2013年山东省莱芜市中考数学试卷及答案(解析版)

2013年山东省莱芜市中考数学试卷及答案(解析版)

山东省莱芜市2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36分）.‎ ‎1．（3分）（2013•莱芜）在，，﹣2，﹣1这四个数中，最大的数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎﹣2‎ D．‎ ‎﹣1‎ 考点：‎ 有理数大小比较．3718684‎ 分析：‎ 求出每个数的绝对值，根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．‎ 解答：‎ 解：∵|﹣|=，|﹣|=，|﹣2|=2，|﹣1|=1，‎ ‎∴＜＜1＜2，‎ ‎∴﹣＞﹣＞﹣1＞﹣2，‎ 即最大的数是﹣，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了绝对值和有理数的大小比较的应用，注意：两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•莱芜）在网络上用“Google”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之相关的结果个数约为45100000，这个数用科学记数法表示为 ‎（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎451×105‎ B．‎ ‎45.1×106‎ C．‎ ‎4.51×107‎ D．‎ ‎0.451×10‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．3718684‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：45 100 000=4.51×107，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•莱芜）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1个 B．‎ ‎2个 C．‎ ‎3个 D．‎ ‎4个 考点：‎ 简单几何体的三视图．3718684‎ 分析：‎ 四个几何体的左视图：球是圆，圆锥是等腰三角形，正方体是正方形，圆柱是矩形，由此可确定答案．‎ 解答：‎ 解：由图示可得：球的左视图是圆，圆锥的左视图是等腰三角形，正方体的左视图是正方形，圆柱的左视图是矩形，‎ 所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查三视图的左视图的知识；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•莱芜）方程=0的解为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣2‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎±2‎ D．‎ 考点：‎ 解分式方程．3718684‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ 解答：‎ 解：去分母得：x2﹣4=0，‎ 解得：x=2或x=﹣2，‎ 经检验x=2是增根，分式方程的解为x=﹣2．‎ 故选A 点评：‎ 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•莱芜）一组数据：10、5、15、5、20，则这组数据的平均数和中位数分别是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎10，10‎ B．‎ ‎10，12.5‎ C．‎ ‎11，12.5‎ D．‎ ‎11，10‎ 考点：‎ 中位数；加权平均数．3718684‎ 分析：‎ 根据中位数和平均数的定义结合选项选出正确答案即可．‎ 解答：‎ 解：这组数据按从小到大的顺序排列为：5，5，10，15，20，‎ 故平均数为：=11，‎ 中位数为：10．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了中位数和平均数的知识，属于基础题，解题的关键是熟练掌握其概念．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•莱芜）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎10°‎ B．‎ ‎20°‎ C．‎ ‎25°‎ D．‎ ‎30°‎ 考点：‎ 平行线的性质．3718684‎ 分析：‎ 延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2=∠AEC，代入求出即可．‎ 解答：‎ 解：如图，延长AB交CF于E，‎ ‎∵∠ACB=90°，∠A=30°，‎ ‎∴∠ABC=60°，‎ ‎∵∠1=35°，‎ ‎∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°，‎ ‎∵GH∥EF，‎ ‎∴∠2=∠AEC=25°，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 圆锥的计算．3718684‎ 分析：‎ 过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理求∠AOB，然后求得弧AB的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可．‎ 解答：‎ 解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，‎ 由折叠的性质可知，OD=OC=OA，‎ 由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，‎ 同理可得∠B=30°，‎ 在△AOB中，由内角和定理，‎ 得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°‎ ‎∴弧AB的长为=2π 设围成的圆锥的底面半径为r，‎ 则2πr=2π ‎∴r=1cm ‎∴圆锥的高为=2‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•莱芜）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（　　）‎ ‎①等边三角形；②矩形；③等腰梯形；④菱形；⑤正八边形；⑥圆．‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎5‎ 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形．3718684‎ 分析：‎ 根据轴对称及中心对称的定义，结合各项进行判断即可．‎ 解答：‎ 解：①是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；‎ ‎②是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；‎ ‎③是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；‎ ‎④是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．‎ ‎⑤是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．