华师版数学八年级上册同步课件-第13章-13等腰三角形

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华师版数学八年级上册同步课件-第13章-13等腰三角形

第13章 全等三角形 13.3 等腰三角形 1 等腰三角形的性质 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边, 两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角. A CB 腰腰 底边 顶 角 底角底角 剪一张等腰三角形的半透明纸片,每人所剪的等腰三角 形的大小和形状可以不一样,如图,把纸片对折,让两腰AB、 AC重叠在一起,折痕为AD.你能发现什么现象吗? D A B C A B C D 等腰三角形的性质1 1.等腰三角形是轴对称图形. 我们可以得出结论: A CB D 折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴. 你还有新的发现吗? ∠B、∠C 是等腰三角形的 .底角 ∠B =∠C 所以我们可以描述为: 等腰三角形的两个底角相等. 2. 等腰三角形的性质: 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 【证明】 已知:如图,△ABC 中,AB=AC,求证:∠B=∠C . A B C 分析:由上述操作可以得到启发,即添加等腰三角形的顶角平 分线AD,然后证明△ABD ≌ △ACD. 证明:作顶角∠BAC的平分线AD. 在△ABD与△ACD中, AB=AC(已知), ∠1=∠2(已证), AD=AD(公共边), ∴ △ABD ≌ △ACD(S.A.S.), ∴ ∠B=∠C. 从这里你还可以得到什么结论? A B CD ( ( 1 2 【 想一想 刚才的证明除了能得到∠B=∠C ,你还能发现什么? 重合的线段 重合的角   A B D C AB=AC BD=CD AD=AD ∠B = ∠C ∠BAD = ∠CAD ∠ADB =∠ADC=90° 【性质】 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平 分线,互相重合(简称“三线合一”). A B CD ( ( 1 2 【填一填】根据等腰三角形性质完成下列填空. 在△ABC中, AB=AC时, (1)∵AD是底边上的高, ∴∠_____ = ∠_____,____= ____. (2) ∵AD是中线, ∴____⊥____ ,∠_____ =∠_____. (3) ∵AD是角平分线, ∴____ ⊥____ ,_____ =_____. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BCAD CD 【例1】 已知:在△ABC中 ,AB=AC,∠ B=80 °, 求∠ C和∠ A的大小. A B C ( = 80 ( AB AC C B       已知), 等边对等角). =180 ( 180 =180 ( =180 80 80 =20 . A B C A B C                    又 三角形的内角和 等于 ), 等式的性质) 解: 【例2】 在△ABC中 ,AB=AC,D是BC边上的中点, ∠B=30°.求:(1)∠ ADC的大小;(2)∠1的大小. A D C 1 2 (2)∵∠1 +∠B +∠ADB=180° (三角形内角和等于180°), ∠B=30° (已知), ∴∠1=180°-∠B-∠ADB =180°-30°-90°=60°. ∴AD⊥BC(等腰三角形 “三线合一”). ∴∠ADC =∠ADB=90°(垂直的定义). 解:(1) ∵AB = AC,BD=DC(已知), B 三条边都相等的三角形是等边三角形,它也是轴对称图形, 那么等边三角形的每个角的度数是多少呢?它有几条对称轴? 等边三角形的性质2 因为等边三角形是特殊的等腰三角形,由等腰三角形等 边对等角的性质得到,∠B= ∠ C, 同理可得 ∠A=∠B, 所以 ∠A=∠B=∠C, 又由 ∠A+∠B+∠C=180°, 从而推出 ∠A=∠B=∠C=60°. 也就是说:等边三角形的各个角都相等, 并且每一个角都等于60°. 等边三角形的三条边都相等,三个角 都相等,也称为正三角形. A C B 三条对称轴 A B C D 【例3】 如图,在△ABC中 ,AB=AC,点D在AC上,且 BD=BC=AD,求△ABC各角的度数. (1)找出图中所有相等的角; (2)指出图中有几个等腰三角形? ∠A=∠ABD, ∠C=∠BDC=∠ABC. △ABC, △ABD, △BCD. A B C D x ⌒ 2x⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x (3)观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系, ∠ABC、∠C呢? ∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD, ∠ABC= ∠BDC=2 ∠A, ∠C= ∠BDC=2 ∠A. (4)设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含 x的式子表示出来. ∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °, ∴x+2x+2x=180 °. A B C D 解:∵AB=AC,BD=BC=AD, ∴∠ABC=∠C=∠BDC, ∠A=∠ABD. 设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中,有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° , 解得x=36 ° . 在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°. x ⌒ 2x ⌒ 2x⌒ ⌒ 2x 1. 如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数. A B C 120° A B C 36° ∠B=∠C = 72° ∠B=∠C = 30° 2.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 ; (2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ____________________; (3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 . 75°, 30° 72°,72°或36°,108° 30°,30° 结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论. ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°-2×底角 ③ 底角=(180°-顶角)÷2 ④0°<顶角<180° ⑤0°<底角<90° A CB D 3. 如图,是西安半坡博物馆屋顶的截面图,已经知道它的两边 AB和AC是相等的.建筑工人师傅对这个建筑物做出了两个判断: ①工人师傅在测量了∠B为37°以后,并没有测量∠C ,就说 ∠C 的度数也是37°;②工人师傅要加固屋顶,他们通过测量找 到了横梁BC的中点D,然后在AD两点之间钉上一根木桩,他们 认为木桩是垂直横梁的. 请同学们想想,工人师傅的说法对吗?请说明理由. 工人师傅的说法是对的,△ABC是等腰三角形,根 据等腰三角形的性质可以得出这样的结论. A CB D 请同学们想想,工人师傅的说法对吗?请说明理由. 等 腰 三 角 形 的 性 质 等 边 对 等 角 等 边 三 角 形 注意是指同一个三角形中 注意:顶角的平分线、底边上的 高和中线才有这一性质.而腰上 高、中线和底角的平分线不具有 这一性质 三 线 合 一 有三条对称轴,每个内角等于 60°
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