2020人教版八年级上数学第十四章单元全套课件

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[ 人教版 ] 八年级年级数学上册优质课件 [ 教育部审定教材 ] RJ· 数学 第十四章 整式的乘法与因式分解 目 录 使用说明：点击对应课时，就会跳转到相应章节内容，方便使用。 14.1.1 同底数幂的乘法 14.1.2 幂的乘方 14.1.4 整式的乘法 14.1.3 积的乘方 14.2.1 平方差公式 14.2.2 完全平方公式 14.3.2 公式法 14.3.1 提公因式法 14.1 整 式的乘法 14.1.1 同 底数幂的乘法 人教 版 数学 八 年级 上册 一 种电子计算机每秒可进行1千万亿( 10 15 ) 次运算，它工作10 3 s 可进行多少次运算？ 列式： 10 15 ×10 3 怎样计算 10 1 5 ×10 3 呢？ 导入新知 3. 能 运用 性质 来解决一些实际问题 . 1. 理 解 同底数幂 的 乘法的性质 的推导过 程 . 2. 能 运用 性质 来解 答一些变式练习 . 素养目标 a n 指数 幂 底数 = a · a ···· a n 个 a a n 表示的意义是什么？其中 a 、 n 、 a n 分别叫 做什么 ? （ - a ） n 表示的意义是什么？底数、指数分别是什么？ 探究新知 知识点 1 同底数幂的乘法法则 回 顾旧知 2 5 表示什么？ 10×10×10×10×10 可以写成什么形式 ? 2 5 = .   10×10×10×10×10 = . 2×2×2×2×2 10 5 （乘 方的意 义） （乘 方的意义） 探究新知 想一想 式子 10 3 ×10 2 的意义是什么？ 10 3 与 10 2 的积 这个式子中的两个因式有何特点？ 底数相同 10 3 ×10 2 = = 10 （ ） ； 2 3 ×2 2 = = = 2 （ ） （ 10×10×10 ） × （ 10×10 ） （ 2×2×2 ） × （ 2×2 ） 2×2×2×2×2 5 5 a 3 × a 2 = （ a a a ） 3 个 a （ a a ） 2 个 a = a a a a a 5 个 a 5 探究新知 = a （ ） . 请同学们观察 下列各算式的左右 两边 ，说说底数 、指 数有 什么关系？ 10 3 ×10 2 = 10 （ ） 2 3 ×2 2 = 2 （ ） a 3 × a 2 = a （ ） 5 5 5 = 10 （ ） ； = 2 （ ） ； = a （ ） . 3+2 3+2 3+2 猜想 : a m · a n = ? ( m 、 n 都是正整数 ) 　　 分组讨论，并尝试证明你的猜想是否正确 . 探究新知 猜想 : a m · a n = ( m 、 n 都是正整数 ) a m + n a m · a n = （ aa … a ） m 个 a （ aa … a ） n 个 a （乘方的意义） = aa … a ( m+n ) 个 a （乘法结合律） = a m + n （乘方的意义） 即 a m · a n = a m + n ( 当 m 、 n 都是正整数 ) 探究新知 猜想与证明 a m · a n = a m + n ( m 、 n 都是正整数 ) 同底数幂相乘， 底数　　，指数 . 　　 不变 相加 运算形式 运算方法 幂的底数必须相同，相乘时指数才能相加 . 如 4 3 ×4 5 = 4 3+5 =4 8 探究新知 同底数幂的乘法性质 a m · a n · a p = a m + n + p （ m 、 n 、 p 都是正整数） 探究新知 当 三个或三个以上同底数幂相乘时，是 否 也 具 有这一性质呢？ 怎样用公式表示？ 想一想 同底数幂的乘法运算法则 a m · a n = a m + n ( m 、 n 都是正整数 ) 　 　 a m · a n · a p = a m + n + p （ m 、 n 、 p 都是正整数） 同底数幂的乘法的法则的运用 例 1 　计算： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ）　 素养考点 1 （ 5 ） ( b +2) 3 ·( b +2) 4 ·( b +2) 探究新知 解： ( 1 ) x 2 · x 5 = x 2+5 = x 7 . ( 2 ) a·a 6 = a 1+6 = a 7 . a = a 1 -2 = （ -2 ） 1+4+3 = （ -2 ） 8 = 256 　 (3 ) (- 2)×(-2) 4 ×(-2) 3 (4) x m · x 3 m +1 = x m +3 m +1 = x 4 m +1 . (5) ( b +2) 3 ·( b +2) 4 ·( b +2) =( b +2) 3+4+1 =( b +2) 8 探究新知 思考：该式中相同的底数是多少？ (-2)×(-2) 4 ×(-2) 3 ≠- 2 1+4+3 =- 2 8 =-256 探究新知 方法点拨 不要 忽略指数是 “ 1 ” 的因式，如： a · a 6 ≠ a 0+6 . 2. 底数 是单项式，也可以是多项式，通常把 底数看成一个整体 来运算，如： 1. 下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？ （ 1 ） b 5 · b 5 = 2 b 5 （ ） （ 2 ） b 5 + b 5 = b 10 （ ） （ 3 ） x 5 · x 5 = x 25 ( ) （ 4 ） y 5 · y 5 = 2 y 10 ( ) （ 5 ） c · c 3 = c 3 ( ) （ 6 ） m + m 3 = m 4 ( ) × b 5 · b 5 = b 10 × b 5 + b 5 = 2 b 5 × x 5 · x 5 = x 10 × y 5 · y 5 = y 10 × c · c 3 = c 4 × m + m 3 = m + m 3 巩固练习 素养考点 2 同底数幂的乘法的法则的逆运用 例 2 已 知： a m =4 ， a n =5. 求 a m + n 的值 . 分 析 把 同底数幂的乘法法则逆运用，可以求出 值 . 解： a m + n = a m · a n （逆运算） =4 × 5 = 20 探究新知 当 幂的指数是 和 的形式时，可以 逆运用同底数幂乘法法则 ，将幂指数和转化为 同底数幂相乘 ，然后把幂作为一个整体带入变形后的幂的运算式中求解 . 探究新知 归纳总结 巩固练习 2 . 已知 2 x =3,2 y =6, 试写出 2 x+y 的值 . 解 ： 2 x + y = 2 x ×2 y = 3×6 = 18 1 . 计算 a 6 • a 2 的结果是（　　） A． a 3 B． a 4 C ． a 8 D． a 12 连接中考 巩固练习 2 . 计算 ： a 2 • a 3 = 　　 ． C a 5 1 . x 3 · x 2 的运算结果是 （ ） A. x 2 B. x 3 C. x 5 D. x 6 C 2 . 计算 2 x 4 • x 3 的结果等于 _____ ． 课堂检测 基础巩固题 2 x 7 3 . 计算 : ( 1 ) x n · x n +1 ; ( 2 ) ( x + y ) 3 · ( x + y ) 4 . 解 : x n · x n +1 = x n +( n +1) = x 2 n +1 a m · a n = a m + n 公式中 的 a 可 代表一个数、字母、式子等 . 解 : ( x + y ) 3 · ( x + y ) 4 = ( x + y ) 3+4 =( x + y ) 7 课堂检测 基础巩固题 1 . 填空： （ 1 ） 8 = 2 x ，则 x = ； （ 2 ） 8× 4 = 2 x ，则 x = ； （ 3 ） 3×27×9 = 3 x ，则 x = . 2 3 3 2 3 × 2 2 = 2 5 5 3 × 3 3 × 3 2 = 3 6 6 能力提升题 课堂检测 2. 如 果 a n -2 a n +1 = a 11 , 则 n = . 6 已 知： a m =2 ， a n =3. 求 a m + n = ？ 解 ： a m + n = a m · a n （逆运算） =2 × 3=6 拓广探索题 课堂检测 学 到了什么？ 知 识 　 同底数幂相乘，　 底数　　 指数　 a m · a n = a m + n ( m 、 n 正整数 )（注：这个性质也适用于三个及三个以上的同底数幂相乘 不变， 相加 . 方 法 　 　 “特殊 → 一般 → 特殊” 　 例子 公式 应用 课堂小结 易错点 　 （ 1 ）不要忽略指数是 “1” 的因式 . （ 2 ） 底数可以是单项式，也可以是多项式，通常把底数看成一个整体来运算 . 14.1 整 式的乘法 14.1.2 幂 的乘方 人教 版 数学 八 年级 上册 地 球、木星、太阳可以近似地看做是球体 . 木星、太阳的半径分别约是地球的 10 倍和 10 2 倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？ 导入新知 V 球 = ， 其中 V 是体积、 r 是球的半径 1. 理解并掌握 幂的乘方法则 . 2. 能熟练地运用 幂的乘方的法则 进行化简和计算. 素养目标 10 10 3 ＝边长 2 ＝边长 × 边长 S 正 请 分别求出下列两个正方形的面积？ 幂的乘方的 法则 ( 较 简单 的 ) S 小 ＝ 10×10 ＝ 10 2 ＝ 10 3 ×10 3 S 正 =( 10 3 ) 2 探究新知 知识点 1 = 10 6 请 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填 空 . 观察计算的结果，你能发现什么规律？证明你的猜想 . (3 2 ) 3 = ___ × ___ × ___ = 3 ( )+( )+( ) = 3 ( ) × ( ) = 3 ( ) 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 6 猜想： ( a m ) n =_____. a mn 探究新知 ( a m ) n 幂的乘方法则 ( a m ) n = a mn 　 ( m ， n 都是 正整数 ) 即幂的乘方，底数 ______ ，指数＿ __ ＿ . 不变 相乘 = a m ·a m ·a m … a m n 个 a m = a m + m + … + m n 个 m 探究新知 证 明猜想 运算 种类 公式 法则 中运算 计算结果 底数 指数 同底数幂乘法 幂的乘方 乘法 乘方 不变 不变 指数 相加 指数 相乘 a m · a n = a m+n 探究新知 例 1 计算： 解 : ( 1) ( 10 3 ) 5 = 10 3×5 = 10 15 ； (2) ( a 2 ) 4 = a 2× 4 = a 8 ； (3) ( a m ) 2 = a m · 2 = a 2 m ； (3) ( a m ) 2 ； ( 4 ) – ( x 4 ) 3 = – x 4 × 3 = – x 12 . ( 1 )( 10 3 ) 5 ； ( 2 )( a 2 ) 4 ； (4)–( x 4 ) 3 ； (6) [( – x ) 4 ] 3 . (5) [ ( x + y ) 2 ] 3 ； (5) [ ( x + y ) 2 ] 3 = ( x + y ) 2×3 =( x + y ) 6 ； (6) [( – x ) 4 ] 3 = ( – x ) 4×3 = ( – x ) 12 = x 12 . 素养考点 1 幂 的乘方的法则的应 用 探究新知 方法点拨 运 用幂的乘方法则进行计算时，一定 不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆 ，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．在运算时，注意 把底数看成一个整体 ，同时注意 “ 负号 ”. 探究新知 1. 计算： ① ( 10 3 ) 5 ； ② ( b 3 ) 4 ； ③ ( x n ) 3 ； ④ –( x 7 ) 7 =10 3×5 =10 15 = b 3×4 = b 12 = x 3 n = – x 7×7 = – x 49 ⑤[ (– x ) 3 ] 3 =(– x ) 3×3 =– x 9 ⑥[ (– x ) 3 ] 4 =(– x ) 3×4 =(– x ) 12 = x 12 巩固练习 (– a 5 ) 2 表示 2 个 – a 5 相乘 ，结果没有负号 . (– a 2 ) 5 和 (– a 5 ) 2 的结果相同吗 ? 为什么 ? 不相同 . (– a 2 ) 5 表示 5 个 – a 2 相乘 ，其结果带有负号 . n 为偶数 n 为 奇数 知识点 2 幂的乘方的 法则 ( 较 复杂 的 ) 探究新知 想一想 下 面这道题该怎么进行计算呢？ 幂的乘方 : ＝ ( a 6 ) 4 = a 24 [( y 5 ) 2 ] 2 =______=________ [( x 5 ) m ] n =______=________ 练一练 ： ( y 10 ) 2 y 20 ( x 5 m ) n x 5 mn 探究新知 例 2 计算： ( 1 ) ( x 4 ) 3 · x 6 ; ( 2 ) a 2 ( – a ) 2 ( – a 2 ) 3 ＋ a 10 . 解 : (1) ( x 4 ) 3 · x 6 = x 12 · x 6 = x 18 ； ( 2 ) a 2 ( – a ) 2 ( – a 2 ) 3 ＋ a 10 = – a 2 · a 2 · a 6 ＋ a 10 = – a 10 ＋ a 10 = 0. 忆一忆有理数混合运算的顺序 先乘方，再乘除 先乘方，再乘除，最后算加减 底数的符号要统一 素养考 点 2 有关幂的乘方的混合运算 探究新知 方法点拨 与 幂的乘方有关的混合运算中，一般 先算幂的乘方 ，再算 同底数幂的乘法 ，最后 算加减 ，然后 合并同类项 ． 探究新知 2. 计算： ( 1 ) ( x 3 ) 4 · x 2 ； ( 2 ) 2 ( x 2 ) n – ( x n ) 2 ； ( 3 ) [ ( x 2 ) 3 ] 7 ； ( 4 ) [(– m ) 3 ] 2 ·( m 2 ) 4 . (1) 原式 = x 12 · x 2 = x 14 . (2) 原式 = 2 x 2 n – x 2 n = x 2n . ( 3 ) 原式 =( x 2 ) 21 = x 42 . 解 ： (4) 原式 =(– m ) 3×2 · m 2×4 = m 6 · m 8 = m 14 . 巩固练习 例 3 已知 10 m ＝ 3 ， 10 n ＝ 2 ，求下列各式的值 . ( 1 ) 10 3 m ； ( 2 ) 10 2 n ； ( 3 ) 10 3 m ＋ 2 n ． 解： (1)10 3 m ＝ (10 m ) 3 ＝ 3 3 ＝ 27 ； (2)10 2 n ＝ (10 n ) 2 ＝ 2 2 ＝ 4 ； (3)10 3 m ＋ 2 n ＝ 10 3 m × 10 2 n ＝ 27 × 4 ＝ 108 . 方法总结： 此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求值的式子正确变形，然后代入已知条件求值即可 . 素养考点 3 指数中含有字母的幂的乘方的计算 探究新知 ( 1 ) 已知 x 2 n ＝ 3 ，求 ( x 3 n ) 4 的值； ( 2 ) 已知 2 x ＋ 5 y –3 ＝ 0 ，求 4 x · 32 y 的值． 解： (1) ( x 3 n ) 4 ＝ x 12 n ＝ ( x 2 n ) 6 ＝ 3 6 ＝ 729. (2) ∵ 2 x ＋ 5 y –3 ＝ 0 ， ∴ 2 x ＋ 5 y ＝ 3, ∴4 x ·32 y ＝ (2 2 ) x ·(2 5 ) y ＝ 2 2 x ·2 5 y ＝ 2 2 x ＋ 5 y ＝ 2 3 ＝ 8. 3. 完成下列题 目： 巩固练习 例 4 比较 3 500 ,4 400 ,5 300 的大小 . 解析： 这三个幂的 底数不同 , 指数也不相同 , 不能直接比较大小 , 通过观察 , 发现指数都是 100 的倍数 , 可 以考虑逆用幂的乘方法则 . 解 : 3 500 =( 3 5 ) 100 = 243 100 , 4 400 =( 4 4 ) 100 = 256 100 , 5 300 =(5 3 ) 100 = 125 100 . ∵ 256 100 >243 100 >125 100 , ∴ 4 400 >3 500 >5 300 . 素养考点 4 幂的大小的比较 探究新知 方法点拨 比 较底数大于 1 的幂的大小的方法有两种 : 1. 底数 相同 , 指数越大 , 幂就越大 ; 2. 指数 相同 , 底数越大 , 幂就越大 . 故 在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其 转化为同底数的幂 或 同指数的幂 ，然后再进行大小比较 . 探究新知 4. 比较大小： 2 33 ____3 22 2 33 =(2 3 ) 11 =8 11 3 22 =(3 2 ) 11 =9 11 ＜ ∵ 8 11 ＜9 11 ， ∴ 2 33 ＜3 22 巩固练习 解析： 1 . 计算 a 3 • ( a 3 ) 2 的结果 是 ( 　　 ) A． a 8 B． a 9 C． a 11 D． a 18 连接中考 巩固练习 2 . 若 2 x =5，2 y =3，则2 2 x + y = _____ ． 解析： ∵2 x =5，2 y =3， ∴2 2 x + y = ( 2 x ) 2 ×2 y =5 2 ×3=75 ． B 75 1 ． ( a 2 ) 3 = 　　 ； ( b 4 ) 2 = 　　 ； 2 . 