2019-2020学年北京市门头沟区八年级下学期期末数学试卷 （解析版）

2019-2020学年北京市门头沟区八年级下学期期末数学试卷 （解析版）

‎2019-2020学年北京市门头沟区八年级第二学期期末数学试卷 一、选择题 ‎1．在平面直角坐标系中，以下各点坐标属于第二象限的点的坐标为（　　）‎ A．（2，0） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（2，﹣1）‎ ‎2．已知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是（　　）‎ A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 ‎3．关于x的方程x+x﹣3＝0是一元二次方程，则（　　）‎ A．m＝﹣3 B．m＝‎2 ‎C．m＝3 D．m＝±3‎ ‎4．下列图象中，y是x的函数的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．下面图形中是中心对称但不是轴对称图形的是（　　）‎ A．平行四边形 B．长方形 C．菱形 D．正方形 ‎6．方差是表示一组数据的（　　）‎ A．平均水平 B．数据个数 ‎ C．最大值或最小值 D．波动大小 ‎7．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值是（　　）‎ A．0 B．‎2 ‎C．﹣2 D．2或﹣2‎ ‎8．甲、乙二人约好沿同一路线去某地集合进行宣传活动，如图，是甲、乙二人行走的图象，点O代表的是学校，x表示的是行走时间（单位：分），y表示的是与学校的距离（单位：米），最后都到达了目的地，根据图中提供的信息，下面有四个推断：‎ ‎①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；‎ ‎②甲先到达的目的地；‎ ‎⑧甲在停留10分钟之后提高了行走速度；‎ ‎④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．‎ 所有正确推断的序号是（　　）‎ A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④‎ 二、填空题（本题共16分，每小题2分）‎ ‎9．函数y＝自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎10．已知平行四边形邻边之比是1：2，周长是18，则较短的边的边长是　 　．‎ ‎11．写出一个一元二次方程，两个根之中有一个为2，此方程可以为　 　．‎ ‎12．有一组样本容量为20的数据，分别是：7、10、8、14、9、7、12、11、10、8、13、10、8、11、10、9、12、9、13、11，那么该样本数据落在范围8.5～10.5内的频率是　 　．‎ ‎13．点A（﹣2，﹣4）到x轴的距离为　 　．‎ ‎14．如图，在平行四边形ABCD中，ED＝2，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则CD的长为　 　．‎ ‎15．已知一次函数表达式为y＝x+2，该图象与坐标轴围成的三角形的面积为　 　．‎ ‎16．如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E在运动过程中，有如下结论：‎ ‎①可以得到无数个平行四边形EGFH；‎ ‎②可以得到无数个矩形EGFH；‎ ‎③可以得到无数个菱形EGFH；‎ ‎④至少得到一个正方形EGFH．‎ 所有正确结论的序号是　 　．‎ 三、解答题（本题共68分，第17-19题各5分；第20题6分；第21-24题各5分；第25、26题各6分；第27题7分，第28题8分）解答应写出文字说明、步骤或证明过程.‎ ‎17．阅读下面材料：‎ 在数学课上，老师提出如下问题：‎ 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．‎ 求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．‎ 小军的作法如下：‎ ‎（1）连接AC；‎ ‎（2）作AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于E，F；‎ ‎（3）连接AE，CF．‎ 所以四边形AECF是菱形．‎ 老师说：“小军的作法正确．”以下是一种证明思路，请结合作图过程补全填空，‎ 由作图和已知可以得到：△AOF≌△COE（依据：　 　）；‎ ‎∴AF＝CE；‎ ‎∵　 　；‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形（依据：　 　）；‎ ‎∵EF垂直平分AC；‎ ‎∴　 　（依据：　 　）；‎ ‎∴四边形AECF是菱形．