江苏省泰州市姜堰区2019-2020学年八年级下学期期末学情调查数学试题 （解析版）

江苏省泰州市姜堰区2019-2020学年八年级下学期期末学情调查数学试题 （解析版）

‎2019-2020学年江苏省泰州市姜堰区八年级第二学期期末数学试卷 一、选择题 ‎1．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．下列调查中，适合用普查方式的是（　　）‎ A．对夏季冷饮市场上冰淇淋质量的调査 ‎ B．对全市中学生的视力情况进行调查 ‎ C．对航天飞机零部件的调査 ‎ D．对一批节能冰箱使用寿命的调査 ‎3．下列事件中，不可能事件是（　　）‎ A．打开电视，正在播放广告 ‎ B．小明家买一张彩票获得500万大奖 ‎ C．太阳从西方升起 ‎ D．三天内将下雨 ‎4．如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4‎ ‎5．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝1.5m3时，p＝16000Pa，当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应（　　）‎ A．不小于0.5m3 B．不大于0.5m3 ‎ C．不小于0.6m3 D．不大于0.6m3‎ ‎6．在▱ABCD中，∠ABC的角平分线交线段AD于点E，DE＝1，点F是BE中点，连接CF，过点F作FG⊥BC，垂足为G，设AB＝x，若▱ABCD的面积为8，FG的长为整数，则整数x的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．2或3‎ 二、填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）‎ ‎7．据媒体报道，某市因环境污染造成的经济损失每年高达3400000元，数据3400000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎8．在单词“BANANA”中随机选择一个字母，选到字母“N”的概率是　 　．‎ ‎9．若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．‎ ‎10．已知分式的值为零，那么x的值是　 　．‎ ‎11．双曲线y＝在每一象限内y随x的增大而减小，则m的取值范围是　 　．‎ ‎12．已知m是的小数部分，则＝　 　．‎ ‎13．如图，在▱ABCD中，E是边BC上一点，且AB＝BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F＝62°，则∠D＝　 　°．‎ ‎14．若x＜2，化简﹣|4﹣x|的结果是　 　．‎ ‎15．如图，点A、B是反比例函数y＝（x＜0）图象上的两点，过点A、B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（﹣1，0），BD＝2，S△BCD＝S△AOC，则k＝　 　．‎ ‎16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE长度的取值范围是　 　．‎ 三．解答题（本大题共10小题，共102分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．‎ ‎17．计算：‎ ‎（1）|1﹣|+（）﹣1+‎ ‎（2）（2﹣）×‎ ‎18．解方程：﹣1＝．‎ ‎19．先化简，再求值：÷（a﹣），其中a﹣b＝2．‎ ‎20．某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：‎ ‎（1）学校这次调查共抽取了　 　名学生；‎ ‎（2）求抽取的学生中喜欢书法的人数，并补全条形统计图；‎ ‎（3）在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为　 　度；‎ ‎（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．‎ ‎21．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的1.5倍，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？‎ ‎22．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．‎ ‎（1）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．‎ ‎（2）平移△A1B1C，使点A1的对应点A2坐标为（2，0），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．‎ ‎（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．‎ ‎23．