初中数学中考总复习课件PPT：第20课时　相似三角形

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第一部分 夯实基础　提分多 第 四 单元 三角形 第 20 课时　相似三角形 1. 比例的性质 性质 1 ： ＝ ⇔ ① ____ ＝ bc(abcd ≠0) ． 性质 2 ：如果 ＝ ，那么 ＝ . 基础点 1 比例线段及其性质 ad 基础点巧练妙记 性质 3 ：如果 ＝ ＝ … ＝ ( b ＋ d ＋ … ＋ n ≠0) ，那么 ＝ ② ________ ． 2. 比例中项： 若 a ∶ b ＝ b ∶ c 或 ＝ ，则 b 叫做比例中项，即 b 2 ＝ ac . 3. 黄金分割： 一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，如果 ＝ ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比，即 ＝ 或 AC ≈ 0.618AB . 4 ． 平行线分线段成比例 3. 黄金分割： 一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 (1) 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 ③ ________ ． 如图，若 l 1 ∥l 2 ∥l 3 ，则 ＝ ， ＝ ， ＝ ＝ ＝ 成比例 (2) 平行于三角形一边的直线截其他两边 ( 两边的延长线 ) ，所得的对应线段 ④ ________ ． 如图，若 DE ∥ BC ，则 ＝ ， ＝ ， ＝＝ ， ＝ ＝ . 成比例 基础点 2 相似三角形的性质与判定 性质 (1) 相似三角形的 ⑤ ______ 相等；对应边成比例； (2) 相似三角形的对应高的比，对应中线的比及对应角平分线的比都 ⑥ ________ 相似比； (3) 相似三角形的周长比等于 ⑦ ______ ，面积比等于 ⑧ ____________ 对应角 等于 相似比 相似比的平方 判定 (1) 平行于三 角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2) 三边 ⑨ ____________ 的两个三角形相似； (3) 两边成比例且 ⑩ ________ 相等的两个三角形相似； (4) ⑪ ________ 分别相等的两个三角形相似； (5) 两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 对应成比例 夹角 两个角 1 ． 相似三角形的判定思路 判定三角形相似的思路 有平行截线──用平行线的性质，找等角 有一对等角，找 有两边对应成比例，找 直角三角形，找 等腰三角形，找 另一对等角 或该角的两边对应成比例 夹角相等 或第三边也对应成比例 或有一组直角 一对锐角相等 或斜角、直角边对应成比例 顶角相等 或一对底角相等 或底和腰对应成比例 (1)“ 平行线型”的相似三角形 (“ A 型”与“ X 型” ) 2 ． 几种常见的相似三角形图形 (2)“ 斜交型”的相似三角形 ( 需满足∠ 1 ＝∠ 2 ，“反 A 共角型”、“反 A 共角共边型”、“蝶型” ) (3)“ 垂直型”的相似三角形 (“ 双垂直共角型”、“双垂直共角共边型 ( 也称“射影定理型” )” 、“三垂直型” )            练 提 分 必 1 ．如图，在△ ABC 中，点 D 、 E 分别在边 AB 、 BC 上， DE ∥ AC ，若 BD ＝ 4 ， DA ＝ 2 ， BE ＝ 3 ，则 EC ＝ ________ ． 第 1 题图            练 提 分 必 2 ．如图，若△ ADE ∽△ ACB ，且 ＝ ， DE ＝ 10 ，则 BC ＝ _______ ． 第 2 题图 15 1. 相似图形 ：两个形状相同 ( 大小可以不同 ) 的平面图形． 2. 相似多边形 ：对应角相等，并且对应边成比例的两个多边形． 基础点 3 相似图形与相似多边形 3. 性质 (1) 相似多边形的对应边⑫ ______ ； (2) 相似多边形的对应角⑬ ______ ； (3) 相似多边形的周长比等于⑭ ______ ，相似多边形的面积比等于⑮ ______________ ． 成比例 相等 相似比的平方 相似比 练习 1 　 如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， AE ∶ EC ＝ 3∶5 ，则 DE ∶ BC ＝ ________ ，△ ADE 的周长与△ ABC 的周长之比为 ________ ，△ ADE 的面积与△ ABC 的面积之比为 ________ ． 类 型 相似三角形的相关证明与计算 重难点精讲优练 练习 1 题图 3:8 3:8 9:64 练习 2 　 (2017 内高 ) 如图，在△ ABC 中，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上， DE ∥ BC . 若△ ADE 与四边形 DBCE 的面积相等，则 等于 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A . 1 B . C . D . 练习 2 题图 【解析】 ∵△ ADE 与四边形 DBCE 的面积相等， ∴△ ADE 与△ ABC 的面积之比为 1∶2 ， ∵ DE ∥ BC ， ∴ ＝ . 练习 3 　如图，在△ ABC 中， AD 是中线， BC ＝ 8 ，∠ B ＝∠ DAC ，则线段 AC 的长为 ( 　　 ) A . 4 　　　 B . 4 C . 4 　　　 D . 3 B 练习 3 题图 【解析】 ∵∠ B ＝∠ DAC ，∠ ACB ＝∠ ACD ，∴△ ABC∽△DAC. 根据“相似三角形对应边成比例”，得 ＝ ，又∵ AD 是中线， BC ＝ 8 ，∴ DC ＝ BC ＝ 4 ，∴ AC 2 ＝ BC•DC ＝ 32 ，∴ AC ＝ ＝ . 练习 4 　 (2017 杭州 ) 如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D ， E 分别在边 AC ， AB 上， AG ⊥ BC 于点 G ， AF ⊥ DE 于点 F ，∠ EAF ＝∠ GAC . (1) 求证：△ ADE ∽△ ABC ； 练习 4 题图 【 思维教练 】 要证△ ADE ∽△ ABC ，已知∠ EAD ＝∠ CAB ，故只需找另一组对角相等或夹角的两边对应成比例．由题干条件易知∠ EAF ＝∠ GAC ，∠ AFE ＝∠ AGC ，故△ AEF ∽△ ACG ，∠ AEF ＝∠ C ，由对应两角相等即可得证； 【 解析 】 证明：在△ ABC 中， ∵ AG ⊥ BC 于点 G ， AF ⊥ DE 于点 F ， ∴∠ AFE ＝∠ AGC ＝ 90° ， 在△ AEF 和△ ACG 中， ∵∠ AFE ＝∠ AGC ，∠ EAF ＝∠ GAC ∴△ AEF ∽△ ACG ，∴∠ AEF ＝∠ C ， 在△ ADE 和△ ABC 中，∵∠ AED ＝∠ C ，∠ EAD ＝∠ CAB ，∴△ ADE ∽△ ABC ； (2) 若 AD ＝ 3 ， AB ＝ 5 ，求 的值． 【 思维教练 】 由 (1) 中的结论 ， 利用相似三角形的性质即可求解． (2) 解：由 (1) 知△ ADE ∽△ ABC ， ∴ ＝ ＝ ， 又∵△ AEF∽△ACG ， ∴ ＝ ＝ .