‎ ‎18．已知：一次函数y＝（2﹣m）x+m﹣3．‎ ‎（1）如果此函数图象经过原点，那么m应满足的条件为　 　；‎ ‎（2）如果此函数图象经过第二、三、四象限，那么m应满足的条件为　 　；‎ ‎（3）如果此函数图象与y轴交点在x轴下方，那么m应满足的条件为　 　；‎ ‎（4）如果此函数图象与y轴交点到x轴的距离为2，那么m应满足的条件为　 　．‎ ‎19．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0．‎ ‎20．判断方程4x2﹣1＝3x是否有解，如果有，请求出该方程的解；如果没有，请说明理由．‎ ‎21．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且DF∥BE．求证：四边形BEDF是平行四边形．‎ ‎22．如图，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，点C到x轴的距离为1．‎ ‎（1）点B的坐标为　 　；点C的坐标为　 　；‎ ‎（2）点P为线段OA上的一动点，当PC+PB最小时，画出示意图并直接写出最小值．‎ ‎23．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F．‎ ‎（1）求证：AE＝BC；‎ ‎（2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长．‎ ‎24．阅读理解：‎ 由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交点横坐标，是一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解；在x轴下方的图象所对应的x的所有值是kx+b＜0（k≠0）的解集，在x轴上方的图象所对应的x的所有值是kx+b＞0（k≠0）的解集．‎ 例，如图1，一次函数kx+b＝0（k≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），则可以得到关于x的一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解是x＝1；kx+b＜0（k≠0）的解集为x＜1．‎ 结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：‎ ‎（1）通过图1可以得到kx+b＞0（k≠0）的解集为　 　；‎ ‎（2）通过图2可以得到 ‎①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为　 　；‎ ‎②关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为　 　．‎ ‎25．垃圾分类全民开始行动，为了了解学生现阶段对于“垃圾分类”知识的掌握情况，某校组织全校1000名学生进行垃圾分类答题测试，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图：‎ 分组/分 频数 频率 ‎50≤x＜60‎ ‎12‎ ‎0.12‎ ‎60≤x＜70‎ a ‎0.10‎ ‎70≤x＜80‎ ‎32‎ ‎0.32‎ ‎80≤x＜90‎ ‎20‎ ‎0.20‎ ‎90≤x≤100‎ c b 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎（1）表中的a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；‎ ‎（2）把上面的频数分布直方图补充完整；‎ ‎（3）如果成绩达到80及80分以上者为测试通过，那么请你估计该校测试通过的学生大约有多少人；对于此结果你有什么建议．‎ ‎26．如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横纵坐标都为整数的点叫做“整点坐标”，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与直线x＝3及x轴围成三角形．‎ ‎（1）正比例函数y＝kx（k≠0）图象过点（1，1）；‎ ‎①k的值为　 　；‎ ‎②该三角形内的“整点坐标”有　 　个；‎ ‎（2）如果在x轴上方由已知形成的三角形内有3个“整点坐标”，求k的取值范围．‎ ‎27．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF．‎ ‎（1）按已知补全图形；‎ ‎（2）用等式表示线段BF与AE的数量关系并证明．‎ ‎（提示：可以通过旋转的特征构造全等三角形，从而可以得到线段间的数量关系，再去发现生成的特殊的三角形，问题得以解决）‎ ‎28．我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y）如果满足x＝2|y|，我们就把点P（x，y）称作“特征点”．‎ ‎（1）在直线x＝4上的“特征点”为　 　；‎ ‎（2）一次函数y＝x﹣2的图象上的“特征点”为　 　；‎ ‎（3）有线段MN，点M、N的坐标分别为M（1，a）、N（4，a），如果线段MN上始终存在“特征点”，求a的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.‎ ‎1．在平面直角坐标系中，以下各点坐标属于第二象限的点的坐标为（　　）‎ A．（2，0） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（2，﹣1）‎ ‎【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，直接得出答案即可．‎ 解：∵点在第二象限，‎ ‎∴点的横坐标是负数，纵坐标是正数，‎ ‎∴只有B符合要求．‎ 故选：B．‎ ‎2．已知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是（　　）‎ A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 ‎【分析】根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于360°，列出方程，解出即可．‎ 解：设这个多边形的边数为n，‎ 则有（n﹣2）180°＝360°，‎ 解得：n＝4，‎ 故这个多边形是四边形．‎ 故选：A．‎ ‎3．关于x的方程x+x﹣3＝0是一元二次方程，则（　　）‎ A．m＝﹣3 B．m＝‎2 ‎C．m＝3 D．m＝±3‎ ‎【分析】根据一元二次方程的定义列出关于m的方程，解之可得答案．‎ 解：∵关于x的方程x﹣7+x﹣3＝0是一元二次方程，‎ ‎∴m2﹣7＝2，‎ 解得m＝±3，‎ 故选：D．‎ ‎4．下列图象中，y是x的函数的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的意义即可求出答案．‎ 解：A、C、D选项中对于x的每一个确定的值，y可能会有两个值与其对应，不符合函数的定义，‎ 只有B选项对于x的每一个确定的值，y有唯一的值与之对应，符合函数的定义．‎ 故选：B．‎ ‎5．下面图形中是中心对称但不是轴对称图形的是（　　）‎ A．平行四边形 B．长方形 C．菱形 D．正方形 ‎【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．‎ 解：A、平行四边形是中心对称但不是轴对称图形，故本选项正确；‎ B、长方形是中心对称也是轴对称图形，故本选项错误；‎ C、菱形是中心对称也是轴对称图形，故本选项错误；‎ D、正方形是中心对称也是轴对称图形，故本选项错误．‎ 故选：A．‎ ‎6．方差是表示一组数据的（　　）‎ A．平均水平 B．数据个数 ‎ C．最大值或最小值 D．波动大小 ‎【分析】根据方差的意义即可得出答案．‎ 解：方差表示一组数据的波动大小，‎ 故选：D．‎ ‎7．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值是（　　）‎ A．0 B．‎2 ‎C．﹣2 D．2或﹣2‎ ‎【分析】根据方程根的定义把x＝0代入即可得出a的值．‎ 解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，‎ ‎∴a2﹣4＝0，‎ 解得a＝±2，‎ ‎∵a﹣2≠0，‎ ‎∴a≠2，‎ ‎∴a＝﹣2．‎ 故选：C．‎ ‎8．甲、乙二人约好沿同一路线去某地集合进行宣传活动，如图，是甲、乙二人行走的图象，点O代表的是学校，x表示的是行走时间（单位：分），y表示的是与学校的距离（单位：米），最后都到达了目的地，根据图中提供的信息，下面有四个推断：‎ ‎①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；‎ ‎②甲先到达的目的地；‎ ‎⑧甲在停留10分钟之后提高了行走速度；‎ ‎④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快．‎ 所有正确推断的序号是（　　）‎ A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④‎ ‎【分析】根据函数图象中的数据得出路程、时间与速度，进而解答即可．