下 列各式的括号内，应填入 b 4 的是 ( ) A ． b 12 ＝ ( 　　 ) 8 B ． b 12 ＝ ( 　　 ) 6 C ． b 12 ＝ ( 　　 ) 3 D ． b 12 ＝ ( 　　 ) 2 C 课堂检测 基础巩固题 a 6 b 8 3 ． 下列计算中，错误的是 ( ) A ． [( a ＋ b ) 2 ] 3 ＝ ( a ＋ b ) 6 B ． [( a ＋ b ) 2 ] 5 ＝ ( a ＋ b ) 7 C ． [( a – b ) 3 ] n ＝ ( a – b ) 3 n D ． [( a – b ) 3 ] 2 ＝ ( a – b ) 6 B 4 ． 如果 (9 n ) 2 ＝ 3 12 ，那么 n 的值是 ( ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 B 课堂检测 基础巩固题 5 ． 计算： ( 1 ) (10 2 ) 8 ； ( 2 ) ( x m ) 2 ； ( 3 ) [(– a ) 3 ] 5 ( 4 ) –( x 2 ) m . 解： (1) (10 2 ) 8 ＝ 10 16 . (2) ( x m ) 2 ＝ x 2 m . (3 ) [(– a ) 3 ] 5 ＝ (– a ) 15 ＝ – a 15 . (4 ) –( x 2 ) m ＝ – x 2 m . 基础巩固题 课堂检测 6 ． 计算： ( 1 ) 5( a 3 ) 4 –13( a 6 ) 2 ； ( 2 ) 7 x 4 · x 5 ·(– x ) 7 ＋ 5( x 4 ) 4 –( x 8 ) 2 ； ( 3 ) [( x ＋ y ) 3 ] 6 ＋ [ – ( x ＋ y ) 2 ] 9 . 解： ( 1 ) 原式 ＝ 5 a 12 –13 a 12 ＝ –8 a 12 . ( 2 ) 原式 ＝ – 7 x 9 · x 7 ＋ 5 x 16 – x 16 ＝ –3 x 16 . ( 3 ) 原式 ＝ ( x ＋ y ) 18 –( x ＋ y ) 18 ＝ 0 . 课堂检测 基础巩固题 已 知 3 x +4 y –5=0 , 求 27 x ·81 y 的值 . 解 : ∵ 3 x +4 y –5=0 , ∴ 3 x +4 y =5, ∴ 27 x ·81 y =(3 3 ) x ·(3 4 ) y =3 3 x ·3 4 y = 3 3 x +4 y =3 5 =243. 　 能力提升题 课堂检测 已 知 a =3 55 , b =4 44 , c =5 33 , 试比较 a ， b ， c 的大小 . 解 : a =3 55 =( 3 5 ) 11 = 243 11 , b =4 44 =(4 4 ) 11 = 256 11 , c =5 33 =(5 3 ) 11 = 125 11 . ∵ 256>243>125, ∴ b>a>c . 拓广探索题 课堂检测 幂的乘方 法则 ( a m ) n =a mn ( m,n 都是 正整数 ) 注意 幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 幂的乘方与同底数幂的乘法的区别： ( a m ) n = a mn ; a m ﹒ a n = a m+n 幂的乘方法则的逆用： a mn =( a m ) n =( a n ) m 课堂小结 14.1 整 式的乘法 14.1.3 积 的乘方 人教 版 数学 八 年级 上册 若 已知一个正方体的棱长为 2×10 3 cm , 你能计算出它的体积是多少吗？ 底 数是 2 和 10 3 的乘积，虽然 10 3 是幂，但总体来看，它是积的乘方 . 积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？ 是 幂的乘方形式吗？ 导入新知 3. 掌 握 转化 的数学思想，提高学生应用数学的意识和能力 . 1. 使 学生经历探索积的乘方的过程，掌握 积的乘方的运算法则 . 2. 能 利用积的 乘方的运算法则 进行相应的 计算 和 化简 . 素养目标 我们居住的地球 大约 6.4 × 10 3 km 你 知道地球的体积大约是多少吗？ 球的体积计算公式： 地球的体积约 为： 探究新知 知识点 1 积的乘方的法则 1. 计算 : ( 1 ) 10 ×10 2 × 10 3 =______ ； ( 2 ) ( x 5 ) 2 =_________. x 10 10 6 2 . ( 1 ) 同 底数幂的乘法 ： a m · a n = ( m ， n 都是 正整数 ). a m + n ( 2 ) 幂 的乘方 ： ( a m ) n = ( m,n 都是 正整数 ). a mn 回 顾旧知 探究新知 底数不变 指数相乘 指数相加 同底数幂相乘 幂的乘方 其中 m , n 都是 正整数 ( a m ) n = a mn a m · a n =a m + n 同 底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？ 想一想 探究新知 下 列两题有什么特点？ (1) (2) 底数 为两个因式相乘，积的形式 . 这种形式 为积的乘 方 . 我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？ 问题1： 探究新知 同理 ： ( 乘方 的 意义 ) ( 乘法交换律 、 结合律 ) ( 同 底数幂相乘的 法则 ) 根 据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行计算： ( ab ) n =? 问 题 2 ： 探究新知 ( ab ) n = ( ab ) · ( ab ) · ··· · ( ab ) n 个 ab =( a·a · ··· · a )·( b·b · ··· · b ) n 个 a n 个 b = a n b n . 证明： 思考问题： 积的 乘方 ( ab ) n =? 猜想结论： 因此可得 ： ( ab ) n =a n b n ( n 为 正整数 ). ( ab ) n = a n b n ( n 为 正整数 ) 探究新知 积 的乘方 , 等于把积的每一个因式分别 _____ ，再把所得的幂 ________. ( ab ) n = a n b n ( n 为 正整数 ) 三 个或三个以上的积的乘方等于什么？ ( abc ) n = a n b n c n ( n 为 正整数 ) 积的乘方法则 乘方 相乘 想一想 探究新知 例 1 计算 : ( 1 ) (2 a ) 3 ； ( 2 ) (–5 b ) 3 ； ( 3 ) ( xy 2 ) 2 ； ( 4 ) (–2 x 3 ) 4 . 解 ： (1) 原式 = (2) 原式 = (3) 原式 = (4) 原式 = = 8 a 3 ； = –125 b 3 ； = x 2 y 4 ； =16 x 12 . (2) 3 a 3 (–5) 3 b 3 x 2 ( y 2 ) 2 (–2) 4 ( x 3 ) 4 素养考点 1 利用积的乘方进行运算 方法总结 ： 运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是 字母的系数不要漏乘方． 探究新知 1. 计算 ： ( 1 ) (–5 ab ) 3 ； ( 2 ) –(3 x 2 y ) 2 ； ( 3 ) (–3 ab 2 c 3 ) 3 ； ( 4 ) (– x m y 3 m ) 2 . (4)(– x m y 3 m ) 2 ＝ (–1) 2 x 2 m y 6 m ＝ x 2 m y 6 m . 解 ： (1)(–5 ab ) 3 ＝ (–5) 3 a 3 b 3 ＝ –125 a 3 b 3 ； (2)–(3 x 2 y ) 2 ＝ –3 2 x 4 y 2 ＝ –9 x 4 y 2 ； (3)(–3 ab 2 c 3 ) 3 ＝ (–3) 3 a 3 b 6 c 9 ＝ –27 a 3 b 6 c 9 ； 巩固练习 × √ × ( 1 ) (3 cd ) 3 =9 c 3 d 3 ; ( 2 ) (–3 a 3 ) 2 = –9 a 6 ; ( 3 ) (–2 x 3 y ) 3 = –8 x 6 y 3 ; × ( 4 ) (– ab 2 ) 2 = a 2 b 4 . 2. 下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？ 巩固练习 例 2 计算 : (1) –4 xy 2 ·( xy 2 ) 2 ·(–2 x 2 ) 3 ； (2) (– a 3 b 6 ) 2 ＋ (– a 2 b 4 ) 3 . 解 ： ( 1 ) 原式 = –4 xy 2 · x 2 y 4 ·(–8 x 6 ) =[–4×(–8) ] x 1+2+6 y 2+4 = 32 x 9 y 6 ; ( 2 ) 原式 = a 6 b 12 +(– a 6 b 12 ) = 0 ; 素养考点 2 含有积的乘方的混合运算 =[1 +(–1)] a 6 b 12 方法总结： 涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项． 探究新知 如何简便 计算 (0.04) 2004 ×[(–5) 2004 ] 2 ? =(0.2 2 ) 2004 × 5 4008 =(0.2) 4008 × 5 4008 =(0.2 × 5) 4008 =1 4008 (0.04) 2004 ×[(–5) 2004 ] 2 =1. 解法一： =(0.04) 2004 × [(–5) 2 ] 2004 =(0.04×25) 2004 =1 2004 =1. = (0.04) 2004 ×(25) 2004 (0.04) 2004 ×[(–5) 2004 ] 2 解法二： 议一议 探究新知 方法点拨 ① 逆用积的乘方公式 a n · b n ＝ ( ab ) n ，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过 恒等变形 ，转化为公式的形式 ． ② 一般转化为底数 乘积是一 个正整数幂的计算较简便 . 探究新知 解： 原式 3. 计算 : 巩固练习 连接中考 解析： ∵2 n +2 n +2 n +2 n =2 ， ∴ 4•2 n =2，∴2•2 n =1，∴2 1+ n =1， ∴ 1+n=0，∴ n = – 1． 1. 若 2 n +2 n +2 n +2 n =2，则 n = ( 　　 ) A． – 1 B． – 2 C．0 D． A 巩固练习 连接中考 2. 下列 运算正确的 是 ( 　　 ) A ． (– a 2 ) 3 = – a 5 B． a 3 • a 5 = a 15 C ． (– a 2 b 3 ) 2 = a 4 b 6 D．3 a 2 – 2 a 2 =1 C (– a 2 ) 3 = – a 6 ； a 3 • a 5 =a 8 ； 3 a 2 – 2 a 2 = a 2 巩固练习 2. 下列运算正确的 是 ( ) A. x • x 2 = x 2 B . ( xy ) 2 = xy 2 C. ( x 2 ) 3 = x 6 D . x 2 + x 2 = x 4 C 1. 计算 (– x 2 y ) 2 的结果 是 ( 　　 ) A． x 4 y 2 B． – x 4 y 2 C． x 2 y 2 D ． – x 2 y 2 A 课堂检测 基础巩固题 3. 计算 ： (1) 8 2016 ×0.125 2015 = ________; (2) ________; (3) (0.04) 2013 ×[(–5) 2013 ] 2 =________. 8 –3 1 (1)( ab 2 ) 3 = ab 6 ( ) × × × (2) (3 xy ) 3 =9 x 3 y 3 ( ) × (3) (–2 a 2 ) 2 =–4 a 4 ( ) (4) –(– ab 2 ) 2 = a 2 b 4 ( ) 4 . 判 断 : 基础巩固题 课堂检测 (1) ( ab ) 8 ; (2) (2 m ) 3 ; (3) (– xy ) 5 ; (4) (5 ab 2 ) 3 ; (5) (2×10 2 ) 2 ; (6) (–3×10 3 ) 3 . 5. 计算 : 解 ： (1) 原式 = a 8 b 8 ; (2) 原式 = 2 3 · m 3 =8 m 3 ; (3) 原式 = (– x ) 5 · y 5 = – x 5 y 5 ; (4) 原式 = 5 3 · a 3 · ( b 2 ) 3 =125 a 3 b 6 ; (5) 原式 = 2 2 ×(10 2 ) 2 =4 ×10 4 ; (6) 原式 = (–3) 3 ×(10 3 ) 3 = –27 ×10 9 = –2.7 ×10 10 . 基础巩固题 课堂检测 (1) 2( x 3 ) 2 · x 3 –(3 x 3 ) 3 +(5 x ) 2 · x 7 ; (2)(3 xy 2 ) 2 +(–4 xy 3 ) · (– xy ) ; (3)(–2 x 3 ) 3 · ( x 2 ) 2 . 解： 原式 = 2 x 6 · x 3 –27 x 9 +25 x 2 · x 7 = 2 x 9 –27 x 9 +25 x 9 = 0; 解： 原式 = 9 x 2 y 4 +4 x 2 y 4 =13 x 2 y 4 ; 解： 原式 = –8 x 9 · x 4 =–8 x 13 . 计 算 : 能力提升题 课堂检测 如果 ( a n •b m •b ) 3 = a 9 b 15 , 求 m, n 的值 .  ( a n ) 3 • ( b m ) 3 • b 3= a 9 b 15 ,  a 3 n • b 3 m • b 3= a 9 b 15 ,  a 3 n •b 3 m +3= a 9 b 15 ,  3 n =9 ,3 m +3 = 15.  n =3, m =4. 解 ： ∵ ( a n •b m •b ) 3 = a 9 b 15 , 拓广探索题 课堂检测 幂的运算性质 性质 a m ·a n =a m+n ( a m ) n =a mn ( ab ) n =a n b n ( m 、 n 都是 正整数 ) 反向运用 a m · a n = a m+n ( a m ) n = a mn a n · b n = ( ab ) n 可 使某些计算简捷 注意 运用积的乘方法则时要注意： 公 式中的 a 、 b 代表 任何代数式 ；每一个因式都要“ 乘方 ”；注意结果的符号、幂指数及其逆向 运用 ( 混合 运算要注意运算 顺序 ) 课堂检测 14.1 整 式的乘法 14.1.4 整 式的乘 法 第一课时 第二课时 人教 版 数学 八 年级 上册 第 三 课 时 第一课时 单项式与单项式、多项式相乘 1. 幂的运算性质有哪几条？ 同底数幂的乘法法则： a m ·a n =a m+n ( m 、 n 都是正整 数 ). 幂的乘方法则 ： ( a m ) n =a mn ( m 、 n 都是正整 数 ). 积的乘方法则 ： ( ab ) n =a n b n ( m 、 n 都是正整 数 ). 2. 计算 ： ( 1 ) x 2 · x 3 · x 4 = ; ( 2 ) ( x 3 ) 6 = ; ( 3 ) (–2 a 4 b 2 ) 3 = ; ( 4 ) ( a 2 ) 3 · a 4 = ； ( 5 ) . x 9 x 18 –8 a 12 b 6 a 10 1 导入新知 回 顾旧知 1. 掌 握 单项式与单项式 、 单项式与多项式相乘的运算法则 . 2. 能 够 灵活地进行单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算 . 素养目标 单项式与单项式相乘 光 的速度 约 是 3×10 5 km / s ，太 阳光照射到地球上需要的时间大约是 5×10 2 s ，你 知道地球与太阳的距离约是多少吗 ? 地球与太阳的距离约 是 (3×10 5 )×(5×10 2 ) km . 探究新知 知识点 1 (3×10 5 )×(5×10 2 ) =(3×5)×(10 5 ×10 2 ) =15×10 7 . 乘法交换律、结合律 同底数幂的乘法 这样书写 规范吗？ 不规 范，应 为 1.5×10 8 . 怎 样计 算 (3 × 10 5 )×(5 × 10 2 ) ？ 计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？ 探究新知 想一想 如 果将上式中的数字改为字 母，比 如 ac 5 · bc 2 ，怎 样计算这个式子？ 根据以上计 算，想 一想如何计算单项式乘以单项式？ ac 5 · bc 2 =( a · b ) ·( c 5 · c 2 ) ( 乘 法交换律、结合 律 ) = abc 5+2 ( 同 底数幂的乘 法 ) = abc 7 . 探究新知 单 项式与单项式相 乘，把 它们的 系数 、 同底数幂 分别相 乘，对 于只在一个单项式里含有的字 母，则 连同它的指数 作为积的一个因式 . 探究新知 单项式与单项式的乘法法 则 例 1 计算： ( 1 ) (–5 a 2 b )(–3 a ) ； ( 2 ) (2 x ) 3 (–5 xy 3 ). 解 : (1) (–5 a 2 b )(–3 a ) = [(–5)×(–3)]( a 2 • a ) b = 15 a 3 b ； (2) (2 x ) 3 (–5 xy 3 ) = 8 x 3 (–5 xy 3 ) =[8 ×(–5)]( x 3 • x ) y 3 = –40 x 4 y 3 . 单项式与单项式相乘 有理数的乘法与同底数幂的乘法 乘法交换律和结合律 转化 单项式相乘的结果仍是 单项式 . 素养考点 1 单项式乘以单项式法则的应用 探究新知 方法点拨 1. 在 计算 时，应 先确定 积的符 号 ，积 的系数等于 各因式系数的积 ； 2. 注意 按顺序 运算； 3. 