2020年新疆生产建设兵团中考数学试卷

2020年新疆生产建设兵团中考数学试卷

2020 年新疆生产建设兵团中考数学试卷 一、单项选择题（本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．请按答题卷中的要求作答） 1．（5 分）下列各数中，是负数的为 ( ) A． 1 B．0 C．0.2 D． 1 2 2．（5 分）如图所示，该几何体的俯视图是 ( ) A． B． C． D． 3．（5 分）下列运算正确的是 ( ) A． 2 3 6x x x B． 6 3 3x x x  C． 3 3 62x x x  D． 3 3( 2 ) 6x x   4．（5 分）实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是 ( ) A． a b B．| | | |a b C． a b  D． 0a b  5．（5 分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是 ( ) A． 2 1 04x x   B． 2 2 4 0x x   C． 2 2 0x x   D． 2 2 0x x  6．（5 分）不等式组 2( 2) 2 , 2 3 2 3 x x x x      „ 的解集是 ( ) A． 0 2x „ B． 0 6x „ C． 0x  D． 2x„ 7．（5 分）四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印 有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对 称图形的概率为 ( ) A． 1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 3 4 8．（5 分）二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示，则一次函数 y ax b  和反比例函数 cy x  在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( ) A． B． C． D． 9．（5 分）如图，在 ABC 中， 90A   ，D 是 AB 的中点，过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于 点 E ，作 BC 的垂线交 BC 于点 F ，若 AB CE ，且 DFE 的面积为 1，则 BC 的长为 ( ) A． 2 5 B．5 C． 4 5 D．10 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 10．（5 分）如图，若 / /AB CD ， 110A  ，则 1   ． 11．（5 分）分解因式： 2 2am an  ． 12．（5 分）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况： 移植的棵数 n 200 500 800 2000 12000 成活的棵数 m 187 446 730 1790 10836 成活的频率 m n 0.935 0.892 0.913 0.895 0.903 由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 ．（精确到 0.1) 13．（5 分）如图，在 x 轴， y 轴上分别截取 OA ，OB ，使 OA OB ，再分别以点 A ， B 为 圆心，以大于 1 2 AB 长为半径画弧，两弧交于点 P ．若点 P 的坐标为 ( ,2 3)a a  ，则 a 的值 为 ． 14．（5 分）如图， O 的半径是 2，扇形 BAC 的圆心角为 60．若将扇形 BAC 剪下围成一 个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为 ． 15．（5 分）如图，在 ABC 中， 90A   ， 60B  ， 2AB  ，若 D 是 BC 边上的动点， 则 2AD DC 的最小值为 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（6 分）计算： 2 0( 1) | 2 | ( 3) 4      ． 17．（7 分）先化简，再求值： 2( 2) 4 ( 1) (2 1)(2 1)x x x x x      ，其中 2x   ． 18．（8 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形， / /DE BF ，且分别交对角线 AC 于点 E ， F ，连接 BE ， DF ． （1）求证： AE CF ； （2）若 BE DE ，求证：四边形 EBFD 为菱形． 19．（10 分）为了解某校九年级学生的体质健康状况，随机抽取了该校九年级学生的10% 进 行测试，将这些学生的测试成绩 ( )x 分为四个等级：优秀85 100x„ „ ；良好 75 85x „ ；及格 60 75x „ ；不及格 0 60x „ ，并绘制成如图两幅统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是 ； （2）计算所抽取学生测试成绩的平均分； （3）若不及格学生的人数为 2 人，请估算出该校九年级学生中优秀等级的人数． 20．（9 分）如图，为测量建筑物 CD 的高度，在 A 点测得建筑物顶部 D 点的仰角为 22，再 向建筑物CD 前进 30 米到达 B 点，测得建筑物顶部 D 点的仰角为 58 (A ， B ，C 三点在一 条直线上），求建筑物CD 的高度．（结果保留整数．参考数据：sin 22 0.37  ，cos22 0.93  ， tan22 0.40  ， sin58 0.85  ， cos58 0.53  ， tan58 1.60)  21．（11 分）某超市销售 A 、 B 两款保温杯，已知 B 款保温杯的销售单价比 A 款保温杯多 10 元，用 480 元购买 B 款保温杯的数量与用 360 元购买 A 款保温杯的数量相同． （1） A 、 B 两款保温杯的销售单价各是多少元？ （2）由于需求量大，A 、B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共 120 个，且 A 款保温杯的数量不少于 B 款保温杯数量的两倍．若 A 款保温杯的销售单价不变，B 款保温杯的销售单价降低10% ，两款保温杯的进价每个均为 20 元，应如何进货才能使这批 保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 22．（11 分）如图，在 O 中， AB 为 O 的直径， C 为 O 上一点， P 是 BC 的中点，过 点 P 作 AC 的垂线，交 AC 的延长线于点 D ． （1）求证： DP 是 O 的切线； （2）若 5AC  ， 5sin 13APC  ，求 AP 的长． 23．（13 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 2y ax bx c   的顶点 是 (1,3)A ，将 OA 绕点 O 顺时针旋转90 后得到 OB ，点 B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的 对称轴交于点 C ． （1）求抛物线的解析式； （2）P 是线段 AC 上一动点，且不与点 A ，C 重合，过点 P 作平行于 x 轴的直线，与 OAB 的边分别交于 M ， N 两点，将 AMN 以直线 MN 为对称轴翻折，得到△ A MN ，设点 P 的 纵坐标为 m ． ①当△ A MN 在 OAB 内部时，求 m 的取值范围； ②是否存在点 P ，使 5 6A MN OA BS S   ，若存在，求出满足条件 m 的值；若不存在，请说明 理由． 2020 年新疆生产建设兵团中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题（本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．请按答题卷中的要求作答） 1．（5 分）下列各数中，是负数的为 ( ) A． 1 B．0 C．0.2 D． 1 2 【分析】利用正数与负数的定义判断即可． 【解答】解： 1 是负数；0 既不是正数也不是负数；0.2 是正数； 1 2 是正数． 故选： A ． 【点评】此题考查了正数与负数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2．（5 分）如图所示，该几何体的俯视图是 ( ) A． B． C． D． 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图． 【解答】解：从上面看是四个正方形，符合题意的是 C ， 故选： C ． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图． 3．（5 分）下列运算正确的是 ( ) A． 2 3 6x x x B． 6 3 3x x x  C． 3 3 62x x x  D． 3 3( 2 ) 6x x   【分析】根据同底数幂的乘法、除法和积的乘方以及合并同类项进行判断即可． 【解答】解： A 、 2 3 5x x x ，选项错误．不符合题意； B 、 6 3 3x x x  ，选项正确，符合题意； C 、 3 3 32x x x  ，选项错误，不符合题意； D 、 3 3( 2 ) 8x x   ，选项错误，不符合题意； 故选： B ． 【点评】此题考查同底数幂的乘法、除法和积的乘方以及合并同类项，关键是根据法则解答． 4．（5 分）实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是 ( ) A． a b B．| | | |a b C． a b  D． 0a b  【分析】直接利用数轴上 a， b 的位置进而比较得出答案． 【解答】解：如图所示： A 、 a b ，故此选项错误； B 、| | | |a b ，正确； C 、 a b  ，故此选项错误； D 、 0a b  ，故此选项错误； 故选： B ． 【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确数形结合是解题关键． 5．（5 分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是 ( ) A． 2 1 04x x   B． 2 2 4 0x x   C． 2 2 0x x   D． 2 2 0x x  【分析】分别求出每个方程判别式的值，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系得出答 案． 【解答】解： A ．此方程判别式△ 2 1( 1) 4 1 04       ，方程有两个相等的实数根，不符合 题意； B ．此方程判别式△ 22 4 1 4 12 0       ，方程没有实数根，不符合题意； C ．此方程判别式△ 2( 1) 4 1 2 7 0        ，方程没有实数根，不符合题意； D ．此方程判别式△ 2( 2) 4 1 0 4 0       ，方程有两个不相等的实数根，符合题意； 故选： D ． 【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    的 根与△ 2 4b ac  的关系：①当△ 0 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△ 0 时， 方程有两个相等的两个实数根；③当△ 0 时，方程无实数根． 6．（5 分）不等式组 2( 2) 2 , 2 3 2 3 x x x x      „ 的解集是 ( ) A． 0 2x „ B． 0 6x „ C． 0x  D． 