‎ 解：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了20﹣10＝10分钟，说法正确；‎ ‎②甲在35分时到达，乙在40分时到达，所以甲先到达的目的地，说法正确；‎ ‎⑧甲在停留10分钟之后减慢了行走速度，说法错误；‎ ‎④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快，说法正确；‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本题共16分，每小题2分）‎ ‎9．函数y＝自变量x的取值范围是　x≥5　．‎ ‎【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．‎ 解：根据题意得，x﹣5≥0，‎ 解得x≥5．‎ 故答案为：x≥5‎ ‎10．已知平行四边形邻边之比是1：2，周长是18，则较短的边的边长是　3　．‎ ‎【分析】可先设出两边的长度，再利用周长建立方程，进而求解即可．‎ 解：∵平行四边形的周长是18，一组邻边之比是1：2，‎ ‎∴设两邻边分别为x，2x，‎ 则2（x+2x）＝18，‎ 解得：x＝3，‎ ‎∴较短的边的边长是3，‎ 故答案为：3．‎ ‎11．写出一个一元二次方程，两个根之中有一个为2，此方程可以为　x2＝4（答案不唯一）　．‎ ‎【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．本题答案不唯一．‎ 解：答案不唯一，如x2＝4等．‎ 故答案为：x2＝4（答案不唯一）．‎ ‎12．有一组样本容量为20的数据，分别是：7、10、8、14、9、7、12、11、10、8、13、10、8、11、10、9、12、9、13、11，那么该样本数据落在范围8.5～10.5内的频率是　0.35　．‎ ‎【分析】先找到数据落在范围8.5～10.5内的个数，再除以数据的总个数可得答案．‎ 解：该样本数据落在范围8.5～10.5内的有10、9、10、10、10、9、9这7个，‎ ‎∴该样本数据落在范围8.5～10.5内的频率是＝0.35，‎ 故答案为：0.35．‎ ‎13．点A（﹣2，﹣4）到x轴的距离为　4　．‎ ‎【分析】根据平面内一点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值解答即可．‎ 解：点A（﹣2，﹣4）到x轴的距离是4．‎ 故答案为4．‎ ‎14．如图，在平行四边形ABCD中，ED＝2，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则CD的长为　3　．‎ ‎【分析】根据角平分线定义求出∠ABE＝∠EBC，根据平行线的性质得出∠AED＝∠EBC，推出∠ABE＝∠AED，根据等腰三角形的判定得出AB＝AE，即可得出答案．‎ 解：∵∠ABC的平分线交AD于点E，‎ ‎∴∠ABE＝∠EBC，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AB＝CD，‎ ‎∴∠AED＝∠EBC，‎ ‎∴∠ABE＝∠AED，‎ ‎∴AB＝AE，‎ ‎∵BC＝5，DE＝2，‎ ‎∴AB＝AE＝5﹣2＝3，‎ ‎∴CD＝AB＝3，‎ 故答案为：3．‎ ‎15．已知一次函数表达式为y＝x+2，该图象与坐标轴围成的三角形的面积为　2　．‎ ‎【分析】结合一次函数y＝x+2的图象可以求出图象与x轴的交点（﹣2，0）以及y轴的交点（0，2）可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积．‎ 解：∵令y＝0，则x＝﹣2；令x＝0，则y＝2，‎ ‎∴一次函数y＝﹣x+2的图象可以求出图象与x轴的交点（﹣2，0），与y轴的交点为（0，2）‎ ‎∴S＝×2×2＝2，‎ 故答案为：2．‎ ‎16．如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E在运动过程中，有如下结论：‎ ‎①可以得到无数个平行四边形EGFH；‎ ‎②可以得到无数个矩形EGFH；‎ ‎③可以得到无数个菱形EGFH；‎ ‎④至少得到一个正方形EGFH．‎ 所有正确结论的序号是　①③④　．‎ ‎【分析】由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE＝OF，HO＝GO，可证四边形EGFH是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG＝OF，‎ 可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．