不要 漏掉只在一个单项式里含有的字母因式； 4. 此 性质对三个及以上单项式相乘仍然适用． 探究新知 1. 下面各题的计算 结果对不对？如果不 对，应 当怎样改正？ ( 1 ) 3 a 3 ·2 a 2 =6 a 6 ( ) 改正： . ( 2 ) 2 x 2 ·3 x 2 =6 x 4 ( ) 改正： . ( 3 ) 3 x 2 ·4 x 2 =12 x 2 ( ) 改正： . ( 4 ) 5 y 3 ·3 y 5 =15 y 15 ( ) 改正： . 3 a 3 ·2 a 2 =6 a 5 3 x 2 ·4 x 2 =12 x 4 5 y 3 ·3 y 5 =15 y 8 × × × 巩固练习 2. 计算： ( 1 ) 3 x 2 ·5 x 3 ； ( 2 ) 4 y ·(–2 xy 2 ) ； ( 3 ) (–3 x ) 2 ·4 x 2 ； ( 4 ) (–2 a ) 3 (–3 a ) 2 . 解 ： ( 1 ) 原 式 = (3×5)( x 2 · x 3 )= 15 x 5 ； ( 2 ) 原 式 = [4 ×(–2)]( y·y 2 ) · x = –8 xy 3 ； ( 3 ) 原式 = 9 x 2 ·4 x 2 =(9×4)( x 2 · x 2 )= 36 x 4 ； ( 4 ) 原 式 = –8 a 3 ·9 a 2 =[(–8)× 9 ]( a 3 · a 2 )= –72 a 5 单独因式 x 别 漏乘、漏 写 有乘方运 算，先 算乘 方，再 算单项式相乘 . 巩固练习 例 2 已 知 –2 x 3 m ＋ 1 y 2 n 与 7 x n –6 y –3– m 的积与 x 4 y 是同类 项，求 m 2 ＋ n 的值． 解： ∵ –2 x 3 m ＋ 1 y 2 n 与 7 x n –6 y –3– m 的积与 x 4 y 是同类 项 ， ∴ m 2 ＋ n ＝ 7. 解 得 ： 方法总结： 单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相 乘，结 合同类项的定 义，列 出二元一次方程组求出参数的 值，然 后代入求值即可． 素养考点 2 利用单项式乘法的法则求字母的值 探究新知 3. 已知 求 的 值 . 解得 ： ∴ m、n 的值分别是 m =1， n =2 . 解： 巩固练习 单项式与多项式相乘 如图，试 求出三块草坪的总面积是多少？ 如果把它看成三个小长方 形，那 么它们的面积可分别表示为 _____ 、 _____ 、 _____. p p a b p c p a p c p b 知识点 2 探究新知 p p a b p c 探究新知 c b a p 如果 把它看成一个大长方 形，那 么它 的长 为 ________ ，面 积可表示为 _________. p ( a+b+c ) ( a+b+c ) 探究新知 如果把它看成三个小长方 形，那 么它们的面积可分别表示为 _____ 、 _____ 、 _____. 如果把它看成一个大长方 形，那 么它的面积可表示为 _________. c b a p p a p c p b p ( a+b+c ) p a+ p b+ p c p ( a+b+c ) 探究新知 p a+ p b+ p c p ( a+b+c ) p ( a + b+ c ) p b + p c p a + 根据 乘法的分配律 探究新知 单 项式与多项式相 乘，就 是用单项式乘多项式的 每一 项 ，再 把所得的 积相加 . 1. 依据 是 乘法分配 律 . 2. 积 的项数与多项式的项数 相同 . 注意 P b p a p c 探究新知 单项式乘以多项式的法则 例 3 计算： (1)(–4 x ) · (2 x 2 +3 x –1) ； 解 ： (1) (–4 x )·(2 x 2 +3 x –1) ＝ ＝ –8 x 3 –12 x 2 +4 x ； (–4 x )·(2 x 2 ) (–4 x )· 3 x (–4 x )·(–1) + + (2) 原 式 单项式与多项式相乘 单项式与单项式相乘 乘法分配律 转化 素养考点 3 利用单项式乘以多项式的法则进行运算 探究新知 解题步骤 ： 1. 用单项式去乘多项式的每一项，结果是一个多项式，项数与因式中多项式的项数相同 .2. 含有混合运算的应注意运算顺序，有 同类项必须 合并同类项，从而得到最简结果 . ① ② ③ 4. 下列各题的解法是否正 确，如 果错 了，指 出错在什么地 方，并 改正过来。 × × × 漏了单独字母 漏乘 1 符号没有变化 巩固练习 例 4 先化 简，再 求值： 3 a (2 a 2 –4 a ＋ 3)–2 a 2 (3 a ＋ 4) ， 其中 a ＝ –2 . 当 a ＝ –2 时， 解： 3 a (2 a 2 –4 a ＋ 3)–2 a 2 (3 a ＋ 4) ＝ 6 a 3 –12 a 2 ＋ 9 a –6 a 3 –8 a 2 ＝ –20 a 2 ＋ 9 a . 原式 ＝ –20×(–2) 2 +9×(–2) = –20×4–9×2 ＝ –98 . 方法总结 ： 按运算法则进行化 简，然 后代入求 值，特 别注意的是代入 “ 负数 ” 要用括号括起来． 素养考点 4 单项式乘以多项式的化简求值问题 探究新知 5 . 先 化简再求值 : 巩固练习 解 : 原式 = 原式 = 例 5 如 果 (–3 x ) 2 ( x 2 –2 nx ＋ 2) 的 展开式中不含 x 3 项，求 n 的值． 方法总结 ：在整式乘法的混合运算 中，要 注意运算顺序 . 注意当要求多项式中不含有哪一项 时，则 表示这一项的系数为 0. 解 ： (–3 x ) 2 ( x 2 –2 nx ＋ 2) ＝ 9 x 2 ( x 2 –2 nx ＋ 2) ＝ 9 x 4 –18 nx 3 ＋ 18 x 2 . ∵ 展开式中不含 x 3 项， ∴ n ＝ 0. 素养考点 5 单项式乘以多项式的化简求字母的值 探究新知 6. 如 果 ( x + a ) x – 2 ( x + a ) 的结果中 不含 x 项，那 么 a 的值 为 ( 　　 ) A.2　　 B. – 2 　　 C. 0.5 　 　D . –0.5 解析 ： ( x + a ) x – 2 ( x + a )= x 2 + ax –2 x –2 a = x 2 +( a –2) x– 2 a ∵ x 2 +( a –2) x –2 a 中不含 x 项， ∴ a –2=0 ，即 a =2. A 巩固练习 1 . 计算： ( 2 a ) • ( ab ) = ( 　　 ) A．2 ab B．2 a 2 b C．3 ab D．3 a 2 b 连接中考 2. 计算 ： x • (– 2 x 2 ) 3 = ． B – 4 x 7 巩固练习 1. 计算 3 a 2 ·2 a 3 的结果 是 ( ) A.5 a 5 B.6 a 5 C.5 a 6 D.6 a 6 2. 计 算 (–9 a 2 b 3 )· 8 ab 2 的结果 是 ( ) A .–72 a 2 b 5 B.72 a 2 b 5 C .–72 a 3 b 5 D.72 a 3 b 5 3. 若 ( a m b n )·( a 2 b )= a 5 b 3 那么 m + n = ( ) A.8 B.7 C.6 D.5 B C D 课堂检测 基础巩固题 ( 1 ) 4( a – b +1)=___________________ ； 4 a –4 b +4 ( 2 ) 3 x (2 x – y 2 )=___________________ ； 6 x 2 –3 xy 2 ( 3 ) (2 x –5 y +6 z )(–3 x ) =___________________ ； –6 x 2 +15 xy –18 xz ( 4 ) (–2 a 2 ) 2 (– a –2 b + c )=___________________. –4 a 5 –8 a 4 b +4 a 4 c 4. 计算 课堂检测 基础巩固题 5 . 计算： –2 x 2 · ( xy + y 2 )–5 x ( x 2 y – xy 2 ). 解： 原式 = ( –2 x 2 ) · xy +(–2 x 2 ) · y 2 +(–5 x ) · x 2 y +(–5 x ) ·(– xy 2 ) = –2 x 3 y +(–2 x 2 y 2 )+(–5 x 3 y )+ 5 x 2 y 2 = –7 x 3 y +3 x 2 y 2 . 6 . 解 方程： 8 x (5– x )=34–2 x (4 x –3). 解 得 ： x =1 . 解 ： 原式 去 括 号，得 ： 40 x –8 x 2 =34–8 x 2 +6 x ， 移 项，得： 40 x –6 x =34 ， 合并同类 项，得 ： 34 x =34 ， 课堂检测 基础巩固题 住宅用地 人民广场 商业用地 3 a 3 a +2 b 2 a–b 4 a 如图，一 块长方形地用来建造住宅 、 广场 、 商 厦，求 这块地的面积 . 解： 4 a [(3 a +2 b )+(2 a – b )] ＝ 4 a (5 a + b ) ＝ 4 a ·5 a +4 a·b ＝ 20 a 2 +4 ab . 答： 这块地的面积为 20 a 2 +4 ab . 能力提升题 课堂检测 某 同学在计算一个多项式乘 以 –3 x 2 时，算 成了加 上 –3 x 2 ，得 到的答案是 x 2 –2 x ＋ 1 ，那 么正确的计算结果是多少？ 解： 设这个多项式为 A ， 则 ∴A ＝ 4 x 2 –2 x ＋ 1. ∴A ·(–3 x 2 ) ＝ (4 x 2 –2 x ＋ 1)(–3 x 2 ) A ＋ (–3 x 2 ) ＝ x 2 –2 x ＋ 1 ， ＝ –12 x 4 ＋ 6 x 3 –3 x 2 . 拓广探索题 课堂检测 整式乘法 单项式乘单项式 实质上是转化为同底数幂的运算 单项式乘 多项式 实质上是转化为单项式 × 单 项式 四点注意 (1) 计 算 时，要 注意 符号 问 题，多 项式中每一项都包括它前面的符 号，单 项式分别与多项式的每一项相乘 时， 同 号相乘得 正 ， 异 号相乘得负 (2) 不 要出现漏乘现象 (3) 运 算要有顺序： 先乘 方，再 乘 除，最 后加减 (4) 对 于混合运 算，注 意最后应合并同类项 课堂小结 第二课 时 多项式乘多项式 为 了把校园建设成为花园式的学 校，经 研究决定将原有的长为 a 米， 宽为 b 米的足球场向宿舍楼方向加长 m 米，向 厕所方向加宽 n 米，扩 建成为美化校园绿草 地 . 你 是学校的小主 人，你 能帮助学校计算出扩展后绿地的面积吗？ a m b n 导入新知 2. 能 够运用 多项式与多项式的乘法运算法则进行计算 . 1. 理 解并掌握 多项式与多项式的乘法运算法则 . 素养目标 1. 如何进行单项式与多项式乘法的运算？ (2) 再 把所得的积相加 . (1) 将 单项式分别乘以多项式的各 项 . 2. 进行单项式与多项式乘法运算 时，要 注意什么 ? (1) 不能 漏乘 : 即单项式要乘多项式的每一 项 . (2) 去 括号时注意符号的变化 . 知识点 1 多项式乘多项式的法则 探究新知 回 顾旧知 某地 区在退耕还林期 间，有 一块原长 m 米，宽 为 a 米的长方形林 区，若 长增加了 n 米，宽 增加了 b 米，请 你计算这块林区现在的面积 . a m b n 探究新知 ma na mb nb a m b n 你能用不同的形式表示 所拼图的面积 吗？ 这块林区现在长 为 ( m+n ) 米，宽为 ( a+b ) 米 . ( m+n ) ( a+b ) m ( a+b ) +n ( a+b ) ma+mb+na+nb 方法一： 方法二： 方法三： 探究新知 由于 ( m+n )( a+b ) 和 ( ma+mb+na+nb ) 表 示同一块地的面 积，故 有： ( m + n )( a + b )= ma + mb + na + nb 如何进行多项式与多项式相乘的运算？ 实际 上，把 ( a + b ) 看 成一个整 体，有 ： = ma+mb+na+nb ( m+n )( a+b ) = m ( a+b ) +n ( a+b ) ( m+n ) X = mX+nX ？ 若 X = a + b ，如 何计算？ 探究新知 多项 式与多项式相 乘，先 用 一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一 项， 再 把所得的 积相加 . 1 2 3 4 ( a + b )( m + n ) = a m 1 2 3 4 + a n + b m + b n “ 多乘多 ” 顺口溜 ： 多乘 多，来 计 算，多 项式各项都见 面， 乘后结果要相 加，化 简、排列才算完 . 探究新知 多项式乘以多项 式 例 1 计 算 : ( 1 ) ( 3 x +1)( x +2) ； ( 2 ) ( x –8 y )( x – y ) ； 解： (1) 原式 =3 x·x + 2 ·3 x +1· x +1×2 =3 x 2 +6 x + x +2 (2) 原式 = x · x – xy –8 xy +8 y 2 结果 中有同类项的要合并同类项 . =3 x 2 +7 x +2 ； 计算 时要注意符号问题 . = x 2 –9 xy +8 y 2 ； 素养考点 1 用多项式乘以多项式法则进行计算 探究新知 (3) 原式 = x · x 2 – x·xy + xy 2 + x 2 y – xy 2 + y · y 2 = x 3 – x 2 y + xy 2 + x 2 y – xy 2 + y 3 = x 3 + y 3 . 需 要注意的几个问 题： (1) 漏乘； (2) 符 号问 题； (3) 最 后结果应 化成最简形式 . 计算时不能漏乘 . 探究新知 (3) ( x + y )( x 2 – xy + y 2 ). 1 . 快速训练 : ( 1 ) (2 x +1)( x +3); ( 2 ) ( m +2 n )( m +3 n ): ( 3 ) ( a – 1) 2 ； ( 4 ) ( a +3 b ) (a –3 b ). ( 5 ) ( x +2)( x +3); ( 6 ) ( x –4)( x +1) ( 7 ) ( y+ 4 )( y –2); ( 8 ) ( y –5)( y –3) a 2 –9 b 2 巩固练习 2 x 2 +7 x +3 m 2 +5 mn +6 n 2 a 2 –2 a +1 x 2 +5 x +6 x 2 –3 x –4 y 2 +2 y –8 y 2 –8 y +15 例 2 先化 简，再 求值 ： ( a –2 b )( a 2 ＋ 2 ab ＋ 4 b 2 )– a ( a –5 b )( a ＋ 3 b ) ，其 中 a ＝ –1 ， b ＝ 1. 当 a ＝ –1 ， b ＝ 1 时 ， 解： 原式 ＝ a 3 –8 b 3 –( a 2 –5 ab )( a ＋ 3 b ) ＝ a 3 –8 b 3 – a 3 –3 a 2 b ＋ 5 a 2 b ＋ 15 ab 2 ＝ –8 b 3 ＋ 2 a 2 b ＋ 15 ab 2 . 原式 ＝ –8 ＋ 2–15 ＝ –21 . 素养考点 2 用多项式乘以多项式法则进行化简求值 探究新知 2. 先化 简，再 求 值 . ( x – y )( x –2 y ) – (2 x –3 y )( x +2 y ) ，其中 . x = –2 ， y = 解 ： ( x – y )( x –2 y ) – (2 x –3 y )( x +2 y ) = x 2 –2 xy – xy +2 y 2 –(2 x 2 +4 xy –3 xy –6 y 2 ) = x 2 –2 xy – xy +2 y 2 –2 x 2 – xy +6 y 2 = – x 2 –4 xy +8 y 2 当 x = –2 ， y = 时 ， 原 式 = –6 巩固练习 例 3 已知 ax 2 ＋ bx ＋ 1( a ≠ 0) 与 3 x –2 的积不含 x 2 项，也 不含 x 项，求 系数 a 、 b 的值． 解 ： ( ax 2 ＋ bx ＋ 1)(3 x –2) ＝ 3 ax 3 –2 ax 2 ＋ 3 bx 2 –2 bx ＋ 3 x –2 ， ∵ 积不含 x 2 的 项，也 不含 x 的 项 ， 探究新知 方法总结 ： 解 决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开 式，合 并同类项 后，再 根据不含某一 项，可 得这一项系数等于 零，再 列出方程解答． 3 . 选 择 题 . ( 1 ) 计 算 m 2 –( m +1)( m –5) 的 结果正确的 是 ( ) A .–4 m –5 B.4 m +5 C. m 2 –4 m +5 D. m 2 +4 m –5 ( 2 ) (1+ x )(2 x 2 + ax +1) 的 结果中 x 2 项的系数 为 –2 ，则 a 的值 为 ( ) A .–2 B.1 C .–4 D . 以上都不对 B C 巩固练习 1 . 计算 ( a – 2 )( a +3 ) 的 结果 是 ( ) A． a 2 – 6 B． a 2 + a – 6 C． a 2 +6 D． a 2 – a +6 连接中考 B 巩固练习 2 . 在 矩形 ABCD 内 ， 将 两张边长分别为 a 和 b ( a ＞ b ) 的 正方形纸片按图 1 ， 图 2两种方式放 置 ( 图1 ， 图 2中两张正方形纸片均有部分重 叠 ) ， 矩 形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表 示 ， 设 图1中阴影部分的面积为 S 1 ， 图 2中阴影部分的面积为 S 2 ．当 AD – AB =2时 ， S 2 – S 1 的值 为 ( 　 ) A．2 a B．2 b C．2 a – 2 b D． – 2 b 连接中考 B 巩固练习 2 . 