2x„ 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、 大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：  2 2 2 2 3 2 3 x x x x      ① ② „ ， 解不等式①，得： 2x„ ， 解不等式②，得： 0x  ， 则不等式组的解集为 0 2x „ ， 故选： A ． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同 大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7．（5 分）四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印 有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对 称图形的概率为 ( ) A． 1 4 B． 1 3 C． 1 2 D． 3 4 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有 的图案都是中心对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：分别用 A 、 B 、 C 、 D 表示正方形、正五边形、正六边形和圆， 画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有 6 种情况， 抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为： 6 1 12 2  ． 故选： C ． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗 漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完 成的事件．注意概率  所求情况数与总情况数之比． 8．（5 分）二次函数 2y ax bx c   的图象如图所示，则一次函数 y ax b  和反比例函数 cy x  在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( ) A． B． C． D． 【分析】根据二次函数 2y ax bx c   的图象开口向上，得出 0a  ，与 y 轴交点在 y 轴的 正半轴，得出 0c  ，利用对称轴 02 bx a    ，得出 0b  ，进而对照四个选项中的图象即可 得出结论． 【解答】解：因为二次函数 2y ax bx c   的图象开口向上，得出 0a  ，与 y 轴交点在 y 轴 的正半轴，得出 0c  ，利用对称轴 02 bx a    ，得出 0b  ， 所以一次函数 y ax b  经过一、三、四象限，反比例函数 cy x  经过一、三象限， 故选： D ． 【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函 数图象，找出 0a  、 0b  、 0c  是解题的关键． 9．（5 分）如图，在 ABC 中， 90A   ，D 是 AB 的中点，过点 D 作 BC 的平行线交 AC 于 点 E ，作 BC 的垂线交 BC 于点 F ，若 AB CE ，且 DFE 的面积为 1，则 BC 的长为 ( ) A． 2 5 B．5 C． 4 5 D．10 【分析】过 A 作 AH BC 于 H ，根据已知条件得到 AE CE ，求得 1 2DE BC ，求得 1 2DF AH ，根据三角形的面积公式得到 2DE DF  ，得到 8AB AC  ，求得 2AB  （负 值舍去），根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：过 A 作 AH BC 于 H ， D 是 AB 的中点， AD BD  ， / /DE BC ， AE CE  ， 1 2DE BC  ， DF BC ， / /DF AH ， DF DE ， BF HF  ， 1 2DF AH  ， DFE 的面积为 1，  1 12 DE DF  ， 2DE DF  ， 2 2 4 2 8BC AH DE DF      ， 8AB AC  ， AB CE ， 1 2AB AE CE AC    ， 2 8AB AB  ， 2AB  （负值舍去）， 4AC  ， 2 2 2 5BC AB AC    ． 故选： A ． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和 性质，正确的识别图形是解题的关键． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 10．（5 分）如图，若 / /AB CD ， 110A  ，则 1  70  ． 【分析】由 / /AB CD ，利用“两直线平行，同位角相等”可得出 2 的度数，再结合 1 ， 2 互补，即可求出 1 的度数． 【解答】解： / /AB CD ， 2 110A     ． 又 1 2 180     ， 1 180 2 180 110 70           ． 故答案为：70． 【点评】本题考查了平行线的性质以及邻补角，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的 关键． 11．（5 分）分解因式： 2 2am an  ( )( )a m n m n  ． 【分析】原式提取 a ，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式 2 2( ) ( )( )a m n a m n m n     ， 故答案为： ( )( )a m n m n  【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的 关键． 12．（5 分）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况： 移植的棵数 n 200 500 800 2000 12000 成活的棵数 m 187 446 730 1790 10836 成活的频率 m n 0.935 0.892 0.913 0.895 0.903 由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 0.9 ．