）求C1的顶点坐标；‎ ‎（2）将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（﹣3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；‎ ‎（3）若P（n，y1），Q（2，y2）是C1上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围．‎ 考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换。‎ 分析：（1）由于二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0，由此可以确定m．‎ ‎（2）首先设所求抛物线解析式为y=（x+1）2+k，然后把A（﹣3，0）代入即可求出k，也就求出了抛物线的解析式；‎ ‎（3）由于图象C1的对称轴为x=﹣1，所以知道当x≥﹣1时，y随x的增大而增大，然后讨论n≥﹣1和n≤﹣1两种情况，利用前面的结论即可得到实数n的取值范围．‎ 解答：（1）y=x2+2x+m=（x+1）2+m﹣1，对称轴为x=﹣1，‎ ‎∵与x轴有且只有一个公共点，‎ ‎∴顶点的纵坐标为0，‎ ‎∴C1的顶点坐标为（﹣1，0）；‎ ‎（2）设C2的函数关系式为y=（x+1）2+k，‎ 把A（﹣3，0）代入上式得（﹣3+1）2+k=0，得k=﹣4，‎ ‎∴C2的函数关系式为y=（x+1）2﹣4．‎ ‎∵抛物线的对称轴为x=﹣1，与x轴的一个交点为A（﹣3，0），‎ 由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；‎ ‎（3）当x≥﹣1时，y随x的增大而增大，‎ 当n≥﹣1时，‎ ‎∵y1＞y2，‎ ‎∴n＞2．‎ 当n＜﹣1时，P（n，y1）的对称点坐标为（﹣2﹣n，y1），且﹣2﹣n＞﹣1，‎ ‎∵y1＞y2，‎ ‎∴﹣2﹣n＞2，‎ ‎∴n＜﹣4．‎ 综上所述：n＞2或n＜﹣4．‎ 点评：此题比较复杂，首先考查抛物线与x轴交点个数与其判别式的关系，接着考查抛物线平移的性质，最后考查抛物线的增减性．‎ ‎24、（2010•镇江）有200名待业人员参加某企业甲、乙、丙三个部门的招聘，到各部门报名的人数百分比见图1，该企业各部门的录取率见图表2．（部门录取率=部门录取人数部门报名人数×100%）‎ ‎（1）到乙部门报名的人数有 人，乙部门的录取人数是 人，该企业的录取率为 ；‎ ‎（2）如果到甲部门报名的人员中有一些人员改到丙部门报名，在保持各部门录取率不变的情况下，该企业的录取率将恰好增加15%，问有多少人从甲部门改到丙部门报名？‎ 考点：扇形统计图；一元一次方程的应用。‎ 专题：增长率问题。‎ 分析：（1）总人数为200人，甲、丙分别占35%和25%，则乙占40%‎ ‎，所以到乙部门报名人数为200×40%，则可根据部门录取率公式求得乙录取人数，算出各部门录取人数之和除以总人数200，则可求得该企业的录取率；‎ ‎（2）设有x人从甲部门改到丙部门报名，根据从甲部门改到丙部门的总人数=总人数和企业的录取率加增加15%列一元一次方程求解．‎ 解答：解：（1）到乙部门报名的人数：200×（1﹣35%﹣25%）=80人，‎ 乙部门的录取人数：80×50%=40人，‎ 企业的录取率：（200×35%×20%+200×25%×80%+40）÷200=47%；‎ ‎（2）设有x人从甲部门改到丙部门报名，‎ 则：（70﹣x）×20%+40+（50+x）×80%=200×（47%+15%），‎ 化简得：0.6x=30，‎ x=50．‎ ‎∴有50人从甲部门改到丙部门报名，恰好增加15%的录取率．‎ 点评：本题考查扇形统计图及相关计算．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．‎ ‎25、（2010•镇江）描述证明：‎ 海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：‎ ‎（1）请你用数学表达式补充完整海宝发现的这个有趣的现象；‎ ‎（2）请你证明海宝发现的这个有趣现象．‎ 考点：分式的加减法；完全平方公式。‎ 专题：阅读型。