如果 ( x + a )( x + b ) 的 结果中不含 x 的一次 项，那 么 a 、 b 满 足 ( 　　 ) A． a = b B． a =0 C． a = – b D． b =0 C 1 . 计算 ( x – 1 )( x – 2 ) 的 结果 为 ( 　　 ) A． x 2 +3 x – 2 B． x 2 – 3 x – 2 C． x 2 +3 x +2 D． x 2 – 3 x +2 D 基础巩固题 3 . 已知 ab = a + b +1 ， 则( a –1)( b –1)=_____ 　． 2 课堂检测 4 . 判 别下列解法是否正 确，若 不正 确，请 说出理由 . 解： 原式 漏乘 课堂检测 基础巩固题 解 ： 原式 运算法则混淆 课堂检测 基础巩固题 5 . 计 算 ： (1)( x − 3 y )( x +7 y ) ； (2)(2 x + 5 y )(3 x − 2 y ). 解 : (1) ( x − 3 y )( x+ 7 y ) + 7 xy − 3 yx − = x 2 + 4 xy– 21 y 2 ； 21 y 2 (2) (2 x +5 y )(3 x − 2 y ) = = x 2 2 x • 3 x −2 x • 2 y +5 y • 3 x − 5 y • 2 y = 6 x 2 − 4 xy + 15 xy − 10 y 2 = 6 x 2 + 11 xy − 10 y 2 . 课堂检测 基础巩固题 6. 化简求值： (4 x +3 y )(4 x –3 y )+(2 x + y )(3 x –5 y ) ，其 中 x =1 ， y = –2 . 解 : 原式 = 当 x =1 ， y = –2 时 ， 原式 = 22×1–7×1×(–2)–14×(–2) 2 = 22+14 –56 = –20 . 课堂检测 基础巩固题 解 方程与不等式： 1. ( x – 3 )( x – 2 ) + 18 = ( x +9 )( x +1 ) ； 2. ( 3 x + 6)( 3 x –6) ＜9 ( x – 2 )( x +3 ) ． 解 ： 1. 原式 去 括 号，得 : x 2 – 5 x +6+18= x 2 +10 x +9 ， 移项合 并，得 : 15 x =15， 解 得 : x =1 ； 2. 原式 去 括 号，得 : 9 x 2 –3 6＜ 9 x 2 +9 x – 54 ， 移项合 并，得 : 9 x ＞ 1 8， 解 得 : x ＞ 2 ． 能力提升题 课堂检测 小 东找来一张挂历画包数学课本．已知课本长 a 厘 米，宽 b 厘 米，厚 c 厘 米，小 东想将课本封面与封底的每一边都包进去 m 厘 米，那么小 东应在挂历画上裁下一块多大面积的长方形？ 八年 级 ( 上 ) 姓名： ____________ 数学 c b a 拓广探索题 课堂检测 a b c m b m 面积 ： (2 m +2 b + c )(2 m + a ) 课堂检测 解 ： (2 m+ 2 b+c )(2 m+a ) = 4 m 2 +2 ma +4 bm +2 ab +2 cm + ca . 答： 小东应在挂历画上裁下一块 (4 m 2 +2 ma +4 bm +2 ab +2 cm + ca ) 平方厘米的长方形 . 课堂检测 多项式乘多项式 运算法则 多项式与多项式相 乘，先 用 一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一 项， 再 把所得的 积 相加 . ( a+b )( m+n )= am+an+bm+bn 注意 不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最 简 . 实质上是转化为单项式乘多项式的 运算 . ( x –1) 2 在一般情况下不等于 x 2 – 1 2 . 课堂小结 第 三 课 时 整式的除法 木 星的质量约是 1.9×10 24 吨，地 球的质量约是 5.98×10 21 吨，你 知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗 ? 木星的质量约为地球质量 的 (1.90×10 24 )÷(5.98×10 21 ) 倍 . 想一想： 上面的式子该如何计算 ? 地球 木星 导入新知 1. 掌握 同底数幂除法的运算法则 并能正确计算 . 素养目标 2. 知道 除 0 以外任何 数的0次幂都等于1 . 3. 掌握 单项式除以单项式 及 多项式除以单项式的运算法则 并能正确计算 . 同底数幂的除法 1. 计算： (1)2 5 ×2 3 = ？ (2) x 6 · x 4 =? (3)2 m ×2 n = ？ 2 8 x 10 2 m+n 2. 填空： (1)( ) ( ) × 2 3 =2 8 (2) x 6 ·( ) ( ) = x 10 (3)( ) ( ) × 2 n =2 m+n 2 5 x 4 2 m 本题直接利用 同底数幂的乘法法则计算 本题 逆向 利用 同底数幂的乘法法则计算 相当于求 2 8 ÷2 3 = ？ 相当于求 x 10 ÷ x 6 = ？ 相当于求 2 m+n ÷2 n = ？ 知识点 1 探究新知 4. 试猜想： a m ÷ a n =? ( m ， n 都是正整 数，且 m > n ) 3. 观察下面的等 式，你 能发现什么规律？ ( 1 ) 2 8 ÷2 3 =2 5 ( 2 ) x 10 ÷ x 6 = x 4 ( 3 ) 2 m+n ÷2 n =2 m 同底数幂相 除， 底 数不 变，指 数相减 a m ÷ a n = a m–n = 2 8–3 = x 10–6 = 2 ( m+n )– n 验证： 因为 a m–n · a n = a m–n+n =a m ， 所 以 a m ÷ a n =a m–n . 探究新知 一 般 地，我们有 a m ÷ a n =a m–n ( a ≠ 0 ， m ， n 都是正整 数，且 m>n ) 即同 底数幂相 除， 底 数不 变，指 数相减 . 想一想： a m ÷a m =? ( a ≠ 0) 答： a m ÷a m =1 ， 根 据同底数幂的除法法则可得 a m ÷ a m = a 0 . 规定 a 0 = 1( a ≠ 0 ) 这就是 说， 除 0 以外任何 数的 0 次幂都等于 1 . 探究新知 同底数幂的除 法 例 1 计算： ( 1 ) x 8 ÷ x 2 ; ( 2 ) ( ab ) 5 ÷( ab ) 2 . 解 ： (1) x 8 ÷ x 2 = x 8–2 = x 6 ; (2) ( ab ) 5 ÷( ab ) 2 = ( ab ) 5–2 =( ab ) 3 = a 3 b 3 . 方法总结： 计算同底数幂的除法 时，先 判断底数是否相同或变形相 同，若 底数为多项 式，可 将其看作一个整 体，再 根据法则计算． 素养考点 1 同底数幂除法法则的应用 探究新知 1 . 计 算： (1)(– xy ) 13 ÷(– xy ) 8 ； (2)( x –2 y ) 3 ÷(2 y – x ) 2 ； (3)( a 2 ＋ 1) 6 ÷( a 2 ＋ 1) 4 ÷( a 2 ＋ 1) 2 . (3) 原 式 ＝ ( a 2 ＋ 1) 6–4–2 ＝ ( a 2 ＋ 1) 0 ＝ 1. 解 ： (1) 原 式 ＝ (– xy ) 13–8 ＝ (– xy ) 5 ＝ – x 5 y 5 ； (2) 原 式 ＝ ( x –2 y ) 3 ÷( x –2 y ) 2 ＝ x –2 y ； 巩固练习 例 2 已知 a m ＝ 12 ， a n ＝ 2 ， a ＝ 3 ，求 a m – n –1 的值． 方法总结： 解此题的关键是逆用同底数幂的除 法，对 a m – n –1 进行变 形，再 代入数值进行计算． 解： ∵ a m ＝ 12 ， a n ＝ 2 ， a ＝ 3 ， ∴ a m – n –1 ＝ a m ÷ a n ÷ a ＝ 12÷2÷3 ＝ 2. 素养考点 2 同底数幂除法法则的逆运用 探究新知 2 . ( 1 ) 已 知 x a =32 ， x b =4 ， 求 x a – b ； 解： x a – b = x a ÷ x b =32 ÷ 4=8 ； ( 2 ) 已 知 x m =5 ， x n =3 ， 求 x 2 m – 3 n . 解： x 2 m –3 n = ( x m ) 2 ÷ ( x n ) 3 =5 2 ÷ 3 3 = . 巩固练习 单项式除以单项式 ( 1 ) 计 算： 4 a 2 x 3 · 3 ab 2 = ; ( 2 ) 计 算： 12 a 3 b 2 x 3 ÷ 3 ab 2 = . 12 a 3 b 2 x 3 4 a 2 x 3 解法 2 ： 原式 =4 a 2 x 3 · 3 ab 2 ÷ 3 ab 2 =4 a 2 x 3 . 理解 ： 上面的商式 4 a 2 x 3 的系数 4=12 ÷3 ； a 的指数 2=3–1 ， b 的指数 0=2–2 ， 而 b 0 =1 ， x 的指数 3=3–0 . 解法 1 ： 12 a 3 b 2 x 3 ÷ 3 ab 2 相当于 求 ( ) · 3 ab 2 =12 a 3 b 2 x 3 . 由 ( 1 ) 可 知括号里应填 4 a 2 x 3 . 知识点 2 探究新知 单 项式相 除， 把 系数与同底数幂 分别 相除作为 商的 因式，对于 只在被除式里含有的字 母，则连同它 的 指数作为 商的一个因式 . 理解 商式 ＝ 系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂 底数不 变， 指数相减 . 保留在商里 作为因式 . 被除式的系数 除式的系数 探究新知 单项式除以单项式的法 则 例 3 计算： ( 1 ) 28 x 4 y 2 ÷7 x 3 y ； ( 2 ) –5 a 5 b 3 c ÷15 a 4 b . =4 xy ； ( 2 ) 原式 = (–5÷15) a 5–4 b 3–1 c 解 : ( 1) 原 式 = (28 ÷ 7) x 4–3 y 2–1 = ab 2 c . 素养考点 3 单项式除法以单项式法则的应用 多项 式除以单项式要按照法则逐项进 行，不 得漏 项，并 且要注意符号的变化 . 探究新知 3. 下列计算错在哪里？怎样改正？ (1)4 a 8 ÷ 2 a 2 = 2 a 4 ( ) (2)10 a 3 ÷ 5 a 2 =5 a ( ) (3)(–9 x 5 ) ÷ (–3 x ) =–3 x 4 ( ) (4)12 a 3 b ÷ 4 a 2 =3 a ( ) 2 a 6 2 a 3 x 4 7 ab × × × × 系数相除 同底数幂的除 法， 底 数 不 变 ，指 数 相减 . 只在 一个被除式里含有的字 母 ，要 连同它的指数写在商 里， 防 止遗漏 . 求商的系 数，应 注意 符号 . 巩固练习 4. 计 算 (1)(2 a 2 b 2 c ) 4 z ÷(–2 ab 2 c 2 ) 2 ； (2)(3 x 3 y 3 z ) 4 ÷(3 x 3 y 2 z ) 2 ÷ x 2 y 6 z ． 解 ： (1) 原 式 ＝ 16 a 8 b 8 c 4 z ÷4 a 2 b 4 c 4 ＝ 4 a 6 b 4 z ； (2) 原 式＝ 81 x 12 y 12 z 4 ÷9 x 6 y 4 z 2 ÷ x 2 y 6 z ＝ 9 x 4 y 2 z . 方法总结： 掌握 整式的除法的运算法则 是 解题的关 键，在 计算过程中注意有乘方的 先算乘 方 ，再 算 乘除 ． 巩固练习 多项式除以单项式 一 幅长方形油画的长 为 ( a + b ) ，宽 为 m ，求 它 的面积 . 面积 为 ( a + b ) m=ma+mb. 若 已知油画的面积 为 ( ma+mb ) ，宽 为 m ，如 何求它的长？ 长为 ( ma+mb ) ÷ m . 知识点 3 探究新知 问题1： 问 题 2 ： 如 何计 算 ( am+bm ) ÷ m ? 计算 ( am+bm ) ÷ m 就相当于求 ( ) · m=am+bm ，因 此 不难推断出括 里应填 a+b . 又知 am ÷ m+bm ÷ m=a+b . 即 ( am+bm ) ÷ m =am ÷m+bm ÷m 探究新知 问 题 3 ： 多 项式除以单项 式，就 是用多项式的 除以这个 ，再 把所得的商 . 单项式 每一项 相加 关键： 应用法则是把 多项式除以单项式 转化为 单项式除以单项式 . 探究新知 多项式除以单项式的法则 例 4 计 算 (12 a 3 –6 a 2 +3 a ) ÷3 a . 解： (12 a 3 –6 a 2 +3 a ) ÷3 a = 12 a 3 ÷3 a +(–6 a 2 ) ÷3 a +3 a ÷3 a =4 a 2 +(–2 a )+ 1 = 4 a 2 –2 a +1 . 方法总结 ： 多项式除以单项 式，实 质是利用乘法的分配 律，将 多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程 中，要 注意符号问题 . 素养考点 4 多项式除以单项式的法则的应用 探究新知 5. 计算 ： (1)( 6 x 3 y 4 z – 4 x 2 y 3 z ＋ 2 xy 3 ) ÷ 2 xy 3 ； (2)(72 x 3 y 4 –36 x 2 y 3 ＋ 9 xy 2 )÷(–9 xy 2 ) ． (2) 原式 = 72 x 3 y 4 ÷(–9 xy 2 ) ＋ (–36 x 2 y 3 )÷(–9 xy 2 ) ＋ 9 xy 2 ÷(–9 xy 2 ) = –8 x 2 y 2 ＋ 4 xy –1 . 解 ： (1) 原 式 = 6 x 3 y 4 z ÷2 xy 3 – 4 x 2 y 3 z ÷2 xy 3 ＋2 xy 3 ÷2 xy 3 = 3 x 2 yz –2 xz ＋ 1 ； 巩固练习 例 5 先化 简，后 求值： [ 2 x ( x 2 y – xy 2 ) ＋ xy ( xy – x 2 )]÷ x 2 y ，其 中 x ＝ 2015 ， y ＝ 2014. 解： 原式＝ [ 2 x 3 y –2 x 2 y 2 ＋ x 2 y 2 – x 3 y ]÷ x 2 y ， 原式＝ x – y ＝ 2015–2014 ＝ 1. ＝ x – y . 把 x ＝ 2015 ， y ＝ 2014 代入上 式，得 素养考点 5 多项式除以单项式的化简求值问题 探究新知 6 . 求 值 ： (21 x 4 y 3 –35 x 3 y 2 +7 x 2 y 2 )÷(–7 x 2 y ) ， 其 中 x =1 ， y = –2 解 : 原式 = 21 x 4 y 3 ÷(–7 x 2 y ) –35 x 3 y 2 ÷(–7 x 2 y ) +7 x 2 y 2 ÷(–7 x 2 y ) = –3 x 2 y 2 + 5 xy – y 把 x ＝ 1 ， y ＝ –2 代入上 式，得 原式 ＝ –3 1 2 (–2) 2 +5 1 (–2) –(–2) ＝ –12–10+2 ＝ –20 . 巩固练习 1 . 计算 ： a 4 ÷ a = 　　 ． 连接中考 巩固练习 2 . 已知 a m =3 ， a n =2 ， 则 a 2 m – n 的值为 　　 ． 解析： ∵ a m =3，∴ a 2m =3 2 =9， ∴ a 2 m – n = = =4.5 ． a 3 4.5 1 ． 下列说法正确的是 ( ) A ． (π–3.14) 0 没有意义 B ．任何数的 0 次幂都等于 1 C ． (8×10 6 )÷(2×10 9 ) ＝ 4×10 3 D ． 若 ( x ＋ 4) 0 ＝ 1 ，则 x ≠–4 D 基础巩固题 课堂检测 2. 下列算式 中，不 正确的 是 ( ) A ． (–12 a 5 b )÷(–3 ab ) ＝ 4 a 4 B ． 9 x m y n –1 ÷3 x m –2 y n –3 ＝ 3 x 2 y 2 C . 4 a 2 b 3 ÷2 ab ＝ 2 ab 2 D ． x ( x – y ) 2 ÷( y – x ) ＝ x ( x – y ) D 基础巩固题 课堂检测 5. 已知一多项式与单项 式 –7 x 5 y 4 的积为 21 x 5 y 7 –28 x 6 y 5 ，则 这个多项式是 . –3 y 3 +4 xy 4. 一个长方形的面积为 a 2 +2 a ，若 一边长为 a ，则 另一边长为 _____________. a +2 3. 已知28 a 3 b m ÷28 a n b 2 = b 2 ，那 么 m ， n 的取值 为 ( 　　 ) A． m =4， n =3 B． m =4， n =1 C． m =1， n =3 D． m =2， n =3 A 课堂检测 基础巩固题 6 . 计算 ： ( 1 ) 6 a 3 ÷2 a 2 ； ( 2 ) 24 a 2 b 3 ÷3 ab ； ( 3 ) –21 a 2 b 3 c ÷3 ab ; ( 4 ) (14 m 3 –7 m 2 +14 m )÷ 7 m. 解 ： ( 1 ) 6 a 3 ÷2 a 2 ＝ ( 6÷2 )( a 3 ÷ a 2 ) = 3 a . ( 2 ) 24 a 2 b 3 ÷3 ab = ( 24÷3 ) a 2–1 b 3–1 = 8 ab 2 . ( 3 ) –21 a 2 b 3 c ÷3 ab = ( –21÷3 ) a 2–1 b 3–1 c = –7 ab 2 c ; ( 4 ) (14 m 3 –7 m 2 +14 m )÷ 7 m = 14 m 3 ÷7 m 7 m 2 ÷7 m +14 m ÷7 m = 2 m 2 – m +2 . 课堂检测 基础巩固题 先 化 简，再 求值 ： ( x ＋ y )( x – y )–(4 x 3 y –8 xy 3 )÷2 xy ，其 中 x ＝ 1 ， y ＝ –3 . 解： 原式 ＝ x 2 – y 2 –2 x 2 ＋ 4 y 2 原式 ＝ –1 2 ＋ 3 ×(–3) 2 ＝ –1 ＋ 27 ＝ 26. 