‎ ‎⑥是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．‎ 综上可得符合题意的有4个．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•莱芜）如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎135°‎ B．‎ ‎122.5°‎ C．‎ ‎115.5°‎ D．‎ ‎112.5°‎ 考点：‎ 圆周角定理．3718684‎ 分析：‎ 首先利用等腰三角形的性质求得∠AOB的度数，然后利用圆周角定理即可求解．‎ 解答：‎ 解：∵OA=OB，‎ ‎∴∠OAB=∠OBC=22.5°，‎ ‎∴∠AOB=180°﹣22.5°﹣22.5°=135°．‎ ‎∴∠C=（360°﹣135°）=112.5°．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，正确理解定理是关键．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•莱芜）下列说法错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心 ‎　‎ B．‎ ‎2+与2﹣互为倒数 ‎　‎ C．‎ 若a＞|b|，则a＞b ‎　‎ D．‎ 梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半 考点：‎ 相交两圆的性质；绝对值；分母有理化；梯形中位线定理．3718684‎ 分析：‎ 根据相交两圆的性质以及互为倒数和有理化因式以及梯形的面积求法分别分析得出即可．‎ 解答：‎ 解：A、根据相交两圆的性质得出，若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心，故此选项正确，不符合题意；‎ B、∵2+与2﹣=互为倒数，∴2+与2﹣互为倒数，故此选项正确，不符合题意；‎ C、若a＞|b|，则a＞b，此选项正确，不符合题意；‎ D、梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积，故此选项错误，符合题意；‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了相交两圆的性质以及分母有理化和梯形面积求法等知识，正确把握相关定理是解题关键．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•莱芜）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎5‎ C．‎ ‎6‎ D．‎ ‎8‎ 考点：‎ 等腰三角形的判定；坐标与图形性质．3718684‎ 专题：‎ 数形结合．‎ 分析：‎ 作出图形，利用数形结合求解即可．‎ 解答：‎ 解：如图，满足条件的点M的个数为6．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了等腰三角形的判定，利用数形结合求解更形象直观．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•莱芜）如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 动点问题的函数图象．3718684‎ 分析：‎ 注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．‎ 解答：‎ 解：∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，‎ ‎∴AN=1．‎ ‎∴当点M位于点A处时，x=0，y=1．‎ ‎①当动点M从A点出发到AM=1的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；‎ ‎②当动点M到达C点时，x=6，y=3﹣1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y的变化情况．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分）.‎ ‎13．（3分）（2013•莱芜）分解因式：2m3﹣8m=　2m（m+2）（m﹣2）　．‎ 考点：‎ 提公因式法与公式法的综合运用．3718684‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 提公因式2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解．‎ 解答：‎ 解：2m3﹣8m=2m（m2﹣4）‎ ‎=2m（m+2）（m﹣2）．‎ 故答案为：2m（m+2）（m﹣2）．‎ 点评：‎ 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•莱芜）正十二边形每个内角的度数为　150°　．‎ 考点：‎ 多边形内角与外角．3718684‎ 分析：‎ 首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．‎ 解答：‎ 解：正十二边形的每个外角的度数是：=30°，‎ 则每一个内角的度数是：180°﹣30°=150°．‎ 故答案为：150°．‎ 点评：‎ 本题考查了多边形的计算，掌握多边形的外角和等于360度，正确理解内角与外角的关系是关键．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2013•莱芜）M（1，a）是一次函数y=3x+2与反比例函数图象的公共点，若将一次函数y=3x+2的图象向下平移4个单位，则它与反比例函数图象的交点坐标为　（﹣1，﹣5），（）　．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换．3718684‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 将M坐标代入一次函数解析式中求出a的值，确定出M坐标，将M坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，根据平移规律求出平移后的一次函数解析式，与反比例函数联立即可求出交点坐标．‎ 解答：‎ 解：将M（1，a）代入一次函数解析式得：a=3+2=5，即M（1，5），‎ 将M（1，5）代入反比例解析式得：k=5，即y=，‎ ‎∵一次函数解析式为y=3x+2﹣4=3x﹣2，‎ ‎∴联立得：，‎ 解得：或，‎ 则它与反比例函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣5）或（，3）．‎ 故答案为：（﹣1，﹣5）或（，3）‎ 点评：‎ 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2013•莱芜）如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD=　　．‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）．3718684‎ 分析：‎ 连接EF，则可证明△EA'F≌△EDF，从而根据BF=BA'+A'F，得出BF的长，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的长度．