（精确到 0.1) 【分析】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【解答】解：根据表格数据可知： 苹果树苗移植成活的频率近似值为 0.9， 所以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 0.9． 故答案为：0.9． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置 左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来 估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 13．（5 分）如图，在 x 轴， y 轴上分别截取 OA ，OB ，使 OA OB ，再分别以点 A ， B 为 圆心，以大于 1 2 AB 长为半径画弧，两弧交于点 P ．若点 P 的坐标为 ( ,2 3)a a  ，则 a 的值 为 3 ． 【分析】根据作图方法可知点 P 在 BOA 的角平分线上，由角平分线的性质可知点 P 到 x 轴 和 y 轴的距离相等，结合点 P 在第一象限，可得关于 a 的方程，求解即可． 【解答】解： OA OB ，分别以点 A ， B 为圆心，以大于 1 2 AB 长为半径画弧，两弧交于 点 P ， 点 P 在 BOA 的角平分线上， 点 P 到 x 轴和 y 轴的距离相等， 又点 P 在第一象限，点 P 的坐标为 ( ,2 3)a a  ， 2 3a a   ， 3a  ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的 作图方法及角平分线的性质是解题的关键．、 14．（5 分）如图， O 的半径是 2，扇形 BAC 的圆心角为 60．若将扇形 BAC 剪下围成一 个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为 3 3 ． 【分析】连接 OA ，作 OD AB 于点 D ，利用三角函数以及垂径定理即可求得 AB 的长，然 后利用扇形的弧长公式即可求得弧长，然后利用圆的周长公式即可求得半径． 【解答】解：连接 OA ，作 OD AB 于点 D ． 在直角 OAD 中， 2OA  ， 1 302OAD BAC    ， 则 cos30 3AD OA   ． 则 2 2 3AB AD  ， 则扇形的弧长是： 60 2 3 2 3 180 3    ， 设底面圆的半径是 r ，则 2 32 3r   ， 解得： 3 3r  ． 故答案为： 3 3 ． 【点评】本题考查了弧长的计算，圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之 间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的 弧长． 15．（5 分）如图，在 ABC 中， 90A   ， 60B  ， 2AB  ，若 D 是 BC 边上的动点， 则 2AD DC 的最小值为 6 ． 【分析】作点 A 关于 BC 的对称点 A ，连接 AA ， A D ，过 D 作 DE AC 于 E ，依据 A 与 A 关于 BC 对称，可得 AD A D ，进而得出 AD DE A D DE   ，当 A ， D ， E 在同一 直线上时， AD DE 的最小值等于 A E 的长，依据 AD DE 的最小值为 3，即可得到 2AD CD 的最小值为 6． 【解答】解：如图所示，作点 A 关于 BC 的对称点 A ，连接 AA ， A D ，过 D 作 DE AC 于 E ， ABC 中， 90BAC   ， 60B  ， 2AB  ， 1BH  ， 3AH  ， 2 3AA  ， 30C  ， Rt CDE  中， 1 2DE CD ，即 2DE CD ， A 与 A 关于 BC 对称， AD A D  ， AD DE A D DE    ， 当 A ， D ， E 在同一直线上时， AD DE 的最小值等于 A E 的长， 此时， Rt △ AA E 中， 3sin60 2 3 32A E AA      ， AD DE  的最小值为 3， 即 2AD CD 的最小值为 6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质 定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（6 分）计算： 2 0( 1) | 2 | ( 3) 4      ． 【分析】原式先计算乘方运算，再算加减运算即可得到结果． 【解答】解： 2 0( 1) | 2 | ( 3) 4 1 2 1 2 2           ． 【点评】此题考查了实数的运算，绝对值、零指数幂、熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．（7 分）先化简，再求值： 2( 2) 4 ( 1) (2 1)(2 1)x x x x x      ，其中 2x   ． 【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解： 2( 2) 4 ( 1) (2 1)(2 1)x x x x x      2 2 24 4 4 4 4 1x x x x x       2 3x  ， 当 2x   时，原式 2( 2) 3 5    ． 【点评】本题考查整式的混合运算  化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法． 18．