‎ 解：如图，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，‎ ‎∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，‎ ‎∴△AOE≌△COF（AAS），‎ ‎∴OE＝OF，‎ ‎∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，‎ ‎∴GH过点O，GH⊥EF，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，‎ ‎∴△AHO≌△CGO（AAS），‎ ‎∴HO＝GO，‎ ‎∴四边形EGFH是平行四边形，‎ ‎∵EF⊥GH，‎ ‎∴四边形EGFH是菱形，‎ ‎∵点E是AB上的一个动点，‎ ‎∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，‎ 随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，‎ 故①③正确；‎ 若四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；‎ ‎∵EF⊥GH，‎ ‎∴∠GOF＝90°；‎ ‎∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°‎ ‎∴∠BOG＝∠COF；‎ 在△BOG和△COF中 ‎，‎ ‎∴△BOG≌△COF（ASA）；‎ ‎∴OG＝OF，‎ 同理可得：EO＝OH，‎ ‎∴GH＝EF；‎ ‎∴四边形EGFH是正方形，‎ ‎∵点E是AB上的一个动点，‎ ‎∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，‎ 故答案为：①③④．‎ 三、解答题（本题共68分，第17-19题各5分；第20题6分；第21-24题各5分；第25、26题各6分；第27题7分，第28题8分）解答应写出文字说明、步骤或证明过程.‎ ‎17．阅读下面材料：‎ 在数学课上，老师提出如下问题：‎ 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．‎ 求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．‎ 小军的作法如下：‎ ‎（1）连接AC；‎ ‎（2）作AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于E，F；‎ ‎（3）连接AE，CF．‎ 所以四边形AECF是菱形．‎ 老师说：“小军的作法正确．”以下是一种证明思路，请结合作图过程补全填空，‎ 由作图和已知可以得到：△AOF≌△COE（依据：　ASA　）；‎ ‎∴AF＝CE；‎ ‎∵　AF∥CE　；‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形（依据：　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形　）；‎ ‎∵EF垂直平分AC；‎ ‎∴　AF＝FC　（依据：　垂直平分线的上的点到线段两个端点的距离相等　）；‎ ‎∴四边形AECF是菱形．‎ ‎【分析】根据菱形的判定，结合作图过程即可补全填空．‎ 解：根据作图过程可知：‎ ‎△AOF≌△COE（ASA）；‎ ‎∴AF＝CE；‎ ‎∵AF∥CE；‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；‎ ‎∵EF垂直平分AC；‎ ‎∴AF＝FC（垂直平分线的上的点到线段两个端点的距离相等）；‎ ‎∴四边形AECF是菱形．‎ 故答案为：ASA；AF∥CE；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；AF＝FC；垂直平分线的上的点到线段两个端点的距离相等．‎ ‎18．已知：一次函数y＝（2﹣m）x+m﹣3．‎ ‎（1）如果此函数图象经过原点，那么m应满足的条件为　m＝3　；‎ ‎（2）如果此函数图象经过第二、三、四象限，那么m应满足的条件为　2＜m＜3　；‎ ‎（3）如果此函数图象与y轴交点在x轴下方，那么m应满足的条件为　m＜3且m≠2　；‎ ‎（4）如果此函数图象与y轴交点到x轴的距离为2，那么m应满足的条件为　m＝5或m＝1　．