中考数学三轮真题集训冲刺知识点27全等三角形pdf含解析

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1 / 14 一、选择题 1.（2019·滨州）如图，在△OAB 和△OCD 中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°， 连接 AC，BD 交于点 M，连接 OM．下列结论： ① AC＝BD； ② ∠AMB＝40°； ③ OM 平分∠BOC； ④ MO 平分∠BMC．其中正确的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】∵∠AOB=∠COD，∴ ∠AOC=∠BOD，又 ∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD， 故①正确；∵△AOC≌△BOD，∴∠MAO=∠MBO，如图，设 OA 与 BD 相交于 N，又∵∠ANM=∠BNO， ∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；如图，过点 O 分别作 AC 和 BD 的垂线，垂足分别是 E，F，∵△ AOC≌△BOD，AC=BD，∴OE=OF，∴MO 平分∠BMC，故④正确；在△AOC 中，∵OA＞OC，∴∠ ACO＞∠OAC，∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴∠ACO＞∠OBM，在 △OCM 和△OBM 中， ∠ACO＞∠OBM，∠OMC=∠OMB，∴∠COM＜∠BOM，故③错误，所以①②④正确．故选 B． 二、填空题 1．（2019·嘉兴）如图，一副含 30°和 45°角的三角板 ABC 和 EDF 拼合在个平面上，边 AC 与 EF 重合， AC＝12cm．当点 E 从点 A 出发沿 AC 方向滑动时，点 F 同时从点 C 出发沿射线 BC 方向滑动．当点 E 从点 A 滑动到点 C 时，点 D 运动的路径长为 cm；连接 BD，则△ABD 的面积最大值为 cm2． 知识点 27——全等三角形 2 / 14 【答案】 24 12 2− ，36 2 24 3 12 6+− 【解析】∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°, ∴BC＝4 cm，AB＝8 cm，ED＝DF＝6 cm, 如图，当点 E 沿 AC 方向下滑时，得△E'D'F'，过点 D'作 D'N⊥AC 于点 N，作 D'M⊥BC 于点 M, ∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°, ∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F', ∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）, ∴D'N＝D'M，且 D'N⊥AC，D'M⊥CM, ∴CD'平分∠ACM, 即点 E 沿 AC 方向下滑时，点 D'在射线 CD 上移动， ∴当 E'D'⊥AC 时，DD'值最大，最大值＝ ED﹣CD＝（12﹣6 ）cm, ∴当点 E 从点 A 滑动到点 C 时，点 D 运动的路径长＝2×（12﹣6 ）＝（24﹣12 ）cm. 如图，连接 BD'，AD'， ∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C, ∴S△AD'B＝ BC×AC+ ×AC×D'N﹣ ×BC×D'M＝24 + （12﹣4 ）×D'N, 当 E'D'⊥AC 时，S△AD'B 有最大值， ∴S△AD'B 最大值＝24 + （12﹣4 ）×6 ＝（24 +36 ﹣12 ）cm2． 3 / 14 故答案为：（24﹣12 ），（ 24 +36 ﹣12 ）. 2．（2019·株洲）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，在直线 x＝1 处放置反光镜 I，在 y 轴处放置 一个有缺口的挡板 II，缺口为线段 AB，其中点 A(0，1)，点 B 在点 A 上方，且 AB＝1，在直线 x ＝﹣1 处放置一个挡板 III，从点 O 发出的光线经反光镜 I 反射后，通过缺口 AB 照射在挡板 III 上， 则落在挡板 III 上的光线的长度为． 【答案】 3 2 【解析】如图，落在挡板 III 上的光线的长度为 MN 的长度,对应的反光镜 I 的边界点分别为点 P 和点 Q， 根据光线的折射，入射角等于反射角可得∠OPF=∠APF,从而证明△APF≌△OPF，所 以 AO=2AF=2OF，∴ AF= 1 2 ,同理△AQB≌△AQO,AB=AO=1，所以 NE=2，∵AQ⊥y 轴，∴PQ=AF= 1 2 , 由题意知，△AEM≌△AQP，所以 ME=PQ= 1 2 , 所以 MN=NE-ME=2- 1 2 = 3 2 . 