2016年北京市高级中等学校招生考试数学试卷

2016年北京市高级中等学校招生考试数学试卷

2016 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）第 1-10 题均有四个选项， 符合题意的选项只有．．一个。 1. 如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB 的度数为 （A） 45° （B） 55° （C） 125° （D） 135° 答案：B 考点：用量角器度量角。 解析：由生活知识可知这个角小于 90 度，排除 C、D，又 OB 边在 50 与 60 之间，所以，度 数应为 55°。 2. 神舟十号飞船是我国“神舟”系列飞船之一，每小时飞行约 28 000 公里。将 28 000 用 科学计数法表示应为 （A） （B） 28 （C） （D） 答案：C 考点：本题考查科学记数法。 解析：科学记数的表示形式为 10na 形式，其中1 | | 10a  ，n 为整数，28000＝ 。 故选 C。 3. 实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 （A） a （B） （C） （D） 答案：D 考点：数轴，由数轴比较数的大小。 解析：由数轴可知，－3＜a＜－2，故 A、B 错误；1＜b＜2， －2＜－b＜－1，即－b 在－2 与－1 之间，所以， 。 4. 内角和为 540 的多边形是 答案：ｃ 考点：多边形的内角和。 解析：多边形的内角和为 ( 2) 180n    ，当 n＝5 时，内角和为 540°，所以，选 C。 5. 右图是某个几何体的三视图，该几何体是 （A） 圆锥 （B） 三棱锥 （C） 圆柱 （D） 三棱柱 答案：D 考点：三视图，由三视图还原几何体。 解析：该三视图的俯视为三角形，正视图和侧视图都是矩形，所以，这个几何体是三棱柱。 6. 如果 ,那么代数 2 ( )b aa a a b   的值是 （A） 2 （B）-2 （C） （D） 答案：A 考点：分式的运算，平方差公式。 解析： 2 ( )b aa a a b   ＝ 2 2a b a a a b   ＝ ( )( )a b a b a a a b    ＝ a b ＝2。 7. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是 答案：D 考点：轴对称图形的辨别。 解析：A、能作一条对称轴，上下翻折完全重合，B 和 C 也能 作一条对称轴，沿这条对称翻折，左右两部分完全重合，只有 D 不是轴对称图形。 8. 在 1-7 月份，某种水果的每斤进价与出售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润 最大的月份是 （A） 3 月份 （B） 4 月份 （C） 5 月份 （D） 6 月份 答案：B 考点：统计图，考查分析数据的能力。 解析：各月每斤利润：3 月：7.5-4.5＝3 元， 4 月：6-2.5＝3.5 元，5 月：4.5-2＝2.5 元， 6 月：3-1.5＝1.5 元，所以，4 月利润最大，选 B。 9. 如图，直线 ,在某平面直角坐标系中，x 轴∥m，y 轴∥n，点 A 的坐标为（－4，2）， 点 B 的坐标为（2，－4），则坐标原点为 （A） （B） （C） （D） 答案：A 考点：平面直角坐标系。 解析：因为 A 点坐标为（－4,2），所以，原点在点 A 的右边，也在点 A 的下边 2 个单位处， 从点 B 来看，B（2，－4），所以，原点在点 B 的左边，且在点 B 的上边 4 个单位处。如下 图，O1 符合。 10. 为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量 实行阶梯水价，水价分档递增。计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家 庭的 80%，15%和 5%。为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市 5 万户居民家庭上一年 的年用水量（单位： ），绘制了统计图，如图所示，下面有四个推断： ① 年用水量不超过 180 的该市居民家庭按第一档水价交费 ② 年用水量超过 240 的该市居民家庭按第三档水价交费 ③ 该市居民家庭年用水量的中位数在 150-180 之间 ④ 该市居民家庭年用水量的平均数不超过 180 （A） ①③ （B） ①④ （C）②③ （D）②④ 答案：B 考点：统计图，会用统计图中的数据分析问题。 解析：年用水量不超过 180 的居民家庭有：0.25＋0.75＋1.5＋1＋0.5＝4（万）， 4 5 ＝ 80%， 所以，①正确； 年用水量超过 240 的居民家庭有：0.15＋0.15＋0.05＝0.35（万）， 0.35 5 ＝7%，故②不 正确； 30-120 的有 2.5 万人，120－330 的有 2.5 万人，中位数应该是 120，故③不正确； 由于中位数为 120，用水量小于 150 的有 3.5 万人，所以该市居民家庭年用水量的平均数不 超过 180，④正确。 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11. 如果分式 2 1x  有意义，那么 x 的取值范围是 。 答案： 1x  考点：分式的意义。 