‎ ‎【分析】（1）将点（0，0）代入一次函数解析式，即可求出m的值；‎ ‎（2）根据一次函数的性质知，当该函数的图象经过第二、三、四象限时，2﹣m＜0，且m﹣3＜0，即可求出m的范围；‎ ‎（3）先求出一次函数y＝（2﹣m）x+m﹣3与y轴的交点坐标，再根据图象与y轴交点在x轴下方得到2﹣m≠0且m﹣3＜0，即可求出m的范围；‎ ‎（4）先求出一次函数y＝（2﹣m）x+m﹣3与y轴的交点坐标，再根据图象与y轴交点到x轴的距离为2，得出交点的纵坐标的绝对值等于2，即可求出m的值．‎ 解：（1）∵一次函数y＝（2﹣m）x+m﹣3的图象过原点，‎ ‎∴m﹣3＝0，‎ 解得m＝3．‎ 故答案为：m＝3；‎ ‎（2）∵该函数的图象经过第二、三、四象限，‎ ‎∴2﹣m＜0，且m﹣3＜0，‎ 解得2＜m＜3．‎ 故答案为：2＜m＜3；‎ ‎（3）∵y＝（2﹣m）x+m﹣3，‎ ‎∴当x＝0时，y＝m﹣3，‎ 由题意，得2﹣m≠0且m﹣3＜0，‎ ‎∴m＜3且m≠2．‎ 故答案为：m＜3且m≠2；‎ ‎（4）∵y＝（2﹣m）x+m﹣3，‎ ‎∴当x＝0时，y＝m﹣3，‎ 由题意，得2﹣m≠0且|m﹣3|＝2，‎ ‎∴m＝5或m＝1．‎ 故答案为：m＝5或m＝1．‎ ‎19．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0．‎ ‎【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．‎ 解：∵x2﹣2x﹣＝1＝0，‎ ‎∴x2﹣2x＝1，‎ 则x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，‎ ‎∴x﹣1＝，‎ ‎∴x＝1，‎ 即x1＝1+，x2＝1﹣．‎ ‎20．判断方程4x2﹣1＝3x是否有解，如果有，请求出该方程的解；如果没有，请说明理由．‎ ‎【分析】先把方程化为一般式得到4x2﹣3x﹣1＝0，再计算出△＝﹣7，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．‎ 解：4x2﹣1＝3x，‎ 移项得4x2﹣3x﹣1＝0，‎ ‎∵△＝（﹣3）2﹣4×4×（﹣1）＝25＞0，‎ ‎∴原方程有解，‎ x1＝＝﹣，x2＝＝1．‎ 故方程的解为x1＝﹣，x2＝1．‎ ‎21．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且DF∥BE．求证：四边形BEDF 是平行四边形．‎ ‎【分析】证△ADF≌△CBE（AAS），得出DF＝BE，由DF∥BE，即可得出四边形BEDF是平行四边形．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD＝BC，AD∥BC，‎ ‎∴∠DAF＝∠BCE，‎ ‎∵DF∥BE，‎ ‎∴∠DFE＝∠BEF，‎ ‎∴∠AFD＝∠CEB，‎ 在△ADF和△CBE中，，‎ ‎∴△ADF≌△CBE（AAS），‎ ‎∴DF＝BE，‎ 又∵DF∥BE，‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形．‎ ‎22．如图，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，点C到x轴的距离为1．‎ ‎（1）点B的坐标为　（0，2）　；点C的坐标为　（﹣2，1）　；‎ ‎（2）点P为线段OA上的一动点，当PC+PB最小时，画出示意图并直接写出最小值．‎ ‎【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求得B、C的坐标；‎ ‎（2）作B点关于x轴的对称点B′，连接B′C，交x轴于P点，此时PC+PB的值最小，根据勾股定理即可求得最小值．‎ 解：（1）∵直线y＝x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，‎ ‎∴B（0，2），‎ ‎∵点C到x轴的距离为1．‎ ‎∴点C的纵坐标为1，‎ ‎∴y＝1时，1＝x+2，‎ 解得x＝﹣2，‎ ‎∴C（﹣2，1），‎ 故答案为（0，2），（﹣2，1）；‎ ‎（2）作B点关于x轴的对称点B′，连接B′C，交x轴于P点，此时PC+PB＝PC+PB′＝B′C，则PC+PB的值最小，‎ ‎∵B（0，2），‎ ‎∴B（0，﹣2），‎ ‎∴B′C＝＝，‎ ‎∴PC+PB的最小值为．‎ ‎23．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F．‎ ‎（1）求证：AE＝BC；‎ ‎（2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长．‎ ‎【分析】（1）证出∠AFD＝∠B，AB＝DF，由AAS证明△ABE≌△DFA，得出对应边相等即可．‎ ‎（2）由全等三角形的性质得出BE＝AF＝4，AE＝BC，由勾股定理求出AE＝5，得出BC＝5，即可得出答案．