‎ 分析：根据海宝的叙述，易得到规律为若ab‎+ba+2=ab，①那么a+b=ab；②‎ 首先将①式的等号左边通分、合并，此时分子是一个完全平方式，等号左右两边同乘以ab，可得到：（a+b）2=（ab）2，由于a、b均为正数，即可证得②的结论．‎ 解答：解：（1）如果ab‎+ba+2=ab，（1分）那么a+b=ab；（2分）‎ ‎（2）证明：∵ab‎+ba+2=ab，∴a‎2‎‎+b‎2‎+2abab=ab，（3分）‎ ‎∴a2+b2+2ab=（ab）2，∴（a+b）2=（ab）2；（5分）‎ ‎∵a＞0，b＞0，a+b＞0，ab＞0，‎ ‎∴a+b=ab．（6分）‎ 点评：此题主要考查的是分式的加减运算及完全平方公式的应用，通过图表形象地解决了数学知识．‎ ‎26、（2010•镇江）如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE，CD=‎3‎，∠ACB=30°．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）分别求AB，OE的长；‎ ‎（3）填空：如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，则r的取值范围为 ．‎ 考点：切线的判定；勾股定理。‎ 专题：计算题；证明题。‎ 分析：（1）要证明DE是⊙O的切线，已知OD是圆的半径，只要证明OD⊥DE即可．‎ ‎（2）根据勾股定理可求得BC的长，从而可求得AB，DE的长，再根据勾股定理即可求得OE的长．‎ ‎（3）由第二问可知圆O的半径OE的长，根据题意不难求得r的取值范围．‎ 解答：证明：（1）∵AB是直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ 又∵AB=BC，‎ ‎∴AD=CD．‎ ‎∵AO=BO，‎ ‎∴OD∥BC．‎ ‎∵DE⊥BC，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∴DE是⊙O的切线．‎ ‎（2）在RT△CBD中，CD=‎3‎，∠ACB=30°‎ ‎∴BC=CDcos30°‎=2，‎ ‎∴BD=1，AB=2，‎ 在RT△CDE中，CD=‎3‎，∠ACB=30°‎ ‎∴DE=‎3‎‎2‎，‎ ‎∴OE=OD‎2‎‎+‎OE‎2‎=‎7‎‎2‎．‎ ‎（3）‎7‎‎2‎‎﹣1＜r＜‎7‎‎2‎+1.‎（7分）‎ 点评：此题主要考查学生对切线的判定及勾股定理等知识点的综合运用能力．‎ ‎27、（2010•镇江）如图，在直角坐标系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，Rt△OAB的面积恒为‎1‎‎2‎．‎ 试解决下列问题：‎ ‎（1）填空：点D坐标为 ；‎ ‎（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；‎ ‎（3）等式BO=BD能否成立？为什么？‎ ‎（4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．‎ 考点：菱形的判定；根的判别式；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理。‎ 专题：探究型。‎ 分析：（1）在Rt△OCD中，根据勾股定理易求OC=CD=‎2‎．‎ ‎（2）根据Rt△OAB的面积是‎1‎‎2‎可求出B点的坐标，因为BD2=AC2+（AB﹣CD）2，所以把B点的坐标代入可得BD长，即可表示成关于t的函数关系式．‎ ‎（3）假设OB=BD，在Rt△OAB中，用t把OB表示出来，根据题（2）中用t表示的BD．两者相等，可得一二次函数表达式，用根的判别式判断是否有解．‎ ‎（4）两种情况，先假设∠EBD=90°时（如图2），此时F、E、M三点重合，根据已知条件此时四边形BDCF为直角梯形，然后假设∠EBD=90°时（如图3），根据已知条件，此时四边形BDCF为平行四边形，在Rt△OCD中，OB2=OD2+BD2，用t把各线段表示出来代入，可求出BD=CD=‎2‎，即此时四边形BDCF为菱形．