2020人教版八年级上数学第十四章单元全套课件

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2020人教版八年级上数学第十四章单元全套课件

[ 人教版 ] 八年级年级数学上册优质课件 [ 教育部审定教材 ] RJ· 数学 第十四章 整式的乘法与因式分解 目 录 使用说明:点击对应课时,就会跳转到相应章节内容,方便使用。 14.1.1 同底数幂的乘法 14.1.2 幂的乘方 14.1.4 整式的乘法 14.1.3 积的乘方 14.2.1 平方差公式 14.2.2 完全平方公式 14.3.2 公式法 14.3.1 提公因式法 14.1 整 式的乘法 14.1.1 同 底数幂的乘法 人教 版 数学 八 年级 上册 一 种电子计算机每秒可进行1千万亿( 10 15 ) 次运算,它工作10 3 s 可进行多少次运算? 列式: 10 15 ×10 3 怎样计算 10 1 5 ×10 3 呢? 导入新知 3. 能 运用 性质 来解决一些实际问题 . 1. 理 解 同底数幂 的 乘法的性质 的推导过 程 . 2. 能 运用 性质 来解 答一些变式练习 . 素养目标 a n 指数 幂 底数 = a · a ···· a n 个 a a n 表示的意义是什么?其中 a 、 n 、 a n 分别叫 做什么 ? ( - a ) n 表示的意义是什么?底数、指数分别是什么? 探究新知 知识点 1 同底数幂的乘法法则 回 顾旧知 2 5 表示什么? 10×10×10×10×10 可以写成什么形式 ? 2 5 = .   10×10×10×10×10 = . 2×2×2×2×2 10 5 (乘 方的意 义) (乘 方的意义) 探究新知 想一想 式子 10 3 ×10 2 的意义是什么? 10 3 与 10 2 的积 这个式子中的两个因式有何特点? 底数相同 10 3 ×10 2 = = 10 ( ) ; 2 3 ×2 2 = = = 2 ( ) ( 10×10×10 ) × ( 10×10 ) ( 2×2×2 ) × ( 2×2 ) 2×2×2×2×2 5 5 a 3 × a 2 = ( a a a ) 3 个 a ( a a ) 2 个 a = a a a a a 5 个 a 5 探究新知 = a ( ) . 请同学们观察 下列各算式的左右 两边 ,说说底数 、指 数有 什么关系? 10 3 ×10 2 = 10 ( ) 2 3 ×2 2 = 2 ( ) a 3 × a 2 = a ( ) 5 5 5 = 10 ( ) ; = 2 ( ) ; = a ( ) . 3+2 3+2 3+2 猜想 : a m · a n = ? ( m 、 n 都是正整数 )    分组讨论,并尝试证明你的猜想是否正确 . 探究新知 猜想 : a m · a n = ( m 、 n 都是正整数 ) a m + n a m · a n = ( aa … a ) m 个 a ( aa … a ) n 个 a (乘方的意义) = aa … a ( m+n ) 个 a (乘法结合律) = a m + n (乘方的意义) 即 a m · a n = a m + n ( 当 m 、 n 都是正整数 ) 探究新知 猜想与证明 a m · a n = a m + n ( m 、 n 都是正整数 ) 同底数幂相乘, 底数  ,指数 .    不变 相加 运算形式 运算方法 幂的底数必须相同,相乘时指数才能相加 . 如 4 3 ×4 5 = 4 3+5 =4 8 探究新知 同底数幂的乘法性质 a m · a n · a p = a m + n + p ( m 、 n 、 p 都是正整数) 探究新知 当 三个或三个以上同底数幂相乘时,是 否 也 具 有这一性质呢? 怎样用公式表示? 想一想 同底数幂的乘法运算法则 a m · a n = a m + n ( m 、 n 都是正整数 )     a m · a n · a p = a m + n + p ( m 、 n 、 p 都是正整数) 同底数幂的乘法的法则的运用 例 1  计算: ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )  素养考点 1 ( 5 ) ( b +2) 3 ·( b +2) 4 ·( b +2) 探究新知 解: ( 1 ) x 2 · x 5 = x 2+5 = x 7 . ( 2 ) a·a 6 = a 1+6 = a 7 . a = a 1 -2 = ( -2 ) 1+4+3 = ( -2 ) 8 = 256   (3 ) (- 2)×(-2) 4 ×(-2) 3 (4) x m · x 3 m +1 = x m +3 m +1 = x 4 m +1 . (5) ( b +2) 3 ·( b +2) 4 ·( b +2) =( b +2) 3+4+1 =( b +2) 8 探究新知 思考:该式中相同的底数是多少? (-2)×(-2) 4 ×(-2) 3 ≠- 2 1+4+3 =- 2 8 =-256 探究新知 方法点拨 不要 忽略指数是 “ 1 ” 的因式,如: a · a 6 ≠ a 0+6 . 2. 底数 是单项式,也可以是多项式,通常把 底数看成一个整体 来运算,如: 1. 下面的计算对不对?如果不对,怎样改正? ( 1 ) b 5 · b 5 = 2 b 5 ( ) ( 2 ) b 5 + b 5 = b 10 ( ) ( 3 ) x 5 · x 5 = x 25 ( ) ( 4 ) y 5 · y 5 = 2 y 10 ( ) ( 5 ) c · c 3 = c 3 ( ) ( 6 ) m + m 3 = m 4 ( ) × b 5 · b 5 = b 10 × b 5 + b 5 = 2 b 5 × x 5 · x 5 = x 10 × y 5 · y 5 = y 10 × c · c 3 = c 4 × m + m 3 = m + m 3 巩固练习 素养考点 2 同底数幂的乘法的法则的逆运用 例 2 已 知: a m =4 , a n =5. 求 a m + n 的值 . 分 析 把 同底数幂的乘法法则逆运用,可以求出 值 . 解: a m + n = a m · a n (逆运算) =4 × 5 = 20 探究新知 当 幂的指数是 和 的形式时,可以 逆运用同底数幂乘法法则 ,将幂指数和转化为 同底数幂相乘 ,然后把幂作为一个整体带入变形后的幂的运算式中求解 . 探究新知 归纳总结 巩固练习 2 . 已知 2 x =3,2 y =6, 试写出 2 x+y 的值 . 解 : 2 x + y = 2 x ×2 y = 3×6 = 18 1 . 计算 a 6 • a 2 的结果是(  ) A. a 3 B. a 4 C . a 8 D. a 12 连接中考 巩固练习 2 . 计算 : a 2 • a 3 =    . C a 5 1 . x 3 · x 2 的运算结果是 ( ) A. x 2 B. x 3 C. x 5 D. x 6 C 2 . 计算 2 x 4 • x 3 的结果等于 _____ . 课堂检测 基础巩固题 2 x 7 3 . 计算 : ( 1 ) x n · x n +1 ; ( 2 ) ( x + y ) 3 · ( x + y ) 4 . 解 : x n · x n +1 = x n +( n +1) = x 2 n +1 a m · a n = a m + n 公式中 的 a 可 代表一个数、字母、式子等 . 解 : ( x + y ) 3 · ( x + y ) 4 = ( x + y ) 3+4 =( x + y ) 7 课堂检测 基础巩固题 1 . 填空: ( 1 ) 8 = 2 x ,则 x = ; ( 2 ) 8× 4 = 2 x ,则 x = ; ( 3 ) 3×27×9 = 3 x ,则 x = . 2 3 3 2 3 × 2 2 = 2 5 5 3 × 3 3 × 3 2 = 3 6 6 能力提升题 课堂检测 2. 如 果 a n -2 a n +1 = a 11 , 则 n = . 6 已 知: a m =2 , a n =3. 求 a m + n = ? 解 : a m + n = a m · a n (逆运算) =2 × 3=6 拓广探索题 课堂检测 学 到了什么? 知 识   同底数幂相乘,  底数   指数  a m · a n = a m + n ( m 、 n 正整数 )(注:这个性质也适用于三个及三个以上的同底数幂相乘 不变, 相加 . 方 法     “特殊 → 一般 → 特殊”   例子 公式 应用 课堂小结 易错点   ( 1 )不要忽略指数是 “1” 的因式 . ( 2 ) 底数可以是单项式,也可以是多项式,通常把底数看成一个整体来运算 . 14.1 整 式的乘法 14.1.2 幂 的乘方 人教 版 数学 八 年级 上册 地 球、木星、太阳可以近似地看做是球体 . 木星、太阳的半径分别约是地球的 10 倍和 10 2 倍,它们的体积分别约是地球的多少倍? 导入新知 V 球 = , 其中 V 是体积、 r 是球的半径 1. 理解并掌握 幂的乘方法则 . 2. 能熟练地运用 幂的乘方的法则 进行化简和计算. 素养目标 10 10 3 =边长 2 =边长 × 边长 S 正 请 分别求出下列两个正方形的面积? 幂的乘方的 法则 ( 较 简单 的 ) S 小 = 10×10 = 10 2 = 10 3 ×10 3 S 正 =( 10 3 ) 2 探究新知 知识点 1 = 10 6 请 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填 空 . 观察计算的结果,你能发现什么规律?证明你的猜想 . (3 2 ) 3 = ___ × ___ × ___ = 3 ( )+( )+( ) = 3 ( ) × ( ) = 3 ( ) 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 6 猜想: ( a m ) n =_____. a mn 探究新知 ( a m ) n 幂的乘方法则 ( a m ) n = a mn   ( m , n 都是 正整数 ) 即幂的乘方,底数 ______ ,指数_ __ _ . 不变 相乘 = a m ·a m ·a m … a m n 个 a m = a m + m + … + m n 个 m 探究新知 证 明猜想 运算 种类 公式 法则 中运算 计算结果 底数 指数 同底数幂乘法 幂的乘方 乘法 乘方 不变 不变 指数 相加 指数 相乘 a m · a n = a m+n 探究新知 例 1 计算: 解 : ( 1) ( 10 3 ) 5 = 10 3×5 = 10 15 ; (2) ( a 2 ) 4 = a 2× 4 = a 8 ; (3) ( a m ) 2 = a m · 2 = a 2 m ; (3) ( a m ) 2 ; ( 4 ) – ( x 4 ) 3 = – x 4 × 3 = – x 12 . ( 1 )( 10 3 ) 5 ; ( 2 )( a 2 ) 4 ; (4)–( x 4 ) 3 ; (6) [( – x ) 4 ] 3 . (5) [ ( x + y ) 2 ] 3 ; (5) [ ( x + y ) 2 ] 3 = ( x + y ) 2×3 =( x + y ) 6 ; (6) [( – x ) 4 ] 3 = ( – x ) 4×3 = ( – x ) 12 = x 12 . 素养考点 1 幂 的乘方的法则的应 用 探究新知 方法点拨 运 用幂的乘方法则进行计算时,一定 不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆 ,在幂的乘方中,底数可以是单项式,也可以是多项式.在运算时,注意 把底数看成一个整体 ,同时注意 “ 负号 ”. 探究新知 1. 计算: ① ( 10 3 ) 5 ; ② ( b 3 ) 4 ; ③ ( x n ) 3 ; ④ –( x 7 ) 7 =10 3×5 =10 15 = b 3×4 = b 12 = x 3 n = – x 7×7 = – x 49 ⑤[ (– x ) 3 ] 3 =(– x ) 3×3 =– x 9 ⑥[ (– x ) 3 ] 4 =(– x ) 3×4 =(– x ) 12 = x 12 巩固练习 (– a 5 ) 2 表示 2 个 – a 5 相乘 ,结果没有负号 . (– a 2 ) 5 和 (– a 5 ) 2 的结果相同吗 ? 为什么 ? 不相同 . (– a 2 ) 5 表示 5 个 – a 2 相乘 ,其结果带有负号 . n 为偶数 n 为 奇数 知识点 2 幂的乘方的 法则 ( 较 复杂 的 ) 探究新知 想一想 下 面这道题该怎么进行计算呢? 幂的乘方 : = ( a 6 ) 4 = a 24 [( y 5 ) 2 ] 2 =______=________ [( x 5 ) m ] n =______=________ 练一练 : ( y 10 ) 2 y 20 ( x 5 m ) n x 5 mn 探究新知 例 2 计算: ( 1 ) ( x 4 ) 3 · x 6 ; ( 2 ) a 2 ( – a ) 2 ( – a 2 ) 3 + a 10 . 