（8 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形， / /DE BF ，且分别交对角线 AC 于点 E ， F ，连接 BE ， DF ． （1）求证： AE CF ； （2）若 BE DE ，求证：四边形 EBFD 为菱形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到 AD CB ， / /AD CB ，从而可以得到 DAE BCF   ，再根据 / /DE BF 和等角的补角相等，从而可以得到 AED CFB   ，然后 即可证明 ADE 和 CBF 全等，从而可以得到 AE CF ； （2）根据（1）中的 ADE 和 CBF 全等，可以得到 DE BF ，再根据 / /DE BF ，即可得 到四边形 EBFD 是平行四边形，再根据 BE DE ，即可得到四边形 EBFD 为菱形． 【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AD CB  ， / /AD CB ， DAE BCF   ， / /DE BF ， DEF BFE   ， AED CFB   ， 在 ADE 和 CBF 中， DAE BCF AED CFB AD CB         ， ( )ADE CBF AAS   ， AE CF  ； （2）证明：由（1）知 ADE CBF   ， 则 DE BF ， 又 / /DE BF ， 四边形 EBFD 是平行四边形， BE DE ， 四边形 EBFD 为菱形． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定，解答本题的关键是明确题意，找 出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 19．（10 分）为了解某校九年级学生的体质健康状况，随机抽取了该校九年级学生的10% 进 行测试，将这些学生的测试成绩 ( )x 分为四个等级：优秀85 100x„ „ ；良好 75 85x „ ；及格 60 75x „ ；不及格 0 60x „ ，并绘制成如图两幅统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是 5% ； （2）计算所抽取学生测试成绩的平均分； （3）若不及格学生的人数为 2 人，请估算出该校九年级学生中优秀等级的人数． 【分析】（1）根据百分比的和等于 1 求解即可． （2）利用加权平均数求解即可． （3）首先确定总人数，根据优秀人数  总人数 优秀率计算即可． 【解答】解：（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比 1 20% 25% 50% 5%     ， 故答案为 5% ． （2）所抽取学生测试成绩的平均分 90 50% 78 25% 66 20% 42 5% 79.81         （分 ) ． （3）由题意总人数 2 5% 40   （人 ) ， 40 50% 20  ， 20 10% 200  （人 ) 答：该校九年级学生中优秀等级的人数约为 200 人． 【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握 基本知识，属于中考常考题型． 20．（9 分）如图，为测量建筑物 CD 的高度，在 A 点测得建筑物顶部 D 点的仰角为 22，再 向建筑物CD 前进 30 米到达 B 点，测得建筑物顶部 D 点的仰角为 58 (A ， B ，C 三点在一 条直线上），求建筑物CD 的高度．（结果保留整数．参考数据：sin 22 0.37  ，cos22 0.93  ， tan22 0.40  ， sin58 0.85  ， cos58 0.53  ， tan58 1.60)  【分析】在 Rt BDC 中，根据三角函数的定义得到1.60 CD BC  ，求得 1.60 CDBC  ，在 Rt ACD 中，根据三角函数的定义得到 0.40 CD AC  ，求得 0.40 CDAC  ，列方程即可得到结论． 【解答】解：在 Rt BDC 中， tan CDDBC BC   ， 1.60 CD BC   ， 1.60 CDBC  ， 在 Rt ACD 中， tan CDDAC AC   ， 0.40 CD AC   ， 0.40 CDAC  ， 300.40 0.60 CD CDAB AC BC      ， 解得： 16CD  （米 ) ， 答：建筑物 CD的高度为 16 米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用  仰角俯角问题，解答本题的关键是根据仰角构造 直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般． 21．（11 分）某超市销售 A 、 B 两款保温杯，已知 B 款保温杯的销售单价比 A 款保温杯多 10 元，用 480 元购买 B 款保温杯的数量与用 360 元购买 A 款保温杯的数量相同． （1） A 、 B 两款保温杯的销售单价各是多少元？ （2）由于需求量大，A 、B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共 120 个，且 A 款保温杯的数量不少于 B 款保温杯数量的两倍．若 A 款保温杯的销售单价不变，B 款保温杯的销售单价降低10% ，两款保温杯的进价每个均为 20 元，应如何进货才能使这批 保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得 A 、 B 两款保温杯的销售 单价，注意分式方程要检验； （2）根据题意可以得到利润与购买 A 款保温杯数量的函数关系，然后根据 A 款保温杯的数 量不少于 B 款保温杯数量的两倍，可以求得 A 款保温杯数量的取值范围，再根据一次函数 的性质，即可求得应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元． 