‎ 解答：解：（1）（‎2‎，‎2‎）；（1分）‎ ‎（2）由Rt△OAB的面积为‎1‎‎2‎，得B（t，‎1‎t），‎ ‎∵BD2=AC2+（AB﹣CD）2，‎ ‎∴BD2=‎（t=‎2‎‎）‎‎2‎+（‎1‎t﹣‎2‎‎）‎‎2‎=t‎2‎+‎1‎t‎2‎﹣2‎2‎（t+‎1‎t）+4‎①（2分）‎ ‎=‎（t+‎1‎t‎）‎‎2‎﹣2‎2‎（t+‎1‎t）+2=（t+‎1‎t﹣‎‎2‎‎）‎‎2‎．（3分）‎ ‎∴BD=‎∣t+‎1‎t﹣‎2‎∣=t+‎1‎t﹣‎‎2‎．②（4分）（注：不去绝对值符号不扣分）‎ ‎（3）解法一：若OB=BD，则OB2=BD2．‎ 在Rt△OAB中，OB2=OA2+AB2=t‎2‎‎+‎‎1‎t‎2‎．‎ 由①得t‎2‎‎+‎1‎t‎2‎=t‎2‎+‎1‎t‎2‎﹣2‎2‎（t+‎1‎t）+4.‎（5分）‎ 得：t+‎1‎t=‎‎2‎，∴t‎2‎‎﹣‎2‎t+1=0‎，‎ ‎∵△=‎（‎‎2‎‎）‎‎2‎﹣4=﹣2＜0．，∴此方程无解．‎ ‎∴OB≠BD．（6分）‎ 解法二：若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上．‎ ‎∵C（‎2‎，0），在等腰Rt△OCM中，可求得M（‎2‎‎2‎，‎2‎‎2‎）‎，‎ ‎∴直线CM的函数关系式为y=﹣x+‎‎2‎，③（5分）‎ 由Rt△OAB的面积为‎1‎‎2‎，得B点坐标满足函数关系式y=‎‎1‎x‎．④‎ 联立③，④得：x‎2‎‎﹣‎2‎x+1=0‎，‎ ‎∵△=‎（‎2‎‎）‎‎2‎﹣4=﹣2＜0‎，∴此方程无解 ‎∴OB≠BD．（6分）‎ 解法三：若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上，如图1‎ 过点B作BG⊥y轴于G，CM交y轴于H，‎ ‎∵S‎△OBG‎=S‎△OAB=‎‎1‎‎2‎，‎ 而S‎△OMH‎=S‎△MOC=‎1‎‎2‎S‎△DOC=‎1‎‎2‎×‎2‎×‎2‎×‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎，（5分）‎ 显然与S△HNO与S△OBG矛盾．‎ ‎∴OB≠BD．（6分）‎ ‎（4）如果△BDE为直角三角形，因为∠BED=45°，‎ ‎①当∠EBD=90°时，此时F，E，M三点重合，如图2‎ ‎∵BF⊥x轴，DC⊥x轴，∴BF∥DC．‎ ‎∴此时四边形BDCF为直角梯形．（7分）‎ ‎②当∠EBD=90°时，如图3‎ ‎∵CF⊥OD，∴BD∥CF．‎ 又AB⊥x轴，DC⊥x轴，∴BF∥DC．‎ ‎∴此时四边形BDCF为平行四边形．（8分）‎ 下证平行四边形BDCF为菱形：‎ 解法一：在△BDO中，OB2=OD2+BD2，‎ ‎∴t‎2‎‎+‎1‎t‎2‎=4+t‎2‎+‎1‎t‎2‎﹣2‎2‎（t+‎1‎t）+4，∴t+‎1‎t2‎‎2‎，‎ ‎[方法①]t‎2‎‎﹣2‎2‎t+1=0，∵BD在OD上方 解得t=‎2‎﹣1，‎1‎t=‎2‎+；或t=‎2‎+1，‎1‎t=‎2‎﹣1‎‎（舍去）．‎ 得B（‎2‎﹣1，‎2‎+1）‎，‎ ‎[方法②]由②得：BD=t+‎1‎t﹣‎2‎=2‎2‎﹣‎2‎=‎‎2‎，‎ 此时BD=CD=‎‎2‎，‎ ‎∴此时四边形BDCF为菱形（9分）‎ 解法二：在等腰Rt△OAE与等腰Rt△EDB中 ‎∵OA=AE=t，OE=‎2t，则ED=BD=2﹣‎‎2T，‎ ‎∴AB=AE+BE=t+‎2‎（2﹣‎2t）=2‎2‎﹣t，‎ ‎∴‎2‎2‎﹣t=‎1‎t，即t+‎1‎t=2‎2‎以下同解法一，‎ 此时BD=CD=‎‎2‎‎，‎ ‎∴此时四边形BDCF为菱形．（9分）‎ 点评：此题考查了一次函数解析式的确定、根的判别式、三角形面积的求法、菱形的判定以及勾股定理的应用等知识，综合性强，难度较大．‎ ‎28、（2010•镇江）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，‎ 即：当n为非负整数时，如果n﹣‎1‎‎2‎≤x＜n+‎‎1‎‎2‎则＜x＞=n．