解 : (1) ( x 4 ) 3 · x 6 = x 12 · x 6 = x 18 ; ( 2 ) a 2 ( – a ) 2 ( – a 2 ) 3 + a 10 = – a 2 · a 2 · a 6 + a 10 = – a 10 + a 10 = 0. 忆一忆有理数混合运算的顺序 先乘方,再乘除 先乘方,再乘除,最后算加减 底数的符号要统一 素养考 点 2 有关幂的乘方的混合运算 探究新知 方法点拨 与 幂的乘方有关的混合运算中,一般 先算幂的乘方 ,再算 同底数幂的乘法 ,最后 算加减 ,然后 合并同类项 . 探究新知 2. 计算: ( 1 ) ( x 3 ) 4 · x 2 ; ( 2 ) 2 ( x 2 ) n – ( x n ) 2 ; ( 3 ) [ ( x 2 ) 3 ] 7 ; ( 4 ) [(– m ) 3 ] 2 ·( m 2 ) 4 . (1) 原式 = x 12 · x 2 = x 14 . (2) 原式 = 2 x 2 n – x 2 n = x 2n . ( 3 ) 原式 =( x 2 ) 21 = x 42 . 解 : (4) 原式 =(– m ) 3×2 · m 2×4 = m 6 · m 8 = m 14 . 巩固练习 例 3 已知 10 m = 3 , 10 n = 2 ,求下列各式的值 . ( 1 ) 10 3 m ; ( 2 ) 10 2 n ; ( 3 ) 10 3 m + 2 n . 解: (1)10 3 m = (10 m ) 3 = 3 3 = 27 ; (2)10 2 n = (10 n ) 2 = 2 2 = 4 ; (3)10 3 m + 2 n = 10 3 m × 10 2 n = 27 × 4 = 108 . 方法总结: 此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式,将所求值的式子正确变形,然后代入已知条件求值即可 . 素养考点 3 指数中含有字母的幂的乘方的计算 探究新知 ( 1 ) 已知 x 2 n = 3 ,求 ( x 3 n ) 4 的值; ( 2 ) 已知 2 x + 5 y –3 = 0 ,求 4 x · 32 y 的值. 解: (1) ( x 3 n ) 4 = x 12 n = ( x 2 n ) 6 = 3 6 = 729. (2) ∵ 2 x + 5 y –3 = 0 , ∴ 2 x + 5 y = 3, ∴4 x ·32 y = (2 2 ) x ·(2 5 ) y = 2 2 x ·2 5 y = 2 2 x + 5 y = 2 3 = 8. 3. 完成下列题 目: 巩固练习 例 4 比较 3 500 ,4 400 ,5 300 的大小 . 解析: 这三个幂的 底数不同 , 指数也不相同 , 不能直接比较大小 , 通过观察 , 发现指数都是 100 的倍数 , 可 以考虑逆用幂的乘方法则 . 解 : 3 500 =( 3 5 ) 100 = 243 100 , 4 400 =( 4 4 ) 100 = 256 100 , 5 300 =(5 3 ) 100 = 125 100 . ∵ 256 100 >243 100 >125 100 , ∴ 4 400 >3 500 >5 300 . 素养考点 4 幂的大小的比较 探究新知 方法点拨 比 较底数大于 1 的幂的大小的方法有两种 : 1. 底数 相同 , 指数越大 , 幂就越大 ; 2. 指数 相同 , 底数越大 , 幂就越大 . 故 在此类题中,一般先观察题目所给数据的特点,将其 转化为同底数的幂 或 同指数的幂 ,然后再进行大小比较 . 探究新知 4. 比较大小: 2 33 ____3 22 2 33 =(2 3 ) 11 =8 11 3 22 =(3 2 ) 11 =9 11 < ∵ 8 11 <9 11 , ∴ 2 33 <3 22 巩固练习 解析: 1 . 计算 a 3 • ( a 3 ) 2 的结果 是 (    ) A. a 8 B. a 9 C. a 11 D. a 18 连接中考 巩固练习 2 . 若 2 x =5,2 y =3,则2 2 x + y = _____ . 解析: ∵2 x =5,2 y =3, ∴2 2 x + y = ( 2 x ) 2 ×2 y =5 2 ×3=75 . B 75 1 . ( a 2 ) 3 =    ; ( b 4 ) 2 =    ; 2 . 下 列各式的括号内,应填入 b 4 的是 ( ) A . b 12 = (    ) 8 B . b 12 = (    ) 6 C . b 12 = (    ) 3 D . b 12 = (    ) 2 C 课堂检测 基础巩固题 a 6 b 8 3 . 下列计算中,错误的是 ( ) A . [( a + b ) 2 ] 3 = ( a + b ) 6 B . [( a + b ) 2 ] 5 = ( a + b ) 7 C . [( a – b ) 3 ] n = ( a – b ) 3 n D . [( a – b ) 3 ] 2 = ( a – b ) 6 B 4 . 如果 (9 n ) 2 = 3 12 ,那么 n 的值是 ( ) A . 4 B . 3 C . 2 D . 1 B 课堂检测 基础巩固题 5 . 计算: ( 1 ) (10 2 ) 8 ; ( 2 ) ( x m ) 2 ; ( 3 ) [(– a ) 3 ] 5 ( 4 ) –( x 2 ) m . 解: (1) (10 2 ) 8 = 10 16 . (2) ( x m ) 2 = x 2 m . (3 ) [(– a ) 3 ] 5 = (– a ) 15 = – a 15 . (4 ) –( x 2 ) m = – x 2 m . 基础巩固题 课堂检测 6 . 计算: ( 1 ) 5( a 3 ) 4 –13( a 6 ) 2 ; ( 2 ) 7 x 4 · x 5 ·(– x ) 7 + 5( x 4 ) 4 –( x 8 ) 2 ; ( 3 ) [( x + y ) 3 ] 6 + [ – ( x + y ) 2 ] 9 . 解: ( 1 ) 原式 = 5 a 12 –13 a 12 = –8 a 12 . ( 2 ) 原式 = – 7 x 9 · x 7 + 5 x 16 – x 16 = –3 x 16 . ( 3 ) 原式 = ( x + y ) 18 –( x + y ) 18 = 0 . 课堂检测 基础巩固题 已 知 3 x +4 y –5=0 , 求 27 x ·81 y 的值 . 解 : ∵ 3 x +4 y –5=0 , ∴ 3 x +4 y =5, ∴ 27 x ·81 y =(3 3 ) x ·(3 4 ) y =3 3 x ·3 4 y = 3 3 x +4 y =3 5 =243.   能力提升题 课堂检测 已 知 a =3 55 , b =4 44 , c =5 33 , 试比较 a , b , c 的大小 . 解 : a =3 55 =( 3 5 ) 11 = 243 11 , b =4 44 =(4 4 ) 11 = 256 11 , c =5 33 =(5 3 ) 11 = 125 11 . ∵ 256>243>125, ∴ b>a>c . 拓广探索题 课堂检测 幂的乘方 法则 ( a m ) n =a mn ( m,n 都是 正整数 ) 注意 幂的乘方,底数 不变 ,指数 相乘 幂的乘方与同底数幂的乘法的区别: ( a m ) n = a mn ; a m ﹒ a n = a m+n 幂的乘方法则的逆用: a mn =( a m ) n =( a n ) m 课堂小结 14.1 整 式的乘法 14.1.3 积 的乘方 人教 版 数学 八 年级 上册 若 已知一个正方体的棱长为 2×10 3 cm , 你能计算出它的体积是多少吗? 底 数是 2 和 10 3 的乘积,虽然 10 3 是幂,但总体来看,它是积的乘方 . 积的乘方如何运算呢?能不能找到一个运算法则? 是 幂的乘方形式吗? 导入新知 3. 掌 握 转化 的数学思想,提高学生应用数学的意识和能力 . 1. 使 学生经历探索积的乘方的过程,掌握 积的乘方的运算法则 . 2. 能 利用积的 乘方的运算法则 进行相应的 计算 和 化简 . 素养目标 我们居住的地球 大约 6.4 × 10 3 km 你 知道地球的体积大约是多少吗? 球的体积计算公式: 地球的体积约 为: 探究新知 知识点 1 积的乘方的法则 1. 计算 : ( 1 ) 10 ×10 2 × 10 3 =______ ; ( 2 ) ( x 5 ) 2 =_________. x 10 10 6 2 . ( 1 ) 同 底数幂的乘法 : a m · a n = ( m , n 都是 正整数 ). a m + n ( 2 ) 幂 的乘方 : ( a m ) n = ( m,n 都是 正整数 ). a mn 回 顾旧知 探究新知 底数不变 指数相乘 指数相加 同底数幂相乘 幂的乘方 其中 m , n 都是 正整数 ( a m ) n = a mn a m · a n =a m + n 同 底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点? 想一想 探究新知 下 列两题有什么特点? (1) (2) 底数 为两个因式相乘,积的形式 . 这种形式 为积的乘 方 . 我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗? 问题1: 探究新知 同理 : ( 乘方 的 意义 ) ( 乘法交换律 、 结合律 ) ( 同 底数幂相乘的 法则 ) 根 据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行计算: ( ab ) n =? 问 题 2 : 探究新知 ( ab ) n = ( ab ) · ( ab ) · ··· · ( ab ) n 个 ab =( a·a · ··· · a )·( b·b · ··· · b ) n 个 a n 个 b = a n b n . 证明: 思考问题: 积的 乘方 ( ab ) n =? 猜想结论: 因此可得 : ( ab ) n =a n b n ( n 为 正整数 ). ( ab ) n = a n b n ( n 为 正整数 ) 探究新知 积 的乘方 , 等于把积的每一个因式分别 _____ ,再把所得的幂 ________. ( ab ) n = a n b n ( n 为 正整数 ) 三 个或三个以上的积的乘方等于什么? ( abc ) n = a n b n c n ( n 为 正整数 ) 积的乘方法则 乘方 相乘 想一想 探究新知 例 1 计算 : ( 1 ) (2 a ) 3 ; ( 2 ) (–5 b ) 3 ; ( 3 ) ( xy 2 ) 2 ; ( 4 ) (–2 x 3 ) 4 . 解 : (1) 原式 = (2) 原式 = (3) 原式 = (4) 原式 = = 8 a 3 ; = –125 b 3 ; = x 2 y 4 ; =16 x 12 . (2) 3 a 3 (–5) 3 b 3 x 2 ( y 2 ) 2 (–2) 4 ( x 3 ) 4 素养考点 1 利用积的乘方进行运算 方法总结 : 运用积的乘方法则进行计算时,注意每个因式都要乘方,尤其是 字母的系数不要漏乘方. 探究新知 1. 计算 : ( 1 ) (–5 ab ) 3 ; ( 2 ) –(3 x 2 y ) 2 ; ( 3 ) (–3 ab 2 c 3 ) 3 ; ( 4 ) (– x m y 3 m ) 2 . (4)(– x m y 3 m ) 2 = (–1) 2 x 2 m y 6 m = x 2 m y 6 m . 解 : (1)(–5 ab ) 3 = (–5) 3 a 3 b 3 = –125 a 3 b 3 ; (2)–(3 x 2 y ) 2 = –3 2 x 4 y 2 = –9 x 4 y 2 ; (3)(–3 ab 2 c 3 ) 3 = (–3) 3 a 3 b 6 c 9 = –27 a 3 b 6 c 9 ; 巩固练习 × √ × ( 1 ) (3 cd ) 3 =9 c 3 d 3 ; ( 2 ) (–3 a 3 ) 2 = –9 a 6 ; ( 3 ) (–2 x 3 y ) 3 = –8 x 6 y 3 ; × ( 4 ) (– ab 2 ) 2 = a 2 b 4 . 2. 下面的计算对不对?如果不对,怎样改正? 巩固练习 例 2 计算 : (1) –4 xy 2 ·( xy 2 ) 2 ·(–2 x 2 ) 3 ; (2) (– a 3 b 6 ) 2 + (– a 2 b 4 ) 3 . 解 : ( 1 ) 原式 = –4 xy 2 · x 2 y 4 ·(–8 x 6 ) =[–4×(–8) ] x 1+2+6 y 2+4 = 32 x 9 y 6 ; ( 2 ) 原式 = a 6 b 12 +(– a 6 b 12 ) = 0 ; 素养考点 2 含有积的乘方的混合运算 =[1 +(–1)] a 6 b 12 方法总结: 涉及积的乘方的混合运算,一般先算积的乘方,再算乘法,最后算加减,然后合并同类项. 探究新知 如何简便 计算 (0.04) 2004 ×[(–5) 2004 ] 2 ? =(0.2 2 ) 2004 × 5 4008 =(0.2) 4008 × 5 4008 =(0.2 × 5) 4008 =1 4008 (0.04) 2004 ×[(–5) 2004 ] 2 =1. 