解析：由分式的意义，知： 1 0x   ，所以， 1x  12.右图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式： 。 答案： ( )m a b c ma mb mc     （答案不唯一） 考点：矩形的面积计算，用图形说明因式分解。 解析：最大矩形的长为 ( )a b c  ，宽为 m ，所以，它的面积为 ( )m a b c  ； 又最大矩形的面积为三个小矩形面积之和，三个小矩形的面积分别为： , ,ma mb mc ，所以，有 ( )m a b c ma mb mc     13. 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的 一组统计数据： 移植的棵数 n 1 000 1 500 2 500 4 000 8 000 15 000 20 000 30 000 成活的棵数 m 865 1 356 2 220 3 500 7 056 13 170 17 580 26 430 成活的频率 0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 。 答案：0.881 考点：频率估计概率。 解析：用频率估计概率，数据越大，估计越准确，所以，移植幼树棵数越多，估算成活的概 率越准确，因此 0.881 可作为估计值。 14. 如图，小军、小珠之间的距离为 2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为 1.8m,1.5m， 已知小军、小珠的身高分别为 1.8m,1.5m，则路灯的高为 m。 答案：3 考点：等腰三直角三角形判定与性质。 解析：如下图，因为小军、小珠都身高与影长相等，所以， ∠E＝∠F＝45°，所以，AB＝BE＝BF，设路灯的高 AB 为 xm， 则 BD＝x－1.5，BC＝x－1.8， 又 CD＝2.7，所以，x－1.5＋x－1.8＝2.7，解得：x＝3（m） 15. 百子回归图是由 1，2，3…，100 无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门 简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示 澳门面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行 10 个数之和、每列 10 个数之和、每条对角 线 10 个数之和均相等，则这个和为 。 答案：505 考点：考查学生的阅读能力，应用知识解决问题的能力。 解析：1＋2＋3＋…＋100＝（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋…＋（50＋51）＝5050， 共 10 行，每一行的 10 个数之和相等，所以，每一行数字之和为： 5050 10 ＝505。 16. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程。 请回答：该作图的依据是 。 答案： （1）到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B 都在 PQ 的垂直平分 线上）；（2）两点确定一条直线（AB 垂直 PQ）（其他正确依据也可以） 考点：线段的垂直平分线定理，尺规作图。 解析：由作图可知，AP＝AQ，所以，点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上，同理，点 B 也在线段 PQ 的垂直平分线上，所以，有 AB⊥PQ。 三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）解答应写出文字说明、演算步骤或 证明过程。 17. 计算： 0(3 ) 4sin 45 8 1 3      . 考点：实数的运算。 解析：原式 。 18. 解不等式组： 2 5 3( 1) 74 2 x x xx     考点：不等式组的求解。 解析： 。 19. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AE 平分 ,交 DC 的延长线 于点 E. 求证：DA=DE 考点：平行四边形的性质，两直线平行的性质，等角对等边。 解析： 证明： . 20. 关于 x 的一元二次方程 +(2m 有两个不想等的实数根。 （1）求 m 的取值范围； （2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时方程的根。 考点：一元二次方程根的判别式及一元二次方程的求解。 解析：（1） 原方程有两个不相等实数根 解得 。 （2） ，原方程为 ，即 。（m 取 其他值也可以） 21. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A（－6，0）的直线 与直线 ；y=2x 相交于点 B（m，4）。 （1）求直线 的表达式； （2）过动点 P(n,0)且垂于 x 轴的直线与 的交点分别 为 C,D,当点 C 位于点 D 上方时，写出 n 的取值范围。 考点：函数图象，一次函数，不等式。 解析：（1） 点 B 在直线 l2 上 ， 设 l1 的表达式为 ，由 A、B 两点均在直线 l1 上得到， ， 解得 ，则 l1 的表达式为 。 （2）由图可知： ， 点 C 在点 D 的上方，所以， 3 22 n n  ，解得： 。 22. 调查作业：了解你所住小区家庭 5 月份用气量情况。 小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有 300 户家庭，每户家庭人数在 2-5 之间，这 300 户家庭的平均人数均为 3.4. 小天、小东、小芸各自对该小区家庭 5 月份用气量情况进行了抽样调查，将收集的数据 进行了整理，绘制的统计表分别为表 1、表 2 和表 3. 表 1 抽样调查小区 4 户家庭 5 月份用气量统计表 （单位： ） 家庭人数 2 3 4 5 用气量 14 19 21 26 表 2 抽样调查小区 15 户家庭 5 月份用气量统计表 （单位： ） 家庭人数 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 用气量 10 11 15 13 14 15 15 17 17 18 18 18 18 20 22 表 3 抽样调查小区 15 户家庭 5 月份用气量统计表 （单位： ） 家庭人数 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 用气量 10 12 13 14 17 17 18 19 20 20 22 26 31 28 31 根据以上材料回答问题： 小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭 5 月份用 气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查地不足之处。 考点：抽样调查，分析数据，解决问题的能力。 解析：小芸，小天调查的样本容量较少；小东抽样的调查数据中，家庭人数的平均值为 ，远远偏离了平均人数的 3.4，所以他的数据抽样有明显问 题 ； 小 芸 抽 样 的 调 查 数 据 中 ， 家 庭 人 数 的 平 均 值 为 ，说明小芸抽样数据质量较好，因此小芸的抽样 调查的数据能较好的反映出该小区家庭 5 月份用气量情况。 23. 如图，在四边形 ABCD 中， ,AC=AD,M,N 分别为 AC,AD 的中 点，连接 BM,MN,BN. (1)求证：BM=MN; (2) ,AC 平分 ,AC=2,求 BN 的长。 考点：三角形的中位线定理，勾股定理。 解析：（1）证明：在 中， M、N 分别是 AC、CD 的中点 在 中， M 是 AC 的中点 又 。 （2）解： 且 AC 平分 由（1）知， 而由（1）知， 。 24. 阅读下列材料： 北京市正围绕“政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心“的定位，深入实 施”人文北京、科技北京、绿色北京”的发展战略。“十二五”期间，北京市文化创意产业 展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业。 2011 年，北京市文化创意产业实现增加值 1938.6 亿元，占地区生产总值的 12.1%。2012 年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值 2189.2 亿元，占地区生 产总值的 12.3%，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业。2013 年， 北京市文化产业实现增加值 2406.7 亿元，比上年增长 9.1%。文化创意产业作为北京市支柱 产业已经排到了第二位。2014 年，北京市文化创意产业实现增加值 2749.3 亿元，占地区生 产总值的 13.1%，创历史新高。2015 年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加 值 3072.3 亿元，占地区生产总值的 13.4%。 （以上数据来源于北京市统计局） 根据以上材料解答下列问题： （1）用折线图将 2011-2015 年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相 应数据； （2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估 2016 年北京市文化创意产业实现增加值约 亿元，你的预估理由 。 考点：考查学生的阅读能力，处理数据的能力。 解析：（1）如下图： （2）3440（预估值在 3376~3563 之间都可以），近三年平均增长率作为预测 2016 年数据的 依据（只要给出符合预测数据的合理的预测方法即可） 25. 如图，AB 为 于点 D，过点 D 作 的 切线，交 BA 的延长线于点 E. (1) 求证：AC∥DE: (2) 连接 CD，若 OA＝AE＝a，写出求四边形 ACDE 面积的思路。 考点：圆的切线的性质定理，垂径定理，多边形面积的计算。 解析：（1）证明： ED 与 相切于 D F 为弦 AC 的中点 ， （2）解：①四边形 DFAE 为直角梯形，上底为 AF，下底为 DE，高为 DF，有条件比 较容易在直角三角形 DOE 中计算出 DE 长为 ，DF= 2 a ，AF= ，所以可以求出四边形 DFAE 的面积为 ； ②在三角形 CDF 中， ，且 DF=a/2, FC=AF= ，进而可以求解在三角形 CDF 的面积为 ； ③四边形 ACDE 就是由四边形 DFAE 和三角形 CDF 组成的，进而可以得到四边形 ACDE 的面积就等于他们的面积和，为 （本题也可以通过证明四边形 ACDE 为平行四边形，进而通过平行四边形面积公式求 解，主要思路合理即可）。 