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC，‎ ‎∴∠AEB＝∠DAF，‎ ‎∵DF⊥AE，‎ ‎∴∠AFD＝90°＝∠B，‎ ‎∵DF＝DC，‎ ‎∴AB＝DF，‎ 在△ABE和△DFA中，，‎ ‎∴△ABE≌△DFA（AAS），‎ ‎∴AE＝AD，‎ ‎∴AE＝BC；‎ ‎（2）解：由（1）得：△ABE≌△DFA，‎ ‎∴BE＝AF＝4，AE＝BC，‎ ‎∵∠B＝90°，‎ ‎∴AE＝＝＝5，‎ ‎∴BC＝5，‎ ‎∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1．‎ ‎24．阅读理解：‎ 由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交点横坐标，是一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解；在x轴下方的图象所对应的x的所有值是kx+b＜0（k≠0）的解集，在x轴上方的图象所对应的x的所有值是kx+b＞0（k≠0）的解集．‎ 例，如图1，一次函数kx+b＝0（k≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），则可以得到关于x的一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解是x＝1；kx+b＜0（k≠0）的解集为x＜1．‎ 结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：‎ ‎（1）通过图1可以得到kx+b＞0（k≠0）的解集为　x＞1　；‎ ‎（2）通过图2可以得到 ‎①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为　x1＝﹣1，x2＝2　；‎ ‎②关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为　x1＜﹣1，x2＞2　．‎ ‎【分析】（1）利用直线与x轴交点即为y＝0时，对应x的值，进而得出答案；‎ ‎（2）利用抛物线与x轴交点即为y＝0时，对应x的值，进而得出答案；‎ ‎（3）利用不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集即为x轴上方对应x的值，即可得出答案．‎ 解：（1）通过图1可以得到kx+b＞0（k≠0）的解集为x＞1；‎ ‎（2）通过图2可以得到 ‎①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝﹣1，x2＝2；‎ ‎②关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为x1＜﹣1，x2＞2．‎ 故答案为：x＞1；x1＝﹣1，x2＝2；x1＜﹣1，x2＞2．‎ ‎25．垃圾分类全民开始行动，为了了解学生现阶段对于“垃圾分类”知识的掌握情况，某校组织全校1000名学生进行垃圾分类答题测试，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图：‎ 分组/分 频数 频率 ‎50≤x＜60‎ ‎12‎ ‎0.12‎ ‎60≤x＜70‎ a ‎0.10‎ ‎70≤x＜80‎ ‎32‎ ‎0.32‎ ‎80≤x＜90‎ ‎20‎ ‎0.20‎ ‎90≤x≤100‎ c b 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎（1）表中的a＝　10　，b＝　0.26　，c＝　26　；‎ ‎（2）把上面的频数分布直方图补充完整；‎ ‎（3）如果成绩达到80及80分以上者为测试通过，那么请你估计该校测试通过的学生大约有多少人；对于此结果你有什么建议．‎ ‎【分析】（1）第一组的频数为12，频率为0.12，可求出调查人数，进而求出a的值，根据频率之和为1，求出b的值，再根据频数之和为100，求出c的值；‎ ‎（2）根据（1）中的频数，可补全频数分布直方图；‎ ‎（3）求出80分以上所占的百分比为26%+20%＝46%，进而求出测试通过的人数，根据结果提出建议．‎ 解：（1）12÷0.12＝100（人），a＝100×0.10＝10（人），‎ b＝1﹣0.12﹣0.10﹣0.32﹣0.20＝0.26，‎ c＝100×0.26＝26（人），‎ 故答案为：10，0.26，26；‎ ‎（2）由（1）得，a＝10，c＝26，可补全频数分布直方图，‎ ‎（3）1000×（26%+20%）＝460（人），‎ 由于测试通过的学生人数所占的百分比为46%，不到一半，因此测试通过率较低，还需进一步加强学习，宣传，增强“垃圾分类”的意识，自觉进行“垃圾分类”．