如图，一次函数y＝x+6的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于A（﹣1，a）、B（b，1）两点．‎ ‎（1）求a、b、k的值；‎ ‎（2）当一次函数的值大于反比例函数的值时，根据图象写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）求△ABO的面积．‎ ‎24．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．‎ ‎（1）求证：四边形BPEQ是菱形；‎ ‎（2）若AB＝6，BE＝10，求PQ的长．‎ ‎25．点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD．‎ ‎（1）如图①，AF与BD的数量关系和位置关系分别为　 　；‎ ‎（2）将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），‎ ‎①如图②，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由．‎ ‎②若AC＝4，BC＝2，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，求DB的长度．‎ ‎26．如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝交于A（1，t+2），B（﹣2t，﹣1）两点．‎ ‎（1）求一次函数和反比例函数的函数表达式；‎ ‎（2）点C（x1，y1）和D（x2，y2）是反比例函数y＝图象上任意两点，‎ ‎①若x1＜x2＜0，p＝，q＝，试判断p、q的大小关系，并说明理由；‎ ‎②若x1＜﹣4，0＜x2＜1，过C、D两点分别作直线AB的垂线，垂足分别为E、F，当x1x2＝﹣4时，判断四边形CEFD的形状，并说明理由．‎ 参考答案 一、选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）‎ ‎1．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．‎ 解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；‎ B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；‎ C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；‎ D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．‎ 故选：A．‎ ‎2．下列调查中，适合用普查方式的是（　　）‎ A．对夏季冷饮市场上冰淇淋质量的调査 ‎ B．对全市中学生的视力情况进行调查 ‎ C．对航天飞机零部件的调査 ‎ D．对一批节能冰箱使用寿命的调査 ‎【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．‎ 解：A、对夏季冷饮市场上冰淇淋质量的调査，适合用抽样调查方式；‎ B、对全市中学生的视力情况进行调查，适合用抽样调查方式；‎ C、对航天飞机零部件的调査，适合用普查方式；‎ D、对一批节能冰箱使用寿命的调査，适合用抽样调查方式；‎ 故选：C．‎ ‎3．下列事件中，不可能事件是（　　）‎ A．打开电视，正在播放广告 ‎ B．小明家买一张彩票获得500万大奖 ‎ C．太阳从西方升起 ‎ D．三天内将下雨 ‎【分析】根据必然事件的意义，逐项进行判断即可，必然事件其发生的可能性为100%．‎ 解：打开电视，可能正在播放广告，也可能播出其它节目，因此选项A是随机事件，不符合题意；‎ 小明家买一张彩票获得500万大奖，发生的可能性非常小，并不代表不可能出现；‎ 太阳从西边升起，是“不可能”事件，符合题意；‎ 三条内可能下雨，也可能不下雨，因此选项D不符合题意，‎ 故选：C．‎ ‎4．如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4‎ ‎【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．‎ 解：方程两边都乘（x﹣2），‎ 得m+2x＝x﹣2，‎ ‎∵原方程有增根，‎ ‎∴最简公分母x﹣2＝0，‎ 解得x＝2，‎ 当x＝2时，m+4＝0；‎ ‎∴m＝﹣4，‎ 故选：D．‎ ‎5．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝1.5m3时，p＝16000Pa，当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应（　　）‎ A．不小于0.5m3 B．不大于0.5m3 ‎ C．不小于0.6m3 D．不大于0.6m3‎ ‎【分析】设函数解析式为P＝，把V＝1.5m3时，p＝16000Pa代入函数解析式求出k值，代入P值即可得到有关v的不等式，从而确定正确的答案．