‎ 解答：‎ 解：连接EF，‎ ‎∵点E、点F是AD、DC的中点，‎ ‎∴AE=ED，CD=DF=CD=AB=，‎ 由折叠的性质可得AE=A'E，‎ ‎∴A'E=DE，‎ 在Rt△EA'F和Rt△EDF中，‎ ‎∵，‎ ‎∴Rt△EA'F≌Rt△EDF（HL），‎ ‎∴A'F=DF=，‎ BF=BA'+A'F=AB+DF=1+=，‎ 在Rt△BCF中，BC==．‎ ‎∴AD=BC=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接EF，证明Rt△EA'F≌Rt△EDF，得出BF的长，注意掌握勾股定理的表达式．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2013•莱芜）已知123456789101112…997998999是由连续整数1至999排列组成的一个数，在该数中从左往右数第2013位上的数字为　7　．‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类．3718684‎ 分析：‎ 根据已知得出第2013个数字是第638个3位数的第3位，进而得出即可．‎ 解答：‎ 解：∵共有9个1位数，90个2位数，900个3位数 ‎∴2013﹣9﹣90=1914，‎ ‎∴=638，‎ 因此第2013个数字是第638个3位数的第3位，‎ 第638个数为637，故第638个3位数的第3位是：7．‎ 故答案为：7．‎ 点评：‎ 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出变化规律是解题关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共64分，解得要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）‎ ‎18．（9分）（2013•莱芜）先化简，再求值：，其中a=+2．‎ 考点：‎ 分式的化简求值．3718684‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先计算括号里面的，再将除法转化为乘法，然后代入求值．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 当a=时，原式=．‎ 点评：‎ 本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解及分式的除法是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2013•莱芜）在学校开展的“学习交通安全知识，争做文明中学生”主题活动月中，学校德工处随机选取了该校部分学生，对闯红灯情况进行了一次调查，调查结果有三种情况：A．从不闯红灯；B．偶尔闯红灯；C经常闯红灯．德工处将调查的数据进行了整理，并绘制了尚不完整的统计图如下，请根据相关信息，解答下列问题．‎ ‎（1）求本次活动共调查了多少名学生；‎ ‎（2）请补全（图二），并求（图一）中B区域的圆心角的度数；‎ ‎（3）若该校有240名学生，请估算该校不严格遵守信号灯指示的人数．‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）根据总数=频数÷百分比，可得共调查的学生数；‎ ‎（2）B区域的学生数=总数减去A、C区域的人数即可；再根据百分比=频数÷总数计算可得最喜爱甲类图书的人数所占百分比，从而求出B区域的圆心角的度数；‎ ‎（3）用总人数乘以样本的概率即可解答．‎ 解答：‎ 解：（1）（名）．‎ 故本次活动共调查了200名学生．‎ ‎（2）补全图二，‎ ‎200﹣120﹣20=60（名）．‎ ‎．‎ 故B区域的圆心角的度数是108°．‎ ‎（3）（人）．‎ 故估计该校不严格遵守信号等指示的人数为960人．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎20．（9分）（2013•莱芜）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37°方向C处，B岛在南偏东66°方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里，A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？‎ ‎（参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-方向角问题．3718684‎ 分析：‎ 作AD⊥BC的延长线于点D，先解Rt△ADB，求出AD，BD，再解Rt△ADC，求出AC，CD，则BC=BD﹣CD．然后分别求出A岛、B岛上维修船需要的时间，则派遣用时较少的岛上的维修船．‎ 解答：‎ 解：作AD⊥BC的延长线于点D．‎ 在Rt△ADB中，AD=AB•cos∠BAD=72×cos66°=72×0.4=28.8（海里），‎ BD=AB•sin∠BAD=72×sin66°=72×0.9=64.8（海里）．‎ 在Rt△ADC中，（海里），‎ CD=AC•sin∠CAD=36×sin37°=36×0.6=21.6（海里）．‎ BC=BD﹣CD=64.8﹣21.6=43.2（海里）．‎ A岛上维修船需要时间（小时）．‎ B岛上维修船需要时间（小时）．‎ ‎∵tA＜tB，‎ ‎∴调度中心应该派遣B岛上的维修船．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，进而解直角三角形求出BD与CD的值是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（9分）（2013•莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．‎ ‎（1）证明DE∥CB；‎ ‎（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．‎ 考点：‎ 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE=AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB；‎ ‎（2）当AC=或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°进而得到∠B=30°，再根据三角函数可推出AC=或AB=2AC．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连结CE．‎ ‎∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，‎ ‎∴CE=AB=AE．‎ ‎∵△ACD是等边三角形，‎ ‎∴AD=CD．‎ 在△ADE与△CDE中，，‎ ‎∴△ADE≌△CDE（SSS），‎ ‎∴∠ADE=∠CDE=30°．‎ ‎∵∠DCB=150°，‎ ‎∴∠EDC+∠DCB=180°．‎ ‎∴DE∥CB．‎ ‎（2）解：∵∠DCB=150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．‎ ‎∴∠B=30°．‎ 在Rt△ACB中，sinB=，sin30°=，AC=或AB=2AC．‎ ‎∴当AC=或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2013•莱芜）某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干．