‎ ‎26．如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横纵坐标都为整数的点叫做“整点坐标”，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与直线x＝3及x轴围成三角形．‎ ‎（1）正比例函数y＝kx（k≠0）图象过点（1，1）；‎ ‎①k的值为　1　；‎ ‎②该三角形内的“整点坐标”有　1　个；‎ ‎（2）如果在x轴上方由已知形成的三角形内有3个“整点坐标”，求k的取值范围．‎ ‎【分析】（1）①把（1，1）代入y＝kx，可求出k的值，②画出函数的图象，可知三角形内有1个“整点坐标”；‎ ‎（2）当直线y＝x绕着点O逆时针旋转时，就有3个“整点坐标”，即k＞1，‎ 当直线y＝kx过点D（2，3）时，k取最大值，可得取值范围．‎ 解：（1）①∵正比例函数y＝kx（k≠0）图象过点（1，1），‎ ‎∴代入得：1＝k，‎ 即k＝1，‎ 故答案为：1；‎ ‎②如图，直线y＝x、直线x＝3和x轴围成的三角形是ABC，‎ 则三角形ABC内的“整点坐标”有点，（2，1），共1个，‎ 故答案为：1；‎ ‎（2）当直线y＝kx过点D（2，3）时，其关系式为y＝x，‎ 当直线y＝kx过点A（3，3）时，其关系式为y＝x，‎ ‎∴当三角形内有3个“整点坐标”，k的取值范围为1＜k≤．‎ ‎27．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，将线段ED绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接BF．‎ ‎（1）按已知补全图形；‎ ‎（2）用等式表示线段BF与AE的数量关系并证明．‎ ‎（提示：可以通过旋转的特征构造全等三角形，从而可以得到线段间的数量关系，再去发现生成的特殊的三角形，问题得以解决）‎ ‎【分析】（1）根据要求画出图形即可．‎ ‎（2）结论：BF＝AE．过点F作FH⊥AB，交AB的延长线于H．证明△DAE≌△EHF（AAS），推出AE＝FH，AD＝EH，AB＝EH，推出AE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．‎ 解：（1）图形如图所示．‎ ‎（2）结论：BF＝AE．‎ 理由：过点F作FH⊥AB，交AB的延长线于H．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD＝AB，∠A＝90°，‎ ‎∵∠DEF＝∠H＝90°，‎ ‎∴∠A＝∠H＝90°，‎ ‎∵∠AED+∠FEH＝90°，∠FEH+∠EFH＝90°，‎ ‎∴∠AED＝∠AFH，‎ ‎∵DE＝EF，‎ ‎∴△DAE≌△EHF（AAS），‎ ‎∴AE＝FH，AD＝EH，‎ ‎∴AB＝EH，‎ ‎∴AE＝BH＝FH，‎ ‎∴BF＝FH＝AE．‎ ‎28．我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y）如果满足x＝2|y|，我们就把点P（x，y）称作“特征点”．‎ ‎（1）在直线x＝4上的“特征点”为　（4，2）或（4，﹣2）　；‎ ‎（2）一次函数y＝x﹣2的图象上的“特征点”为　（4，2）或（，﹣）　；‎ ‎（3）有线段MN，点M、N的坐标分别为M（1，a）、N（4，a），如果线段MN上始终存在“特征点”，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由“特征点”定义可求解；‎ ‎（2）由题意可得“特征点”在直线y＝或直线y＝﹣上，联立方程组，可求一次函数y＝x﹣2的图象上的“特征点”；‎ ‎（3）画出“特征点”函数图象，利用特殊点可求解．‎ 解：（1）∵x＝2|y|，且x＝4，‎ ‎∴y＝±2，‎ ‎∴在直线x＝4上的“特征点”为（4，2）或（4，﹣2），‎ 故答案为：（4，2）或（4，﹣2）；‎ ‎（2）∵x＝2|y|，‎ ‎∴y＝或y＝﹣，‎ ‎∴“特征点”在直线y＝或直线y＝﹣上，‎ 由题意可得：或，‎ 解得或，‎ ‎∴一次函数y＝x﹣2的图象上的“特征点”为（4，2）或（，﹣），‎ 故答案为：（4，2）或（，﹣）；‎ ‎（3）如图，‎ 当M（1，a）在直线y＝上时，‎ ‎∴a＝，‎ 当N（4，a）在直线y＝上时，‎ ‎∴a＝＝2，‎ ‎∴当≤a≤2时，线段MN上由“特征点”；‎ 当M（1，a）在直线y＝﹣上时，‎ ‎∴a＝﹣，‎ 当N（4，a）在直线y＝﹣上时，‎ ‎∴a＝＝﹣2，‎ ‎∴当﹣2≤a≤﹣时，线段MN上由“特征点”；‎ 综上所述：当≤a≤2或﹣2≤a≤﹣时，线段MN上始终存在“特征点”．‎