当 x ＝ 1 ， y ＝ –3 时 ， ＝ – x 2 ＋ 3 y 2 . 能力提升题 课堂检测 1. 若3 2 •9 2 x +1 ÷27 x +1 =81，求 x 的值 ; 解 ： ( 1 ) 3 2 •3 4 x +2 ÷3 3 x +3 =81， 即 3 x +1 = 3 4 ， 解得 x =3； 3. 已知2 x – 5 y – 4=0，求 4 x ÷32 y 的值． ( 3 ) ∵ 2 x – 5 y – 4=0， 移项，得 2 x – 5 y =4 ． 4 x ÷32 y =2 2 x ÷2 5 y =2 2 x – 5 y =2 4 =16 ． 2. 已知5 x =36，5 y =2，求5 x – 2 y 的值 ; ( 2 ) 5 2 y = ( 5 y ) 2 = 4，5 x – 2 y =5 x ÷5 2 y =36÷4=9 ． 拓广探索题 课堂检测 整式的除法 同底数幂的除法 单项式除以单项式 底数不 变，指 数相减 1. 系数相除； 2. 同底数的幂相除； 3. 只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式 多项式除以单项式 转化为单项式除以单项式的问题 课堂小结 0 指数幂的性质 除 0 以外任何数的 0 次幂都等于 1 14.2 乘法公式 14.2.1 平 方差公式 人教 版 数学 八 年级 上册 某 同学在计算 97×103 时将其变 成 (100–3)(100+3) 并 很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节 课，我们就来一起探讨 上述计算的规律 . 导入新知 观察与思考 1. 掌握 平方差公式 的推导及应用. 2. 了解平方差公式的几何意义 ，体会 数形结合 的思想方法. 素养目标 多项式与多项式是如何相乘的 ？ ( x ＋ 3)( x ＋ 5 ) = x 2 ＋ 5 x ＋ 3 x ＋ 15 = x 2 ＋ 8 x ＋ 15. ( a+b )( m+n ) =am +an +bm +bn 探究新知 知识点 1 平方差公式 面积变了吗？ a 米 5 米 5 米 a 米 ( a –5) 相等吗？ 探究新知 ①( x ＋ 1)( x –1) ； ② ( m ＋ 2)( m –2) ； ③ (2 m ＋ 1)(2 m –1) ； ④ (5 y ＋ z )(5 y – z ). 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 做一做 探究新知 x 2 – 1 2 m 2 –2 2 (2 m ) 2 – 1 2 (5 y ) 2 – z 2 这 些计算结果有什么特点？ 想一想 ( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2 两数 和 与这两数 差 的积 , 等于 这两个数的 平方差 . 公式变形 : 1 .( a – b ) ( a + b ) = a 2 – b 2 2 .( b + a )( – b + a ) = a 2 – b 2 探究新知 平方差公式 注： 这里的两数可以是两个 单项式 也可以是两个 多项式 等 ． ( a+b )( a–b )=( a ) 2 –( b ) 2 相同为 a 相反为 b ， – b 适当交换 合理加括号 探究新知 平方差公式 公式 中的 a 和 b ，既可以是 具体的数 ，也可以是 单 项 式 或者多项式； 2. 左边 是两个二项式的积，并且有一项完全 相同 ， 另 一 项互为 相反数； 3. 右边 是相同项的平方 减去 相反项的绝对值的 平方 . ( a+b )( a– b )= a 2 – b 2 . 温馨提示 探究新知 (1+ x )(1– x ) (–3+ a )(–3– a ) (0.3 x –1)(1+0.3 x ) (1+ a )(–1+ a ) a b a 2 – b 2 1 x –3 a 1 2 – x 2 (–3) 2 – a 2 a 1 a 2 –1 2 0.3 x 1 ( 0.3 x ) 2 –1 2 ( a–b )( a+b ) 填一填 探究新知 口答下列各题 ： (1)(– a + b )( a + b )=_________. (2)( a – b )( b + a )= __________. (3)(– a – b )(– a + b )= ________. (4)( a – b )(– a – b )= _________. a 2 – b 2 a 2 – b 2 b 2 – a 2 b 2 – a 2 做一做 探究新知 例 1 计算 ： (1) (3 x ＋ 2 )( 3 x –2 ) ； (2) (– x +2 y )(– x –2 y ). (2) 原 式 = (– x ) 2 – (2 y ) 2 = x 2 – 4 y 2 . 解： (1) 原式 = ( 3 x ) 2 –2 2 = 9 x 2 –4 ； 素养考点 1 利用平方差公式计算 易错警示： 当相同项带有 “ 负号 ” 时，必须用 括号括起来 . 探究新知 1 . 利用 平方差公式计算： (1)(3 x –5)(3 x ＋ 5) ； (2)(–2 a – b )( b –2 a ) ； (3)(–7 m ＋ 8 n )(–8 n –7 m ) ． 解 ： (1) 原 式 = ( 3 x ) 2 –5 2 ＝ 9 x 2 –25 ； (2) 原 式 = (–2 a ) 2 – b 2 ＝ 4 a 2 – b 2 ； (3) 原 式 = (–7 m ) 2 –(8 n ) 2 ＝ 49 m 2 –64 n 2 ； 巩固练习 例 2 计算 : (1) 102×98 ; (2) ( y +2) ( y –2) – ( y –1) ( y +5) . = 100 2 –2 2 解 : (1) 102×98 = 10000 – 4 = (100 ＋ 2)(100–2) = 9996 ； = y 2 –4– y 2 –4 y +5 (2)( y +2)( y –2)– ( y –1)( y +5) = y 2 –2 2 –( y 2 +4 y –5) = – 4 y + 1. 通过 合理变形，利用平方差公式，可以简化运算 . 不 符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算 . 素养考点 2 利用平方差公式简便运算 探究新知 ( 1 ) 51 ×49 ; ( 2 ) ( 3 x +4 )( 3 x – 4 )–( 2 x +3 )( 3 x – 2 ) . 解 : (1) 原式 = (50 ＋ 1)(50–1) = 50 2 –1 2 =2500 – 1 = 2499 ； (2) 原式 = ( 3 x ) 2 –4 2 –(6 x 2 +5 x –6) = 9 x 2 –16–6 x 2 –5 x +6 = 3 x 2 –5 x –10 . 巩固练习 2 . 计算 : 例 3 先化简，再求值 ： (2 x – y )( y ＋ 2 x )–(2 y ＋ x )(2 y – x ) ， 其中 x ＝ 1 ， y ＝ 2. 解： 原式＝ 4 x 2 – y 2 –(4 y 2 – x 2 ) 原式 ＝ 5×1 2 –5×2 2 ＝ –15 . ＝ 4 x 2 – y 2 –4 y 2 ＋ x 2 ＝ 5 x 2 –5 y 2 . 当 x ＝ 1 ， y ＝ 2 时 ， 素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值 探究新知 3 . 先 化简,再求值 : ( 3 – x )( 3+ x ) + ( x +1 )( x –1) , 其中 x =2. 巩固练习 解 ： ( 3 – x )( 3+ x ) + 2( x +1 )( x –1) = 9– x 2 +2( x 2 –1) =9– x 2 +2 x 2 –2 = 7+ x 2 当 x =2 时， 原 式 = 7+2 2 =7+4=11 例 4 对于任意的正整数 n ， 整 式 (3 n ＋ 1)(3 n –1)–(3– n )(3 ＋ n ) 的 值一定是 10 的整数倍吗？ 即 (3 n ＋ 1)(3 n –1)–(3– n )(3 ＋ n ) 的 值是 10 的倍数． 解： 原式＝ 9 n 2 –1–(9– n 2 ) ＝ 10 n 2 –10 . ∵( 10 n 2 –10) ÷ 10= n 2 –1 . n 为正整数 ， ∴ n 2 –1 为整数 素养考点 4 利用平方差公式进行证明 探究新知 对于 平方差中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项 式 . 在 探究整除性或倍数问题时，一般先将 代数式化为最简 ，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系． 归纳总结 探究新知 巩固练习 4 . 如果 两个连续奇数分别是 2 n –1 ， 2 n +1 ( 其 中 n 为正整 数 ) ， 证明两个连续整数的平方差是 8 的倍数 . 证明 ： (2 n +1) 2 –(2 n –1) 2 = [(2 n +1)+(2 n –1)][(2 n +1)–(2 n –1)] = (2 n +1+2 n –1)(2 n +1–2 n +1) = 4 n ×2 = 8 n 因 为 8 n 是 8 的倍数，所以结论成立 . 例 5 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ ∵ a 2 ＞ a 2 –16 ， 解： 李大妈吃亏了 ． 理由： 原正方形的面积为 a 2 ， 改变边长后面积 为 ( a ＋ 4)( a –4) ＝ a 2 –16 ， ∴ 李大妈吃亏了． 素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题 探究新知 解决 实际问题的关键是根据题意 列出算式 ，然后根据 公式化简算式 ，解决问题． 归纳总结 探究新知 5 . 如 图 1 , 在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的正方 形 ( a > b ), 把余下的部分剪成一个矩 形 ( 如 图 2 ). 通过计算两个图 形 ( 阴 影部 分 ) 的 面积 , 验证了一个等式 , 这个等式 是 ( ) A. a 2 – b 2 = ( a + b ) ( a – b ) B. ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 C. ( a – b ) 2 = a 2 –2 ab + b 2 D. ( a +2 b )( a – b )= a 2 + ab –2 b 2 b a 图 1 b a 图 2 巩固练习 A 1 . 化简 ( x – 1 )( x +1 ) 的 结果是 　 ． 连接中考 2 . 某同学化简 a ( a +2 b )–( a + b )( a – b )出现了错误 ，解答过程如下：原式= a 2 +2 ab –( a 2 – b 2 ) (第一步) = a 2 +2 ab – a 2 – b 2 (第二步) =2 ab – b 2 (第三步) (1)该同学解答过程从第 　　 步开始出错， 错误原因是 　 ； (2)写出此题正确的解答过程 ． 原 式 = a 2 +2 ab –( a 2 – b 2 ) = a 2 +2 ab – a 2 + b 2 =2 ab + b 2 ． x 2 – 1 二 去括号时没有变号 巩固练习 1 . 下列 运算中，可用平方差公式计算的 是 ( 　　 ) A ． ( x ＋ y )( x ＋ y ) B ． (– x ＋ y )( x – y ) C ． (– x – y )( y – x ) D ． ( x ＋ y )(– x – y ) C 2 . 计算 ( 2 x +1 )( 2 x – 1 ) 等于 ( 　　 ) A．4 x 2 – 1 B．2 x 2 – 1 C．4 x – 1 D．4 x 2 +1 A 3 . 两 个正方形的边长之和为 5 ，边长之差为 2 ，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是 ________ ． 10 基础巩固题 课堂检测 (1)( a+ 3 b )( a – 3 b ) ； = 4 a 2 –9 ； = 4 x 4 – y 2 . 原式 = (2 a+ 3)(2 a– 3) = a 2 –9 b 2 ； =(2 a ) 2 –3 2 原式 = ( – 2 x 2 ) 2 – y 2 原式 = ( a ) 2 –(3 b ) 2 (2)(3 + 2 a )( – 3 + 2 a ) ； (3)(–2 x 2 –y )(–2 x 2 +y ). 4. 利用 平方差公式计算： 课堂检测 基础巩固题 解 : 解 : 解 : 5 . 计算 ： 2015 2 – 2014×2016. 解： 2015 2 – 2014×2016 = 2015 2 – (2015–1)(2015+1) = 2015 2 – (2015 2 –1 2 ) = 2015 2 – 2015 2 +1 2 = 1 课堂检测 基础巩固题 6. 利用 平方差公式计算 : (1)( a –2)( a +2)( a 2 + 4) 解 : 原式 = ( a 2 –4)( a 2 +4) = a 4 –16 . (2) ( x – y )( x + y )( x 2 + y 2 )( x 4 + y 4 ). 解： 原式 = ( x 2 – y 2 )( x 2 + y 2 )( x 4 + y 4 ) = ( x 4 – y 4 )( x 4 + y 4 ) = x 8 – y 8 . 课堂检测 基础巩固题 先 化简，再求值 ： ( x ＋ 1)( x –1) ＋ x 2 (1– x ) ＋ x 3 ， 其中 x ＝ 2. 解： 原式 = x 2 –1 ＋ x 2 – x 3 ＋ x 3 = 2 x 2 –1 . 将 x ＝ 2 代入上式 ， 原式 = 2 × 2 2 –1=7 . 能力提升题 课堂检测 已知 x ≠1 ，计算 ： (1 ＋ x )(1– x ) ＝ 1– x 2 ， (1– x )(1 ＋ x ＋ x 2 ) ＝ 1– x 3 ， (1– x )(1 ＋ x ＋ x 2 ＋ x 3 ) ＝ 1– x 4 (1) 观 察以上各式并猜想 ： (1– x )(1 ＋ x ＋ x 2 ＋ … ＋ x n ) ＝ ________ ； (n 为正整 数 ) (2) 根 据你的猜想计算： ①(1–2)(1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ 2 3 ＋ 2 4 ＋ 2 5 ) ＝ ________ ； ②2 ＋ 2 2 ＋ 2 3 ＋ … ＋ 2 n ＝ ________(n 为正整 数 ) ； ③( x –1)( x 99 ＋ x 98 ＋ x 97 ＋ … ＋ x 2 ＋ x ＋ 1) ＝ ________ ； 1– x n+ 1 –63 2 n ＋ 1 –2 　 x 100 – 1 　 拓广探索题 课堂检测 平方差公式 内容 注意 两个数的 和 与这两个数的 差的积， 等于这两个数的 平方差 . 1. 符号表示 ： ( a + b )( a – b )= a 2 – b 2 2. 紧紧抓住 “一同一反” 这一特征，在应用时， 只有两个二项式的积 才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过 变形 才可以 应用 . 课堂小结 14.2 乘 法公式 14.2.2 完 全平方公式 人教 版 数学 八 年级 上册 一块 边长为 a 米的正方形实验 田，因 实际需要将其边长增加 b 米，形 成四块实验 田，以 种植不同的新品种 .( 如图 ) 用 不同的形式表示实验田的总面 积，并 进行比较 . 你有什么发现呢 ？ 导入新知 2. 灵活 应用完全平方公式进行计算 . 1 . 理解 并掌握 完全平方公式 的推导过程、结构特点 、几何 解释 . 素养目标 3. 体验 归纳 添括号法则 . 一块 边长为 a 米的正方形实验 田， 因 需要将其边长增加 b 米 . 形成四块实验 田，以 种植不同的新品 种 ( 如图 ). 用不同的形式表示实验田的总面 积， 并进行比较 . a a b b 直接求： 总面积 = ( a+b )( a+b ) 间接求： 总面积 = a 2 + ab+ab+b 2 你发现了什么？ ( a+b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 探究新知 知识点 1 完全平方公式 计 算下列多项式的 积，你 能发现什么规律？ (1) ( p +1) 2 =( p +1)( p +1)= . p 2 +2 p +1 (2) ( m +2) 2 =( m +2)( m +2)= . m 2 +4 m +4 (3) ( p –1) 2 =( p –1)( p –1)= . p 2 –2 p +1 (4) ( m –2) 2 =( m –2)( m –2)= . m 2 –4 m +4 根 据你发现的规 律，你 能 写出下列式子的 答案吗？ ( a + b ) 2 = . a 2 +2 ab + b 2 ( a – b ) 2 = . a 2 –2 ab + b 2 探究新知 问题1： 问 题 2 ： ( a + b ) 2 = . a 2 +2 ab + b 2 ( a – b ) 2 = . a 2 –2 ab + b 2 也就是说， 两 个数的 和 ( 或差 ) 的 平 方，等 于它们的平方 和，加上 ( 或 减 去 ) 它 们的积的 2 倍 . 这两个公式叫 做 ( 乘 法 的 ) 完 全平方公式 . 