已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元，且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同．‎ ‎（1）两种跳绳的单价各是多少元？‎ ‎（2）若学校准备用不超过2000元的现金购买200条长、短跳绳，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍，问学校有几种购买方案可供选择？‎ 考点：‎ 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．3718684‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）设长跳绳的单价是x元，短跳绳的单价为y元，根据长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元；购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同，可得出方程组，解出即可；‎ ‎（2）设学校购买a条长跳绳，购买资金不超过2000元，短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍，可得出不等式组，解出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设长跳绳的单价是x元，短跳绳的单价为y元．‎ 由题意得：．‎ 解得：．所以长跳绳单价是20元，短跳绳的单价是8元．‎ ‎（2）设学校购买a条长跳绳，‎ 由题意得：．‎ 解得：．‎ ‎∵a为正整数，‎ ‎∴a的整数值为29，3，31，32，33．‎ 所以学校共有5种购买方案可供选择．‎ 点评：‎ 本题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解答本题的关键仔细审题，设出未知数，找到其中的等量关系和不等关系．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2013•莱芜）如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．‎ ‎（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；‎ ‎（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；‎ ‎（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．‎ 考点：‎ 圆的综合题．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）根据切线的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA进而求出即可；‎ ‎（2）根据已知得出∠PNM+∠ONA=90°，进而得出∠PNO=180°﹣90°=90°即可得出答案；‎ ‎（3）首先根据外角的性质得出∠AON=30°进而利用扇形面积公式得出即可．‎ 解答：‎ ‎（1）PN与⊙O相切．‎ 证明：连接ON，‎ 则∠ONA=∠OAN，‎ ‎∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．‎ ‎∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．‎ ‎∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°．‎ 即PN与⊙O相切．‎ ‎（2）成立．‎ 证明：连接ON，‎ 则∠ONA=∠OAN，‎ ‎∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．‎ 在Rt△AOM中，‎ ‎∴∠OMA+∠OAM=90°，‎ ‎∴∠PNM+∠ONA=90°．‎ ‎∴∠PNO=180°﹣90°=90°．‎ 即PN与⊙O相切．‎ ‎（3）解：连接ON，由（2）可知∠ONP=90°．‎ ‎∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，‎ ‎∵∠PON=60°，∠AON=30°．‎ 作NE⊥OD，垂足为点E，‎ 则NE=ON•sin60°=1×=．‎ S阴影=S△AOC+S扇形AON﹣S△CON=OC•OA+CO•NE ‎=×1×1+π﹣×1×‎ ‎=+π﹣．‎ 点评：‎ 此题主要考查了扇形面积公式以及切线的判定等知识，熟练根据切线的判定得出对应角的度数是解题关键．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2013•莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；‎ ‎（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）把点A、B、C的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方程组，通过解该方程组即可求得系数的值；‎ ‎（2）由（1）中的抛物线解析式易求点M的坐标为（0，1）．所以利用待定系数法即可求得直线AM的关系式为y=x+1．由题意设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）．易求DF==．根据二次函数最值的求法来求线段DF的最大值；‎ ‎（3）需要对点P的位置进行分类讨论：点P分别位于第一、二、三、四象限四种情况．此题主要利用相似三角形的对应边成比例进行解答．‎ 解答：‎ 解：由题意可知．解得．‎ ‎∴抛物线的表达式为y=．‎ ‎（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．‎ 设直线MA的表达式为y=kx+b，则．‎ 解得．‎ ‎∴直线MA的表达式为y=x+1．‎ 设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）．‎ DF=‎ ‎=．‎ 当时，DF的最大值为．‎ 此时，即点D的坐标为（）．‎ ‎（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）．‎ 在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．‎ ‎①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，‎ ‎∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．‎ ‎②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，‎ ‎∴，即m2+11m+24=0．‎ 解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）．‎ ‎③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3，即m2+m﹣6=0．‎ 解得m=﹣3（舍去）或m=2．‎ 当m=2时，．此时点P的坐标为（2，﹣）．‎ 若PN=3NA，则﹣，即m2﹣7m﹣30=0．‎ 解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）．‎ 综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质以及二次函数最值的求法．需注意分类讨论，全面考虑点P所在位置的各种情况．‎