26. 已知 y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围 ,下表是 y 与 x 的几组对应值 x … 1 2 3 5 7 9 … y … 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 … 小腾根据学校函数的经验，利用上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化规律，对该函数的图 象与性质进行了探究。 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点。根据描出 的点，画出该函数的图象； （2）根据画出的函数图象，写出： ①x＝4 对应的函数值 y 约为 ； ②该函数的一条性质： 。 考点：函数图象，开放式数学问题。 解析： （1）如下图： （2）①2（2.1 到 1.8 之间都正确） ②该函数有最大值（其他正确性质都可以）。 27. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 抛 物 线 与 x 轴的交点为 A,B. (1)求抛物线的顶点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。 ①当 m＝1 时，求线段 AB 上整点的个数； ②若抛物线在点 A,B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内（包括边界）恰有 6 个整点， 结合函数的图象，求 m 的取值范围。 考点：二次函数的图象及其性质。 解析：（1）解：将抛物线表达式变为顶点式 ，则抛物线顶点坐标为(1,-1)。 （2）解：① 时，抛物线表达式为 ，因此 A、B 的坐标分别为(0,0)和 (2,0)，则线段 AB 上的整点有(0,0)，(1,0)，(2,0)共 3 个； ②抛物线顶点为(1,-1)，则由线段 AB 之间的部分及线段 AB 所围成的区域的整点的纵 坐标只能为-1 或者 0，所以即要求 AB 线段上（含 AB 两点）必须有 5 个整点；又有抛物线 表 达 式 ， 令 ， 得 到 A 、 B 两 点 坐 标 分 别 为 ， 即 5 个整点是以(1,0)为中心向两侧分散，进而得到 ， 。 28. 在等边 中， （1）如图 1， P,Q 是 BC 边上两点，AP=AQ, ,求 的度数； （2）点 P,Q 是 BC 边上的两个动点（不与点 B,C 重合），点 P 在点 Q 的左侧，且 AP=AQ， 点 Q 关于直线 AC 的的对称点为 M，连接 AM,PM. ①依题意将图 2 补全； ②小茹通过观察、实验提出猜想：在点 P、Q 运动的过程中，始终有 PA=PM。小茹把这个 猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法 1:要证明 PA=PM，只需证 是等边三角形。 想法 2：在 BA 上取一点 N，使得 BN=BP,要证 PA=PM，只需证 想 法 3: 将 线 段 BP 绕 点 B 顺 时 针 旋 转 60 ， 得 到 线 段 BK ， 要 证 PA=PM ， 只 需 证 PA=CK,PM=CK……. 请你参考上面的想法，帮助小茹证明 PA=PM（一种方法即可） 考点：三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理。 解析：（1）解： 又 又 。 （2）①下图；②利用想法 1 证明：连接 AQ，首先应该证明 ， 得 到 ， 然 后 由 得 到 ， 进 而 得 到 ; 接 着 利 用 AB=AC ， 得 到 ， 从而得到 AP=AM，进而得到 PA=PM。（利用其他想法的线索证明也可以） 29. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（ 点 Q 的坐标为（ ），且 ， 某条坐标轴垂直，则称该矩形 为点 P,Q 的“相关矩形”。下图为点 P，Q 的“相关矩形”的示意图。 （1）已知点 A 的坐标为（1，0）， ①若点 B 的坐标为（3，1）求点 A，B 的“相关矩形”的面积； ②点 C 在直线 x=3 上，若点 A,C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式； （2） 的半径为 ，点 M 的坐标为（m,3）。若在 上存在一点 N，使得点 M,N 的“相 关矩形”为正方形，求 m 的取值范围。 考点：一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力。 解析： （1）解：① ；②C 的坐标可以为 (3,2)或者(3,-2)，设 AC 的表达式为 , 将 A、C 分别代入 AC 的表达式得到 或 ，解得 或 ， 则直线 AC 的表达式为 或 。 （ 2 ）解：易得随着 m 的变化，所有可能的点 M 都在直线 y=3 上； 对于圆上任何一点 N ，符合条件的 M 和 N 必须在 k=1 或者 -1 的直线上， 因此可以得到 m 的范围为 或者 。