简记为： “首平 方，尾 平 方，积 的 2 倍放 中央” 探究新知 完全平方公式 你 能根据 下面图形的 面积说明完全平方公式吗 ? 探究新知 设 大正方形 ABCD 的面积为 S . S= = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 = . ( a + b ) 2 a 2 + b 2 + 2 ab S 1 S 2 S 3 S 4 探究新知 证明 a a b b = + + + a 2 ab ab b 2 ( a + b ) 2 = . a 2 +2 ab + b 2 和的完全平方公式： 探究新知 几何解释 a 2 − a b − b ( a − b ) = a 2 −2 a b + b 2 . = ( a − b ) 2 a − b a − b a a a b b ( a − b ) b b ( a − b ) 2 ( a – b ) 2 = . a 2 –2 ab + b 2 差的完全平方公式： 探究新知 几何解释 ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 . ( a – b ) 2 = a 2 – 2 ab + b 2 . 观 察下面两个完全平方 式，比 一 比，回 答下列问题： (1) 说 一说积的次数和项数 . (2) 两 个完全平方式的积有相同的项吗？与 a ， b 有什 么关系？ (3) 两 个完全平方式的积中不同的是哪一项？ 与 a ， b 有什么关系？它的符号与什么有关？ 探究新知 问 题 4 ： 公式特征： 公式 中的字母 a ， b 可以表示 数 、 单 项式和多项式 . 积 为 二次三项式 ； 积 中两项为两数的 平方和 ； 另 一项是 两数积的 2 倍 ，且 与两数中间的 符号相同 . 探究新知 下 面各式的计算是否正确？如果不正 确，应当 怎样改正？ ( 1 ) ( x + y ) 2 = x 2 + y 2 (2)( x – y ) 2 = x 2 – y 2 (3) (– x + y ) 2 = x 2 +2 xy + y 2 (4) (2 x + y ) 2 =4 x 2 +2 xy + y 2 × × × × ( x + y ) 2 = x 2 +2 xy + y 2 ( x – y ) 2 = x 2 –2 xy + y 2 (– x + y ) 2 = x 2 – 2 xy + y 2 (2 x + y ) 2 =4 x 2 +4 xy + y 2 探究新知 想一想 例 1 运用完全平方公式计算： 解 : (4 m + n ) 2 = =16 m 2 ( 1 ) (4 m + n ) 2 ； ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 (4 m ) 2 +2 •(4 m ) • n + n 2 +8 mn + n 2 ； 素养考点 1 利用完全平方公式进行计算 探究新知 ( 2 ) ( a – b ) 2 = a 2 – 2 ab + b 2 y 2 = y 2 – y + 解： = + –2 • y • 1 . 利用 完全平方公式计算： ( 1 ) (5– a ) 2 ； ( 2 ) (–3 m –4 n ) 2 ； ( 3 ) (–3 a ＋ b ) 2 . ( 3 ) (–3 a ＋ b ) 2 ＝ 9 a 2 –6 ab ＋ b 2 . 解 ： ( 1 ) (5– a ) 2 ＝ 25–10 a ＋ a 2 ； ( 2 ) (–3 m –4 n ) 2 ＝ 9 m 2 ＋ 24 mn ＋ 16 n 2 ； 巩固练习 ( 1 ) 102 2 ； = (100 – 1) 2 =10000 – 200+1 解： 102 2 = (100+2) 2 =10000+400+4 =10404. ( 2 ) 99 2 . 99 2 =9801. 例 2 运用完全平方公式计算： 方法总结： 当一个数具备与整十、整百 相差一个正整数时求它的平 方，我 们可以通过 变形运用完全平方公式 进行运算较简便 ． 素养考点 2 利用完全平方公式进行简便计算 探究新知 2 . 利用 乘法公式计算： ( 1 ) 98 2 –101×99 ； ( 2 ) 2016 2 –2016×4030 ＋ 2015 2 . ＝ (2016–2015) 2 ＝ 1. 解 ： (1) 原 式 ＝ (100–2) 2 –(100 ＋ 1)(100–1) ＝ 100 2 –400 ＋ 4–100 2 ＋ 1 ＝ –395 ； (2) 原式＝ 2016 2 –2×2016×2015 ＋ 2015 2 巩固练习 例 3 已 知 x – y ＝ 6 ， xy ＝ –8. 求 : ( 1 ) x 2 ＋ y 2 的值 ； ( 2 ) ( x + y ) 2 的值 . ＝ 36 –16 ＝ 20 ； 解 ： (1) ∵ x – y ＝ 6 ， xy ＝ –8 ， ( x – y ) 2 ＝ x 2 ＋ y 2 –2 xy ， ∴ x 2 ＋ y 2 ＝ ( x – y ) 2 ＋ 2 xy (2) ∵ x 2 ＋ y 2 ＝ 20 ， xy ＝ –8 ， ∴( x + y ) 2 ＝ x 2 ＋ y 2 ＋ 2 xy ＝ 20 –16 ＝ 4. 素养考点 3 利用完全平方公式的变形求整式的值 探究新知 方法总结： 本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x 2 ＋ y 2 ＝ ( x – y ) 2 ＋2 xy ＝ ( x + y ) 2 – 2 xy ， ( x – y ) 2 ＝ ( x + y ) 2 – 4 xy . ( 1 ) 已知 x + y =10 ， xy =24 ，则 x 2 + y 2 =_____ . 52 3. 对应 训 练 . ( 2 ) 如果 x 2 + kx +81 是运用完全平方式得到的结 果， 则 k =____ _ ___ . 18 或 –18 ( 3 ) 已知 ab =2 ， ( a + b ) 2 =9 ，则 ( a – b ) 2 的值为 ______. 1 巩固练习 添括号法则 a +( b + c ) = a + b + c ; a – ( b + c ) = a – b – c . a + b + c = a + ( b + c ) ; a – b – c = a – ( b + c ) . 去 括号： 把上面两个等式的左右两边反过 来，也就是添 括号： 知识点 2 探究新知 添 括号 时，如 果括号前面是 正 号，括 到括号里的各项都 不变 号 ; 如果括号前面是 负 号，括 到括号里的各项都 改变 符 号 ( 简 记为“ 负变正不变 ” ) . 探究新知 添括号法则 例 4 运用 乘法公式计算 : ( 1 ) ( x +2 y –3)( x –2 y +3) ; ( 2 ) ( a+b+c ) 2 . 原式 = [ x +(2 y –3)][ x –(2 y –3)] 解 : (1) (2) 原式 = [( a+b )+ c ] 2 = x 2 –(2 y –3) 2 = x 2 –(4 y 2 –12 y +9) = x 2 –4 y 2 +12 y –9 . = ( a+b ) 2 +2( a+b ) c + c 2 = a 2 +2 ab + b 2 +2 ac +2 bc + c 2 . 素养考点 4 添括号法则的应 用 探究新知 4 . 计算： (1) ( a – b ＋ c ) 2 ； (2) (1–2 x ＋ y )(1 ＋ 2 x – y ) ． ＝ 1–4 x 2 ＋ 4 xy – y 2 . 解 ： (1) 原 式 ＝ [( a – b ) ＋ c ] 2 ＝ ( a – b ) 2 ＋ c 2 ＋ 2( a – b ) c ＝ a 2 –2 ab ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ 2 ac –2 bc ； (2) 原式 ＝ [1 ＋ (–2 x ＋ y )][1–(–2 x ＋ y )] ＝ 1 2 –(–2 x ＋ y ) 2 巩固练习 1 . 将 9.5 2 变形正确的 是 ( 　　 ) A．9.5 2 =9 2 +0.5 2 B．9.5 2 = ( 10+0.5 )( 10 – 0.5 ) C．9.5 2 =10 2 – 2×10×0.5+0.5 2 D．9.5 2 =9 2 +9×0.5+0.5 2 2 . 若 x 2 +2 ( m – 3 ) x +16 是关于 x 的完全平方 式 ， 则 m = 　 ． 连接中考 C – 1 或 7 巩固练习 2. 下列计算结果为 2 ab – a 2 – b 2 的 是 ( ) A ． ( a – b ) 2 B ． (– a – b ) 2 C ． –( a ＋ b ) 2 D ． –( a – b ) 2 1 . 运 用乘法公式计 算 ( a – 2 ) 2 的结果 是 ( 　　 ) A． a 2 – 4 a +4 B． a 2 – 2 a +4 C． a 2 – 4 D． a 2 – 4 a – 4 A D 基础巩固题 课堂检测 3. 运用完全平方公式计算 : (1) (6 a +5 b ) 2 =_______________ ； (2) (4 x –3 y ) 2 =_______________ ； (3) (2 m –1) 2 =_______________ ； (4) (–2 m –1) 2 =_______________ . 36 a 2 +60 ab +25 b 2 16 x 2 –24 xy +9 y 2 4 m 2 +4 m +1 4 m 2 –4 m +1 4. 由完全平方公式可知： 3 2 ＋ 2×3×5 ＋ 5 2 ＝ (3 ＋ 5) 2 ＝ 64 ，运 用这一方法计算： 4.321 2 ＋ 8.642×0.679 ＋ 0.679 2 ＝ ________ ． 25 课堂检测 基础巩固题 计算 :(1) (3 a ＋ b –2)(3 a – b ＋ 2) ； (2) ( x – y – m ＋ n )( x – y ＋ m – n ) ． (2) 原 式 ＝ [( x – y )–( m – n )][( x – y ) ＋ ( m – n )] 解 ： (1) 原 式 ＝ [3 a ＋ ( b –2)][3 a –( b –2)] ＝ (3 a ) 2 –( b –2) 2 ＝ 9 a 2 – b 2 ＋ 4 b –4 . 　 ＝ ( x – y ) 2 –( m – n ) 2 ＝ x 2 –2 xy ＋ y 2 – m 2 ＋ 2 mn – n 2 . 能力提升题 课堂检测 1. 若 a+b =5 ， ab =–6 ， 求 a 2 + b 2 ， a 2 – ab + b 2 . 2. 已知 x+y =8 ， x–y =4 ，求 xy . 解： a 2 + b 2 = ( a+b ) 2 –2 ab =5 2 –2×(–6)= 37 ； a 2 – ab + b 2 = a 2 + b 2 – ab =37–(–6)= 43. 解： ∵ x+y =8 ， ∴( x+y ) 2 =64 ， 即 x 2 + y 2 +2 xy =64①; ∵ x – y =4 ， ∴( x–y ) 2 =16 ， 即 x 2 + y 2 –2 xy =16 ②; 由 ① –② 得 4 xy =48 ∴ xy =12. 拓广探索题 课堂检测 完全平方公式 法则 注意 ( a ± b ) 2 = a 2 ±2 ab+b 2 1. 项数、符号、字母及其指数 2. 不能直接应用公式进行计算的式 子，可 能需要 先添括号变形成符合公式的要求 才 行 常用 结论 3. 弄清 完全平方公式和平方差公式不 同 ( 从 公式结构特点及结果两方 面 ) a 2 + b 2 =( a+b ) 2 –2 ab =( a–b ) 2 +2 ab ; 4 ab =( a+b ) 2 –( a–b ) 2 . 课堂小结 14.3 因 式分解 14.3.1 提 公因式法 人教 版 数学 八 年级 上册 我们知 道 ， 利 用整式的乘法运 算 ， 可 以将几个整式的积化为一个多项式的形 式 ， 反 过 来 ， 能 不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢？若 能 ， 这 种变形叫做什么呢 ？ 导入新知 2. 理 解并掌握 提公因式法 并能熟练地运用提公因式法分解因式 . 1. 理 解 因式分解 的意义和概念及其与整式乘法的 区别 和联系 . 素养目标 3. 会 利用 因式分解 进行简便计算. 如图，一 块菜地被分成三部 分，你 能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？ a b c m 方法一： m ( a + b + c ) 方法二： ma+mb+mc m ( a + b + c )= ma + mb + mc 整式乘法 ? 探究新知 知识点 1 因式分解的概念 1. 运用整式乘法法则或公式填空： (1) m ( a+b+c )= ； (2) ( x +1)( x –1)= ； (3) ( a+b ) 2 = . ma+mb+mc x 2 –1 a 2 +2 ab + b 2 2. 根据等式的性质填空： (1) ma+mb+mc =( )( ) (2) x 2 –1 =( )( ) (3) a 2 +2 ab + b 2 =( ) 2 m a+b+c x+ 1 x– 1 a+b 都是多项式化为几个整式的积的形式 比一 比，这 些式子有什么共同点？ 探究新知 把 一个多项式化为几个 整式 的 乘积 的形 式，像 这样的式子变形叫做把这个多项式 因式分 解 ，也 叫做把这个多项式 分解因式 . 探究新知 x 2 –1 ( x +1)( x –1) 因式分解 整式乘法 x 2 –1 = ( x +1)( x –1) 等式的特征：左边是 多项 式 ，右 边是 几个整式的乘积 整 式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变 形， 即 探究新知 想一想 例 1 下列从左到右的变形中是因式分解的 有 ( 　　 ) ① x 2 – y 2 –1 ＝ ( x ＋ y )( x – y )–1 ； ② x 3 ＋ x ＝ x ( x 2 ＋ 1) ； ③( x – y ) 2 ＝ x 2 –2 xy ＋ y 2 ； ④ x 2 –9 y 2 ＝ ( x ＋ 3 y )( x –3 y ) ． A．1 个 B．2个 C．3个 D．4个 B 方法总结： 因式分解与整式乘法是相反方向的变 形，即 互逆运 算，二 者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形 式，整 式乘法的右边是多项式的形式． 素养考点 1 因式分解变形的识别 探究新知 1 . 在 下列等式 中，从 左到右的变形是因式分解的有 . 不是因式分解的，请说明原因 . ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ am+bm+c = m ( a+b )+ c 24 x 2 y =3 x · 8 xy x 2 –1=( x +1)( x –1) (2 x +1) 2 =4 x 2 +4 x +1 x 2 + x = x 2 (1 + ) 2 x +4 y +6 z =2( x +2 y +3 z ) 最后不是积的运算 因式分解的对象是 多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 巩固练习 pa+ p b+ p c 用提公因式法分解因式 多 项式中 各项 都含有的 相同因 式 ，叫 做 这 个多项式的 公因式 . 相同因式 p 观 察下列多项 式，它 们有什么共同特点？ x 2 ＋ x 相同因式 x 知识点 2 探究新知 问题1： 一 般 地，如 果多项式的各项有公因 式，可 以把这个公因式提取出 来，将 多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形 式，这 种分解因式的方法叫做 提公因式法 . ( a+b+c ) pa+ p b + p c p = 探究新知 找出 3 x 2 – 6 xy 的公因式 . 系数： 最大公约数 . 3 字母： 相同的 字母 . x 所以这个算式的公因式 是 3 x . 指数： 相同字母的最低 次数 . 1 如 何确定一个多项式的公因式？ 探究新知 问 题 2 ： 找出 多项式的公因式的正确步骤 ： 3. 定指数 ：相同字母的指数取各项中最小的一 个，即 字母的最低次数 . 1. 定系数 ：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数 . 2. 定 字母 ： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母 . 探究新知 归纳总结 找一找 : 下列各多项式的 公因式 是什么？ 3 a a 2 2( m+n ) 3 mn –2 xy ( 1 ) 3 x +6 y ( 2 ) ab –2 ac ( 3 ) a 2 – a 3 ( 4 ) 4 ( m+n ) 2 + 2( m+n ) ( 5 ) 9 m 2 n –6 mn ( 6 ) –6 x 2 y –8 xy 2 探究新知 ( 1 ) 8 a 3 b 2 + 12 ab 3 c ； 例 2 把下列各式分解因 式 . 分析： 提公因式法步 骤 ( 分 两 步 ) 第 一步 : 找出公因式； 第 二步 : 提取公因式 ，即 将多项式化为两个因式的乘积 . ( 2 ) 2 a ( b + c ) – 3( b + c ). 公因式既可以是一个 单项式 的形 式，也 可以是一个 多项式 的形式 . 整体思想 是数学中一种重要而且常用的思想方法 . 