2018中考数学试题分类:二次函数专题

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2018中考数学试题分类:二次函数专题

上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编:二次函数专题 宝山区、嘉定区 ‎24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题4分)‎ 已知平面直角坐标系(如图7),直线的经过点和点.‎ ‎(1)求、的值;‎ ‎(2)如果抛物线经过点、,该抛物线的顶点为点,求的值;‎ 图7‎ O x y ‎(3)设点在直线上,且在第一象限内,直线与轴的交点为点,如果,求点的坐标.‎ ‎24.解:(1) ∵直线的经过点 ‎∴……………………1分 ‎∴………………………………1分 ‎∵直线的经过点 ‎∴……………………1分 ‎∴…………………………………………1分 ‎ (2)由可知点的坐标为 ‎ ∵抛物线经过点、‎ ‎ ∴‎ ‎∴, ‎ ‎∴抛物线的表达式为…………………1分 ‎∴抛物线的顶点坐标为……………1分 ‎∴,,‎ ‎∴‎ ‎∴……………………………………1分 ‎∴ ‎ ‎∴ …………………………………………1分 ‎(3)过点作轴,垂足为点,则∥轴 ‎ ∵,‎ ‎∴△∽△ ‎ ‎∴……………1分 ‎∵直线与轴的交点为点 ‎∴点的坐标为,‎ 又,‎ ‎∴,……………1分 ‎∵‎ ‎∴,‎ ‎∵∥轴 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ……………………………………1分 即点的纵坐标是 又点在直线上 点的坐标为……………1分 长宁区 ‎24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题3分,第(3)小题5分)‎ 如图在直角坐标平面内,抛物线与y轴交于点A,与x轴分别交于点B(-1,0)、点C(3,0),点D是抛物线的顶点.‎ ‎(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;‎ ‎(2)联结AD、DC,求的面积;‎ ‎(3)点P在直线DC上,联结OP,若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标.‎ ‎ ‎ 备用图 第24题图 ‎24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题3分,第(3)小题5分)‎ 解:(1) 点B(-1,0)、C(3,0)在抛物线上 ‎∴,解得 ( 2分)‎ ‎∴抛物线的表达式为,顶点D的坐标是(1,-4) ( 2分)‎ ‎(2)∵A(0,-3),C(3,0),D(1,-4) ∴,,‎ ‎∴ ∴ ( 2分)‎ ‎∴ (1分)‎ ‎(3)∵,,‎ ‎∴△CAD∽△AOB,∴‎ ‎∵OA=OC, ∴‎ ‎∴,即 ( 1分)‎ 若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似 ,且△ABC为锐角三角形 ‎ 则也为锐角三角形,点P在第四象限 由点C(3,0),D(1,-4)得直线CD的表达式是,设()‎ 过P作PH⊥OC,垂足为点H,则,‎ ‎①当时,由得,‎ ‎∴,解得, ∴ (2分)‎ ‎②当时,由得,‎ ‎∴,解得,∴ ( 2分)‎ 综上得或 崇明区 ‎24.(本题满分12分,第(1)、(2)、(3)小题满分各4分)‎ 已知抛物线经过点、、.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)联结AC、BC、AB,求的正切值;‎ ‎(3)点P是该抛物线上一点,且在第一象限内,过点P作交轴于点,当点在点的上方,且与相似时,求点P的坐标.‎ ‎(第24题图)‎ y x A B C O ‎24.(本题满分12分,每小题4分)‎ 解:(1)设所求二次函数的解析式为,………………………1分 将(,)、(,)、(,)代入,得 ‎ 解得 ………2分 所以,这个二次函数的解析式为 ……………………………1分 ‎(2)∵(,)、(,)、(,)‎ ‎ ∴,,‎ ‎∴‎ ‎∴ ………………………………………………………2分 ‎∴ ……………………………………………2分 ‎(3)过点P作,垂足为H 设,则 ‎∵(,)‎ ‎∴,‎ ‎∵‎ ‎∴当△APG与△ABC相似时,存在以下两种可能:‎ ‎1° 则 即 ∴ 解得 ………………………1分 ‎∴点的坐标为 ……………………………………………………1分 ‎2° 则 即 ∴ 解得 …………………………1分 ‎∴点的坐标为 ……………………………………………………1分 奉贤区 ‎24.