三、解答题 1．（2019·武汉，23，20 分）在△ABC 中，∠ABC＝90°， AB nBC = ，M 是 BC 上一点，连接 AM 4 / 14 （1） 如图 1，若 n＝1，N 是 AB 延长线上一点，CN 与 AM 垂直，求证：BM＝BN （2） 过点 B 作 BP⊥AM，P 为垂足，连接 CP 并延长交 AB 于点 Q ① 如图 2，若 n＝1，求证： CP BM PQ BQ = ② 如图 3，若 M 是 BC 的中点，直接写出 tan∠BPQ 的值（用含 n 的式子表示） 【解题过程】 （1）证明：延长 AM 交 CN 于点 H， ∵AM 与 CN 垂直，∠ABC＝90°， ∴∠BAM＋∠N＝90°，∠BCN＋∠N＝90°， ∴∠BAM＝∠BCN． ∵n＝1，∠ABC＝90°， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠CBN． ∴△ABM≌△CBN， ∴BM＝BN． （2）①证明：过点 C 作 CD//BP 交 AB 的延长线于点 D，则 AM 与 CD 垂直． 由（1）， 得 BM＝BD． ∵CD//BP，∴ CP DB PQ BQ = ，即 CP BM PQ BQ = ② 1 n 提示：延长 PM 到 N，使得 MN＝PM，易知△PBM≌△NCM，则∠CNM＝∠BPM＝90°，∵ AB nBC = ，BC＝ 2BM，∴ 2AB nBM = ，设 PM＝MN＝1，则 PB＝CN＝2n，tan∠BPQ＝tan∠NCP＝ PN CN ＝ 2PM CN ＝ 2 2n ＝ 1 n 图3图2图1 A Q B M P C P Q B M A C M NBA C 5 / 14 2．（2019·益阳）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证:△ABC≌△EAD. 【解题过程】证明：由∠ECB=70°得∠ACB=110°. ∵∠D=110°， ∴∠ACB=∠D. ∵AB∥DE， ∴∠CAB=∠E. 又∵AB=AE， ∴△ABC≌△EAD. 3．（2019·黄冈）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂 足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG. 【解题过程】 H 图1 M NBA C D 图2 P Q B M A C N 图3 A Q B M P C 6 / 14 4.（2019·乐山）如图，线段 AC 、 BD 相交于点 E , AE = DE , BE = CE .求证：∠B = ∠C . 证明：在 AEB∆ 和 DEC∆ 中， DEAE = ， CEBE = , DECAEB ∠=∠ AEB∆∴ ≌ DEC∆ ，故 CB ∠=∠ . 5.（2019·淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC． 求证：∠E＝∠C． 证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE＋∠EAC＝∠DAC＋∠EAC,即∠BAC＝∠DAE.在 △ ABC 和 △ ADE 中， AB AD BAC DAE AC AE  ∠=∠  ＝ ＝ ，∴ △ ABC≌△ADE(SAS)，∴∠E＝∠C． 6．（2019 浙江省温州市，18，8 分）（本题满分 8 分） 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AB 边上一点，过点 C 作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F． （1）求证：△BDE≌△CDF； （2）当 AD⊥BC，AE=1，CF=2 时，求 AC 的长． B DA C E A B C D E 7 / 14 【解题过程】（1） ∵ CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F. ∵ AD 是 BC 边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF； （2）∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3. ∵ AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3. 7．(2019·泰州,25 题,12 分) 如图,线段 AB＝8,射线 BG⊥AB,P 为射线 BG 上一点,以 AP 为边作正方形 APCD,且 C、D 与点 B 在 AP 两侧,在线段 DP 取一点 E,使∠EAP＝∠BAP,直线 CE 与线段 AB 相交于点 F(点 F 与点 A、B 不重合). (1)求证:△AEP≌△CEP; (2)判断 CF 与 AB 的位置关系,并说明理由; (3)求△AEF 的周长. 