素养考点 2 利用提公因式法分解因式 探究新知 解 ： (1) 8 a 3 b 2 + 12 ab 3 c =4 ab 2 ·2 a 2 +4 ab 2 ·3 bc = 4 ab 2 (2 a 2 +3 bc ) ； 如果提出公因式 4 ab ，另 一个因式是否还有 公 因 式 ？ 另一个因式将是 2 a 2 b +3 b 2 c ， 它还有公因式是 b . (2) 2 a ( b + c )–3( b + c ) =( b + c )(2 a –3). 如何检查因式分解是否正确？ 做整式乘法运算 . 探究新知 2 . 因 式分解： (1) 3 a 3 c 2 ＋ 12 ab 3 c ； (2) 2 a ( b ＋ c )–3( b ＋ c ) ； (3) ( a ＋ b )( a – b )– a – b . (3) 原式 ＝ ( a ＋ b )( a – b –1) ． 解 ： (1) 原 式 ＝ 3 ac ( a 2 c ＋ 4 b 3 ) ； (2) 原式 ＝ (2 a –3)( b ＋ c ) ； 巩固练习 把 12 x 2 y +18 xy 2 分解因式 . 解： 原式 = 3 xy (4 x + 6 y ). 错误 公因式 没有提 尽，还 可以提出公因式 2 . 注意： 公因式要 提尽 . 正解： 原式 = 6 xy (2 x +3 y ). 3. 小明 的 解法 有误吗？ 巩固练习 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是 1. 错误 注意： 某项提出莫漏 1 . 解： 原式 = x (3 x –6 y ). 把 3 x 2 – 6 xy + x 分解因式 . 正解 ： 原式 = 3 x·x –6 y·x +1· x = x (3 x –6 y +1) 4. 小亮的 解法 有误吗？ 巩固练习 提出 负号时括号里的项没变 号 . 错误 把 – x 2 + xy – xz 分解因式 . 解： 原式 = – x ( x + y – z ). 注意： 首项有负常 提负 . 正解 ： 原式 = – ( x 2 – xy + xz ) = – x ( x – y + z ) 5 . 小 华 的 解法 有误吗？ 巩固练习 提 取 公因式分解 因式的技巧： ① 当公因式是多项式 时，把 多项式看成 一个整体 提取公因式；②分解因式 分 解 到 不能分解 为止；③某一项全部提取 后，不 要 漏掉 “ 1 ” ；④首项有负 号常提 负号 ； ⑤ 检查因式分解的结果是否正 确，可 用 整式的乘法验 证 . 巩固练习 归纳总结 例 3 计算： ( 1 ) 39×37–13×91 ； ( 2 ) 29×20.16 ＋ 72×20.16 ＋ 13×20.16–20.16×14 . (2) 原 式＝ 20.16 ×(29 ＋ 72 ＋ 13–14) ＝ 2016. ＝ 13×20 ＝ 260 ； 解 ： (1) 原 式＝ 3×13×37–13×91 ＝ 13 ×(3×37–91) 方法总结： 在计算求值 时，若 式子各项都含有公因 式，用 提取公因式的方法可使运算简便． 素养考点 3 利用因式分解进行简便运算 探究新知 =259 = 9900 ( 1 ) 99 2 ＋ 99 ( 2 ) = 99 × (99+1) 6. 简便计 算 . 巩固练习 解： 原式 = 259 解： 原式 =99 × 99+99 ( 3 ) 13.8×0.125+86.2× 解 ： 原式 = 13.8×0.125+86.2×0.125 = 0.125 ×(13.8+86.2) =0.125×100 = 12.5 例 4 已知 a ＋ b ＝ 7 ， ab ＝ 4 ，求 a 2 b ＋ ab 2 的值． ∴ 原式 ＝ ab ( a ＋ b ) ＝ 4×7 ＝ 28. 解： ∵ a ＋ b ＝ 7 ， ab ＝ 4 ， 方法总结： 含 a ± b ， ab 的求值 题，通 常要将所求代数式进行因式分 解，将 其变形为能用 a ± b 和 ab 表示的式 子，然 后将 a ± b ， ab 的值整体带入即可 . 素养考点 4 利用因式分解求整式的值 探究新知 7 . 已 知 a + b =5 ， ab =3 ，求 a 2 b + ab 2 的值 . 解 : a 2 b + ab 2 = ab ( a + b ) = 3 × 5 = 15 巩固练习 1 . 分解 因式： a 2 – 5 a = _________ 　． 连接中考 巩固练习 2 . 若 a + b =4 ， ab =1 ， 则 a 2 b + ab 2 = 　　 ． 解析： ∵ a + b =4， ab =1， ∴ a 2 b + ab 2 = ab ( a + b ) = 1×4 = 4 ． a ( a – 5 ) 4 1. 多项式 15 m 3 n 2 +5 m 2 n – 20 m 2 n 3 的公因式 是 ( 　　 ) A．5 mn B．5 m 2 n 2 C．5 m 2 n D ．5 mn 2 2 . 把 多项 式 ( x +2)( x –2)+( x –2) 提 取公因 式 ( x –2) 后，余 下的部分 是 ( 　　 ) A ． x +1 B ． 2 x C ． x +2 D ． x +3 3. 下列多项式的分解因 式，正 确的 是 ( 　　 ) A．12 xyz – 9 x 2 y 2 =3 xyz ( 4 – 3 xyz ) B．3 a 2 y – 3 ay +6 y =3 y ( a 2 – a +2 ) C ． – x 2 + xy – xz = – x ( x 2 + y – z ) D． a 2 b +5 ab – b = b ( a 2 +5 a ) B C D 课堂检测 基础巩固题 4. 把下列各式分解因式： (1) 分解 因式 ： m 2 – 3 m = 　 　． (2) 12 xyz –9 x 2 y 2 =_____________ ； (3) 因式分解 ： ( x +2 ) x – x – 2= ___________ 　． (4) – x 3 y 3 – x 2 y 2 – xy =_______________ ； 3 xy (4 z –3 xy ) – xy ( x 2 y 2 + xy +1) (5) ( x – y ) 2 + y ( y – x ) =_____________ . ( y – x )(2 y – x ) 5. 若 9 a 2 ( x – y ) 2 –3 a ( y – x ) 3 ＝ M ·(3 a ＋ x – y ) ，则 M 等于 _____________. 3 a ( x – y ) 2 m ( m – 3 ) ( x +2 )( x – 1 ) 课堂检测 基础巩固题 6. 简便计算： (1) 1.99 2 +1.99×0.01 ; (2) 2013 2 +2013 – 2014 2 ; ( 3 ) ( –2 ) 101 + ( –2 ) 100 . (2) 原式 = 2013 ( 2013+1 ) – 2014 2 = 2013×2014 – 2014 2 = 2014× ( 2013 – 2014 ) = – 2014 ． 解 ： (1) 原式 = 1.99 ( 1.99+0.01 ) = 3.98； (3) 原 式 = ( –2 ) 100 × ( –2+1 ) =2 100 × ( –1 ) = –2 100 . 课堂检测 基础巩固题 解 ： (1) 2 x 2 y + xy 2 = xy (2 x + y )= 3 ×4=12. (2) 原 式 = ( 2 x +1 )[( 2 x +1 )–( 2 x –1 )] = (2 x +1)(2 x +1–2 x +1)=2(2 x +1). ( 1 ) 已 知 : 2 x + y =4 ， xy =3 ，求 代数式 2 x 2 y + xy 2 的值 . ( 2 ) 化简求值： ( 2 x +1 ) 2 – ( 2 x +1 )( 2 x –1 ) ， 其中 x = . 当 x= 时 能力提升题 原式 = 2 ×(2 × + 1)= 4. 课堂检测 △ ABC 的三边长分别为 a 、 b 、 c ，且 a ＋ 2 ab ＝ c ＋ 2 bc ，请 判断 △ ABC 的形 状，并 说明理由． ∴△ ABC 是等腰三角形． 解： 整理 a ＋ 2 ab ＝ c ＋ 2 bc 得 ， a ＋ 2 ab – c –2 bc ＝ 0 ， ( a – c ) ＋ 2 b ( a – c ) ＝ 0 ， ( a – c )(1 ＋ 2 b ) ＝ 0 ， ∴ a – c ＝ 0 或 1 ＋ 2 b ＝ 0 ， 即 a ＝ c 或 b ＝ –0.5( 舍去 ) ， 拓广探索题 课堂检测 因式 分解 定义 am+bm+mc=m ( a+b+c ) 方法 提公因式法 确定公因式的方法：三 定，即 定系数；定字母；定指数 第 一步 找公因式 ；第二步 提公因式 注意 1. 分解因式是一种恒等变形； 2. 公因式：要提尽； 3. 不要漏项； 4. 提负 号，要 注意变号 课堂小结 1 4.3 因 式分解 14.3.2 公 式 法 第一课时 第二课时 人教 版 数学 八 年级 上册 第一课时 平方差公式 a 米 b 米 b 米 a 米 ( a – b ) 如图，在 边长为 a 米的正方形上剪掉一个边长为 b 米的小正方 形，将 剩余部分拼成一个长方 形，根 据此图形变 换，你 能得到什么公式？ a 2 – b 2 = ( a+b )( a – b ) 导入新知 1. 探 索并运用 平方差公式 进行因式分 解，体 会转化思想 ． 2. 能 综合 运用提公因式法和平方差公式对多项式 进行 因式分解． 素养目标 用平方差公式进行因式分解 多 项式 a 2 – b 2 有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是 a ， b 两数的平方差的形式 ) )( ( b a b a – + = 2 2 b a – ) )( ( 2 2 b a b a b a – + = – 整式乘法 因式分解 两 个数的 平方 差 ，等 于这两个数的 和 与这两个数的 差 的 乘积 . 平方差公式： 探究新知 知识点 1 想一想 √ √ × × 辨一辨： 下列多项式能否用平方差公式来分解因 式，为 什么？ √ √ ★ 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分 解，即 能写成 : ( ) 2 –( ) 2 的形式 . 两数是平 方， 减号在中央． (1) x 2 + y 2 (2) x 2 – y 2 (3)– x 2 – y 2 –( x 2 + y 2 ) y 2 – x 2 (4)– x 2 + y 2 (5) x 2 –25 y 2 ( x +5 y )( x –5 y ) (6) m 2 –1 ( m +1)( m –1) 探究新知 例 1 分解因式： a a b b ( + ) ( – ) a 2 – b 2 = 解 : (1) 原 式 = 2 x 3 2 x 2 x 3 3 (2) 原 式 整体思想 a b 素养考点 1 利 用平方差公式分解因式的应 用 探究新知 方法点拨 公 式中的 a 、 b 无论表示 数、单项式、 还是 多项 式 ，只 要被分解的多项式能 转化 成 平方差 的形 式，就 能用平方差公式因式分解 . 探究新知 1. 分解因式： (1) ( a ＋ b ) 2 –4 a 2 ； (2) 9( m ＋ n ) 2 –( m – n ) 2 . ＝ (2 m ＋ 4 n )(4 m ＋ 2 n ) 解 ： (1) 原 式 ＝ ( a ＋ b –2 a )( a ＋ b ＋ 2 a ) ＝ ( b – a )(3 a ＋ b ) ； (2) 原 式 ＝ (3 m ＋ 3 n – m ＋ n )(3 m ＋ 3 n ＋ m – n ) ＝ 4( m ＋ 2 n )(2 m ＋ n ) ． 若 用平方差公式分解后的结果中有公因 式，一 定要再用提公因式法继续分解 . 巩固练习 例 2 分 解因式： 解 ： (1) 原 式 ＝ ( x 2 ) 2 –( y 2 ) 2 ＝ ( x 2 +y 2 )( x 2 – y 2 ) 分解 因式 后，一 定要检查是否还有能继续分解的因 式，若有，则 需继续分 解，直 到不能分解为止 . ＝ ( x 2 +y 2 )( x+y )( x – y ); (2) 原 式 ＝ ab ( a 2 –1) 分解 因式 时，一 般先用提公因式法进行分 解，然 后再用公式法 . 最后进行检查 . ＝ ab ( a+ 1)( a –1). 素养考点 2 多次因式分解 探究新知 方法点拨 分解 因式前应先分析多项式的特 点，一 般 先提公因 式 ， 再 套用公式 ．必须进行到每一个多项式都 不能再分解因式 为止． 探究新知 2 . 分 解因式： (1) 5 m 2 a 4 – 5 m 2 b 4 ； (2) a 2 – 4 b 2 – a – 2 b . ＝ ( a ＋ 2 b )( a – 2b –1). ＝ 5 m 2 ( a 2 ＋ b 2 )( a ＋ b )( a – b ) ； 解 ： (1) 原 式 ＝ 5 m 2 ( a 4 – b 4 ) ＝ 5 m 2 ( a 2 ＋ b 2 ) ( a 2 – b 2 ) (2) 原 式 ＝ ( a 2 –4 b 2 )–( a ＋ 2 b ) ＝ ( a ＋ 2 b )( a –2 b )–( a ＋ 2 b ) 巩固练习 例 3 已知 x 2 – y 2 ＝ –2 ， x ＋ y ＝ 1 ，求 x – y ， x ， y 的值． ∴ x – y ＝ –2 ②. 解： ∵ x 2 – y 2 ＝ ( x ＋ y )( x – y ) ＝ –2 ， x ＋ y ＝ 1 ① ， 联立 ① ② 组成二元一次方程 组 ， 解 得 ： 素养考点 3 利用因式分解求整式的值 探究新知 方法总结： 在与 x 2 – y 2 ， x ± y 有关的求代数式或未知数的值的问题 中，通 常需先因式分 解，然 后 整体代入 或 联立方程组 求值 . 3. 已知 x – y =2 ， x 2 – y 2 =8 ，求 x + y 的 值 . 解： 由题意得 ： ( x + y )( x – y )=8 ， x – y =2 ， 2( x + y )=8 ， x + y =4 . 巩固练习 例 4 计算下列各题： (1) 101 2 –99 2 ； (2) 53.5 2 × 4–46.5 2 × 4. 解 ： (1) 原 式 ＝ (101 ＋ 99)(101–99) ＝ 400 ； (2) 原 式 ＝ 4 (53.5 2 –46.5 2 ) ＝ 4( 53.5 ＋ 46.5 )( 53.5 – 46.5 ) ＝ 4 × 100 × 7= 2800. 方法总结： 较为复杂的有理数运 算，可 以运用因式分解对其进行变 形，使 运算得以简化 . 素养考点 4 利用因式分解进行简便运算 探究新知 巩固练习 4. 用平方差公式进行简便计算 : (1) 38²–37 ² (2) 213 ² –87 ² ( 3) 229 ² –171 ² (4) 91×89 解： (1) 38 ² –37 ² = ( 38+37)(38–37 ) = 75 (2) 213 ² –87 ² = (213+87)(213–87) =300×126= 37800 (3) 229 ² –171 ² = (229+171)(229–171 ) = 400×58= 23200 (4) 91×89 = (90+1)(90–1) =90 ² –1=8100–1= 8099 例 5 求证：当 n 为整数 时，多 项 式 ( 2 n +1 ) 2 – ( 2 n – 1 ) 2 一定能被8整除． 即多项 式 ( 2 n +1 ) 2 – ( 2 n – 1 ) 2 一定能被8整除． 证明： 原式 = ( 2 n +1+2 n – 1 )( 2 n +1 – 2 n +1 ) =4 n •2=8 n ， ∵ n 为整 数， ∴8 n 被8整 除， 方法总结： 解决整除的基本思路就是将 代数式化为整式乘积 的形 式，然 后分析能被哪些数或式子整除． 素养考点 5 利用因式分解进行证明 探究新知 5. 若 a ， b ， c 是三角形的三 边，且 满足 关系式 a 2 – 2 bc = c 2 – 2 ab ，试 判断这个三角形的形状 . 解： ∵ a 2 – 2 bc = c 2 – 2 ab ， ∴ ( a 2 – c 2 ) + 2 ab – 2 bc =0， ( a + c )( a – c ) + 2 b （ a-c ）=0， ∴ ( a – c )( a + c +2 b ) = 0 . ∵ a + c +2 b ≠ 0， ∴ a – c =0， 即 a = c ， ∴ 这个三角形是等腰三角形. 巩固练习 分析： 已知等式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解，得到 a = c ， 即可确定出三角形形状 . 1 . 多项式4 a – a 3 分解因式的结果 是 ( 　　 ) A． a ( 4 – a 2 ) B． a ( 2 – a )( 2+ a ) C． a ( a – 2 )( a +2 ) D． a ( 2 – a ) 2 连接中考 2 . 若 a + b =4 ， a – b =1 ， 则( a +1) 2 –( b –1) 2 的值为 　 　 ． 解析： ∵ a + b =4， a – b =1， ∴ ( a +1 ) 2 –( b – 1 ) 2 = ( a +1+ b – 1 )( a +1 – b +1 ) = ( a + b )( a – b +2 ) = 4 × ( 1+2 ) = 12 ． B 12 巩固练习 1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的 是 ( 　　 ) A ． a 2 ＋ (– b ) 2 B ． 