九年级下册数学人教版知识要点汇总

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九年级下册数学人教版知识要点汇总

人教版九年级数学下册知识点总结 第二十六章、反比例函数 知识点一:反比例函数的概念及其图象、性质 1.反比例函 数的概念 (1)定义:形如 y= k x (k≠0)的函数称为反比例函数,k 叫做比例系数,自变量 的取值范围是非零的一切实数. (2)形式:反比例函数有以下 2 种基本形式: ①y= k x ;②y=kx-1; ③xy=k.(其中 k 为常数,且 k≠0) 例:函数 y=3xm+1,当 m=-2 时,则该函数是反比例函数. 2.反比例函 数 的 图 象 和性质 k 的符号 图象 经过象限 y 随 x 变化的情况 k>0 图 象 经 过 第 一、三象限 (x、y 同号) 每个象限内,函数 y 的值 随 x 的增大而减小. k<0 图 象 经 过 第 二、四象限 (x、y 异号) 每个象限内,函数 y 的值 随 x 的增大而增大. 3.反比例函 数的图象 特征 (1)由两条曲线组成,叫做双曲线; (2)图象的两个分支都无限接近 x 轴和 y 轴,但都不会与 x 轴和 y 轴相交; (3)图象是中心对称图形,原点为对称中心;也是轴对称图形,2 条对称轴分 别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线. 4.待定系数 法 只需要知道双曲线上任意一点坐标,设函数解析式,代入求出反比例函数系数 k 即可.例:已知反比例函数图象过点(-3,-1),则它的解析式是 y=3/x 知识点二 :反比例系数的几何意义及与一次函数的综合 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料! 第1页 5.系数 k 的 几何意义 (1)意义:从反比例函数 y= k x (k≠0)图象上任意一点向 x 轴和 y 轴作垂线,垂 线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角 形的面积为 1/2|k|. (2)常见的面积类型: 失分点警示 已知相关面积,求反比例函数的表达式,注意若函数图象在第二、四象限,则 k<0. 例:已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为 3,则该反比 例函数解析式为: 3y x  或 3y x   6.与一次函 数的综合 (1)确定交点坐标:【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),则根据中心对 称性,可得另一个交点坐标为(-a,-b).【方法二】联立两个函数解析式, 利用方程思想求解. (2)确定函数解析式:利用待定系数法,先确定交点坐标,再分别代入两个函 数解析式中求解 (3)在同一坐标系中判断函数图象:充分利用函数图象与各字母系数的关系, 可采用假设法,分 k>0 和 k<0 两种情况讨论,看哪个选项符合要求即可. 也可逐一选项判断、排除. (4)比较函数值的大小:主要通过观察图象,图象在上方的值大,图象在下方 的值小,结合交点坐标,确定出解集的范围. 涉及与面积有关的问题时,①要善于把点 的横、纵坐标转化为图形的边长,对于不好直 接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形 面积;②也要注意系数 k 的几何意义. 例:如图所示,三个阴影部分的面积按从 小到大的顺序排列为:S△AOC=S△OPE>S△BOD 知识点三:反比例函数的实际应用 7 . 一 般 步 骤 (1 题意找出自变量与因变量之间的乘积关系; (2 设出函数表达式; (3)依题意求解函数表达式; (4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料! 第2页 人教版九年级数学下册知识点总结 第二十七章、相似 知识点一:比例线段 1. 比例 线段 在四条线段 a,b,c,d 中,如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比,即 a c b d  , 那么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段,简称比例线段. 2.比例 的 基 本 性 质 (1)基本性质: a c b d  ad=bc;(b、d≠0) (2)合比性质: a c b d  a b b  = c d d  ;(b、d≠0) (3)等比性质: a c b d  =…= m n =k(b+d+…+n≠0) ... ... a c m b d n       =k.(b、d、···、n≠0) 3.平行线 分 线 段 成 比 例 定理 (1)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线 段成比 例.即如图所示,若 l3∥l4∥l5,则 AB DE BC EF  . (2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线),所得的对应线段成比例. 即如图所示,若 AB∥CD,则 OA OB OD OC  . (3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成 的三角形和原三角形相似. 如图所示,若 DE∥BC,则△ADE∽△ABC. 4.黄金分 割 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果 AC AB == 5-1 2 ≈0.618,那 么线段 AB 被点 C 黄金分割.其中点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,AC 与 AB 的比叫做黄金比. 例:把长为 10cm 的线段进行黄金分割,那么较长线段长为 5( 5-1)cm 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料! 第3页 知识点二 :相似三角形的性质与判定 5.