九年级数学上册第四章图形的相似5相似三角形判定定理的证明教学课件新版北师大版

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* 4.5 相似三角形判定定理的证明 第四章 图形的相似 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学习目标 1. 会证明相似三角形判定定理；（重点） 2. 运用相似三角形的判定定理解决相关问题 . （难点） 导入新课 问题： 相似三角形的判定方法有哪些？ ① 两角对应相等，两三角形相似 . ② 两边对应成比例且夹角相等 , 两三角形相似 . ③ 三边对应成比例 , 两三角形相似 . 讲授新课 证明相似三角形的判定定理 一 在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明． 定理 1 ：两角分别相等的两个三角形相似 . 已知：如图，在 △ ABC 和△ A'B'C ' 中，∠ A = ∠ A' ，∠ B =∠ B ' . 求证：△ ABC ∽△ A'B'C ' ． A′ B′ C′ A B C A′ B′ C′ A B C 证明： 在 △ ABC 的边 AB （或它的延长线）上截取 AD = A ' B ' ，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E ，则 ∠ 1= ∠B ，∠ 2 =∠ C ， 过点 D 作 AC 的平行线 , 交 BC 于点 F , 则 ∴ ∴ ∵ DE ∥ BC , DF ∥ AC , ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形 ．∴ DE = CF . ∴ ∴ E D F 1 2 而 ∠ 1 = ∠ B ，∠ DAE = ∠ BAC ，∠ 2=∠ C ， ∴ △ ADE ∽ △ ABC . ∵ ∠ A = ∠ A' ，∠ ADE = ∠ B =∠ B' ， AD = A'B ' ， ∴ △ ADE ≌△ A ' B ' C ' ． ∴ △ ABC ∽△ A'B'C . A′ B′ C′ A B C E D F 1 2 定理 2: 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 . 已知：如图，在△ ABC 和△ A'B'C ' 中，∠ A =∠ A' ， 求证：△ ABC ∽ △ A'B'C '. A′ B′ C′ A B C E D 1 2 证明：在△ ABC 的边 AB （或它的延长线）上截取 AD = A'B' ，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E ，则 则∠ B = ∠ 1 ， ∠ C = ∠ 2 ， ∴ △ ABC ∽ △ ADE ∴ ∵ ， AD = A'B' ， ∴ ∴ ∴ AE = A'C' . 而 ∠ A =∠ A' ， ∴ △ ADE ≌ △ A'B'C '. △ ABC ∽ △ A'B'C '. A′ B′ C′ A B C E D 1 2 定理 3 ：三边成比例的两个三角形相似 . 已知：如图，在 △ ABC 和 △ A'B'C ' 中， 求证： △ ABC ∽ △ A'B'C ' . A′ B′ C′ A C E D B 证明： 在△ ABC 的边 AB （或它的延长线）上截取 AD = A'B' ，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E ，则 ∵ ， AD = A'B' ， AE = A'C' ， ∴ 而 ∠ BAC = ∠ DAE ， ∴ △ ABC ∽△ ADE .∴ 又 ， AD = A'B ' ， ∴ ∴ ∴ DE = B'C '. ∴ △ ADE ≌ △ A'B'C' . ∴ △ ABC ∽△ A'B'C' . A′ B′ C′ A C E D B 相似三角形判定定理的运用 二 例： 已知 : 如图 ,∠ ABD =∠ C ， AD =2, AC = 8 ，求 AB . C D A B 解： ∵ ∠ A = ∠ A , ∠ ABD = ∠ C , ∴ △ ABD ∽ △ ACB , ∴ AB : AC = AD : AB , ∴ AB 2 = AD · AC . ∵ AD = 2 , AC = 8, ∴ AB = 4 . 1. 如下图，在大小为 4×4 的正方形网格中，是相似三角形的是 （ ） ① ② ③ ④ ①③ 当堂练习 2. 已知：如图，在四边形 ABCD 中， ∠ B =∠ ACD ， AB =6 ， BC =4 ， AC =5 ， CD = ，求 AD 的长 . 解 : ∵ AB =6 ， BC =4 ， AC =5 ， CD = ∴ 又 ∠ B =∠ ACD , ∴△ ABC ∽△ DCA ， ∴ ∴ AD = A B C D 相似三角形判定定理的证明 定理 1 ：两角分别相等的两个三角形相似 . 定理的运用 定理证明 定理 2: 两边成比例且夹角相等的两个三角 形相似 . 定理 3 ：三边成比例的两个三角形相似 . 课堂小结