解法一: =(0.04) 2004 × [(–5) 2 ] 2004 =(0.04×25) 2004 =1 2004 =1. = (0.04) 2004 ×(25) 2004 (0.04) 2004 ×[(–5) 2004 ] 2 解法二: 议一议 探究新知 方法点拨 ① 逆用积的乘方公式 a n · b n = ( ab ) n ,要灵活运用,对于不符合公式的形式,要通过 恒等变形 ,转化为公式的形式 . ② 一般转化为底数 乘积是一 个正整数幂的计算较简便 . 探究新知 解: 原式 3. 计算 : 巩固练习 连接中考 解析: ∵2 n +2 n +2 n +2 n =2 , ∴ 4•2 n =2,∴2•2 n =1,∴2 1+ n =1, ∴ 1+n=0,∴ n = – 1. 1. 若 2 n +2 n +2 n +2 n =2,则 n = (    ) A. – 1 B. – 2 C.0 D. A 巩固练习 连接中考 2. 下列 运算正确的 是 (    ) A . (– a 2 ) 3 = – a 5 B. a 3 • a 5 = a 15 C . (– a 2 b 3 ) 2 = a 4 b 6 D.3 a 2 – 2 a 2 =1 C (– a 2 ) 3 = – a 6 ; a 3 • a 5 =a 8 ; 3 a 2 – 2 a 2 = a 2 巩固练习 2. 下列运算正确的 是 ( ) A. x • x 2 = x 2 B . ( xy ) 2 = xy 2 C. ( x 2 ) 3 = x 6 D . x 2 + x 2 = x 4 C 1. 计算 (– x 2 y ) 2 的结果 是 (    ) A. x 4 y 2 B. – x 4 y 2 C. x 2 y 2 D . – x 2 y 2 A 课堂检测 基础巩固题 3. 计算 : (1) 8 2016 ×0.125 2015 = ________; (2) ________; (3) (0.04) 2013 ×[(–5) 2013 ] 2 =________. 8 –3 1 (1)( ab 2 ) 3 = ab 6 ( ) × × × (2) (3 xy ) 3 =9 x 3 y 3 ( ) × (3) (–2 a 2 ) 2 =–4 a 4 ( ) (4) –(– ab 2 ) 2 = a 2 b 4 ( ) 4 . 判 断 : 基础巩固题 课堂检测 (1) ( ab ) 8 ; (2) (2 m ) 3 ; (3) (– xy ) 5 ; (4) (5 ab 2 ) 3 ; (5) (2×10 2 ) 2 ; (6) (–3×10 3 ) 3 . 5. 计算 : 解 : (1) 原式 = a 8 b 8 ; (2) 原式 = 2 3 · m 3 =8 m 3 ; (3) 原式 = (– x ) 5 · y 5 = – x 5 y 5 ; (4) 原式 = 5 3 · a 3 · ( b 2 ) 3 =125 a 3 b 6 ; (5) 原式 = 2 2 ×(10 2 ) 2 =4 ×10 4 ; (6) 原式 = (–3) 3 ×(10 3 ) 3 = –27 ×10 9 = –2.7 ×10 10 . 基础巩固题 课堂检测 (1) 2( x 3 ) 2 · x 3 –(3 x 3 ) 3 +(5 x ) 2 · x 7 ; (2)(3 xy 2 ) 2 +(–4 xy 3 ) · (– xy ) ; (3)(–2 x 3 ) 3 · ( x 2 ) 2 . 解: 原式 = 2 x 6 · x 3 –27 x 9 +25 x 2 · x 7 = 2 x 9 –27 x 9 +25 x 9 = 0; 解: 原式 = 9 x 2 y 4 +4 x 2 y 4 =13 x 2 y 4 ; 解: 原式 = –8 x 9 · x 4 =–8 x 13 . 计 算 : 能力提升题 课堂检测 如果 ( a n •b m •b ) 3 = a 9 b 15 , 求 m, n 的值 .  ( a n ) 3 • ( b m ) 3 • b 3= a 9 b 15 ,  a 3 n • b 3 m • b 3= a 9 b 15 ,  a 3 n •b 3 m +3= a 9 b 15 ,  3 n =9 ,3 m +3 = 15.  n =3, m =4. 解 : ∵ ( a n •b m •b ) 3 = a 9 b 15 , 拓广探索题 课堂检测 幂的运算性质 性质 a m ·a n =a m+n ( a m ) n =a mn ( ab ) n =a n b n ( m 、 n 都是 正整数 ) 反向运用 a m · a n = a m+n ( a m ) n = a mn a n · b n = ( ab ) n 可 使某些计算简捷 注意 运用积的乘方法则时要注意: 公 式中的 a 、 b 代表 任何代数式 ;每一个因式都要“ 乘方 ”;注意结果的符号、幂指数及其逆向 运用 ( 混合 运算要注意运算 顺序 ) 课堂检测 14.1 整 式的乘法 14.1.4 整 式的乘 法 第一课时 第二课时 人教 版 数学 八 年级 上册 第 三 课 时 第一课时 单项式与单项式、多项式相乘 1. 幂的运算性质有哪几条? 同底数幂的乘法法则: a m ·a n =a m+n ( m 、 n 都是正整 数 ). 幂的乘方法则 : ( a m ) n =a mn ( m 、 n 都是正整 数 ). 积的乘方法则 : ( ab ) n =a n b n ( m 、 n 都是正整 数 ). 2. 计算 : ( 1 ) x 2 · x 3 · x 4 = ; ( 2 ) ( x 3 ) 6 = ; ( 3 ) (–2 a 4 b 2 ) 3 = ; ( 4 ) ( a 2 ) 3 · a 4 = ; ( 5 ) . x 9 x 18 –8 a 12 b 6 a 10 1 导入新知 回 顾旧知 1. 掌 握 单项式与单项式 、 单项式与多项式相乘的运算法则 . 2. 能 够 灵活地进行单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算 . 素养目标 单项式与单项式相乘 光 的速度 约 是 3×10 5 km / s ,太 阳光照射到地球上需要的时间大约是 5×10 2 s ,你 知道地球与太阳的距离约是多少吗 ? 地球与太阳的距离约 是 (3×10 5 )×(5×10 2 ) km . 探究新知 知识点 1 (3×10 5 )×(5×10 2 ) =(3×5)×(10 5 ×10 2 ) =15×10 7 . 乘法交换律、结合律 同底数幂的乘法 这样书写 规范吗? 不规 范,应 为 1.5×10 8 . 怎 样计 算 (3 × 10 5 )×(5 × 10 2 ) ? 计算过程中用到了哪些运算律及运算性质? 探究新知 想一想 如 果将上式中的数字改为字 母,比 如 ac 5 · bc 2 ,怎 样计算这个式子? 根据以上计 算,想 一想如何计算单项式乘以单项式? ac 5 · bc 2 =( a · b ) ·( c 5 · c 2 ) ( 乘 法交换律、结合 律 ) = abc 5+2 ( 同 底数幂的乘 法 ) = abc 7 . 探究新知 单 项式与单项式相 乘,把 它们的 系数 、 同底数幂 分别相 乘,对 于只在一个单项式里含有的字 母,则 连同它的指数 作为积的一个因式 . 探究新知 单项式与单项式的乘法法 则 例 1 计算: ( 1 ) (–5 a 2 b )(–3 a ) ; ( 2 ) (2 x ) 3 (–5 xy 3 ). 解 : (1) (–5 a 2 b )(–3 a ) = [(–5)×(–3)]( a 2 • a ) b = 15 a 3 b ; (2) (2 x ) 3 (–5 xy 3 ) = 8 x 3 (–5 xy 3 ) =[8 ×(–5)]( x 3 • x ) y 3 = –40 x 4 y 3 . 单项式与单项式相乘 有理数的乘法与同底数幂的乘法 乘法交换律和结合律 转化 单项式相乘的结果仍是 单项式 . 素养考点 1 单项式乘以单项式法则的应用 探究新知 方法点拨 1. 在 计算 时,应 先确定 积的符 号 ,积 的系数等于 各因式系数的积 ; 2. 注意 按顺序 运算; 3. 不要 漏掉只在一个单项式里含有的字母因式; 4. 此 性质对三个及以上单项式相乘仍然适用. 探究新知 1. 下面各题的计算 结果对不对?如果不 对,应 当怎样改正? ( 1 ) 3 a 3 ·2 a 2 =6 a 6 ( ) 改正: . ( 2 ) 2 x 2 ·3 x 2 =6 x 4 ( ) 改正: . ( 3 ) 3 x 2 ·4 x 2 =12 x 2 ( ) 改正: . ( 4 ) 5 y 3 ·3 y 5 =15 y 15 ( ) 改正: . 3 a 3 ·2 a 2 =6 a 5 3 x 2 ·4 x 2 =12 x 4 5 y 3 ·3 y 5 =15 y 8 × × × 巩固练习 2. 计算: ( 1 ) 3 x 2 ·5 x 3 ; ( 2 ) 4 y ·(–2 xy 2 ) ; ( 3 ) (–3 x ) 2 ·4 x 2 ; ( 4 ) (–2 a ) 3 (–3 a ) 2 . 解 : ( 1 ) 原 式 = (3×5)( x 2 · x 3 )= 15 x 5 ; ( 2 ) 原 式 = [4 ×(–2)]( y·y 2 ) · x = –8 xy 3 ; ( 3 ) 原式 = 9 x 2 ·4 x 2 =(9×4)( x 2 · x 2 )= 36 x 4 ; ( 4 ) 原 式 = –8 a 3 ·9 a 2 =[(–8)× 9 ]( a 3 · a 2 )= –72 a 5 单独因式 x 别 漏乘、漏 写 有乘方运 算,先 算乘 方,再 算单项式相乘 . 巩固练习 例 2 已 知 –2 x 3 m + 1 y 2 n 与 7 x n –6 y –3– m 的积与 x 4 y 是同类 项,求 m 2 + n 的值. 解: ∵ –2 x 3 m + 1 y 2 n 与 7 x n –6 y –3– m 的积与 x 4 y 是同类 项 , ∴ m 2 + n = 7. 解 得 : 方法总结: 单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相 乘,结 合同类项的定 义,列 出二元一次方程组求出参数的 值,然 后代入求值即可. 素养考点 2 利用单项式乘法的法则求字母的值 探究新知 3. 已知 求 的 值 . 解得 : ∴ m、n 的值分别是 m =1, n =2 . 解: 巩固练习 单项式与多项式相乘 如图,试 求出三块草坪的总面积是多少? 如果把它看成三个小长方 形,那 么它们的面积可分别表示为 _____ 、 _____ 、 _____. p p a b p c p a p c p b 知识点 2 探究新知 p p a b p c 探究新知 c b a p 如果 把它看成一个大长方 形,那 么它 的长 为 ________ ,面 积可表示为 _________. p ( a+b+c ) ( a+b+c ) 探究新知 如果把它看成三个小长方 形,那 么它们的面积可分别表示为 _____ 、 _____ 、 _____. 如果把它看成一个大长方 形,那 么它的面积可表示为 _________. c b a p p a p c p b p ( a+b+c ) p a+ p b+ p c p ( a+b+c ) 探究新知 p a+ p b+ p c p ( a+b+c ) p ( a + b+ c ) p b + p c p a + 根据 乘法的分配律 探究新知 单 项式与多项式相 乘,就 是用单项式乘多项式的 每一 项 ,再 把所得的 积相加 . 1. 依据 是 乘法分配 律 . 2. 积 的项数与多项式的项数 相同 . 注意 P b p a p c 探究新知 单项式乘以多项式的法则 例 3 计算: (1)(–4 x ) · (2 x 2 +3 x –1) ; 解 : (1) (–4 x )·(2 x 2 +3 x –1) = = –8 x 3 –12 x 2 +4 x ; (–4 x )·(2 x 2 ) (–4 x )· 3 x (–4 x )·(–1) + + (2) 原 式 单项式与多项式相乘 单项式与单项式相乘 乘法分配律 转化 素养考点 3 利用单项式乘以多项式的法则进行运算 探究新知 解题步骤 : 1. 用单项式去乘多项式的每一项,结果是一个多项式,项数与因式中多项式的项数相同 .2. 含有混合运算的应注意运算顺序,有 同类项必须 合并同类项,从而得到最简结果 . ① ② ③ 4. 下列各题的解法是否正 确,如 果错 了,指 出错在什么地 方,并 改正过来。 × × × 漏了单独字母 漏乘 1 符号没有变化 巩固练习 例 4 先化 简,再 求值: 3 a (2 a 2 –4 a + 3)–2 a 2 (3 a + 4) , 其中 a = –2 . 当 a = –2 时, 解: 3 a (2 a 2 –4 a + 3)–2 a 2 (3 a + 4) = 6 a 3 –12 a 2 + 9 a –6 a 3 –8 a 2 = –20 a 2 + 9 a . 原式 = –20×(–2) 2 +9×(–2) = –20×4–9×2 = –98 . 