5 m 2 –20 mn C ． – x 2 – y 2 D ． – x 2 ＋ 9 D 2 . 将 多项式 x – x 3 因式分解正确的 是 ( 　　 ) A． x ( x 2 – 1 ) B． x ( 1 – x 2 ) C． x ( x +1 )( x – 1 ) D． x ( 1+ x )( 1 – x ) D 3. 若 a + b =3 ， a – b =7 ，则 b 2 – a 2 的值 为 ( 　　 ) A ． –21 B ． 21 C ． –10 D ． 10 A 课堂检测 基础巩固题 4. 把下列各式分解因式： (1) 16 a 2 –9 b 2 =_________________; (2) ( a + b ) 2 –( a – b ) 2 =_________________; (3) 因式分解 ： 2 x 2 –8=_________________ ; (4) – a 4 +16 =_________________. (4 a +3 b )(4 a –3 b ) 4 ab (4+ a 2 )(2+ a )(2– a ) 5. 若将 ( 2 x ) n –81分解成 ( 4 x 2 +9 )( 2 x +3 )( 2 x –3 ) ，则 n 的值是 _____________. 4 2( x +2)( x –2) 课堂检测 基础巩固题 1. 已 知 4 m + n =40，2 m – 3 n =5 ． 求 ( m +2 n ) 2 – ( 3 m – n ) 2 的值． 原式 = – 40×5= – 200 ． 解： 原式 = ( m +2 n +3 m – n )( m +2 n – 3m+ n ) = ( 4 m + n )( 3 n – 2 m ) = – ( 4 m + n ) ( 2 m – 3 n ) ， 当 4 m + n =40，2 m – 3 n =5 时 ， 能力提升题 课堂检测 2. 如图，在 边长为 6.8 cm 正方形钢板 上，挖 去 4 个边长为 1.6 cm 的小正方 形，求 剩余部分的面积． 解： 根据题 意，得 6.8 2 –4×1.6 2 ＝ 6.8 2 – (2×1.6) 2 ＝ 6.8 2 –3.2 2 ＝ (6.8 ＋ 3.2)(6.8 – 3.2) ＝ 10×3.6 ＝ 36 (cm 2 ) 答： 剩余部分的面积为 36 cm 2 . 课堂检测 能力提升题 (1)99 2 –1 能否被 100 整除吗？ 解 ： (1) 因 为 99 2 –1=(99+1)(99–1)=100×98 ， 所 以， (2 n +1) 2 –25 能被 4 整除 . (2) n 为整 数， (2 n +1) 2 –25 能否被 4 整除？ 所以 99 2 –1 能被 100 整除 . (2) 原 式 = ( 2 n +1+5 ) (2 n +1–5) =(2 n +6)(2 n –4) = 2( n +3) × 2( n –2)= 4( n +3)( n –2). 拓广探索题 课堂检测 平方差公式分解因式 公式 a 2 – b 2 =( a+b )( a–b ) 步骤 一提： 公因式； 二套： 公式； 三查： 多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止 . 课堂小结 第 二 课 时 完全平方公式 我们知 道，因 式分解与整式乘法是反方向的变 形，我 们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法 . 现 在，大 家自然会 想，还 有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？ 导入新知 2. 能 较熟练地运用 完全平方公式 分解因式． 1. 理 解 完全平方公式 的特点 ． 素养目标 3. 能 综合运用 提公因式 、 完全平方公式 分解因式这两种方法进行求值和证明． 1. 因式分解： 把一个多项式转化为 几个整式的积 的形式 . 2. 我们已经学过哪些 因 式分解的方法？ 提 公因式法 平 方差公式 a 2 – b 2 =( a+b )( a–b ) 用完全平方公式分解因式 知识点 1 3. 完全平方公式 ( a ± b ) 2 = a 2 ±2 ab + b 2 探究新知 回 顾旧知 你 能把下面 4 个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？ 同学们拼出图形为： a a b b a b a b ab a ² b ² ab 探究新知 这个大正方形的面积可以怎么求？ a 2 +2 ab + b 2 ( a + b ) 2 = a b a b a ² ab ab b ² ( a + b ) 2 a 2 +2 ab + b 2 = 将上面的等式倒过来 看，能 得到： 探究新知 a 2 + 2 ab+b 2 a 2 – 2 ab+b 2 我 们把 a ² + 2 ab+b² 和 a ² – 2 ab+b ² 这样的式子 叫 做 完 全平方式 . 观察这两个多项式 ： (1) 每 个多项式有几项？ (3) 中 间项和第一 项，第 三项有什么关系？ (2) 每 个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三 项 . 这两项都是数或式的平 方，并 且符号相 同 . 是第一项和第三项底数的积的 ± 2 倍 . 探究新知 完全平方式的特点： 1. 必须是 三项 式 ( 或 可以看成三项 的 ) ； 2. 有两个 同号 的数或式的平方； 3. 中间有两底数之积的 ±2 倍 . 完全平方式 : 探究新知 简记口诀 ： 首 平 方，尾 平 方，首 尾两倍在中央 . 凡 具备这些特点的三项 式，就 是完全平方 式，将 它写成完全平方形 式，便 实现了因式分解 . 2 a b + b 2 ± = ( a ± b )² a 2 首 2 + 尾 2 ± 2 ×首×尾 ( 首 ± 尾 ) 2 两 个数的平方和加 上 ( 或 减 去 ) 这 两个数的积的 2 倍，等 于这两个数的 和 ( 或差 ) 的 平方 . 探究新知 3. a ²+4 ab +4 b² =( )²+2 · ( ) ·( )+( )²=( )² 2. m ²–6 m +9=( )² – 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1. x ²+4 x +4= ( )² +2 ·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a 2 b a + 2 b 2 b 对照 a ²± 2ab + b ² =( a ± b )² ，填 空： m m – 3 3 x 2 m 3 探究新知 试一试 下列各式是不是完全平方式？ (1) a 2 –4 a +4 ; (2)1+4 a ² ; (3)4 b 2 +4 b –1 ; (4) a 2 + ab + b 2 ; (5) x 2 + x +0.25 . 是 只 有两项 ； 不是 4 b ² 与 –1 的符号不统一 ； 不是 不是 是 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍 . 探究新知 说一说 例 1 分解因式： (1) 16 x 2 + 24 x+ 9 ； (2)– x 2 +4 xy –4 y 2 . 分析 ： (1) 中 ， 16 x 2 =(4 x ) 2 ， 9=3² ， 24 x =2·4 x ·3 ， 所以 16 x 2 +24 x +9 是一个完全平方 式 ， 即 16 x 2 + 24 x +9= (4 x ) 2 +2·4 x ·3+ (3) 2 . (2) 中 首项有负 号，一 般先利用添括号法 则，将 其变形 为 – ( x 2 – 4 xy +4 y 2 ) ， 然 后再利用公式分解因式 . 素养考点 1 利用完全平方公式分解因式 探究新知 解： (1) 16 x 2 + 24 x +9 = (4 x + 3) 2 ； = (4 x ) 2 + 2·4 x ·3 + (3) 2 (2) – x 2 + 4 xy – 4 y 2 = – ( x 2 – 4 xy +4 y 2 ) = – ( x – 2 y ) 2 . 1 . 把 下列多项式因式分解 . (1) x 2 –12 xy +36 y 2 . (2)16 a 4 +24 a 2 b 2 +9 b 4 . 解 ： (1) x 2 –12 xy +36 y 2 = x 2 –2· x ·6 y +(6 y ) 2 = ( x –6 y ) 2 . (2)16 a 4 +24 a 2 b 2 +9 b 4 =(4 a 2 ) 2 +2·4 a 2 ·3 b 2 +(3 b 2 ) 2 = (4 a 2 +3 b 2 ) 2 . 巩固练习 (3)–2 xy – x 2 – y 2 . (4)4–12( x – y )+9( x – y ) 2 . 解 ： (3)–2 xy – x 2 – y 2 = –( x 2 +2 xy + y 2 ) = –( x + y ) 2 . (4)4–12( x – y )+ 9( x – y ) 2 = 2 2 –2×2×3( x – y )+ ［ 3( x – y ) ］ 2 = ［ 2–3( x – y ) ］ 2 = (2–3 x +3 y ) 2 . 巩固练习 例 2 如果 x 2 –6 x + N 是一个完全平方 式，那 么 N 是 ( ) A . 11 B. 9 C. –11 D. –9 B 解析： 根据完全平方式的特 征，中 间 项 –6 x =2 x × (–3) ，故 可知 N =(–3) 2 =9 . 素养考点 2 利用完全平方公式求字母的值 探究新知 方法点拨 本题要 熟练掌握 完全平方公式的结构特 征 ， 根据参数所在位 置，结 合公 式，找 出参数与已知项之间的数量关 系，从 而求出参数的值 . 计算过程 中，要 注意 积的2倍的符 号 ，避 免漏解． 探究新知 2 . 如果 x 2 – mx +16 是一个完全平方 式，那 么 m 的值为 ________. 解析： ∵16 = ( ± 4 ) 2 ， 故 – m =2 × ( ± 4 ) ， m = ± 8. ± 8 巩 固练习 例 3 把下列各式分解因式： ( 1 ) 3 ax 2 +6 axy +3 ay 2 ； (2)( a + b ) 2 –12( a + b )+ 36 . 解 : (1) 原 式 = 3 a ( x 2 +2 xy + y 2 ) = 3 a ( x + y ) 2 ； 分析 ： (1) 中 有公因式 3 a ，应 先提出公因 式，再 进一步分解因式 ； (2) 中将 a + b 看成一个整体，设 a + b = m ，则原式化为 m 2 –12 m +36 . (2) 原 式 =( a + b ) 2 –2·( a+b ) ·6+6 2 = ( a+b –6) 2 . 素养考点 3 利用完全平方公式进行较复杂的因式分解 探究新知 利用 公式把某些具有特殊形 式 ( 如 平方差 式，完 全平方式 等 ) 的 多项式分解因 式，这 种分解因式的方法叫做 公式法 . 探究新知 3. 因式分解： (1) –3 a 2 x 2 ＋ 24 a 2 x –48 a 2 ； (2) ( a 2 ＋ 4) 2 –16 a 2 . ＝ ( a 2 ＋ 4 ＋ 4 a )( a 2 ＋ 4–4 a ) 解 ： (1) 原 式 ＝ –3 a 2 ( x 2 –8 x ＋ 16) ＝ –3 a 2 ( x –4) 2 ； (2) 原式 ＝ ( a 2 ＋ 4) 2 –(4 a ) 2 ＝ ( a ＋ 2) 2 ( a –2) 2 . 有公因式要先提 公因式 . 要检查每一个多项式的因 式，看 能否继续分解． 巩固练习 例 4 把下列完全平方公式分解因式： (1) 100 2 –2×100×99+99² ； (2)34 2 ＋ 34×32 ＋ 16 2 . 解 ： (1) 原 式 =( 100–99)² (2) 原 式 ＝ (34 ＋ 16) 2 本题 利用完全平方公式分解因 式，可 以简化计 算 . =1. ＝ 2500. 素养考点 4 利用完全平方公式进行简便运算 探究新知 4. 计算 : 765 2 ×17–235 2 ×17. 解： 765 2 ×17–235 2 ×17 = 17 ×( 765 2 –235 2 ) = 17 ×( 765+235)(765 –235) =17 ×1 000 × 530= 9010000 . 巩固练习 例 5 已知 : a 2 + b 2 +2 a –4 b +5=0 ，求 2 a 2 +4 b –3 的 值 . 提示： 从已知条件可以看出 ， a 2 + b 2 +2 a – 4 b +5 与完全平方式有很大的相似性 ( 颜色相同的项 ) ，因此可通过 “ 凑 ” 成完全平方式的方法，将已知条件转化成 非负数之和等于 0 的形式，从而利用非负数的性质来 求解 . 素养考点 5 利用完全平方公式和非负性求字母的值 探究新知 解： 由已知可 得 ( a 2 +2 a +1 )+( b 2 –4 b +4 )= 0 即 ( a +1) 2 +( b –2) 2 =0 ∴ 2 a 2 +4 b –3=2×(–1) 2 +4×2–3=7 探究新知 方法总结 ： 遇到多项式的值等于 0 、求另一个多项式的 值，常 常通过变形为 完全平方公式 和 ( 非 负数的 和 ) 的 形 式 ，然 后利用 非负数性质 来解答． 5. 已知 x 2 –4 x ＋ y 2 –10 y ＋ 29 ＝ 0 ，求 x 2 y 2 ＋ 2 xy ＋ 1 的值． ＝ 11 2 ＝ 121. 解： ∵ x 2 –4 x ＋ y 2 –10 y ＋ 29 ＝ 0 ， ∴ ( x –2) 2 ＋ ( y –5) 2 ＝ 0. ∵ ( x –2) 2 ≥ 0 ， ( y –5) 2 ≥ 0 ， ∴ x –2 ＝ 0 ， y –5 ＝ 0 ， ∴ x ＝ 2 ， y ＝ 5 ， ∴ x 2 y 2 ＋ 2 xy ＋ 1 ＝ ( xy ＋ 1) 2 几 个非负数的和为 0 ，则 这几个非负数都为 0. 巩固练习 1 . 因式分解 ： a 2 – 2 ab + b 2 = 　 ． 连接中考 巩固练习 2 . 若 a + b =2 ， ab =–3 ， 则代数式 a 3 b +2 a 2 b 2 + ab 3 的值为 ． 解析： ∵ a + b =2， ab = – 3， ∴ a 3 b +2 a 2 b 2 + ab 3 = ab ( a 2 +2 ab + b 2 ) ， = ab ( a + b ) 2 ， = – 3×4= – 12． ( a – b ) 2 –12 1. 下列四个多项式 中，能 因式分解的 是 ( ) A ． a 2 ＋ 1 B ． a 2 –6 a ＋ 9 C ． x 2 ＋ 5 y D ． x 2 –5 y 2. 把多项式 4 x 2 y –4 x y 2 – x 3 分解因式的结果 是 ( ) A ． 4 x y ( x – y )– x 3 B ． – x ( x –2 y ) 2 C ． x (4 x y –4 y 2 – x 2 ) D ． – x (–4 x y ＋ 4 y 2 ＋ x 2 ) 3. 若 m ＝ 2 n ＋ 1 ，则 m 2 –4 mn ＋ 4 n 2 的值是 ________ ． B B 1 4. 若关于 x 的多项式 x 2 –8 x ＋ m 2 是完全平方 式，则 m 的值为 _________ ． ± 4 课堂检测 基础巩固题 5 . 把 下列多项式因式分解 . (1) x 2 –12 x +36 ; (2)4(2 a + b ) 2 –4(2 a + b )+ 1; (3) y 2 +2 y +1– x 2 ; ( 2 ) 原式 = [ 2 (2 a + b )] ² – 2·2 (2 a + b ) · 1 + ( 1 ) ²= (4 a +2 b – 1 ) 2 ; 解 ： (1) 原式 = x 2 –2· x ·6+ ( 6 ) 2 = ( x –6 ) 2 ; ( 3 ) 原式 = ( y +1 ) ² – x ²= ( y +1+ x )( y +1– x ) . 课堂检测 基础巩固题 (2) 原式 1. 计算 ： (1) 38.9 2 –2×38.9×48.9 ＋ 48.9 2 . 解 ： (1) 原 式 ＝ (38.9–48.9) 2 ＝ 100. 能力提升题 课堂检测 2 . 分 解因式 :(1)4 x 2 ＋ 4 x ＋ 1 ； (2) 小聪和小明的解答过程如下： 他们做对了吗？若错 误，请 你帮忙纠正过来. x 2 –2 x ＋ 3. (2) 原 式 ＝ ( x 2 –6 x ＋ 9) ＝ ( x –3) 2 解 : (1) 原 式 ＝ (2 x ) 2 ＋ 2•2 x •1 ＋ 1 ＝ (2 x +1) 2 小聪 : 小明 : × × 课堂检测 能力提升题 ( 1 ) 已 知 a – b ＝ 3 ，求 a ( a –2 b ) ＋ b 2 的值 ； ( 2 ) 已 知 ab ＝ 2 ， a ＋ b ＝ 5 ，求 a 3 b ＋ 2 a 2 b 2 ＋ ab 3 的值． 原式 ＝ 2×5 2 ＝ 50. 解 ： (1) 原 式 ＝ a 2 –2 ab ＋ b 2 ＝ ( a – b ) 2 . 当 a – b ＝ 3 时，原 式 ＝ 3 2 ＝ 9. (2) 原 式 ＝ ab ( a 2 ＋ 2 ab ＋ b 2 ) ＝ ab ( a ＋ b ) 2 . 　 当 ab ＝ 2 ， a ＋ b ＝ 5 时， 拓广探索题 课堂检测 完全平方公式分解因式 公式 a 2 ±2 ab + b 2 =( a±b ) 2 特点 (1) 要 求多项式有 三项 . (2) 其 中 两项同 号，且 都可以写成某数或式的平 方 ，另 一项则是 这两数或式的乘积的 2 倍 ，符 号可正可负 . 课堂小结