(本题满分12分,每小题满分各4分)‎ 图8‎ ‎1‎ ‎1‎ 已知平面直角坐标系(如图8),抛物线与轴交于点A、B(点A在点B左侧),与轴交于点C,顶点为D,对称轴 为直线,过点C作直线的垂线,垂足为点E,联结DC、BC. ‎ ‎(1)当点C(0,3)时,‎ ① 求这条抛物线的表达式和顶点坐标;‎ ② 求证:∠DCE=∠BCE; ‎ ‎(2)当CB平分∠DCO时,求的值.‎ 黄浦区 ‎24.(本题满分12分)‎ 已知抛物线经过点A(1,0)和B(0,3),其顶点为D.‎ ‎(1)求此抛物线的表达式;‎ ‎(2)求△ABD的面积;‎ ‎(3)设P为该抛物线上一点,且位于抛物线对称轴 右侧,作PH⊥对称轴,垂足为H,若△DPH与△AOB相 似,求点P的坐标.‎ ‎24. 解:(1)由题意得:,———————————————————(2分)‎ ‎ 解得:,—————————————————————————(1分)‎ 所以抛物线的表达式为. ——————————————(1分)‎ ‎(2)由(1)得D(2,﹣1),———————————————————(1分)‎ 作DT⊥y轴于点T,‎ ‎ 则△ABD的面积=.————————(3分)‎ ‎(3)令P.————————————————(1分)‎ 由△DPH与△AOB相似,易知∠AOB=∠PHD=90°,‎ 所以或,————————————(2分)‎ 解得:或,‎ 所以点P的坐标为(5,8),.————————————————(1分)‎ 金山区 ‎24.(本题满分12分,每小题4分)‎ 平面直角坐标系xOy中(如图8),已知抛物线经过点A(1,0)和B(3,0),‎ 与y轴相交于点C,顶点为P. ‎ 图8‎ ‎(1)求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标; ‎ ‎(2)点E在抛物线的对称轴上,且EA=EC,‎ 求点E的坐标;‎ ‎(3)在(2)的条件下,记抛物线的对称轴为 直线MN,点Q在直线MN右侧的抛物线 上,∠MEQ=∠NEB,求点Q的坐标.‎ ‎ ‎ ‎24.解:(1)∵二次函数的图像经过点A(1,0)和B(3,0),‎ ‎    ∴,解得:,.……………………………(2分)‎ ‎ ∴这条抛物线的表达式是…………………………………(1分)‎ 顶点P的坐标是(2,-1).………………………………………………(1分)‎ ‎ (2)抛物线的对称轴是直线,设点E的坐标是(2,m).…(1分)‎ 根据题意得: ,解得:m=2,…(2分)‎ ‎∴点E的坐标为(2,2).…………………………………………………(1分)‎ ‎(3)解法一:设点Q的坐标为,记MN与x轴相交于点F.‎ 作QD⊥MN,垂足为D, ‎ 则,………………………(1分)‎ ‎∵∠QDE=∠BFE=90°,∠QED=∠BEF,∴△QDE∽△BFE,…………………(1分)‎ ‎∴,∴,‎ 解得(不合题意,舍去),.……………………………(1分)‎ ‎∴,点E的坐标为(5,8).…………………………………………(1分)‎ 解法二:记MN与x轴相交于点F.联结AE,延长AE交抛物线于点Q,‎ ‎∵AE=BE, EF⊥AB,∴∠AEF=∠NEB,‎ 又∵∠AEF=∠MEQ,∴∠QEM=∠NEB,………………………………(1分)‎ 点Q是所求的点,设点Q的坐标为,‎ 作QH⊥x轴,垂足为H,则QH=,OH=t,AH=t-1,‎ ‎∵EF⊥x轴,∴EF ∥QH,∴,∴,………(1分)‎ 解得(不合题意,舍去),.……………………………………(1分)‎ ‎∴,点E的坐标为(5,8).…………………………………………(1分)‎ 静安区 ‎24.(本题满分12分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分4分,第(3)小题满分4分)‎ x B C 第24题图 O y ‎·‎ 在平面直角坐标系xOy中,已知点B(8,0)和点C(9,).