方法总结 : 按运算法则进行化 简,然 后代入求 值,特 别注意的是代入 “ 负数 ” 要用括号括起来. 素养考点 4 单项式乘以多项式的化简求值问题 探究新知 5 . 先 化简再求值 : 巩固练习 解 : 原式 = 原式 = 例 5 如 果 (–3 x ) 2 ( x 2 –2 nx + 2) 的 展开式中不含 x 3 项,求 n 的值. 方法总结 :在整式乘法的混合运算 中,要 注意运算顺序 . 注意当要求多项式中不含有哪一项 时,则 表示这一项的系数为 0. 解 : (–3 x ) 2 ( x 2 –2 nx + 2) = 9 x 2 ( x 2 –2 nx + 2) = 9 x 4 –18 nx 3 + 18 x 2 . ∵ 展开式中不含 x 3 项, ∴ n = 0. 素养考点 5 单项式乘以多项式的化简求字母的值 探究新知 6. 如 果 ( x + a ) x – 2 ( x + a ) 的结果中 不含 x 项,那 么 a 的值 为 (    ) A.2   B. – 2    C. 0.5    D . –0.5 解析 : ( x + a ) x – 2 ( x + a )= x 2 + ax –2 x –2 a = x 2 +( a –2) x– 2 a ∵ x 2 +( a –2) x –2 a 中不含 x 项, ∴ a –2=0 ,即 a =2. A 巩固练习 1 . 计算: ( 2 a ) • ( ab ) = (    ) A.2 ab B.2 a 2 b C.3 ab D.3 a 2 b 连接中考 2. 计算 : x • (– 2 x 2 ) 3 = . B – 4 x 7 巩固练习 1. 计算 3 a 2 ·2 a 3 的结果 是 ( ) A.5 a 5 B.6 a 5 C.5 a 6 D.6 a 6 2. 计 算 (–9 a 2 b 3 )· 8 ab 2 的结果 是 ( ) A .–72 a 2 b 5 B.72 a 2 b 5 C .–72 a 3 b 5 D.72 a 3 b 5 3. 若 ( a m b n )·( a 2 b )= a 5 b 3 那么 m + n = ( ) A.8 B.7 C.6 D.5 B C D 课堂检测 基础巩固题 ( 1 ) 4( a – b +1)=___________________ ; 4 a –4 b +4 ( 2 ) 3 x (2 x – y 2 )=___________________ ; 6 x 2 –3 xy 2 ( 3 ) (2 x –5 y +6 z )(–3 x ) =___________________ ; –6 x 2 +15 xy –18 xz ( 4 ) (–2 a 2 ) 2 (– a –2 b + c )=___________________. –4 a 5 –8 a 4 b +4 a 4 c 4. 计算 课堂检测 基础巩固题 5 . 计算: –2 x 2 · ( xy + y 2 )–5 x ( x 2 y – xy 2 ). 解: 原式 = ( –2 x 2 ) · xy +(–2 x 2 ) · y 2 +(–5 x ) · x 2 y +(–5 x ) ·(– xy 2 ) = –2 x 3 y +(–2 x 2 y 2 )+(–5 x 3 y )+ 5 x 2 y 2 = –7 x 3 y +3 x 2 y 2 . 6 . 解 方程: 8 x (5– x )=34–2 x (4 x –3). 解 得 : x =1 . 解 : 原式 去 括 号,得 : 40 x –8 x 2 =34–8 x 2 +6 x , 移 项,得: 40 x –6 x =34 , 合并同类 项,得 : 34 x =34 , 课堂检测 基础巩固题 住宅用地 人民广场 商业用地 3 a 3 a +2 b 2 a–b 4 a 如图,一 块长方形地用来建造住宅 、 广场 、 商 厦,求 这块地的面积 . 解: 4 a [(3 a +2 b )+(2 a – b )] = 4 a (5 a + b ) = 4 a ·5 a +4 a·b = 20 a 2 +4 ab . 答: 这块地的面积为 20 a 2 +4 ab . 能力提升题 课堂检测 某 同学在计算一个多项式乘 以 –3 x 2 时,算 成了加 上 –3 x 2 ,得 到的答案是 x 2 –2 x + 1 ,那 么正确的计算结果是多少? 解: 设这个多项式为 A , 则 ∴A = 4 x 2 –2 x + 1. ∴A ·(–3 x 2 ) = (4 x 2 –2 x + 1)(–3 x 2 ) A + (–3 x 2 ) = x 2 –2 x + 1 , = –12 x 4 + 6 x 3 –3 x 2 . 拓广探索题 课堂检测 整式乘法 单项式乘单项式 实质上是转化为同底数幂的运算 单项式乘 多项式 实质上是转化为单项式 × 单 项式 四点注意 (1) 计 算 时,要 注意 符号 问 题,多 项式中每一项都包括它前面的符 号,单 项式分别与多项式的每一项相乘 时, 同 号相乘得 正 , 异 号相乘得负 (2) 不 要出现漏乘现象 (3) 运 算要有顺序: 先乘 方,再 乘 除,最 后加减 (4) 对 于混合运 算,注 意最后应合并同类项 课堂小结 第二课 时 多项式乘多项式 为 了把校园建设成为花园式的学 校,经 研究决定将原有的长为 a 米, 宽为 b 米的足球场向宿舍楼方向加长 m 米,向 厕所方向加宽 n 米,扩 建成为美化校园绿草 地 . 你 是学校的小主 人,你 能帮助学校计算出扩展后绿地的面积吗? a m b n 导入新知 2. 能 够运用 多项式与多项式的乘法运算法则进行计算 . 1. 理 解并掌握 多项式与多项式的乘法运算法则 . 素养目标 1. 如何进行单项式与多项式乘法的运算? (2) 再 把所得的积相加 . (1) 将 单项式分别乘以多项式的各 项 . 2. 进行单项式与多项式乘法运算 时,要 注意什么 ? (1) 不能 漏乘 : 即单项式要乘多项式的每一 项 . (2) 去 括号时注意符号的变化 . 知识点 1 多项式乘多项式的法则 探究新知 回 顾旧知 某地 区在退耕还林期 间,有 一块原长 m 米,宽 为 a 米的长方形林 区,若 长增加了 n 米,宽 增加了 b 米,请 你计算这块林区现在的面积 . a m b n 探究新知 ma na mb nb a m b n 你能用不同的形式表示 所拼图的面积 吗? 这块林区现在长 为 ( m+n ) 米,宽为 ( a+b ) 米 . ( m+n ) ( a+b ) m ( a+b ) +n ( a+b ) ma+mb+na+nb 方法一: 方法二: 方法三: 探究新知 由于 ( m+n )( a+b ) 和 ( ma+mb+na+nb ) 表 示同一块地的面 积,故 有: ( m + n )( a + b )= ma + mb + na + nb 如何进行多项式与多项式相乘的运算? 实际 上,把 ( a + b ) 看 成一个整 体,有 : = ma+mb+na+nb ( m+n )( a+b ) = m ( a+b ) +n ( a+b ) ( m+n ) X = mX+nX ? 若 X = a + b ,如 何计算? 探究新知 多项 式与多项式相 乘,先 用 一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一 项, 再 把所得的 积相加 . 1 2 3 4 ( a + b )( m + n ) = a m 1 2 3 4 + a n + b m + b n “ 多乘多 ” 顺口溜 : 多乘 多,来 计 算,多 项式各项都见 面, 乘后结果要相 加,化 简、排列才算完 . 探究新知 多项式乘以多项 式 例 1 计 算 : ( 1 ) ( 3 x +1)( x +2) ; ( 2 ) ( x –8 y )( x – y ) ; 解: (1) 原式 =3 x·x + 2 ·3 x +1· x +1×2 =3 x 2 +6 x + x +2 (2) 原式 = x · x – xy –8 xy +8 y 2 结果 中有同类项的要合并同类项 . =3 x 2 +7 x +2 ; 计算 时要注意符号问题 . = x 2 –9 xy +8 y 2 ; 素养考点 1 用多项式乘以多项式法则进行计算 探究新知 (3) 原式 = x · x 2 – x·xy + xy 2 + x 2 y – xy 2 + y · y 2 = x 3 – x 2 y + xy 2 + x 2 y – xy 2 + y 3 = x 3 + y 3 . 需 要注意的几个问 题: (1) 漏乘; (2) 符 号问 题; (3) 最 后结果应 化成最简形式 . 计算时不能漏乘 . 探究新知 (3) ( x + y )( x 2 – xy + y 2 ). 1 . 快速训练 : ( 1 ) (2 x +1)( x +3); ( 2 ) ( m +2 n )( m +3 n ): ( 3 ) ( a – 1) 2 ; ( 4 ) ( a +3 b ) (a –3 b ). ( 5 ) ( x +2)( x +3); ( 6 ) ( x –4)( x +1) ( 7 ) ( y+ 4 )( y –2); ( 8 ) ( y –5)( y –3) a 2 –9 b 2 巩固练习 2 x 2 +7 x +3 m 2 +5 mn +6 n 2 a 2 –2 a +1 x 2 +5 x +6 x 2 –3 x –4 y 2 +2 y –8 y 2 –8 y +15 例 2 先化 简,再 求值 : ( a –2 b )( a 2 + 2 ab + 4 b 2 )– a ( a –5 b )( a + 3 b ) ,其 中 a = –1 , b = 1. 当 a = –1 , b = 1 时 , 解: 原式 = a 3 –8 b 3 –( a 2 –5 ab )( a + 3 b ) = a 3 –8 b 3 – a 3 –3 a 2 b + 5 a 2 b + 15 ab 2 = –8 b 3 + 2 a 2 b + 15 ab 2 . 原式 = –8 + 2–15 = –21 . 素养考点 2 用多项式乘以多项式法则进行化简求值 探究新知 2. 先化 简,再 求 值 . ( x – y )( x –2 y ) – (2 x –3 y )( x +2 y ) ,其中 . x = –2 , y = 解 : ( x – y )( x –2 y ) – (2 x –3 y )( x +2 y ) = x 2 –2 xy – xy +2 y 2 –(2 x 2 +4 xy –3 xy –6 y 2 ) = x 2 –2 xy – xy +2 y 2 –2 x 2 – xy +6 y 2 = – x 2 –4 xy +8 y 2 当 x = –2 , y = 时 , 原 式 = –6 巩固练习 例 3 已知 ax 2 + bx + 1( a ≠ 0) 与 3 x –2 的积不含 x 2 项,也 不含 x 项,求 系数 a 、 b 的值. 解 : ( ax 2 + bx + 1)(3 x –2) = 3 ax 3 –2 ax 2 + 3 bx 2 –2 bx + 3 x –2 , ∵ 积不含 x 2 的 项,也 不含 x 的 项 , 探究新知 方法总结 : 解 决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开 式,合 并同类项 后,再 根据不含某一 项,可 得这一项系数等于 零,再 列出方程解答. 3 . 选 择 题 . ( 1 ) 计 算 m 2 –( m +1)( m –5) 的 结果正确的 是 ( ) A .–4 m –5 B.4 m +5 C. m 2 –4 m +5 D. m 2 +4 m –5 ( 2 ) (1+ x )(2 x 2 + ax +1) 的 结果中 x 2 项的系数 为 –2 ,则 a 的值 为 ( ) A .–2 B.1 C .–4 D . 以上都不对 B C 巩固练习 1 . 计算 ( a – 2 )( a +3 ) 的 结果 是 ( ) A. a 2 – 6 B. a 2 + a – 6 C. a 2 +6 D. a 2 – a +6 连接中考 B 巩固练习 2 . 在 矩形 ABCD 内 , 将 两张边长分别为 a 和 b ( a > b ) 的 正方形纸片按图 1 , 图 2两种方式放 置 ( 图1 , 图 2中两张正方形纸片均有部分重 叠 ) , 矩 形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表 示 , 设 图1中阴影部分的面积为 S 1 , 图 2中阴影部分的面积为 S 2 .当 AD – AB =2时 , S 2 – S 1 的值 为 (   ) A.2 a B.2 b C.2 a – 2 b D. – 2 b 连接中考 B 巩固练习 2 . 如果 ( x + a )( x + b ) 的 结果中不含 x 的一次 项,那 么 a 、 b 满 足 (    ) A. a = b B. a =0 C. a = – b D. b =0 C 1 . 计算 ( x – 1 )( x – 2 ) 的 结果 为 (    ) A. x 2 +3 x – 2 B. x 2 – 3 x – 2 C. x 2 +3 x +2 D. x 2 – 3 x +2 D 基础巩固题 3 . 已知 ab = a + b +1 , 则( a –1)( b –1)=_____  . 