‎ 如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…‎ 试解决下列问题：‎ ‎（1）填空：①＜π＞= （π为圆周率）；‎ ‎②如果＜2x﹣1＞=3，则实数x的取值范围为 ；‎ ‎（2）①当x≥0，m为非负整数时，求证：＜x+m＞=m+＜x＞；‎ ‎②举例说明＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；‎ ‎（3）求满足＜x＞=‎4‎‎3‎x的所有非负实数x的值；‎ ‎（4）设n为常数，且为正整数，函数y=x‎2‎﹣x+‎‎1‎‎4‎的自变量x在n≤x＜n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a，满足＜k＞=n的所有整数k的个数记为b．‎ 求证：a=b=2n 考点：二次函数的性质；一元一次不等式的应用；一次函数的性质。‎ 专题：证明题；压轴题。‎ 分析：（1）π的十分位为1，应该舍去，所以精确到个位是3；如果精确数是3，那么这个数应在2.5和4.5之间，包括2.5，不包括4.5，让2.5≤2x﹣1＜4.5，解不等式即可；‎ ‎（2）①分别表示出＜x+m＞和＜x＞，即可得到所求不等式；②举出反例说明即可，譬如稍微超过0.5的两个数相加；‎ ‎（3）‎4‎‎3‎x为整数，设这个整数为k，易得这个整数应在应在k﹣‎1‎‎2‎和k+‎1‎‎2‎之间，包括kx﹣‎1‎‎2‎，不包括k+‎1‎‎2‎，求得整数k的值即可求得x的非负实数的值；‎ ‎（4）易得二次函数的对称轴，那么可求得二次函数的函数值在相应的自变量的范围内取值，进而求得相应的a的个数；利用所给关系式易得k的整数个数为2n，由此得证．‎ 解答：解：（1）①3；‎ ‎②由题意得：2.5≤2x﹣1＜4.5，解得：‎7‎‎4‎‎≤x＜‎‎9‎‎4‎；‎ ‎（2）①证明：设＜x＞=n，则n﹣‎1‎‎2‎≤x＜n+‎1‎‎2‎，n为非负整数；‎ 又‎（n+m）﹣‎1‎‎2‎≤x+m＜（n+m）+‎‎1‎‎2‎，且n+m为非负整数，‎ ‎∴＜x+m＞=n+m=m+＜x＞．‎ ‎②举反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，‎ ‎∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，‎ ‎∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；‎ ‎（3）∵x≥0，‎4‎‎3‎x为整数，设‎4‎‎3‎x=k，k为整数，‎ 则x=‎3‎‎4‎k ‎∴‎‎＜‎3‎‎4‎k＞=k ‎∴k﹣‎1‎‎2‎≤‎3‎‎4‎k＜k+‎1‎‎2‎，k≥0‎，‎ ‎∵O≤k≤2，∴k=0，1，2，∴x=0，‎3‎‎4‎，‎3‎‎2‎．‎ ‎（4）∵函数y=x‎2‎﹣x+‎1‎‎4‎=‎‎（x﹣‎1‎‎2‎）‎‎2‎，n为整数，‎ 当n≤x＜n+1时，y随x的增大而增大，‎ ‎∴‎（n﹣‎1‎‎2‎）‎‎2‎‎≤y＜‎‎（n+1﹣‎1‎‎2‎）‎‎2‎，即‎（n﹣‎1‎‎2‎）‎‎2‎‎≤y＜（n+‎‎1‎‎2‎‎）‎‎2‎，①‎ ‎∴n‎2‎‎﹣n+‎1‎‎4‎≤y＜n‎2‎+n+‎‎1‎‎4‎，∵y为整数，‎ ‎∴y=n2﹣n+1，n2﹣n+2，n2﹣n+3，…，n2﹣n+2n，共2n个y，‎ ‎∴a=2n②‎ ‎∵k＞0，＜k；‎＞=n，‎ 则n﹣‎1‎‎2‎≤k＜n+‎‎1‎‎2‎，∴‎（n﹣‎1‎‎2‎‎）‎‎2‎≤k＜（n+‎‎1‎‎2‎‎）‎‎2‎，③‎ 比较①，②，③得：a=b=2n．‎ 点评：解决本题的关键是理解：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣‎1‎‎2‎≤x＜n+‎‎1‎‎2‎则＜x＞=n．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ lanyuemeng；zhangCF；lanchong；张伟东；算术；zhqd；CJX；shenzigang；yangjigang；nyx；Linaliu；MMCH；huangling；py168；HJJ；zhangchao；ln_86；nhx600；hbxglhl；mama258；bjy。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日