‎ 解：设函数解析式为P＝，‎ ‎∵当V＝1.5m3时，p＝16000Pa，‎ ‎∴k＝Vp＝24000，‎ ‎∴p＝，‎ ‎∵气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，‎ ‎∴≤4000，‎ 解得：v≥0.6，‎ 即气球的体积应不小于0.6m3．‎ 故选：C．‎ ‎6．在▱ABCD中，∠ABC的角平分线交线段AD于点E，DE＝1，点F是BE中点，连接CF，过点F作FG⊥BC，垂足为G，设AB＝x，若▱ABCD的面积为8，FG的长为整数，则整数x的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．2或3‎ ‎【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到AD和AB的关系，然后根据▱ABCD的面积为8，FG的长为整数，从而可以得到整数x的值．‎ 解：延长GF交AD于点H，如图所示，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，FG⊥BC，‎ ‎∴∠FHE＝∠FGB＝90°，AD∥BC，‎ ‎∴∠AEB＝∠EBC，‎ ‎∵点F为BE的中点，‎ ‎∴EF＝BF，‎ 又∵∠HFE＝∠GFB，‎ ‎∴△HFE≌△GFB（AAS），‎ ‎∴HF＝GF，‎ ‎∴HG＝2GF，‎ ‎∵BE平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABE＝∠EBC，‎ ‎∴∠ABE＝∠AEB，‎ ‎∴AB＝AE，‎ ‎∵AB＝x，‎ ‎∴AE＝x，‎ ‎∵DE＝1，‎ ‎∴AD＝x+1，‎ ‎∵▱ABCD的面积为8，FG的长为整数，‎ ‎∴（x+1）•2GF＝8，‎ ‎∴整数x为1或3，‎ ‎∵当x＝1时，AB＝1，AD＝2，则此时平行四边形的面不可能是8，故舍去，‎ ‎∴x＝3，‎ 故选：C．‎ 二、填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）‎ ‎7．据媒体报道，某市因环境污染造成的经济损失每年高达3400000元，数据3400000用科学记数法表示为　3.4×106　．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解：3400000＝3.4×106．‎ 故答案为：3.4×106．‎ ‎8．在单词“BANANA”中随机选择一个字母，选到字母“N”的概率是　　．‎ ‎【分析】根据概率的意义，用列表法或树状图表示所有可能出现的结果数，从中得出“选到字母N”的概率．‎ 解：一共有B、A、N、A、N、A六种结果，其中是“N”的有2种，‎ ‎∴P选到字母“N”＝＝，‎ 故答案为：．‎ ‎9．若二次根式有意义，则x的取值范围是　x≤3　．‎ ‎【分析】直接利用二次根式的性质得出3﹣x的取值范围，进而求出答案．‎ 解：∵二次根式有意义，‎ ‎∴3﹣x≥0，‎ 解得：x≤3．‎ 故答案为：x≤3．‎ ‎10．已知分式的值为零，那么x的值是　1　．‎ ‎【分析】分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0．‎ 解：根据题意，得 x2﹣1＝0且x+1≠0，‎ 解得x＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎11．双曲线y＝在每一象限内y随x的增大而减小，则m的取值范围是　m＞﹣　．‎ ‎【分析】利用反比例函数的增减性确定出m的范围即可．‎ 解：∵双曲线y＝在每一象限内y随x的增大而减小，‎ ‎∴3+2m＞0，‎ 解得：m＞﹣．‎ 故答案为：m＞﹣．‎ ‎12．已知m是的小数部分，则＝　　．‎ ‎【分析】由题意可知：m＝，代入原式后化简二次根式即可．‎ 解：∵2＜＜3，‎ ‎∴m＝，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎13．如图，在▱ABCD中，E是边BC上一点，且AB＝BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F＝62°，则∠D＝　56　°．‎ ‎【分析】由平行四边形的性质得出∠D＝∠B，AB∥CD，得出∠BAE＝∠F＝62°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B＝56°，即可得出结果．‎ 解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠D＝∠B，AB∥CD，‎ ‎∴∠BAE＝∠F＝62°，‎ ‎∵AB＝BE，‎ ‎∴∠AEB＝∠BAE＝62°，‎ ‎∴∠B＝180°﹣2×62°＝56°，‎ ‎∴∠D＝56°．‎ 故答案为56．‎ ‎14．若x＜2，化简﹣|4﹣x|的结果是　﹣2　．‎ ‎【分析】根据二次根式的非负性和绝对值的化简法则化简，再合并同类项即可．‎ 解：∵x＜2，‎ ‎∴﹣|4﹣x|‎ ‎＝|x﹣2|﹣（4﹣x）‎ ‎＝2﹣x﹣4+x ‎＝﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎15．