2 课堂检测 4 . 判 别下列解法是否正 确,若 不正 确,请 说出理由 . 解: 原式 漏乘 课堂检测 基础巩固题 解 : 原式 运算法则混淆 课堂检测 基础巩固题 5 . 计 算 : (1)( x − 3 y )( x +7 y ) ; (2)(2 x + 5 y )(3 x − 2 y ). 解 : (1) ( x − 3 y )( x+ 7 y ) + 7 xy − 3 yx − = x 2 + 4 xy– 21 y 2 ; 21 y 2 (2) (2 x +5 y )(3 x − 2 y ) = = x 2 2 x • 3 x −2 x • 2 y +5 y • 3 x − 5 y • 2 y = 6 x 2 − 4 xy + 15 xy − 10 y 2 = 6 x 2 + 11 xy − 10 y 2 . 课堂检测 基础巩固题 6. 化简求值: (4 x +3 y )(4 x –3 y )+(2 x + y )(3 x –5 y ) ,其 中 x =1 , y = –2 . 解 : 原式 = 当 x =1 , y = –2 时 , 原式 = 22×1–7×1×(–2)–14×(–2) 2 = 22+14 –56 = –20 . 课堂检测 基础巩固题 解 方程与不等式: 1. ( x – 3 )( x – 2 ) + 18 = ( x +9 )( x +1 ) ; 2. ( 3 x + 6)( 3 x –6) <9 ( x – 2 )( x +3 ) . 解 : 1. 原式 去 括 号,得 : x 2 – 5 x +6+18= x 2 +10 x +9 , 移项合 并,得 : 15 x =15, 解 得 : x =1 ; 2. 原式 去 括 号,得 : 9 x 2 –3 6< 9 x 2 +9 x – 54 , 移项合 并,得 : 9 x > 1 8, 解 得 : x > 2 . 能力提升题 课堂检测 小 东找来一张挂历画包数学课本.已知课本长 a 厘 米,宽 b 厘 米,厚 c 厘 米,小 东想将课本封面与封底的每一边都包进去 m 厘 米,那么小 东应在挂历画上裁下一块多大面积的长方形? 八年 级 ( 上 ) 姓名: ____________ 数学 c b a 拓广探索题 课堂检测 a b c m b m 面积 : (2 m +2 b + c )(2 m + a ) 课堂检测 解 : (2 m+ 2 b+c )(2 m+a ) = 4 m 2 +2 ma +4 bm +2 ab +2 cm + ca . 答: 小东应在挂历画上裁下一块 (4 m 2 +2 ma +4 bm +2 ab +2 cm + ca ) 平方厘米的长方形 . 课堂检测 多项式乘多项式 运算法则 多项式与多项式相 乘,先 用 一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一 项, 再 把所得的 积 相加 . ( a+b )( m+n )= am+an+bm+bn 注意 不要漏乘;正确确定各项符号;结果要最 简 . 实质上是转化为单项式乘多项式的 运算 . ( x –1) 2 在一般情况下不等于 x 2 – 1 2 . 课堂小结 第 三 课 时 整式的除法 木 星的质量约是 1.9×10 24 吨,地 球的质量约是 5.98×10 21 吨,你 知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗 ? 木星的质量约为地球质量 的 (1.90×10 24 )÷(5.98×10 21 ) 倍 . 想一想: 上面的式子该如何计算 ? 地球 木星 导入新知 1. 掌握 同底数幂除法的运算法则 并能正确计算 . 素养目标 2. 知道 除 0 以外任何 数的0次幂都等于1 . 3. 掌握 单项式除以单项式 及 多项式除以单项式的运算法则 并能正确计算 . 同底数幂的除法 1. 计算: (1)2 5 ×2 3 = ? (2) x 6 · x 4 =? (3)2 m ×2 n = ? 2 8 x 10 2 m+n 2. 填空: (1)( ) ( ) × 2 3 =2 8 (2) x 6 ·( ) ( ) = x 10 (3)( ) ( ) × 2 n =2 m+n 2 5 x 4 2 m 本题直接利用 同底数幂的乘法法则计算 本题 逆向 利用 同底数幂的乘法法则计算 相当于求 2 8 ÷2 3 = ? 相当于求 x 10 ÷ x 6 = ? 相当于求 2 m+n ÷2 n = ? 知识点 1 探究新知 4. 试猜想: a m ÷ a n =? ( m , n 都是正整 数,且 m > n ) 3. 观察下面的等 式,你 能发现什么规律? ( 1 ) 2 8 ÷2 3 =2 5 ( 2 ) x 10 ÷ x 6 = x 4 ( 3 ) 2 m+n ÷2 n =2 m 同底数幂相 除, 底 数不 变,指 数相减 a m ÷ a n = a m–n = 2 8–3 = x 10–6 = 2 ( m+n )– n 验证: 因为 a m–n · a n = a m–n+n =a m , 所 以 a m ÷ a n =a m–n . 探究新知 一 般 地,我们有 a m ÷ a n =a m–n ( a ≠ 0 , m , n 都是正整 数,且 m>n ) 即同 底数幂相 除, 底 数不 变,指 数相减 . 想一想: a m ÷a m =? ( a ≠ 0) 答: a m ÷a m =1 , 根 据同底数幂的除法法则可得 a m ÷ a m = a 0 . 规定 a 0 = 1( a ≠ 0 ) 这就是 说, 除 0 以外任何 数的 0 次幂都等于 1 . 探究新知 同底数幂的除 法 例 1 计算: ( 1 ) x 8 ÷ x 2 ; ( 2 ) ( ab ) 5 ÷( ab ) 2 . 解 : (1) x 8 ÷ x 2 = x 8–2 = x 6 ; (2) ( ab ) 5 ÷( ab ) 2 = ( ab ) 5–2 =( ab ) 3 = a 3 b 3 . 方法总结: 计算同底数幂的除法 时,先 判断底数是否相同或变形相 同,若 底数为多项 式,可 将其看作一个整 体,再 根据法则计算. 素养考点 1 同底数幂除法法则的应用 探究新知 1 . 计 算: (1)(– xy ) 13 ÷(– xy ) 8 ; (2)( x –2 y ) 3 ÷(2 y – x ) 2 ; (3)( a 2 + 1) 6 ÷( a 2 + 1) 4 ÷( a 2 + 1) 2 . (3) 原 式 = ( a 2 + 1) 6–4–2 = ( a 2 + 1) 0 = 1. 解 : (1) 原 式 = (– xy ) 13–8 = (– xy ) 5 = – x 5 y 5 ; (2) 原 式 = ( x –2 y ) 3 ÷( x –2 y ) 2 = x –2 y ; 巩固练习 例 2 已知 a m = 12 , a n = 2 , a = 3 ,求 a m – n –1 的值. 方法总结: 解此题的关键是逆用同底数幂的除 法,对 a m – n –1 进行变 形,再 代入数值进行计算. 解: ∵ a m = 12 , a n = 2 , a = 3 , ∴ a m – n –1 = a m ÷ a n ÷ a = 12÷2÷3 = 2. 素养考点 2 同底数幂除法法则的逆运用 探究新知 2 . ( 1 ) 已 知 x a =32 , x b =4 , 求 x a – b ; 解: x a – b = x a ÷ x b =32 ÷ 4=8 ; ( 2 ) 已 知 x m =5 , x n =3 , 求 x 2 m – 3 n . 解: x 2 m –3 n = ( x m ) 2 ÷ ( x n ) 3 =5 2 ÷ 3 3 = . 巩固练习 单项式除以单项式 ( 1 ) 计 算: 4 a 2 x 3 · 3 ab 2 = ; ( 2 ) 计 算: 12 a 3 b 2 x 3 ÷ 3 ab 2 = . 12 a 3 b 2 x 3 4 a 2 x 3 解法 2 : 原式 =4 a 2 x 3 · 3 ab 2 ÷ 3 ab 2 =4 a 2 x 3 . 理解 : 上面的商式 4 a 2 x 3 的系数 4=12 ÷3 ; a 的指数 2=3–1 , b 的指数 0=2–2 , 而 b 0 =1 , x 的指数 3=3–0 . 解法 1 : 12 a 3 b 2 x 3 ÷ 3 ab 2 相当于 求 ( ) · 3 ab 2 =12 a 3 b 2 x 3 . 由 ( 1 ) 可 知括号里应填 4 a 2 x 3 . 知识点 2 探究新知 单 项式相 除, 把 系数与同底数幂 分别 相除作为 商的 因式,对于 只在被除式里含有的字 母,则连同它 的 指数作为 商的一个因式 . 理解 商式 = 系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂 底数不 变, 指数相减 . 保留在商里 作为因式 . 被除式的系数 除式的系数 探究新知 单项式除以单项式的法 则 例 3 计算: ( 1 ) 28 x 4 y 2 ÷7 x 3 y ; ( 2 ) –5 a 5 b 3 c ÷15 a 4 b . =4 xy ; ( 2 ) 原式 = (–5÷15) a 5–4 b 3–1 c 解 : ( 1) 原 式 = (28 ÷ 7) x 4–3 y 2–1 = ab 2 c . 素养考点 3 单项式除法以单项式法则的应用 多项 式除以单项式要按照法则逐项进 行,不 得漏 项,并 且要注意符号的变化 . 探究新知 3. 下列计算错在哪里?怎样改正? (1)4 a 8 ÷ 2 a 2 = 2 a 4 ( ) (2)10 a 3 ÷ 5 a 2 =5 a ( ) (3)(–9 x 5 ) ÷ (–3 x ) =–3 x 4 ( ) (4)12 a 3 b ÷ 4 a 2 =3 a ( ) 2 a 6 2 a 3 x 4 7 ab × × × × 系数相除 同底数幂的除 法, 底 数 不 变 ,指 数 相减 . 只在 一个被除式里含有的字 母 ,要 连同它的指数写在商 里, 防 止遗漏 . 求商的系 数,应 注意 符号 . 巩固练习 4. 计 算 (1)(2 a 2 b 2 c ) 4 z ÷(–2 ab 2 c 2 ) 2 ; (2)(3 x 3 y 3 z ) 4 ÷(3 x 3 y 2 z ) 2 ÷ x 2 y 6 z . 解 : (1) 原 式 = 16 a 8 b 8 c 4 z ÷4 a 2 b 4 c 4 = 4 a 6 b 4 z ; (2) 原 式= 81 x 12 y 12 z 4 ÷9 x 6 y 4 z 2 ÷ x 2 y 6 z = 9 x 4 y 2 z . 方法总结: 掌握 整式的除法的运算法则 是 解题的关 键,在 计算过程中注意有乘方的 先算乘 方 ,再 算 乘除 . 巩固练习 多项式除以单项式 一 幅长方形油画的长 为 ( a + b ) ,宽 为 m ,求 它 的面积 . 面积 为 ( a + b ) m=ma+mb. 若 已知油画的面积 为 ( ma+mb ) ,宽 为 m ,如 何求它的长? 长为 ( ma+mb ) ÷ m . 知识点 3 探究新知 问题1: 问 题 2 : 如 何计 算 ( am+bm ) ÷ m ? 计算 ( am+bm ) ÷ m 就相当于求 ( ) · m=am+bm ,因 此 不难推断出括 里应填 a+b . 又知 am ÷ m+bm ÷ m=a+b . 即 ( am+bm ) ÷ m =am ÷m+bm ÷m 探究新知 问 题 3 : 多 项式除以单项 式,就 是用多项式的 除以这个 ,再 把所得的商 . 单项式 每一项 相加 关键: 应用法则是把 多项式除以单项式 转化为 单项式除以单项式 . 探究新知 多项式除以单项式的法则 例 4 计 算 (12 a 3 –6 a 2 +3 a ) ÷3 a . 解: (12 a 3 –6 a 2 +3 a ) ÷3 a = 12 a 3 ÷3 a +(–6 a 2 ) ÷3 a +3 a ÷3 a =4 a 2 +(–2 a )+ 1 = 4 a 2 –2 a +1 . 方法总结 : 多项式除以单项 式,实 质是利用乘法的分配 律,将 多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决.计算过程 中,要 注意符号问题 . 素养考点 4 多项式除以单项式的法则的应用 探究新知 5. 计算 : (1)( 6 x 3 y 4 z – 4 x 2 y 3 z + 2 xy 3 ) ÷ 2 xy 3 ; (2)(72 x 3 y 4 –36 x 2 y 3 + 9 xy 2 )÷(–9 xy 2 ) . (2) 原式 = 72 x 3 y 4 ÷(–9 xy 2 ) + (–36 x 2 y 3 )÷(–9 xy 2 ) + 9 xy 2 ÷(–9 xy 2 ) = –8 x 2 y 2 + 4 xy –1 . 解 : (1) 原 式 = 6 x 3 y 4 z ÷2 xy 3 – 4 x 2 y 3 z ÷2 xy 3 +2 xy 3 ÷2 xy 3 = 3 x 2 yz –2 xz + 1 ; 巩固练习 例 5 先化 简,后 求值: [ 2 x ( x 2 y – xy 2 ) + xy ( xy – x 2 )]÷ x 2 y ,其 中 x = 2015 , y = 2014. 