【解题过程】(1)∵四边形 APCD 正方形,∴DP 平分∠APC, PC＝PA,∴∠APD＝∠CPD＝45°,又因为 PE ＝PE,∴△AEP≌△CEP(SAS); (2)CF⊥AB．理由如下:∵△AEP≌△CEP,∴∠EAP＝∠ECP,∵∠EAP＝∠BAP．∴∠BAP＝∠FCP,∵∠ FCP+∠CMP＝90°,∠AMF＝∠CMP,∴∠AMF+∠PAB＝90°,∴∠AFM＝90°,∴CF⊥AB; 8 / 14 第 7 题答图(1) (3)过点 C 作 CN⊥PB．可证得△PCN≌△APB,∴CN＝PB＝BF,PN＝AB,∵△AEP≌△CEP,∴AE＝CE, ∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF＝BN+AF＝PN+PB+AF＝AB+CN+AF＝AB+BF+AF＝2 AB＝16. 第 7 题答图(2) 8．（2019·绍兴）如图 1 是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架 ABC 是底边为 BC 的等腰 直 角三角形，摆动臂长 AD 可绕点 A 旋转，摆动臂 DM 可绕点 D 旋转，AD=30，DM=10. （1）在旋转过程中： ①当 A,D,M 三点在同一直线上时，求 AM 的长； ②当 A,D,M 三点在同一直角三角形的顶点时，求 AM 的长. （2）若摆动臂 AD 顺时针旋转 90°，点 D 的位置由△ABC 外的点 D1 转到其内的点 D2 处，连结 D1D2， 如图 2，此时∠AD2C=135°，CD2=60，求 BD2 的长. 9 / 14 【解题过程】 9．（2019·苏州，24，8）如图，△ABC 中，点 E 在 BC 边上．AE=AB，将线段 AC 绕点 A 旋转到 AF 的位置．使得∠CAF=∠BAE.连接 EF，EF 与 AC 交于点 G. (1)求证：EF =BC；(2)若∠ABC=65°．∠ACB=28°，求∠FGC 的度数 【解题过程】 10 / 14 （1）证明：∵线段 AC 绕点 A 旋转到 AF 的位置， ∴AC=AF， ∴∠CAF=∠BAE. ∴∠CAF+∠CAE=∠BA E+∠CAE. 即∠EAF=∠BAC． 在△ABC 和△AEF 中， ∠BAC= ∠EAF，∠BAC=∠EAF， AC=AF， ∴△ABC≌△AEF (SAS)， ∴EF=BC (2)解：∵ AE=AB，∴∠AEB=∠ABC= 65°， ∵ △ABC≌△AEF，∴∠AEF=∠ABC= 65°， ∠FEC=1 80° -∠AEB-∠AEF=1 80°- 65°-65°= 50°， ∵∠FGC 是△EGC 的外角，∠ACB=28°， ∴ ∠FGC=∠FEC+∠ACB =50°+ 28°=78°. 10．（2019·嘉兴）如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 在对角线 BD．请添加一个条件，使得结论“AE＝CF” 成立，并加以证明． 【答案】见解题过程 【解题过程】添加条件：BE=DF 或 DE=BF 或 AE//CF 或∠AEB=∠DFC 或∠DAE=∠BCF 或∠AED= ∠CFB 或∠BAE=∠DCF 或∠DCF+∠DAE=90°等. 证明：在矩形 ABCD 中，AB//CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF.∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE=CF. 11．（2019 山东烟台，24，11 分） 【问题探究】 (1)如图 1，△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形，∠ACB = ∠DCE = 90° ，点 B，D 在同一直线 上，连接 AD，BD． ①请探究 AD 与 BD 之间的位置关系： ； ②若 AC = BC = 10 ， DC = CE = 2 ，则线段 AD 的长为 ． 【拓展延伸】 (2)如图 2，△ABC 和△DEC 均为直角三角形，∠ACB = ∠DCE = 90° ，AC = 21 ，BC = 7 ， CD = 3 ，CE =1，将△DEC绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD 为α (0° ≤ α ≤ 360°)， 作直线 BD，连接 AD，当点 B，D，E 在同一直线上时，画出图形，并求线段 AD 的长． 