张静中学中考数学试题分类汇编——图形的相似与位似含详解答案

张静中学中考数学试题分类汇编——图形的相似与位似含详解答案

张静中学中考数学试题分类汇编 ‎ 图形的相似与位似 ‎1. (福建省德化县)如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”‎ 上一个“顶点”的坐标为，那么大“鱼”上对 应“顶点”的坐标为 （ ）‎ Ａ、 Ｂ、‎ Ｃ、 Ｄ、‎ ‎【关键词】位似中心是原点的坐标之间的关系（若相似比为k,‎ 则坐标之比同侧为k异侧为-k)‎ ‎【答案】C ‎2．（2010江苏泰州，）一个铝质三角形框架三条边长分别为‎24cm、‎30cm、‎36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为‎27cm、‎45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）‎ A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 ‎【答案】B ‎ 【关键词】相似三角形的判定 ‎3.（宁德市）如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．‎ ‎【答案4】‎ ‎1.（台湾省）图(一)表示D、E、F、G四点在△ABC三边上的位置，其中与 A B C D E F G H 图(一)‎ ‎ 交于H点。若ÐABC=ÐEFC=70°，ÐACB=60°，ÐDGB=40°，则下列哪 ‎ 一组三角形相似？‎ ‎(A) △BDG，△CEF (B) △ABC，△CEF ‎ (C) △ABC，△BDG (D) △FGH，△ABC 。 【关键词】相似 ‎【答案】B ‎3.(2010福建泉州市惠安县)两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）‎ A.9:16 B. 3:‎4 C.9：4 D.3:16‎ ‎【关键词】相似三角形的性质 ‎【答案】B ‎4. (兰州市) 如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距‎1米.甲身高‎1.8米，乙身高‎1.5米，则甲的影长是 米.‎ ‎【关键词】图形的相似 ‎【答案】6‎ ‎5.（2010辽宁省丹东市）如图，与 是位似图形，且位似比 第11题图 是，若AB=‎2cm，则 cm，‎ 并在图中画出位似中心O．‎ ‎【关键词】位似 ‎【答案】．4（填空2分，画图1分）‎ O 第11题图 ‎6．(安徽省芜湖市)如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝‎2m，CD＝‎6m，点P到CD的距离是‎2.7m，则AB与CD间的距离是__________m．‎ ‎【关键词】投影 相似三角形 ‎【答案】‎ ‎7．(2010重庆市)已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2:3，则△ABC与△DEF的周长比为_____________.‎ 解析：由相似三角形的对应线段比等于相似比知，△ABC与△DEF的周长比为2:3‎ 答案：2:3.‎ ‎8．（2010山东德州）如图，小明在A时测得某树的影长为‎2m，B时又测得该树的影长为‎8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.‎ 第14题图 A时 B时 ‎【关键词】三角形相似 ‎【答案】4‎ ‎9.（2010重庆潼南县）12. △ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为 .‎ 答案：3：4 ‎ ‎10. (2010重庆市潼南县)△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长比为 .‎ 答案：3:4.‎ A O D B F K E ‎(第16题图)‎ G M CK ‎11.(浙江省金华). 如图在边长为2的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以O为圆心，以OE为半径画弧EF.P是上的一个动点，连 结OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O 的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G. ‎ 若，则BK﹦ .‎ ‎【关键词】正方形、相似、切线定理 ‎【答案】或 ‎ ‎12.一天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）.如果小青的峰高为‎1.65米，由此可推断出树高是_______米. 3.3‎ ‎13.. (2010浙江衢州)‎ 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上．‎ ‎(1)　判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；‎ ‎(2)　P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．‎ A C B F E D P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ P5‎ 解：(1)　△ABC和△DEF相似． ……2分 根据勾股定理，得　，，BC=5 ；‎ ‎，，．‎ ‎∵　， ……3分 ‎∴　△ABC∽△DEF． ……1分 ‎(2)　答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可． ……4分 ‎△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，‎ ‎△P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．‎ A C B F E D P1‎ P2‎ P3‎ P4‎ ‎(第22题)‎ P5‎ ‎14．（2010江西）图1所示的遮阳伞，伞炳垂直于水平地面，起示意图如图2.当伞收紧时，点P与点A重合；当三慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开。已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米．BC=2.0分米。设AP=ｘ分米.‎ ‎（1）求ｘ的取值范围； ‎ ‎（2）若∠CPN=60度，求ｘ的值；‎ ‎（3）设阳光直射下伞的阴影（假定为圆面）面积为ｙ，求ｙ与ｘ的关系式（结构保留）‎ ‎【关键词】菱形、圆、等边三角形、相似三角形的性质与判定、勾股定理、二次函数、动手操作等 ‎【答案】23.解（1）因为BC=2，AC=CN+PN=12，所以AB=12-2=10‎ ‎ 所以ｘ的取值范围是 （2） 因为CN=PN，∠CPN=60°，所以三角形PCN是等边三角形．所以CP=6‎ 所以AP=AC-PC=12-6=6‎ 即当∠CPN=60°时，ｘ=6分米 （3） 连接MN、EF，分别交AC与0、H，‎ 因为PM=PN=CM=CN，所以四边形PNCM是菱形。‎ 所以MN与PC互相垂直平分，AC是∠ECF的平分线 在中，PM=6，‎ 又因为CE=CF，AC是∠ECF的平分线，所以EH=HF，EF垂直AC。‎ 因为∠ECH=∠MCO，∠EHC=∠MOC=90°，‎ 所以，所以MO/EH=CM/CE 所以 所以 所以 ‎15.（2010珠海）19.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，‎ 连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.