解: 原式= [ 2 x 3 y –2 x 2 y 2 + x 2 y 2 – x 3 y ]÷ x 2 y , 原式= x – y = 2015–2014 = 1. = x – y . 把 x = 2015 , y = 2014 代入上 式,得 素养考点 5 多项式除以单项式的化简求值问题 探究新知 6 . 求 值 : (21 x 4 y 3 –35 x 3 y 2 +7 x 2 y 2 )÷(–7 x 2 y ) , 其 中 x =1 , y = –2 解 : 原式 = 21 x 4 y 3 ÷(–7 x 2 y ) –35 x 3 y 2 ÷(–7 x 2 y ) +7 x 2 y 2 ÷(–7 x 2 y ) = –3 x 2 y 2 + 5 xy – y 把 x = 1 , y = –2 代入上 式,得 原式 = –3 1 2 (–2) 2 +5 1 (–2) –(–2) = –12–10+2 = –20 . 巩固练习 1 . 计算 : a 4 ÷ a =    . 连接中考 巩固练习 2 . 已知 a m =3 , a n =2 , 则 a 2 m – n 的值为    . 解析: ∵ a m =3,∴ a 2m =3 2 =9, ∴ a 2 m – n = = =4.5 . a 3 4.5 1 . 下列说法正确的是 ( ) A . (π–3.14) 0 没有意义 B .任何数的 0 次幂都等于 1 C . (8×10 6 )÷(2×10 9 ) = 4×10 3 D . 若 ( x + 4) 0 = 1 ,则 x ≠–4 D 基础巩固题 课堂检测 2. 下列算式 中,不 正确的 是 ( ) A . (–12 a 5 b )÷(–3 ab ) = 4 a 4 B . 9 x m y n –1 ÷3 x m –2 y n –3 = 3 x 2 y 2 C . 4 a 2 b 3 ÷2 ab = 2 ab 2 D . x ( x – y ) 2 ÷( y – x ) = x ( x – y ) D 基础巩固题 课堂检测 5. 已知一多项式与单项 式 –7 x 5 y 4 的积为 21 x 5 y 7 –28 x 6 y 5 ,则 这个多项式是 . –3 y 3 +4 xy 4. 一个长方形的面积为 a 2 +2 a ,若 一边长为 a ,则 另一边长为 _____________. a +2 3. 已知28 a 3 b m ÷28 a n b 2 = b 2 ,那 么 m , n 的取值 为 (    ) A. m =4, n =3 B. m =4, n =1 C. m =1, n =3 D. m =2, n =3 A 课堂检测 基础巩固题 6 . 计算 : ( 1 ) 6 a 3 ÷2 a 2 ; ( 2 ) 24 a 2 b 3 ÷3 ab ; ( 3 ) –21 a 2 b 3 c ÷3 ab ; ( 4 ) (14 m 3 –7 m 2 +14 m )÷ 7 m. 解 : ( 1 ) 6 a 3 ÷2 a 2 = ( 6÷2 )( a 3 ÷ a 2 ) = 3 a . ( 2 ) 24 a 2 b 3 ÷3 ab = ( 24÷3 ) a 2–1 b 3–1 = 8 ab 2 . ( 3 ) –21 a 2 b 3 c ÷3 ab = ( –21÷3 ) a 2–1 b 3–1 c = –7 ab 2 c ; ( 4 ) (14 m 3 –7 m 2 +14 m )÷ 7 m = 14 m 3 ÷7 m 7 m 2 ÷7 m +14 m ÷7 m = 2 m 2 – m +2 . 课堂检测 基础巩固题 先 化 简,再 求值 : ( x + y )( x – y )–(4 x 3 y –8 xy 3 )÷2 xy ,其 中 x = 1 , y = –3 . 解: 原式 = x 2 – y 2 –2 x 2 + 4 y 2 原式 = –1 2 + 3 ×(–3) 2 = –1 + 27 = 26. 当 x = 1 , y = –3 时 , = – x 2 + 3 y 2 . 能力提升题 课堂检测 1. 若3 2 •9 2 x +1 ÷27 x +1 =81,求 x 的值 ; 解 : ( 1 ) 3 2 •3 4 x +2 ÷3 3 x +3 =81, 即 3 x +1 = 3 4 , 解得 x =3; 3. 已知2 x – 5 y – 4=0,求 4 x ÷32 y 的值. ( 3 ) ∵ 2 x – 5 y – 4=0, 移项,得 2 x – 5 y =4 . 4 x ÷32 y =2 2 x ÷2 5 y =2 2 x – 5 y =2 4 =16 . 2. 已知5 x =36,5 y =2,求5 x – 2 y 的值 ; ( 2 ) 5 2 y = ( 5 y ) 2 = 4,5 x – 2 y =5 x ÷5 2 y =36÷4=9 . 拓广探索题 课堂检测 整式的除法 同底数幂的除法 单项式除以单项式 底数不 变,指 数相减 1. 系数相除; 2. 同底数的幂相除; 3. 只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式 多项式除以单项式 转化为单项式除以单项式的问题 课堂小结 0 指数幂的性质 除 0 以外任何数的 0 次幂都等于 1 14.2 乘法公式 14.2.1 平 方差公式 人教 版 数学 八 年级 上册 某 同学在计算 97×103 时将其变 成 (100–3)(100+3) 并 很快得出结果,你知道他运用了什么知识吗?这节 课,我们就来一起探讨 上述计算的规律 . 导入新知 观察与思考 1. 掌握 平方差公式 的推导及应用. 2. 了解平方差公式的几何意义 ,体会 数形结合 的思想方法. 素养目标 多项式与多项式是如何相乘的 ? ( x + 3)( x + 5 ) = x 2 + 5 x + 3 x + 15 = x 2 + 8 x + 15. ( a+b )( m+n ) =am +an +bm +bn 探究新知 知识点 1 平方差公式 面积变了吗? a 米 5 米 5 米 a 米 ( a –5) 相等吗? 探究新知 ①( x + 1)( x –1) ; ② ( m + 2)( m –2) ; ③ (2 m + 1)(2 m –1) ; ④ (5 y + z )(5 y – z ). 计算下列多项式的积,你能发现什么规律? 做一做 探究新知 x 2 – 1 2 m 2 –2 2 (2 m ) 2 – 1 2 (5 y ) 2 – z 2 这 些计算结果有什么特点? 想一想 ( a + b )( a − b ) = a 2 − b 2 两数 和 与这两数 差 的积 , 等于 这两个数的 平方差 . 公式变形 : 1 .( a – b ) ( a + b ) = a 2 – b 2 2 .( b + a )( – b + a ) = a 2 – b 2 探究新知 平方差公式 注: 这里的两数可以是两个 单项式 也可以是两个 多项式 等 . ( a+b )( a–b )=( a ) 2 –( b ) 2 相同为 a 相反为 b , – b 适当交换 合理加括号 探究新知 平方差公式 公式 中的 a 和 b ,既可以是 具体的数 ,也可以是 单 项 式 或者多项式; 2. 左边 是两个二项式的积,并且有一项完全 相同 , 另 一 项互为 相反数; 3. 右边 是相同项的平方 减去 相反项的绝对值的 平方 . ( a+b )( a– b )= a 2 – b 2 . 温馨提示 探究新知 (1+ x )(1– x ) (–3+ a )(–3– a ) (0.3 x –1)(1+0.3 x ) (1+ a )(–1+ a ) a b a 2 – b 2 1 x –3 a 1 2 – x 2 (–3) 2 – a 2 a 1 a 2 –1 2 0.3 x 1 ( 0.3 x ) 2 –1 2 ( a–b )( a+b ) 填一填 探究新知 口答下列各题 : (1)(– a + b )( a + b )=_________. (2)( a – b )( b + a )= __________. (3)(– a – b )(– a + b )= ________. (4)( a – b )(– a – b )= _________. a 2 – b 2 a 2 – b 2 b 2 – a 2 b 2 – a 2 做一做 探究新知 例 1 计算 : (1) (3 x + 2 )( 3 x –2 ) ; (2) (– x +2 y )(– x –2 y ). (2) 原 式 = (– x ) 2 – (2 y ) 2 = x 2 – 4 y 2 . 解: (1) 原式 = ( 3 x ) 2 –2 2 = 9 x 2 –4 ; 素养考点 1 利用平方差公式计算 易错警示: 当相同项带有 “ 负号 ” 时,必须用 括号括起来 . 探究新知 1 . 利用 平方差公式计算: (1)(3 x –5)(3 x + 5) ; (2)(–2 a – b )( b –2 a ) ; (3)(–7 m + 8 n )(–8 n –7 m ) . 解 : (1) 原 式 = ( 3 x ) 2 –5 2 = 9 x 2 –25 ; (2) 原 式 = (–2 a ) 2 – b 2 = 4 a 2 – b 2 ; (3) 原 式 = (–7 m ) 2 –(8 n ) 2 = 49 m 2 –64 n 2 ; 巩固练习 例 2 计算 : (1) 102×98 ; (2) ( y +2) ( y –2) – ( y –1) ( y +5) . = 100 2 –2 2 解 : (1) 102×98 = 10000 – 4 = (100 + 2)(100–2) = 9996 ; = y 2 –4– y 2 –4 y +5 (2)( y +2)( y –2)– ( y –1)( y +5) = y 2 –2 2 –( y 2 +4 y –5) = – 4 y + 1. 通过 合理变形,利用平方差公式,可以简化运算 . 不 符合平方差公式运算条件的乘法,按乘法法则进行运算 . 素养考点 2 利用平方差公式简便运算 探究新知 ( 1 ) 51 ×49 ; ( 2 ) ( 3 x +4 )( 3 x – 4 )–( 2 x +3 )( 3 x – 2 ) . 解 : (1) 原式 = (50 + 1)(50–1) = 50 2 –1 2 =2500 – 1 = 2499 ; (2) 原式 = ( 3 x ) 2 –4 2 –(6 x 2 +5 x –6) = 9 x 2 –16–6 x 2 –5 x +6 = 3 x 2 –5 x –10 . 巩固练习 2 . 计算 : 例 3 先化简,再求值 : (2 x – y )( y + 2 x )–(2 y + x )(2 y – x ) , 其中 x = 1 , y = 2. 解: 原式= 4 x 2 – y 2 –(4 y 2 – x 2 ) 原式 = 5×1 2 –5×2 2 = –15 . = 4 x 2 – y 2 –4 y 2 + x 2 = 5 x 2 –5 y 2 . 当 x = 1 , y = 2 时 , 素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值 探究新知 3 . 先 化简,再求值 : ( 3 – x )( 3+ x ) + ( x +1 )( x –1) , 其中 x =2. 巩固练习 解 : ( 3 – x )( 3+ x ) + 2( x +1 )( x –1) = 9– x 2 +2( x 2 –1) =9– x 2 +2 x 2 –2 = 7+ x 2 当 x =2 时, 原 式 = 7+2 2 =7+4=11 例 4 对于任意的正整数 n , 整 式 (3 n + 1)(3 n –1)–(3– n )(3 + n ) 的 值一定是 10 的整数倍吗? 即 (3 n + 1)(3 n –1)–(3– n )(3 + n ) 的 值是 10 的倍数. 解: 原式= 9 n 2 –1–(9– n 2 ) = 10 n 2 –10 . ∵( 10 n 2 –10) ÷ 10= n 2 –1 . n 为正整数 , ∴ n 2 –1 为整数 素养考点 4 利用平方差公式进行证明 探究新知 对于 平方差中的 a 和 b 可以是具体的数,也可以是单项式或多项 式 . 在 探究整除性或倍数问题时,一般先将 代数式化为最简 ,然后根据结果的特征,判断其是否具有整除性或倍数关系. 归纳总结 探究新知 巩固练习 4 . 如果 两个连续奇数分别是 2 n –1 , 2 n +1 ( 其 中 n 为正整 数 ) , 证明两个连续整数的平方差是 8 的倍数 . 证明 : (2 n +1) 2 –(2 n –1) 2 = [(2 n +1)+(2 n –1)][(2 n +1)–(2 n –1)] = (2 n +1+2 n –1)(2 n +1–2 n +1) = 4 n ×2 = 8 n 因 为 8 n 是 8 的倍数,所以结论成立 . 例 5 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈.今年王大伯对李大妈说:“我把这块地一边减少 4 米,另外一边增加 4 米,继续租给你,你看如何?”李大妈一听,就答应了.你认为李大妈吃亏了吗?为什么? ∵ a 2 > a 2 –16 , 解: 李大妈吃亏了 . 