抛物线(a,c是常数,a≠0)经过点B、C,且与x轴的另一交点为A.对称轴上有一点M ,满足MA=MC.‎ ‎(1) 求这条抛物线的表达式; ‎ ‎(2) 求四边形ABCM的面积; ‎ ‎(3) 如果坐标系内有一点D,满足四边形ABCD是等腰梯形,‎ 且AD//BC,求点D的坐标. ‎ ‎24.(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题4分)‎ 解:(1)由题意得:抛物线对称轴,即. …………(1分)‎ 点B(8,0)关于对称轴的对称点为点A(0,0)∴, …………(1分)‎ 将C(9,-3)代入,得…………………………(1分)‎ ‎∴抛物线的表达式: …………………………(1分)‎ ‎(2)∵点M在对称轴上,∴可设M(4,y)‎ 又∵MA=MC,即 ‎ ‎∴, 解得y=-3, ∴M(4,-3) …………………(2分)‎ y ‎∵MC//AB且MC≠AB, ∴四边形ABCM为梯形,, ‎ AB=8,MC=5,AB边上的高h = yM = 3‎ ‎∴ …………(2分)‎ x O ‎(3) 将点B(8,0)和点C(9,﹣3)代入 可得 M A C B ‎,解得 由题意得,∵AD//BC, ∴ ,…(1分)‎ 又∵AD过(0,0),DC=AB=8,‎ 设D(x,-3x) , …………………………(1分)‎ 解得(不合题意,舍去), …………………………(1分)‎ ‎∴∴点D的坐标.……………………(1分)‎ 闵行区 ‎24.(本题满分12分,其中每小题各4分)‎ A B O C x y ‎(第24题图)‎ D 如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于 点A和点B(1,0),与y轴相交于点C(0,3).‎ ‎(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标;‎ ‎(2)求证:∠DAB=∠ACB;‎ ‎(3)点Q在抛物线上,且△ADQ是以AD为 底的等腰三角形,求Q点的坐标.‎ ‎24.解:(1)把B(1,0)和C(0,3)代入中,‎ 得,解得.……………………………………(2分)‎ ‎∴抛物线的解析式是:.……………………………(1分)‎ ‎∴顶点坐标D(-1,4).……………………………………………(1分)‎ ‎(2)令,则,,,∴A(-3,0)‎ ‎∴,∴∠CAO=∠OCA.…………………………………(1分)‎ 在中,.………………………………(1分)‎ ‎∵,,,‎ ‎∴,;‎ ‎∴,是直角三角形且,‎ ‎∴,‎ 又∵∠DAC和∠OCB都是锐角,∴∠DAC=∠OCB.…………………(1分)‎ ‎∴,‎ 即.……………………………………………………(1分)‎ ‎(3)令,且满足,,0),,4)‎ ‎∵是以AD为底的等腰三角形,‎ ‎∴,即, ‎ 化简得:.………………………………………………(1分)‎ 由,……………………………………………………(1分)‎ 解得,.‎ ‎∴点Q的坐标是,.…(2分)‎ 普陀区 ‎24.(本题满分12分)‎ 如图10,在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别相交于点、,并与抛物线的对称轴交于点,抛物线的顶点是点.‎ ‎(1)求和的值;‎ ‎(2)点是轴上一点,且以点、、为顶点的三角形与△相似,求点的坐标;‎ ‎(3)在抛物线上是否存在点:它关于直线的对称点恰好在轴上.如果存在,直接写出点的坐标,如果不存在,试说明理由.‎ 图10‎ x y ‎1‎ ‎1‎ O ‎24.解:‎ ‎(1) 由直线经过点,可得. (1分)‎ 由抛物线的对称轴是直线,可得. (1分)‎ (2) ‎ ∵直线与轴、轴分别相交于点、,‎ ‎∴点的坐标是,点的坐标是. (2分)‎ ‎∵抛物线的顶点是点,∴点的坐标是. (1分)‎ ‎∵点是轴上一点,∴设点的坐标是.‎ ‎∵△BCG与△BCD相似,又由题意知,,‎ ‎∴△BCG与△相似有两种可能情况: (1分)‎ ①如果,那么,解得,∴点的坐标是. (1分)‎ ②如果,那么,解得,∴点的坐标是. (1分)‎ 综上所述,符合要求的点有两个,其坐标分别是和 .‎ ‎(3)点的坐标是或. (2分+2分)‎ 青浦区 ‎24.