【解答】解：（1）设 A 款保温杯的单价是 a元，则 B 款保温杯的单价是 ( 10)a  元， 480 360 10a a  ， 解得， 30a  ， 经检验， 30a  是原分式方程的解， 则 10 40a   ， 答： A 、 B 两款保温杯的销售单价分别是 30 元、40 元； （2）设购买 A 款保温杯 x 个，则购买 B 款保温杯 (120 )x 个，利润为 w 元， (30 20) [40 (1 10%) 20](120 ) 6 1920w x x x          ， A 款保温杯的数量不少于 B 款保温杯数量的两倍， 2(120 )x x … ， 解得， 80x… ， 当 80x  时， w 取得最大值，此时 1440w  ，120 40x  ， 答：当购买 A 款保温杯 80 个， B 款保温杯 40 个时，能使这批保温杯的销售利润最大，最 大利润是 1440 元． 【点评】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一 次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验． 22．（11 分）如图，在 O 中， AB 为 O 的直径， C 为 O 上一点， P 是 BC 的中点，过 点 P 作 AC 的垂线，交 AC 的延长线于点 D ． （1）求证： DP 是 O 的切线； （2）若 5AC  ， 5sin 13APC  ，求 AP 的长． 【分析】（1）根据已知条件得到 PAD PAB   ，推出 / /AD OP ，根据平行线的性质得到 PD OP ，于是得到 DP 是 O 的切线； （2）连接 BC 交OP 于 E ，根据圆周角定理得到 90ACB   ，推出四边形 CDPE 是矩形， 得到 CD PE ， PD CE ，解直角三角形即可得到结论． 【解答】（1）证明： P 是 BC 的中点，   PC PB ， PAD PAB   ， OA OP ， APO PAO   ， DAP APO   ， / /AD OP ， PD AD ， PD OP  ， DP 是 O 的切线； （2）解：连接 BC 交OP 于 E ， AB 为 O 的直径， 90ACB   ， P 是 BC 的中点， OP BC  ， CE BE ， 四边形 CDPE 是矩形， CD PE  ， PD CE ， APC B   ， 5sin sin 13 ACAPC ABC AB       ， 5AC  ， 13AB  ， 12BC  ， 6PD CE BE    ， 1 5 2 2OE AC  ， 13 2OP  ， 13 5 42 2CD PE     ， 9AD  ， 2 2 2 29 6 3 13AP AD PD      ． 【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，正确的作 出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23．（13 分）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 2y ax bx c   的顶点 是 (1,3)A ，将 OA 绕点 O 顺时针旋转90 后得到 OB ，点 B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的 对称轴交于点 C ． （1）求抛物线的解析式； （2）P 是线段 AC 上一动点，且不与点 A ，C 重合，过点 P 作平行于 x 轴的直线，与 OAB 的边分别交于 M ， N 两点，将 AMN 以直线 MN 为对称轴翻折，得到△ A MN ，设点 P 的 纵坐标为 m ． ①当△ A MN 在 OAB 内部时，求 m 的取值范围； ②是否存在点 P ，使 5 6A MN OA BS S   ，若存在，求出满足条件 m 的值；若不存在，请说明 理由． 【分析】（1）抛物线 2y ax bx c   的顶点是 (1,3)A ，可以假设抛物线的解析式为 2( 1) 3y a x   ，求出点 B 的坐标，利用待定系数法即可解决问题． （2）①根据△ A MN 在 OAB 内部，构建不等式即可解决问题． ②求出直线 OA ， AB 的解析式，求出 MN ，利用面积关系构建方程即可解决问题． 【解答】解：（1）抛物线 2y ax bx c   的顶点是 (1,3)A ， 抛物线的解析式为 2( 1) 3y a x   ， OA 绕点 O 顺时针旋转 90 后得到 OB ， (3, 1)B  ， 把 (3, 1)B  代入 2( 1) 3y a x   可得 1a   ， 抛物线的解析式为 2( 1) 3y x    ，即 2 2 2y x x    ， （2）①如图 1 中， (3, 1)B  ， 直线 OB 的解析式为 1 3y x  ， (1,3)A ， 1(1, )3C  ， (1, )P m ， AP PA ， (1,2 3)A m   ， 由题意 13 2 3 3m    ， 43 3m   ． ②直线 OA 的解析式为 3y x ，直线 AB 的解析式为 2 5y x   ， (1, )P m ， ( 3 mM ， )m ， 5( 2 mN  ， )m ， 5 15 5 2 3 6 m m mMN      ， 5 6A MN OA BS S   ，  1 15 5 5 1 1( 2 3) | 2 3 | 32 6 6 2 3 mm m m         ， 整理得 2 6 9 | 6 8|m m m    解得 6 19m   （舍弃）或 6 19 ， 当点 P 在 x 轴下方时，同法可得 1 5 5 1 1(3 ) ( 3 ) [ (2 3)] 32 2 6 2 3 mm m m          ， 整理得： 23 12 1 0m m   ， 解得 6 69 3m  或 6 39 3  （舍弃），不存在满足条件的点 P ， 满足条件的 m 的值为 6 19 或 6 39 3  ． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，三角形的面积等 知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会构建不等式或方程解决问题，属于中 考压轴题．