理由: 原正方形的面积为 a 2 , 改变边长后面积 为 ( a + 4)( a –4) = a 2 –16 , ∴ 李大妈吃亏了. 素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题 探究新知 解决 实际问题的关键是根据题意 列出算式 ,然后根据 公式化简算式 ,解决问题. 归纳总结 探究新知 5 . 如 图 1 , 在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的正方 形 ( a > b ), 把余下的部分剪成一个矩 形 ( 如 图 2 ). 通过计算两个图 形 ( 阴 影部 分 ) 的 面积 , 验证了一个等式 , 这个等式 是 ( ) A. a 2 – b 2 = ( a + b ) ( a – b ) B. ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 C. ( a – b ) 2 = a 2 –2 ab + b 2 D. ( a +2 b )( a – b )= a 2 + ab –2 b 2 b a 图 1 b a 图 2 巩固练习 A 1 . 化简 ( x – 1 )( x +1 ) 的 结果是   . 连接中考 2 . 某同学化简 a ( a +2 b )–( a + b )( a – b )出现了错误 ,解答过程如下:原式= a 2 +2 ab –( a 2 – b 2 ) (第一步) = a 2 +2 ab – a 2 – b 2 (第二步) =2 ab – b 2 (第三步) (1)该同学解答过程从第    步开始出错, 错误原因是   ; (2)写出此题正确的解答过程 . 原 式 = a 2 +2 ab –( a 2 – b 2 ) = a 2 +2 ab – a 2 + b 2 =2 ab + b 2 . x 2 – 1 二 去括号时没有变号 巩固练习 1 . 下列 运算中,可用平方差公式计算的 是 (    ) A . ( x + y )( x + y ) B . (– x + y )( x – y ) C . (– x – y )( y – x ) D . ( x + y )(– x – y ) C 2 . 计算 ( 2 x +1 )( 2 x – 1 ) 等于 (    ) A.4 x 2 – 1 B.2 x 2 – 1 C.4 x – 1 D.4 x 2 +1 A 3 . 两 个正方形的边长之和为 5 ,边长之差为 2 ,那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积,差是 ________ . 10 基础巩固题 课堂检测 (1)( a+ 3 b )( a – 3 b ) ; = 4 a 2 –9 ; = 4 x 4 – y 2 . 原式 = (2 a+ 3)(2 a– 3) = a 2 –9 b 2 ; =(2 a ) 2 –3 2 原式 = ( – 2 x 2 ) 2 – y 2 原式 = ( a ) 2 –(3 b ) 2 (2)(3 + 2 a )( – 3 + 2 a ) ; (3)(–2 x 2 –y )(–2 x 2 +y ). 4. 利用 平方差公式计算: 课堂检测 基础巩固题 解 : 解 : 解 : 5 . 计算 : 2015 2 – 2014×2016. 解: 2015 2 – 2014×2016 = 2015 2 – (2015–1)(2015+1) = 2015 2 – (2015 2 –1 2 ) = 2015 2 – 2015 2 +1 2 = 1 课堂检测 基础巩固题 6. 利用 平方差公式计算 : (1)( a –2)( a +2)( a 2 + 4) 解 : 原式 = ( a 2 –4)( a 2 +4) = a 4 –16 . (2) ( x – y )( x + y )( x 2 + y 2 )( x 4 + y 4 ). 解: 原式 = ( x 2 – y 2 )( x 2 + y 2 )( x 4 + y 4 ) = ( x 4 – y 4 )( x 4 + y 4 ) = x 8 – y 8 . 课堂检测 基础巩固题 先 化简,再求值 : ( x + 1)( x –1) + x 2 (1– x ) + x 3 , 其中 x = 2. 解: 原式 = x 2 –1 + x 2 – x 3 + x 3 = 2 x 2 –1 . 将 x = 2 代入上式 , 原式 = 2 × 2 2 –1=7 . 能力提升题 课堂检测 已知 x ≠1 ,计算 : (1 + x )(1– x ) = 1– x 2 , (1– x )(1 + x + x 2 ) = 1– x 3 , (1– x )(1 + x + x 2 + x 3 ) = 1– x 4 (1) 观 察以上各式并猜想 : (1– x )(1 + x + x 2 + … + x n ) = ________ ; (n 为正整 数 ) (2) 根 据你的猜想计算: ①(1–2)(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 ) = ________ ; ②2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 n = ________(n 为正整 数 ) ; ③( x –1)( x 99 + x 98 + x 97 + … + x 2 + x + 1) = ________ ; 1– x n+ 1 –63 2 n + 1 –2   x 100 – 1   拓广探索题 课堂检测 平方差公式 内容 注意 两个数的 和 与这两个数的 差的积, 等于这两个数的 平方差 . 1. 符号表示 : ( a + b )( a – b )= a 2 – b 2 2. 紧紧抓住 “一同一反” 这一特征,在应用时, 只有两个二项式的积 才有可能应用平方差公式;对于不能直接应用公式的,可能要经过 变形 才可以 应用 . 课堂小结 14.2 乘 法公式 14.2.2 完 全平方公式 人教 版 数学 八 年级 上册 一块 边长为 a 米的正方形实验 田,因 实际需要将其边长增加 b 米,形 成四块实验 田,以 种植不同的新品种 .( 如图 ) 用 不同的形式表示实验田的总面 积,并 进行比较 . 你有什么发现呢 ? 导入新知 2. 灵活 应用完全平方公式进行计算 . 1 . 理解 并掌握 完全平方公式 的推导过程、结构特点 、几何 解释 . 素养目标 3. 体验 归纳 添括号法则 . 一块 边长为 a 米的正方形实验 田, 因 需要将其边长增加 b 米 . 形成四块实验 田,以 种植不同的新品 种 ( 如图 ). 用不同的形式表示实验田的总面 积, 并进行比较 . a a b b 直接求: 总面积 = ( a+b )( a+b ) 间接求: 总面积 = a 2 + ab+ab+b 2 你发现了什么? ( a+b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 探究新知 知识点 1 完全平方公式 计 算下列多项式的 积,你 能发现什么规律? (1) ( p +1) 2 =( p +1)( p +1)= . p 2 +2 p +1 (2) ( m +2) 2 =( m +2)( m +2)= . m 2 +4 m +4 (3) ( p –1) 2 =( p –1)( p –1)= . p 2 –2 p +1 (4) ( m –2) 2 =( m –2)( m –2)= . m 2 –4 m +4 根 据你发现的规 律,你 能 写出下列式子的 答案吗? ( a + b ) 2 = . a 2 +2 ab + b 2 ( a – b ) 2 = . a 2 –2 ab + b 2 探究新知 问题1: 问 题 2 : ( a + b ) 2 = . a 2 +2 ab + b 2 ( a – b ) 2 = . a 2 –2 ab + b 2 也就是说, 两 个数的 和 ( 或差 ) 的 平 方,等 于它们的平方 和,加上 ( 或 减 去 ) 它 们的积的 2 倍 . 这两个公式叫 做 ( 乘 法 的 ) 完 全平方公式 . 简记为: “首平 方,尾 平 方,积 的 2 倍放 中央” 探究新知 完全平方公式 你 能根据 下面图形的 面积说明完全平方公式吗 ? 探究新知 设 大正方形 ABCD 的面积为 S . S= = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 = . ( a + b ) 2 a 2 + b 2 + 2 ab S 1 S 2 S 3 S 4 探究新知 证明 a a b b = + + + a 2 ab ab b 2 ( a + b ) 2 = . a 2 +2 ab + b 2 和的完全平方公式: 探究新知 几何解释 a 2 − a b − b ( a − b ) = a 2 −2 a b + b 2 . = ( a − b ) 2 a − b a − b a a a b b ( a − b ) b b ( a − b ) 2 ( a – b ) 2 = . a 2 –2 ab + b 2 差的完全平方公式: 探究新知 几何解释 ( a + b ) 2 = a 2 +2 ab + b 2 . ( a – b ) 2 = a 2 – 2 ab + b 2 . 观 察下面两个完全平方 式,比 一 比,回 答下列问题: (1) 说 一说积的次数和项数 . (2) 两 个完全平方式的积有相同的项吗?与 a , b 有什 么关系? (3) 两 个完全平方式的积中不同的是哪一项? 与 a , b 有什么关系?它的符号与什么有关? 探究新知 问 题 4 : 公式特征: 公式 中的字母 a , b 可以表示 数 、 单 项式和多项式 . 积 为 二次三项式 ; 积 中两项为两数的 平方和 ; 另 一项是 两数积的 2 倍 ,且 与两数中间的 符号相同 . 探究新知 下 面各式的计算是否正确?如果不正 确,应当 怎样改正? ( 1 ) ( x + y ) 2 = x 2 + y 2 (2)( x – y ) 2 = x 2 – y 2 (3) (– x + y ) 2 = x 2 +2 xy + y 2 (4) (2 x + y ) 2 =4 x 2 +2 xy + y 2 × × × × ( x + y ) 2 = x 2 +2 xy + y 2 ( x – y ) 2 = x 2 –2 xy + y 2 (– x + y ) 2 = x 2 – 2 xy + y 2 (2 x + y ) 2 =4 x 2 +4 xy + y 2 探究新知 想一想 例 1 运用完全平方公式计算: 解 : (4 m + n ) 2 = =16 m 2 ( 1 ) (4 m + n ) 2 ; ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 (4 m ) 2 +2 •(4 m ) • n + n 2 +8 mn + n 2 ; 素养考点 1 利用完全平方公式进行计算 探究新知 ( 2 ) ( a – b ) 2 = a 2 – 2 ab + b 2 y 2 = y 2 – y + 解: = + –2 • y • 1 . 利用 完全平方公式计算: ( 1 ) (5– a ) 2 ; ( 2 ) (–3 m –4 n ) 2 ; ( 3 ) (–3 a + b ) 2 . ( 3 ) (–3 a + b ) 2 = 9 a 2 –6 ab + b 2 . 解 : ( 1 ) (5– a ) 2 = 25–10 a + a 2 ; ( 2 ) (–3 m –4 n ) 2 = 9 m 2 + 24 mn + 16 n 2 ; 巩固练习 ( 1 ) 102 2 ; = (100 – 1) 2 =10000 – 200+1 解: 102 2 = (100+2) 2 =10000+400+4 =10404. ( 2 ) 99 2 . 99 2 =9801. 例 2 运用完全平方公式计算: 方法总结: 当一个数具备与整十、整百 相差一个正整数时求它的平 方,我 们可以通过 变形运用完全平方公式 进行运算较简便 . 素养考点 2 利用完全平方公式进行简便计算 探究新知 2 . 利用 乘法公式计算: ( 1 ) 98 2 –101×99 ; ( 2 ) 2016 2 –2016×4030 + 2015 2 . = (2016–2015) 2 = 1. 解 : (1) 原 式 = (100–2) 2 –(100 + 1)(100–1) = 100 2 –400 + 4–100 2 + 1 = –395 ; (2) 原式= 2016 2 –2×2016×2015 + 2015 2 巩固练习 例 3 已 知 x – y = 6 , xy = –8. 求 : ( 1 ) x 2 + y 2 的值 ; ( 2 ) ( x + y ) 2 的值 . = 36 –16 = 20 ; 解 : (1) ∵ x – y = 6 , xy = –8 , ( x – y ) 2 = x 2 + y 2 –2 xy , ∴ x 2 + y 2 = ( x – y ) 2 + 2 xy (2) ∵ x 2 + y 2 = 20 , xy = –8 , ∴( x + y ) 2 = x 2 + y 2 + 2 xy = 20 –16 = 4. 