2020九年级数学上册 第二十四章 圆 章末复习（四）圆习题 （新版）新人教版

2020九年级数学上册 第二十四章 圆 章末复习（四）圆习题 （新版）新人教版

章末复习(四)　圆 ‎01　　分点突破 知识点1　垂径定理 ‎1．(黄冈中考)如图，M是CD的中点，EM⊥CD.若CD＝4，EM＝8，则所在圆的半径为．‎ 知识点2　圆心角、圆周角定理 ‎2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是(B)‎ A．45° B．85° ‎ C．90° D．95°‎ ‎3．如图，在⊙O中，弦AC＝2，点B是圆上一点，且∠ABC＝45°，则⊙O的半径R＝．‎ 11‎ 知识点3　三角形的外接圆 ‎4．(贵阳中考)小颖同学在手工制作中，把一个边长为‎12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上．若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为(B)‎ A．‎2 cm　 B．‎4 cm　‎ C．‎6 cm　 D．‎8 cm 知识点4　点、直线和圆的位置关系 ‎5．(宜昌中考)在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为(A)‎ A．E，F，G B．F，G，H C．G，H，E D．H，E，F ‎6．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝AC＝10，以点C为圆心，分别以5，5和8为半径作圆，那么直线AB与这三个圆的位置关系分别是相离、相切、相交．‎ 知识点5　切线的性质与判定 ‎7．(湖州中考)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是(B)‎ A．25°‎ B．40°‎ C．50°‎ 11‎ D．65°‎ ‎8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．‎ ‎(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．‎ 解：(1)DE与⊙O相切，‎ 理由：连接OD，‎ ‎∵AO＝BO，BD＝DC，‎ ‎∴OD是△BAC的中位线．‎ ‎∴OD∥AC.‎ 又∵DE⊥AC，‎ ‎∴DE⊥OD.‎ ‎∴DE为⊙O的切线．‎ ‎(2)∵AO＝3，∴AB＝6.‎ 又∵AB＝AC，∠BAC＝60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形．‎ ‎∴AC＝6，AD＝3.‎ ‎∵S△ADC＝·AC·DE＝AD·DC，‎ ‎∴AC·DE＝CD·AD.‎ ‎∴6·DE＝3×3，解得DE＝.‎ 知识点6　切线长定理及三角形的内切圆 ‎9．《九章算术》中“今有勾七步，股二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思为：今有直角三角形，勾(短直角边)长为7步，股(长直角边)长为24步，问该直角三角形(内切圆)的直径是多少？(C)‎ A．4步 B．5步 C．6步 D．8步 11‎ ‎10．如图，直线AB，CD，BC分别与⊙O相切于B，F，G，且AB∥CD.若OB＝‎6 cm，OC＝‎8 cm，则BE＋CG的长等于(D)‎ A．‎13 cm B．‎12 cm ‎ C．‎11 cm D．‎‎10 cm ‎　　　　‎ 知识点7　正多边形和圆 ‎11．如图，等边△EFG内接于⊙O，其边长为2，则⊙O的内接正方形ABCD的边长为(C)‎ A. B. C．4 D．5‎ 知识点8　弧长、扇形面积 ‎12．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD.若∠BOD＝∠BCD，则的长为(C)‎ A．π B.π C．2π D．3π ‎13．(怀化中考)如图，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB＝90°，则阴影部分的面积为π－2．‎ ‎　‎ 11‎ ‎1．连半径—构造等腰三角形(如图1)(如T8)‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ ‎2．过圆心作弦的垂线段—构造直角三角形(涉及弦长、半径或圆心到弦的距离(如图2))(如T16)‎ ‎3．连接弦或半径—角度转化(通过同弧或等弧找到一些相等的角进行转化(如图3))(如T20)‎ ‎4．见直径，连直角；遇直角，作直径(如图4)‎ ‎ ‎ 图4 图5 图6 　图7‎ ‎5．遇切线，连半径，得垂直(如图5 )(如T10)‎ ‎6．判定直线与圆相切：(1)连半径证垂直；(2)作垂直证半径(如图6，7 )(如T21)‎ ‎　02　　山西中考题型演练 ‎14．(山西中考百校联考三)如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为(B)‎ A．40° B．50° ‎ C．80 ° D．90°‎ ‎15．(宁波中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2，以BC的中点O为圆心的⊙O分别与AB，AC相切 于D，E两点，则的长为(B)‎ A. B. ‎ C．π D．2π 11‎ ‎16．(西宁中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为(C)‎ A. ‎ B．2 C．2 ‎ D．8‎ ‎17．(山西中考)如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是(B)‎ A.－ ‎ B.－ C．π－ ‎ D．π－ ‎18．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，若△COD为直角三角形，则∠E的度数为22.5°．