(本题满分12分,第(1)、(2)、(3)小题,每小题4分)‎ 已知:如图8,在平面直角坐标系xOy中,抛物线的图像与x轴交于点 A(3,0),与y轴交于点B,顶点C在直线上,将抛物线沿射线AC的方向平移,当顶点C恰好落在y轴上的点D处时,点B落在点E处.‎ ‎(1)求这个抛物线的解析式;‎ ‎(2)求平移过程中线段BC所扫过的面积; ‎ ‎(3)已知点F在x轴上,点G在坐标平面内,且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形,求点F的坐标.‎ 备用图 图8‎ ‎. ‎ ‎24.解:(1)∵顶点C在直线上,∴,∴. (1分)‎ 将A(3,0)代入,得, (1分)‎ 解得,. (1分)‎ ‎∴抛物线的解析式为. (1分)‎ ‎(2)过点C作CM⊥x轴,CN⊥y轴,垂足分别为M、N. ‎ ‎∵=,∴C(2,). (1分)‎ ‎∵,∴∠MAC=45°,∴∠ODA=45°,‎ ‎∴. (1分)‎ ‎∵抛物线与y轴交于点B,∴B(0,),‎ ‎∴. (1分)‎ ‎∵抛物线在平移的过程中,线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积,‎ ‎∴. (1分)‎ ‎(3)联结CE.‎ ‎∵四边形是平行四边形,∴点是对角线与的交点,‎ 即 .‎ ‎(i)当CE为矩形的一边时,过点C作,交轴于点,‎ 设点,在中,,‎ 即 ,解得 ,∴点 (1分)‎ 同理,得点 (1分)‎ ‎(ii)当CE为矩形的对角线时,以点为圆心,长为半径画弧分别交轴于点 ‎、,可得 ,得点、 (2分)‎ 综上所述:满足条件的点有,,),.‎ 松江区 ‎24.(本题满分12分,每小题各4分)‎ 如图,已知抛物线y=ax2+bx的顶点为C(1,),P是抛物线上位于第一象限内的一点,直线OP交该抛物线对称轴于点B,直线CP交x轴于点A.‎ ‎(1)求该抛物线的表达式;‎ ‎(2)如果点P的横坐标为m,试用m的代数式表示线段BC的长;‎ ‎(3)如果△ABP的面积等于△ABC的面积,求点P坐标.‎ ‎(第24题图)‎ y P O x C B A ‎24.(本题满分12分,每小题各4分)‎ ‎(第24题图)‎ y P O x C B A 解:(1)∵抛物线y=ax2+bx的顶点为C(1,)‎ ‎∴ …………………………………2分 解得: …………………………………1分 ‎∴抛物线的表达式为:y=x2-2x;…………………………1分 ‎(2)∵点P 的横坐标为m,‎ ‎∴P 的纵坐标为:m2-2m……………………………1分 令BC与x轴交点为M,过点P作PN⊥x轴,垂足为点N ‎∵P是抛物线上位于第一象限内的一点,‎ ‎∴PN= m2-2m,ON=m,O M=1‎ 由得………………………1分 ‎∴ BM=m-2…………………………………………………1分 ‎∵ 点C的坐标为(1,),‎ ‎∴ BC= m-2+1=m-1………………………………………1分 ‎(3)令P(t,t2-2t) ………………………………………………1分 ‎△ABP的面积等于△ABC的面积 ‎∴AC=AP 过点P作PQ⊥BC交BC于点Q ‎∴CM=MQ=1‎ ‎∴t2-2t=1 …………………………………………………1分 ‎∴(舍去)………………………………1分 ‎∴ P的坐标为()……………………………………1分 徐汇区 ‎24. 如图,已知直线与轴、轴分别交于点、,抛物线 过点、,且与轴交于另一个点.‎ ‎(1)求该抛物线的表达式;‎ ‎(2)点是线段上一点,过点作直线∥轴 交该抛物线于点,当四边形是平行四边形时,‎ 求它的面积;‎ ‎(3)联结,设点是该抛物线上的一点,且满足 ‎,求点的坐标.‎ 杨浦区 ‎24、(本题满分12分,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题4分)‎ 如图8,在平面直角坐标系中,抛物线 于X轴交于点A、B,于y轴交于点C,直线 经过点A、C,点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点。‎ (1) 求抛物线的表达式 (2) 如图(1),当CP//AO时,求∠PAC的正切值。‎ (3) 当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时,求出此时点P的坐标。‎
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