11 / 14 【解题过程】 （1）本题的答案是 ① AD BD⊥ ②4 探究过程如下： ①因为△ABC 和△DEC 均为等腰直角三角形， 90ACB DCE∠=∠=° 所以CA CB= ，CD CE= ， ACB BCD DCE BCD∠ +∠ =∠ +∠ 所以 ACD BCE∠=∠， 在△ACD 与△BCE 中， 因为CA CB= ， ACD BCE∠=∠，CD CE= ， 所以△ACD≌△BCE， 所以 CAD CBE∠=∠, 因为 90ACB∠=° 所以 90CAD DAB ABC∠ +∠ +∠ = °， 所以 90CBE DAB ABC∠ +∠ +∠ = ° 即 90DAB DBA∠ +∠ = ° 所以 90ADB∠=°， 所以 AD BD⊥ ． ②由①可得△ACD≌△BCE， 所以 AD BE= , 在 Rt△DCE 中，由勾股定理得， 22 2 2( 2) ( 2) 2DE CE CD= += + =， 在 Rt△ACD 中，由勾股定理得， 22 2 2( 10) ( 10) 2 5AB AC BC= += + =， 设 AD x= ，则 BE x= ， 所以 2BD BC DE x=−=−， 在 Rt△ABD 中，由勾股定理得， 2 22AB AD BD= + ， 12 / 14 即 22 2(2 5) ( 2)xx=+− 解得 4x = 或 2x = − （舍去）， 所以 4AD = , 即线段 AD 的长为 4． （2）解：情况 1：当0 180α°≤ ≤ °时，点 B，D，E 在同一直线上时的图形如图（1）所示， 因为 90ACB DCE∠=∠=° 所以 ACB BCD DCE BCD∠ +∠ =∠ +∠ 所以 ACD BCE∠=∠， 因为 21 3 7 AC BC = = ， 3 31 DC CE = = ， 所以 AC DC BC CE = 在△ACD 与△BCE 中， 因为 AC DC BC CE = ， ACD BCE∠=∠， 所以△ACD∽△BCE， 所以 CAD CBE∠=∠, 3AD AC BE BC = = ， 所以 3AD BE= 因为 90ACB∠=° 所以 90CAD DAB ABC∠ +∠ +∠ = °， 所以 90CBE DAB ABC∠ +∠ +∠ = ° 即 90DAB DBA∠ +∠ = ° 所以 90ADB∠=°， 在 Rt△DCE 中，由勾股定理得， 2 22 21 ( 3) 2DE CE CD= +=+=， 在 Rt△ACD 中，由勾股定理得， 22 2 2( 21) ( 7) 2 7AB AC BC= += + =， A C B E D 第 11题答图（1） 13 / 14 设 BE x= ，则 33AD BE x= = ， 所以 2BD BC DE x=−=−， 在 Rt△ABD 中，由勾股定理得， 2 22AB AD BD= + ， 即 22 2(2 7) ( 3 ) ( 2)xx= +− 解得 3x = 或 2x = − （舍去）， 所以 3 33AD BE= = , 即当 0 180α°≤ ≤ °时，点 B，D，E 在同一直线上时，线段 AD 的长为 33． 情况 2：当180 360α°< ≤ °时，点 B，D，E 在同一直线上时的图形如图（2）所示， 因为 90ACB DCE∠=∠=° 所以 ACB ACE DCE ACE∠ −∠ =∠ −∠ 所以 ACD BCE∠=∠， 因为 21 3 7 AC BC = = ， 3 31 DC CE = = ， 所以 AC DC BC CE = 在△ACD 与△BCE 中， 因为 AC DC BC CE = ， ACD BCE∠=∠， 所以△ACD∽△BCE， 所以 CAD CBE∠=∠, 3AD AC BE BC = = ， 所以 3AD BE= 因为 90ACB∠=° 所以 90CAD DAB ABC∠ +∠ +∠ = °， 所以 90CBE DAB ABC∠ +∠ +∠ = ° 即 90DAB DBA∠ +∠ = ° A C B D E 第 11题答图（2） 14 / 14 所以 ∠ADB = 90° ， 在 Rt△DCE 中，由勾股定理得， DE = CE 2 + CD2 = 12 + ( 3)2 = 2， 在 Rt△ACD 中，由勾股定理得， AB = AC 2 + BC 2 = ( 21)2 + ( 7)2 = 2 7 ， 设 BE = x ，则 AD = 3BE = 3x ， 所以 BD = BC + DE = x + 2 ， 在 Rt△ABD 中，由勾股定理得， AB2 = AD2 + BD2 ， 即 (2 7)2 = ( 3x)2 + (x + 2)2 解得 x = 2 或 x = −3（舍去）， 所以 AD = 3BE = 2 3 , 即当180° < α ≤ 360° 时，点 B，D，E 在同一直线上时，线段 AD 的长为 2 3 ． 综上可知，线段 AD 的长为3 3 或 2 3 ． 12．（2019·山西）已知,如图,点 B,D 在线段 AE 上,AD＝BE,AC∥EF,∠C＝∠F,求证:BC＝DF. 【解题过程】∵AD＝BE,∴AD－BD＝BE－BD,∴AB＝DE,∵AC∥EF,∴∠A＝∠E,在△ABC 和△EDF 中,∠C＝∠F,∠A＝∠E,AB＝ED,∴△ABC≌△EDF,∴BC＝DF.