如图，点A、B是反比例函数y＝（x＜0）图象上的两点，过点A、B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（﹣1，0），BD＝2，S△BCD＝S△AOC，则k＝　﹣4　．‎ ‎【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S△BOD＝S△AOC＝|k|，即可求得S△BCD＝k，从而得出CD＝OC＝1，由OC+CD求出OD的长，确定出B的坐标，代入反比例解析式求出k的值即可．‎ 解：连接OB，‎ ‎∵点C（﹣1，0），‎ ‎∴OC＝1，‎ ‎∵AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，‎ ‎∴S△BOD＝S△AOC＝|k|，‎ ‎∵S△BCD＝S△AOC，‎ ‎∴S△BCD＝k，‎ ‎∴CD＝OC＝1，‎ ‎∴OD＝2，‎ ‎∵BD＝2，‎ ‎∴B（﹣2，2），‎ ‎∵B是反比例函数y＝（x＜0）图象上的点，‎ ‎∴k＝﹣2×2＝﹣4，‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE长度的取值范围是　≤DE≤2　．‎ ‎【分析】作CH⊥AB于H，连接CM，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CH，根据三角形中位线定理得到DE＝CM，得到答案．‎ 解：作CH⊥AB于H，连接CM，‎ 在Rt△ABC中，AB＝＝5，‎ S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CH，即×3×4＝×5×CH，‎ 解得，CH＝，‎ ‎∵点D、E分别为CN、MN的中点，‎ ‎∴DE是△MNC的中位线，‎ ‎∴DE＝CM，‎ 当CM⊥AB时，CM最小，最小值为，‎ 当点M与点B重合时，CM最大，最大值为4，‎ ‎∴≤DE≤2，‎ 故答案为：≤DE≤2．‎ 三．解答题（本大题共10小题，共102分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．‎ ‎17．计算：‎ ‎（1）|1﹣|+（）﹣1+‎ ‎（2）（2﹣）×‎ ‎【分析】（1）先根据二次根式性质，绝对值的性质，负整数指数幂进行计算，再合并同类二次根式；‎ ‎（2）根据二次根式的乘法法则进行计算便可．‎ 解：（1）原式＝；‎ ‎（2）原式＝2×．‎ ‎18．解方程：﹣1＝．‎ ‎【分析】方程两边都乘以最简公分母（x+1）（x﹣1）化为整式方程，然后解方程即可，最后进行检验．‎ 解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）去分母得，‎ x（x+1）﹣（x2﹣1）＝3，‎ 即x2+x﹣x2+1＝3，‎ 解得x＝2‎ 检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝（2+1）（2﹣1）＝3≠0，‎ ‎∴x＝2是原方程的解，‎ 故原分式方程的解是x＝2．‎ ‎19．先化简，再求值：÷（a﹣），其中a﹣b＝2．‎ ‎【分析】先按照分式混合运算顺序与运算法则化简分式，再代值计算．‎ 解：原式＝，‎ 当a﹣b＝2时，原式＝．‎ ‎20．某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：‎ ‎（1）学校这次调查共抽取了　100　名学生；‎ ‎（2）求抽取的学生中喜欢书法的人数，并补全条形统计图；‎ ‎（3）在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为　36　度；‎ ‎（4）设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．‎ ‎【分析】（1）根据爱好舞蹈的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；‎ ‎（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以得到抽取的学生中喜欢书法的人数，并补全条形统计图；‎ ‎（3）根据扇形统计图中的数据，可以得到在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数；‎ ‎（4）根据统计图中的数据，可以得到该校有多少名学生喜欢足球．‎ 解：（1）学校这次调查共抽取了：25÷25%＝100名学生，‎ 故答案为：100；‎ ‎（2）喜欢书法的人数为：100×（1﹣30%﹣10%﹣20%﹣25%）＝15，‎ 补全的条形统计图如右图所示；‎ ‎（3）在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为：360°×10%＝36°，‎ 故答案为：36；‎ ‎（4）2000×30%＝600（名），‎ 答：该校有600名学生喜欢足球．‎ ‎21．