‎ ‎19．(株洲中考)如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD＝40°，则∠EOM＝80°．‎ 11‎ ‎20．(天津中考)已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.‎ ‎(1)如图1，求∠T和∠CDB的大小；‎ ‎(2)如图2，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．‎ ‎ 解：(1)连接AC，‎ ‎∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，‎ ‎∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°.‎ ‎∵∠ABT＝50°，‎ ‎∴∠T＝90°－∠ABT＝40°.‎ 由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，‎ ‎∴∠CDB＝∠CAB＝40°.‎ ‎(2)连接AD，‎ 在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，‎ ‎∴∠BCE＝∠BEC＝65°.‎ ‎∴∠BAD＝∠BCD＝65°.‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴∠ODA＝∠OAD＝65°.‎ ‎∵∠ADC＝∠ABC＝50°，‎ ‎∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°.‎ 11‎ ‎21．如图，AB是⊙O的直径，E为弦AP上一点，过点E作EC⊥AB于点C，延长CE至点F，连接FP，使∠FPE＝∠FEP，CF交⊙O于点D.‎ ‎(1)证明：FP是⊙O的切线；‎ ‎(2)若四边形OBPD是菱形，证明：FD＝ED.‎ 证明：(1)连接OP，‎ ‎∵OP＝OA，‎ ‎∴∠A＝∠APO.‎ ‎∵EC⊥AB，‎ ‎∴∠A＋∠AEC＝90°.‎ ‎∵∠FPE＝∠FEP，∠FEP＝∠AEC，‎ ‎∴∠AEC＝∠FPE.‎ ‎∴∠OPA＋∠FPA＝90°.‎ ‎∴OP⊥PF.‎ ‎∵OP为⊙O的半径，‎ ‎∴FP是⊙O的切线．‎ ‎(2)∵四边形OBPD是菱形，‎ ‎∴PD∥AB，PB＝OB.‎ ‎∵OB＝OP，‎ ‎∴OP＝OB＝PB.‎ ‎∴△OPB是等边三角形．‎ ‎∴∠B＝∠BOP＝60°.‎ ‎∴∠A＝30°.‎ ‎∴∠AEC＝∠FEP＝60°.‎ ‎∴∠FPE＝∠FEP＝60°.‎ ‎∴△FPE是等边三角形．‎ ‎∵PD∥AB，‎ 11‎ ‎∴PD⊥EF.‎ ‎∴FD＝ED.‎ ‎　03　　数学文化、核心素养专练 ‎22．“割圆术”是求圆周率的一种算法，公元263年左右，我国一位著名的数学家发现当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．请问上述著名数学家为(A)‎ A．刘徽　　　　　　　　　B．祖冲之 C．杨辉 D．秦九昭 ‎23．如图，正方形的边长为a，分别以两个对角顶点为圆心、a为半径画弧，求图中阴影面积．阴影部分是两个扇形(扇形正好是四分之一个圆)相交的部分，阴影的面积不能直接算，可用面积相减的方法求出，这体现了一种数学思想，该数学思想是(C)‎ A．整体思想 ‎ B．分类讨论思想 C．转化思想 ‎ D．数形结合思想 ‎24．(山西一模)阅读与思考：‎ 婆罗摩笈多(Brahmagupta)是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍．他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国的《九章算术》，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理．该定理的内容及部分证明过程如下：‎ 已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于点P，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，求证：CN＝DN.‎ ‎ ‎ 11‎ 证明：在△ABP和△BMP中，‎ ‎∵AC⊥BD，PM⊥AB，‎ ‎∴∠BAP＋∠ABP＝90°，‎ ‎∠BPM＋∠MBP＝90°.‎ ‎∴∠BAP＝∠BPM.‎ ‎∵∠DPN＝∠BPM，∠BAP＝∠BDC，‎ ‎∴……‎ ‎(1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分；‎ ‎(2)已知：如图2，△ABC内接于⊙O，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2.点D在⊙O上，∠BCD＝60°，连接AD，与BC交于点P，作PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，则PN的长为1．‎ 解：(1)证明：∵∠DPN＝∠BPM，∠BAP＝∠BDC，‎ ‎∴∠DPN＝∠PDN.‎ ‎∴DN＝PN.‎ 同理：CN＝PN.‎ ‎∴CN＝DN.‎ ‎(2)∵∠ACB＝45°，∠BCD＝60°，‎ ‎∴∠ACD＝45°＋60°＝105°.‎ 又∵∠D＝∠B＝30°，‎ ‎∴∠DAC＝180°－∠ACD－∠D＝45°.‎ ‎∴∠APC＝180°－45°－45°＝90°，‎ ‎△APC是等腰直角三角形．‎ ‎∴PA＝PC，∠CPD＝90°.‎ 在△CPD和△APB中，‎ 11‎ ‎∴△CPD≌△APB(AAS)．‎ ‎∴CD＝AB＝2.‎ ‎∵∠CPD＝90°，PM⊥AB于点M，延长MP交CD于点N，‎ ‎∴同(1)得：CN＝DN.‎ ‎∴PN＝CD＝1.‎ 11‎