弧长和扇形的面积

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文档介绍

弧长和扇形的面积

‎3.7 弧长及扇形的面积 教学目标 ‎(一)教学知识点 ‎1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;‎ ‎2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题.‎ ‎(二)能力训练要求 ‎1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力.‎ ‎2.了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力.‎ ‎(三)情感与价值观要求 ‎1.经历探索弧长及扇形面积计算公式,让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.‎ ‎2.通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力.‎ 教学重点 ‎1.经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程.‎ ‎2.了解弧长及扇形面积计算公式.‎ ‎3.会用公式解决问题.‎ 教学难点 ‎1.探索弧长及扇形面积计算公式.‎ ‎2.用公式解决实际问题.‎ 教学方法 学生互相交流探索法 教具准备 ‎2.投影片四张 第一张:(记作§3.7A)‎ 第二张:(记作§3.7B)‎ 第三张:(记作§3.7C)‎ 第四张:(记作§3.7D)‎ 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 6‎ ‎[师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式,弧是圆周的一部分,扇形是圆的一部分,那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?本节课我们将进行探索.‎ Ⅱ.新课讲解 一、复习 ‎1.圆的周长如何计算?‎ ‎2.圆的面积如何计算?‎ ‎3.圆的圆心角是多少度?‎ ‎[生]若圆的半径为r,则周长l=2πr,面积S=πr2,圆的圆心角是360°.‎ 二、探索弧长的计算公式 投影片(§3.7A)‎ 如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.‎ ‎(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米?‎ ‎(2)转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米?‎ ‎(3)转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米?‎ ‎[师]分析:转动轮转一周,传送带上的物品应被传送一个圆的周长;因为圆的周长对应360°的圆心角,所以转动轮转1°,传送带上的物品A被传送圆周长的;转动轮转n°,传送带上的物品A被传送转1°时传送距离的n倍.‎ ‎[生]解:(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送2π×10=20πcm;‎ ‎(2)转动轮转1°,传送带上的物品A被传送cm;‎ ‎(3)转动轮转n°,传送带上的物品A被传送n×=cm.‎ ‎[师]根据上面的计算,你能猜想出在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流.‎ 6‎ ‎[生]根据刚才的讨论可知,360°的圆心角对应圆周长2πR,那么1°的圆心角对应的弧长为,n°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的n倍,即n×.‎ ‎[师]表述得非常棒.‎ 在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为:‎ l=.‎ 下面我们看弧长公式的运用.‎ 三、例题讲解 投影片(§3.7B)‎ 制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算下图中管道的展直长度,即的长(结果精确到0.1mm).‎ 分析:要求管道的展直长度,即求的长,根根弧长公式l=可求得的长,其中n为圆心角,R为半径.‎ 解:R=40mm,n=110.‎ ‎∴的长=πR=×40π≈76.8mm.‎ 因此,管道的展直长度约为76.8mm.‎ 四、想一想 投影片(§3.7C)‎ 在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.‎ ‎(1)这只狗的最大活动区域有多大?‎ ‎(2)如果这只狗只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域有多大?‎ ‎[师]请大家互相交流.‎ 6‎ ‎[生](1)如图(1),这只狗的最大活动区域是圆的面积,即9π;‎ ‎(2)如图(2),狗的活动区域是扇形,扇形是圆的一部分,360°的圆心角对应的圆面积,1°的圆心角对应圆面积的,即×9π=,n°的圆心角对应的圆面积为n×=.‎ ‎[师]请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式.‎ ‎[生]如果圆的半径为R,则圆的面积为πR2,1°的圆心角对应的扇形面积为,n°的圆心角对应的扇形面积为n·.因此扇形面积的计算公式为S扇形=πR2,其中R为扇形的半径,n为圆心角.‎ 五、弧长与扇形面积的关系 ‎[师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式,在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l=πR,n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形=πR2,在这两个公式中,弧长和扇形面积都和圆心角n.半径R有关系,因此l和S之间也有一定的关系,你能猜得出吗?请大家互相交流.‎ ‎[生]∵l=πR,S扇形=πR2,‎ ‎∴πR2=R·πR.∴S扇形=lR.‎ 六、扇形面积的应用 投影片(§3.7D)‎ 扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120°,求的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)‎ 分析:要求弧长和扇形面积,根据公式需要知道半径R和圆心角n即可,本题中这些条件已经告诉了,因此这个问题就解决了.‎ 6‎ 解:的长=π×12≈25.1cm.‎ S扇形=π×122≈150.7cm2.‎ 因此,的长约为25.1cm,扇形AOB的面积约为150.7cm2.‎ Ⅲ.课堂练习 随堂练习 Ⅳ.课时小结 本节课学习了如下内容:‎ ‎1.探索弧长的计算公式l=πR,并运用公式进行计算;‎ ‎2.探索扇形的面积公式S=πR2,并运用公式进行计算;‎ ‎3.探索弧长l及扇形的面积S之间的关系,并能已知一方求另一方.‎ Ⅴ.课后作业 习题3.10‎ Ⅵ.活动与探究 如图,两个同心圆被两条半径截得的的长为6π cm,的长为10π cm,又AC=12cm,求阴影部分ABDC的面积.‎ 分析:要求阴影部分的面积,需求扇形COD的面积与扇形AOB的面积之差.根据扇形面积S=lR,l已知,则需要求两个半径OC与OA,因为OC=OA+AC,AC已知,所以只要能求出OA即可.‎ 解:设OA=R,OC=R+12,∠O=n°,根据已知条件有:‎ 得.‎ 6‎ ‎∴3(R+12)=5R,∴R=18.‎ ‎∴OC=18+12=30.‎ ‎∴S=S扇形COD-S扇形AOB=×10π×30-×6π×18=96π cm2.‎ 所以阴影部分的面积为96π cm2.‎ 板书设计 ‎§3.7 弧长及扇形的面积 一、1.复习圆的周长和面积计算公式;‎ ‎2.探索弧长的计算公式;‎ ‎3.例题讲解;‎ ‎4.想一想;‎ ‎5.弧长及扇形面积的关系;‎ ‎6.扇形面积的应用.‎ 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 6‎
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