为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的1.5倍，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？‎ ‎【分析】设原计划每天种树x棵． 根据工作时间＝，列出方程，解答即可．‎ 解：‎ 设原计划每天种树x棵．‎ 由题意，得＝+4，‎ 解得，x＝40，‎ 经检验，x＝40是原方程的解．‎ 答：原计划每天种树40棵．‎ ‎22．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．‎ ‎（1）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转90°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形．‎ ‎（2）平移△A1B1C，使点A1的对应点A2坐标为（2，0），请画出平移后对应的△A2B2C2的图形．‎ ‎（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．‎ ‎【分析】（1）分别作出A，B的对应点A1，B1即可．‎ ‎（2）分别作出A1，B1，C的对应点A2，B2，C2即可．‎ ‎（3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．‎ 解：（1）如图，△A1B1C即为所求．‎ ‎（2）如图，△A2B2C2即为所求．‎ ‎（3）如图，点（﹣1，﹣1）即为所求．‎ ‎23．如图，一次函数y＝x+6的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于A（﹣1，a）、B（b，1）两点．‎ ‎（1）求a、b、k的值；‎ ‎（2）当一次函数的值大于反比例函数的值时，根据图象写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）求△ABO的面积．‎ ‎【分析】（1）分别把A（﹣1，a）、B（b，1）代入y＝x+6可求出a、b的值，从而得到A、B点的坐标，然后把A点坐标代入y＝中得到k的值；‎ ‎（2）结合函数图象，在第四象限内，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可；‎ ‎（3）直线y＝x+6与x轴交于点C，如图，先确定C（﹣6，0），再根据三角形面积公式，利用S△OAB＝S△OAC﹣S△BOC进行计算．‎ 解：（1）把A（﹣1，a）代入y＝x+6得a＝﹣1+6＝5，‎ ‎∴A（﹣1，5），‎ 把B（b，1）代入y＝x+6得b+6＝1，解得b＝﹣5，‎ 把A（﹣1，5）代入y＝得k＝﹣1×5＝﹣5；‎ ‎（2）∵A（﹣1，5），B（﹣5，1），‎ ‎∴当一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围为﹣5＜x＜﹣1；‎ ‎（3）直线y＝x+6与x轴交于点C，如图，则C（﹣6，0），‎ ‎∴S△OAB＝S△OAC﹣S△BOC ‎＝×6×5﹣×6×1‎ ‎＝12．‎ ‎24．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．‎ ‎（1）求证：四边形BPEQ是菱形；‎ ‎（2）若AB＝6，BE＝10，求PQ的长．‎ ‎【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得PB＝PE，OB＝OE，由“ASA”可证△BOQ≌△EOP，可得PE＝QB，利用菱形的判定可证四边形BPEQ是菱形；‎ ‎（2）由勾股定理可求AE＝8，利用勾股定理列出方程，可求PE的长，由菱形的性质和勾股定理可求PQ的长．‎ ‎【解答】证明：（1）∵PQ垂直平分BE，‎ ‎∴PB＝PE，OB＝OE，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠PEO＝∠QBO，‎ 在△BOQ与△EOP中，‎ ‎，‎ ‎∴△BOQ≌△EOP（ASA），‎ ‎∴PE＝QB，‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形BPEQ是平行四边形，‎ 又∵PB＝PE，‎ ‎∴四边形BPEQ是菱形；‎ ‎（2）∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A＝90°‎ ‎∴AE＝＝＝8‎ 设PE＝y，则AP＝8﹣y，BP＝PE＝y，‎ 在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2＝y2，‎ 解得，‎ ‎∴BP＝PE＝，‎ ‎∵四边形BPEQ是菱形，‎ ‎∴，‎ 在Rt△EOP中，，‎ ‎∴．‎ ‎25．点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG，连接AF、BD．‎ ‎（1）如图①，AF与BD的数量关系和位置关系分别为　AF＝BD，AF⊥BD　；‎ ‎（2）将正方形BCFG绕着点C顺时针旋转α角（0°＜α＜360°），‎ ‎①如图②，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由．