‎ (1) 求证：△ADF∽△DEC (2) 若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ∴AD∥BC AB∥CD ‎ ∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°‎ ‎ ∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ‎ ∴∠AFD=∠C ‎ ∴△ADF∽△DEC ‎(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形 ‎ ∴AD∥BC CD=AB=4‎ ‎ 又∵AE⊥BC ∴ AE⊥AD ‎ 在Rt△ADE中，DE=‎ ‎ ∵△ADF∽△DEC ‎∴ ∴ AF=‎ ‎16.(滨州)本题满分8分)如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．‎ ‎(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；‎ ‎(2)请分别说明两对三角形相似的理由．‎ 解：(1) △ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE ‎ ‎(2)①证△ABC∽△ADE．‎ ‎∵∠BAD=∠CAE，‎ ‎∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，‎ 即∠BAC=∠DAE 又∵∠ABC=∠ADE，‎ ‎∴△ABC∽△ADE．‎ ‎②证△ABD∽△ACE．‎ ‎∵△ABC∽△ADE，‎ ‎∴ ‎ 又∵∠BAD=∠CAE，‎ ‎∴△ABD∽△ACE ‎(滨州)15．如图,A、B两点被池塘隔开,在AB外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN=‎38cm,则AB的长为 ‎ ‎【答案】152‎ ‎ ‎ ‎17.（2010日照市）‎ 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：‎ ‎（1）D是BC的中点； ‎ ‎（2）△BEC∽△ADC； ‎ ‎（3）BC2=2AB·CE．‎ ‎（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，‎ 即AD是底边BC上的高． ‎ 又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形， ‎ ‎∴D是BC的中点 ‎ (2) 证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，‎ ‎ ∴ ∠CBE=∠CAD．‎ ‎ 又∵ ∠BCE=∠ACD，‎ ‎ ∴△BEC∽△ADC；‎ ‎（3）证明：由△BEC∽△ADC，知，‎ 即CD·BC=AC·CE． ‎ ‎∵D是BC的中点，∴CD=BC． ‎ ‎ 又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE 即BC=2AB·CE．‎ ‎18.（8分）（浙江省东阳市）如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4. ‎ ‎（1）求证: ～；‎ ‎(2) 求的值； ‎ ‎（3）延长BC至F，连接FD，使的面积等于，‎ 求的度数. ‎ ‎【关键词】图形相似 三角函数 ‎ ‎【答案】（１）∵点A是弧BC的中点　∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ 又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ　　∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分 ‎（２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ　∴ＡＢ２＝２×６＝１２　∴ＡＢ＝２‎ 在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分 ‎（３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形，‎ ‎∠ＥＤＦ＝６°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．‎ ‎19.（四川省眉山市）．如图，Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC ¢ 交斜边于点E，CC ¢ 的延长线交BB ¢ 于点F．‎ ‎（1）证明：△ACE∽△FBE；‎ ‎（2）设∠ABC=，∠CAC ¢ =，试探索、满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．‎ ‎【关键词】图形的旋转、相似三角形的判定、全等三角形的判定 ‎【答案】（1）证明：∵Rt△AB ¢C ¢ 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，‎ ‎ ∴AC=AC ¢，AB=AB ¢，∠CAB=∠C ¢AB ¢ ‎ ‎ ∴∠CAC ¢=∠BAB ¢ ‎ ‎∴∠ACC ¢=∠ABB ¢ ‎ 又∠AEC=∠FEB ‎∴△ACE∽△FBE ‎ ‎ （2）解：当时，△ACE≌△FBE． ‎ ‎ 在△ACC¢中，∵AC=AC ¢，‎ ‎ ∴ ‎ ‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎ ∠ACC¢+∠BCE=90°，即，‎ ‎ ∴∠BCE=．‎ ‎ ∵∠ABC=，‎ ‎ ∴∠ABC=∠BCE ‎ ‎ ∴CE=BE ‎ 由（1）知：△ACE∽△FBE，‎ ‎ ∴△ACE≌△FBE．‎ ‎20. （安徽中考）如图，已知△ABC∽△，相似比为（），且△ABC的三边长分别为、、（），△的三边长分别为、、。‎ ‎⑴若，求证：；‎ ‎⑵若，试给出符合条件的一对△ABC和△，使得、、和、、进都是正整数，并加以说明；‎ ‎⑶若，，是否存在△ABC和△使得？请说明理由。‎ ‎【关键词】三角形相似 ‎【答案】‎ （1） 证明：∵△ABC∽△，且相似比为（），∴∴‎ 又∵，所以 ‎（2）取a=8,b=6,c=4，同时取 此时∴‎ （1） 不存在这样的△ABC和△，理由如下：‎ 若k=2，则 又∵，，‎ ‎∴‎ ‎∴b=2c ‎∴b+c=2c+c<4c=a，而b+c>a 故不存在这样的△ABC和△使得。‎ ‎21、（宁波）如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，），点B在轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线与轴交于点F，与射线DC交于点G。‎ ‎（1）求的度数;‎ ‎（2）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△，记直线与射线DC的交点为H。‎ ‎①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE;‎ y x C D A O B E G F ‎（图1）‎ x C D A O B E G H F y ‎（图2）‎ x C D A O B E y ‎（图3）‎ ‎②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标。‎ 解：（1）‎ ‎ （2）（2，）‎ ‎ （3）①略 ‎ ②过点E作EM⊥直线CD于点M ‎∵CD∥AB x C D A O B E y ‎（图3）‎ Ｍ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵△DHE∽△DEG ‎∴即 当点H在点G的右侧时，设，‎ ‎∴‎ 解：‎ ‎∴点F的坐标为（，0）‎ 当点H在点Ｇ的左侧时，设，‎ ‎∴‎ 解：，（舍）‎ ‎∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴点Ｆ的坐标为（，0）‎ 综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是（，0），（，0）‎