华师版数学八年级下册同步课件-第17章 函数及其图象-17反比例函数的图象与性质

华师版数学八年级下册同步课件-第17章 函数及其图象-17反比例函数的图象与性质

第17章 函数及其图象 17.4 反比例函数 2 反比例函数的图象与性质 我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函 数图象时的方法吗？ 写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？ 画反比例函数 与 的图象.6y x  12y x  提示：画函数的图象步骤一般分为：列表 →描点→连线. 需要注意的是在反比例函 数中自变量 x 不能为 0. 1 反比例函数的图象与性质 例1 解：列表如下： x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 … … … … … 6y x  12y x  －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 －2 －2.4 －3 －4 －6 6 4 3 2.4 2－12 12 O－2 描点：以表中各组对 应值作为点的坐标， 在直角坐标系内描绘 出相应的点． 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6－3－4 －1－5－6 －1 －2 －3 －4 －5 －6 6y x  连线：用光滑的曲线 顺次连接各点，即可 得 　的图象．6y x  12y x  观察这两个函数图象，回答问题： (1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？ 你能由它们的解析式说明理由吗？ (3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2)， 你能得出同样的结论吗？ ky x  思考 1.图象由两条曲线组成，且分别位于第一、三 象限它们与 x 轴、y 轴都不相交. 2.在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. ★反比例函数 (k＞0) 的图象和性质： 1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) C y A. x y o B. x o D. x y oC. x y o 3y x  2. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，函 数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2 的大小关系为 ( ) A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 C ky x  2 7 提示：由题可知反比例函数的解析式为 ，因 为6＞0，且 A、B 两点均在该函数图象的第一象限 部分，根据 >5，可知y1，y2的大小关系. 6y x  2 7 当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的 图象，有哪些共同特征？回顾前面我们利用从特殊 到一般的方法，研究反比例函数 (k＞0) 的图 象和性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函 数 (k＜0)的图象和性质吗？ ky x  ky x  ky x  思考 y xO y xO y xO 2y x  4y x  6y x  1.图象由两条曲线组成，且分别位于第二、四 象限它们与x轴、y轴都不相交. 2.在每个象限内，y随x的增大而增大. ★反比例函数 (k＜0) 的图象和性质： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. 一般地，反比例函数 的图象是双曲线， 它具有以下性质： ky x  k 的正负决定反比例函 数图象所在的象限和增 减性 点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，则y1 y2 (填“>”“<”或“=”). <2y x   练一练 已知反比例函数 ，y 随 x 的增 大而增大，求a的值.   2 71 a ay a x    解：由题意,得a2+a－7=－1，且a－1<0． 解得 a=－3. 2 反比例函数的图象与性质的初步运用 例2 已知反比例函数 在每个象限 内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．   2 103 8 my m x   解：由题意，得 m2－10=－1，且 3m－8＞0． 解得 m=3. 练一练 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限. 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 例3 (2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？ 12 2  44 5  解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. ky x  6 2 k 因为点 B、C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B、C 在这个函数的图 象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 .12y x  (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？ O x y 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据 图象，回答下列问题： 5my x  解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限. 因为这个函数图象位于第一、 三象限，所以m－5＞0， 解得m＞5. 例4 (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和 点B (x2，y2). 如果x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m－5 ＞ 0，所以在这个函数图象的任一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1＞x2时， y1＜y2. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的表达式； ky x  解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 　　 ky x  3 2 k 解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 . 　　 6y x  练一练 (2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解：分别把点 B、C 的坐标代入反比例函数的解析 式，得点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式. 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上． (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x = －1时，y =－6. ∵ k > 0， ∴当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 1. 反比例函数 的图象在 ( )8y x  A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D.第二、四象限 B 2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的 图象大致是 ( ) 1y x   O x y O x y O x y O x y A. B. C. D. B 3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内，则m的取值范围是________. 4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)； (2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于第二、四象限. 其中正确的是 (填序号).(1)(3) 2my x  m ＞ 2 12y x   5. 在反比例函数　　　(k>0) 的图象上有两点 A (x1，y1)， B (x2，y2)， 且 x1>x2>0，则 y1－y2 0. ky x  ＜ 6. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4). (1) 求 k 的值； ky x  解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，－4)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 　　 ky x  4 2 k  解得 k = －8. (2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大 如何变化? 解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内，y 随 x 的增大而增大. (3) 画出该函数的图象； O x y 解：如图所示： (4) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？ 因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标 不满足该解析式， 所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数 的图象上. 解：该反比例函数的解析式为 .8y x   7. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分别在 第一、三象限，求 m 的值. 解：因为反比例函数 y = mxm²－5 的两个分支分别在第 一、三象限， 所以有 m2－5=－1， m＞0， 解得 m=2. 反比例函数 (k≠0) k k > 0 k < 0 图象 性质 图象位于第一、 三象限 图象位于第二、 四象限 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大 ky x 