‎ ‎②若AC＝4，BC＝2，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，求DB的长度．‎ ‎【分析】（1）证△ACF≌△DCB（SAS），得出AF＝BD，∠CAF＝∠CDB，由直角三角形的性质和对顶角相等证出∠DHF＝90°，得出AF⊥BD即可；‎ ‎（2）①设AF交CD于点M，证△ACF≌△DCB（SAS），得出AF＝BD，∠CAF＝∠CDB，由直角三角形的性质和对顶角相等得出∠DHM＝90°，得出AF⊥BD即可；②分两种情况，连接CG交BF于O，求出BF＝CG＝BC＝4，OB＝OF＝OC＝BF＝2，由勾股定理得出AO＝2，即可得出答案；‎ 度为2+2或2﹣2．‎ 解：（1）AF与BD的数量关系和位置关系分别为AF＝BD，AF⊥BD，理由如下：‎ 延长AF交BD于H，如图①所示：‎ ‎∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，‎ ‎∴AC＝CD，CF＝CB，∠ACF＝∠DCB＝90°，‎ ‎∴∠CAF+∠AFC＝90°，‎ 在△ACF和△DCB中，，‎ ‎∴△ACF≌△DCB（SAS），‎ ‎∴AF＝BD，∠CAF＝∠CDB，‎ ‎∵∠DFH＝∠AFC，‎ ‎∴∠CDB+∠DFH＝∠CAF+∠AFC＝90°，‎ ‎∴∠DHF＝90°，‎ ‎∴AF⊥BD；‎ 故答案为：AF＝BD，AF⊥BD；‎ ‎（2）①第（1）问的结论仍然成立，理由如下：‎ 设AF交CD于点M，如图②所示：‎ ‎∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，‎ ‎∴AC＝CD，CF＝CB，∠ACD＝∠FCB＝90°，‎ ‎∴∠CAF+∠AMC＝90°，‎ ‎∴∠ACD+∠DCF＝∠FCB+∠DCF，‎ 即∠ACF＝∠BCD，‎ 在△ACF和△DCB中，，‎ ‎∴△ACF≌△DCB（SAS），‎ ‎∴AF＝BD，∠CAF＝∠CDB，‎ ‎∵∠DMH＝∠AMC，‎ ‎∴∠CDB+∠DMH＝∠CAF+∠AMC＝90°，‎ ‎∴∠DHM＝90°，‎ ‎∴AF⊥BD；‎ ‎②分两种情况：‎ a、如图③所示：连接CG交BF于O，‎ ‎∵四边形BCFG是正方形，‎ ‎∴CB＝FB，BF⊥CG，∠BGF＝90°，OB＝OF＝OC＝OG，‎ ‎∴BF＝CG＝BC＝×2＝4，OB＝OF＝OC＝BF＝2，‎ ‎∴AO＝＝＝2，‎ ‎∴AF＝AO+OF＝2+2，‎ 由（2）得：AF＝DB，‎ ‎∴DB＝2+2；‎ b、如图④所示：连接CG交BF于O，‎ 同上得：OB＝OF＝OC＝BF＝2，AO＝＝＝2，‎ ‎∴AF＝AO﹣OF＝2﹣2，‎ 由（2）得：AF＝DB，‎ ‎∴DB＝2﹣2；‎ 综上所述，当正方形BCFG绕着点C顺时针旋转到点A、B、F三点共线时，DB的长度为2+2或2﹣2．‎ ‎26．如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝交于A（1，t+2），B（﹣2t，﹣1）两点．‎ ‎（1）求一次函数和反比例函数的函数表达式；‎ ‎（2）点C（x1，y1）和D（x2，y2）是反比例函数y＝图象上任意两点，‎ ‎①若x1＜x2＜0，p＝，q＝，试判断p、q的大小关系，并说明理由；‎ ‎②若x1＜﹣4，0＜x2＜1，过C、D两点分别作直线AB的垂线，垂足分别为E、F，当x1x2＝﹣4时，判断四边形CEFD的形状，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）用待定系数法求解求解；‎ ‎（2）①p＝（y1+y2）＝（+）＝，q＝，p﹣q＝﹣＝，由x1＜x2＜0，即可求解；‎ ‎②先证明四边形CEFD为平行四边形，又CE⊥AB，则四边形CEFD为矩形．‎ 解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：1×（t+2）＝﹣1×（﹣2t），解得：t＝2，‎ 故点A、B的坐标分别为（1，4）、（﹣4，﹣1），‎ 故反比例函数表达式为：y＝；‎ 将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝1，b＝3，‎ 故一次函数的表达式为：y＝x+3；‎ ‎（2）①p＜q，理由：‎ 设反比例函数过点C（x1，y1）、D（x2，y2），‎ 则y1＝，y2＝，‎ p＝（y1+y2）＝（+）＝，‎ q＝，‎ p﹣q＝﹣＝，‎ ‎∵x1＜x2＜0，‎ ‎∴x1x2＞0，x1+x2＜0，‎ ‎∴p﹣q＜0，‎ 故p＜q；‎ ‎②由题意知，点C、D的坐标分别为（x1，）、（x2，），‎ 设直线CD的表达式为：y＝ax+b，‎ 将点C、D的坐标代入上式得，解得：a＝﹣，‎ ‎∵x1x2＝﹣4＝﹣4a，解得：a＝1，‎ ‎∵a＝k＝1，‎ ‎∴CD∥AB，‎ 又∵CE∥DF，‎ ‎∴四边形CEFD为平行四边形，‎ 又∵CE⊥AB，‎ ‎∴四边形CEFD为矩形．‎