相似三 角 形 的 判 定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图,若∠A=∠D,∠B=∠E,则△ABC∽△DEF. (2) 两边对应成比例,且夹角相等的两个三 角形 相似. 如图,若∠A=∠D, AC AB DF DE  , 则 △ ABC∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似.如 图 , 若 AB AC BC DE DF EF   ,则△ABC∽△DEF. 6.相似 三角形的 性质 (1)对应角相等,对应边成比例. (2)周长之比等于相似比, 面积之比等于相似比的平方. (3)相似三角形对应高的 比、对应角平分线的比和对应中线 的比等于相似比. 例:(1)已知△ABC∽△DEF,△ABC 的周长为 3,△DEF 的周长为 2,则△ABC 与△DEF 的面积之比为 9:4. (2) 如图,DE∥BC, AF⊥BC,已知 S△ADE:S△ABC=1:4,则 AF:AG=1:2. 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料! 第4页 人教版九年级数学下册知识点总结 第二十八章、锐角三角函数 知识点一:锐角三角函数的定义 1. 锐 角 三 角函数 正弦: sinA= ∠A 的对边 斜边 = a c 余弦: cosA= ∠A 的邻边 斜边 = b c 正切: tanA= ∠A 的对边 ∠A 的邻边 = a b . 2. 特 殊 角 的 三 角 函 数值 度数 三角函数 30° 45° 60° sinA 1 2 2 2 3 2 cosA 3 2 2 2 1 2 tanA 3 3 1 3 知识点二 :解直角三角形 3. 解 直 角 三 角 形 的概念 在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个 锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的 过程叫做解直角三角形. 4. 解 直 角 三 角 形 的 常用关系 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2; (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°; (3)边角之间的关系:sinA==cosB= a c ,cosA=sinB= b c , tanA= a b . 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料! 第5页 知识点三 :解直角三角形的应用 5.仰角、俯 角 、 坡 度、坡角 和 方 向 角 (1)仰、俯角:视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方 的角叫做俯角. (2)坡度:坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡 比),用字母 i 表示. 坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角, 用α表示,则有 i=tanα. (3)方向角:平面上,通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一 条铅垂线(向上为北向),则从点 O 出发的视线与水平线或铅垂 线所夹的角,叫做观测的方向角. 6. 解 直 角 三 角 形 实 际 应 用 的 一般步骤 (1)弄清题中名词、术语,根据题意画出图形,建立数学模型; (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系,把实际 问题转化为解直角三角形问题; (3)选择合适的边角关系式,使运算简便、准确; (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,从而得到 问题的解. 解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型: (1) 叠合式 (2)背靠式 解题方法:这两种模型种都有一条公共的直角边,解题时,往往 通过这条边为中介在两个三角形中依次求边,或通过公共边相等, 列方程求解.例如 17 年 14 年中考题 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料! 第6页 人教版九年级数学下册知识点总结 第二十九章、投影与视图 知识点一:三视图 内 容 1.三视图 主视图俯视图左视图 2. 三 视 图 的 对 应 关 系 (1)长对正:主视图与俯视图的长相等,且相互对正; (2)高平齐:主视图与左视图的高相等,且相互平齐; (3)宽相等:俯视图与左视图的宽相等,且相互平行. 3. 常 见 几 何 体 的 三 视 图 常 见 几 何 体 的 三视图 正方体:正方体的三视图都是正方形. 圆柱:圆柱的三视图有两个是矩形,另一个是圆. 圆锥:圆锥的三视图中有两个是三角形,另一个是圆. 球的三视图都是圆. 例:长方体的主视图与俯视图如图所示,则这个长方体 的体积是 36 . 知识点二 :投影 4.平行投影 由平行光线形成的投影. 在平行投影中求影长,一般把实际问题抽象到相似三角 形中,利用相似三角形的相似比,列出方程,通过解方 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料! 第7页 程求出的影长. 例:小明和他的同学在太阳下行走,小明身高 1.4 米,他 的影长为 1.75 米,他同学的身高为 1.6 米,则此时他的 同学的影长为 2 米. 5.中心投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影. 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料! 第8页
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