素养考点 3 利用完全平方公式的变形求整式的值 探究新知 方法总结: 本题要熟练掌握完全平方公式的变式: x 2 + y 2 = ( x – y ) 2 +2 xy = ( x + y ) 2 – 2 xy , ( x – y ) 2 = ( x + y ) 2 – 4 xy . ( 1 ) 已知 x + y =10 , xy =24 ,则 x 2 + y 2 =_____ . 52 3. 对应 训 练 . ( 2 ) 如果 x 2 + kx +81 是运用完全平方式得到的结 果, 则 k =____ _ ___ . 18 或 –18 ( 3 ) 已知 ab =2 , ( a + b ) 2 =9 ,则 ( a – b ) 2 的值为 ______. 1 巩固练习 添括号法则 a +( b + c ) = a + b + c ; a – ( b + c ) = a – b – c . a + b + c = a + ( b + c ) ; a – b – c = a – ( b + c ) . 去 括号: 把上面两个等式的左右两边反过 来,也就是添 括号: 知识点 2 探究新知 添 括号 时,如 果括号前面是 正 号,括 到括号里的各项都 不变 号 ; 如果括号前面是 负 号,括 到括号里的各项都 改变 符 号 ( 简 记为“ 负变正不变 ” ) . 探究新知 添括号法则 例 4 运用 乘法公式计算 : ( 1 ) ( x +2 y –3)( x –2 y +3) ; ( 2 ) ( a+b+c ) 2 . 原式 = [ x +(2 y –3)][ x –(2 y –3)] 解 : (1) (2) 原式 = [( a+b )+ c ] 2 = x 2 –(2 y –3) 2 = x 2 –(4 y 2 –12 y +9) = x 2 –4 y 2 +12 y –9 . = ( a+b ) 2 +2( a+b ) c + c 2 = a 2 +2 ab + b 2 +2 ac +2 bc + c 2 . 素养考点 4 添括号法则的应 用 探究新知 4 . 计算: (1) ( a – b + c ) 2 ; (2) (1–2 x + y )(1 + 2 x – y ) . = 1–4 x 2 + 4 xy – y 2 . 解 : (1) 原 式 = [( a – b ) + c ] 2 = ( a – b ) 2 + c 2 + 2( a – b ) c = a 2 –2 ab + b 2 + c 2 + 2 ac –2 bc ; (2) 原式 = [1 + (–2 x + y )][1–(–2 x + y )] = 1 2 –(–2 x + y ) 2 巩固练习 1 . 将 9.5 2 变形正确的 是 (    ) A.9.5 2 =9 2 +0.5 2 B.9.5 2 = ( 10+0.5 )( 10 – 0.5 ) C.9.5 2 =10 2 – 2×10×0.5+0.5 2 D.9.5 2 =9 2 +9×0.5+0.5 2 2 . 若 x 2 +2 ( m – 3 ) x +16 是关于 x 的完全平方 式 , 则 m =   . 连接中考 C – 1 或 7 巩固练习 2. 下列计算结果为 2 ab – a 2 – b 2 的 是 ( ) A . ( a – b ) 2 B . (– a – b ) 2 C . –( a + b ) 2 D . –( a – b ) 2 1 . 运 用乘法公式计 算 ( a – 2 ) 2 的结果 是 (    ) A. a 2 – 4 a +4 B. a 2 – 2 a +4 C. a 2 – 4 D. a 2 – 4 a – 4 A D 基础巩固题 课堂检测 3. 运用完全平方公式计算 : (1) (6 a +5 b ) 2 =_______________ ; (2) (4 x –3 y ) 2 =_______________ ; (3) (2 m –1) 2 =_______________ ; (4) (–2 m –1) 2 =_______________ . 36 a 2 +60 ab +25 b 2 16 x 2 –24 xy +9 y 2 4 m 2 +4 m +1 4 m 2 –4 m +1 4. 由完全平方公式可知: 3 2 + 2×3×5 + 5 2 = (3 + 5) 2 = 64 ,运 用这一方法计算: 4.321 2 + 8.642×0.679 + 0.679 2 = ________ . 25 课堂检测 基础巩固题 计算 :(1) (3 a + b –2)(3 a – b + 2) ; (2) ( x – y – m + n )( x – y + m – n ) . (2) 原 式 = [( x – y )–( m – n )][( x – y ) + ( m – n )] 解 : (1) 原 式 = [3 a + ( b –2)][3 a –( b –2)] = (3 a ) 2 –( b –2) 2 = 9 a 2 – b 2 + 4 b –4 .   = ( x – y ) 2 –( m – n ) 2 = x 2 –2 xy + y 2 – m 2 + 2 mn – n 2 . 能力提升题 课堂检测 1. 若 a+b =5 , ab =–6 , 求 a 2 + b 2 , a 2 – ab + b 2 . 2. 已知 x+y =8 , x–y =4 ,求 xy . 解: a 2 + b 2 = ( a+b ) 2 –2 ab =5 2 –2×(–6)= 37 ; a 2 – ab + b 2 = a 2 + b 2 – ab =37–(–6)= 43. 解: ∵ x+y =8 , ∴( x+y ) 2 =64 , 即 x 2 + y 2 +2 xy =64①; ∵ x – y =4 , ∴( x–y ) 2 =16 , 即 x 2 + y 2 –2 xy =16 ②; 由 ① –② 得 4 xy =48 ∴ xy =12. 拓广探索题 课堂检测 完全平方公式 法则 注意 ( a ± b ) 2 = a 2 ±2 ab+b 2 1. 项数、符号、字母及其指数 2. 不能直接应用公式进行计算的式 子,可 能需要 先添括号变形成符合公式的要求 才 行 常用 结论 3. 弄清 完全平方公式和平方差公式不 同 ( 从 公式结构特点及结果两方 面 ) a 2 + b 2 =( a+b ) 2 –2 ab =( a–b ) 2 +2 ab ; 4 ab =( a+b ) 2 –( a–b ) 2 . 课堂小结 14.3 因 式分解 14.3.1 提 公因式法 人教 版 数学 八 年级 上册 我们知 道 , 利 用整式的乘法运 算 , 可 以将几个整式的积化为一个多项式的形 式 , 反 过 来 , 能 不能将一个多项式化成几个整式的积的形式呢?若 能 , 这 种变形叫做什么呢 ? 导入新知 2. 理 解并掌握 提公因式法 并能熟练地运用提公因式法分解因式 . 1. 理 解 因式分解 的意义和概念及其与整式乘法的 区别 和联系 . 素养目标 3. 会 利用 因式分解 进行简便计算. 如图,一 块菜地被分成三部 分,你 能用不同的方式表示这块草坪的面积吗? a b c m 方法一: m ( a + b + c ) 方法二: ma+mb+mc m ( a + b + c )= ma + mb + mc 整式乘法 ? 探究新知 知识点 1 因式分解的概念 1. 运用整式乘法法则或公式填空: (1) m ( a+b+c )= ; (2) ( x +1)( x –1)= ; (3) ( a+b ) 2 = . ma+mb+mc x 2 –1 a 2 +2 ab + b 2 2. 根据等式的性质填空: (1) ma+mb+mc =( )( ) (2) x 2 –1 =( )( ) (3) a 2 +2 ab + b 2 =( ) 2 m a+b+c x+ 1 x– 1 a+b 都是多项式化为几个整式的积的形式 比一 比,这 些式子有什么共同点? 探究新知 把 一个多项式化为几个 整式 的 乘积 的形 式,像 这样的式子变形叫做把这个多项式 因式分 解 ,也 叫做把这个多项式 分解因式 . 探究新知 x 2 –1 ( x +1)( x –1) 因式分解 整式乘法 x 2 –1 = ( x +1)( x –1) 等式的特征:左边是 多项 式 ,右 边是 几个整式的乘积 整 式乘法与因式分解有什么关系? 是互为相反的变 形, 即 探究新知 想一想 例 1 下列从左到右的变形中是因式分解的 有 (    ) ① x 2 – y 2 –1 = ( x + y )( x – y )–1 ; ② x 3 + x = x ( x 2 + 1) ; ③( x – y ) 2 = x 2 –2 xy + y 2 ; ④ x 2 –9 y 2 = ( x + 3 y )( x –3 y ) . A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个 B 方法总结: 因式分解与整式乘法是相反方向的变 形,即 互逆运 算,二 者是一个式子的不同表现形式.因式分解的右边是两个或几个因式积的形 式,整 式乘法的右边是多项式的形式. 素养考点 1 因式分解变形的识别 探究新知 1 . 在 下列等式 中,从 左到右的变形是因式分解的有 . 不是因式分解的,请说明原因 . ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ am+bm+c = m ( a+b )+ c 24 x 2 y =3 x · 8 xy x 2 –1=( x +1)( x –1) (2 x +1) 2 =4 x 2 +4 x +1 x 2 + x = x 2 (1 + ) 2 x +4 y +6 z =2( x +2 y +3 z ) 最后不是积的运算 因式分解的对象是 多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 巩固练习 pa+ p b+ p c 用提公因式法分解因式 多 项式中 各项 都含有的 相同因 式 ,叫 做 这 个多项式的 公因式 . 相同因式 p 观 察下列多项 式,它 们有什么共同特点? x 2 + x 相同因式 x 知识点 2 探究新知 问题1: 一 般 地,如 果多项式的各项有公因 式,可 以把这个公因式提取出 来,将 多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形 式,这 种分解因式的方法叫做 提公因式法 . ( a+b+c ) pa+ p b + p c p = 探究新知 找出 3 x 2 – 6 xy 的公因式 . 系数: 最大公约数 . 3 字母: 相同的 字母 . x 所以这个算式的公因式 是 3 x . 指数: 相同字母的最低 次数 . 1 如 何确定一个多项式的公因式? 探究新知 问 题 2 : 找出 多项式的公因式的正确步骤 : 3. 定指数 :相同字母的指数取各项中最小的一 个,即 字母的最低次数 . 1. 定系数 :公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数 . 2. 定 字母 : 字母取多项式各项中都含有的相同的字母 . 探究新知 归纳总结 找一找 : 下列各多项式的 公因式 是什么? 3 a a 2 2( m+n ) 3 mn –2 xy ( 1 ) 3 x +6 y ( 2 ) ab –2 ac ( 3 ) a 2 – a 3 ( 4 ) 4 ( m+n ) 2 + 2( m+n ) ( 5 ) 9 m 2 n –6 mn ( 6 ) –6 x 2 y –8 xy 2 探究新知 ( 1 ) 8 a 3 b 2 + 12 ab 3 c ; 例 2 把下列各式分解因 式 . 分析: 提公因式法步 骤 ( 分 两 步 ) 第 一步 : 找出公因式; 第 二步 : 提取公因式 ,即 将多项式化为两个因式的乘积 . ( 2 ) 2 a ( b + c ) – 3( b + c ). 公因式既可以是一个 单项式 的形 式,也 可以是一个 多项式 的形式 . 整体思想 是数学中一种重要而且常用的思想方法 . 素养考点 2 利用提公因式法分解因式 探究新知 解 : (1) 8 a 3 b 2 + 12 ab 3 c =4 ab 2 ·2 a 2 +4 ab 2 ·3 bc = 4 ab 2 (2 a 2 +3 bc ) ; 如果提出公因式 4 ab ,另 一个因式是否还有 公 因 式 ? 另一个因式将是 2 a 2 b +3 b 2 c , 它还有公因式是 b . (2) 2 a ( b + c )–3( b + c ) =( b + c )(2 a –3). 如何检查因式分解是否正确? 做整式乘法运算 . 探究新知 2 . 因 式分解: (1) 3 a 3 c 2 + 12 ab 3 c ; (2) 2 a ( b + c )–3( b + c ) ; (3) ( a + b )( a – b )– a – b . (3) 原式 = ( a + b )( a – b –1) . 解 : (1) 原 式 = 3 ac ( a 2 c + 4 b 3 ) ; (2) 原式 = (2 a –3)( b + c ) ; 巩固练习 把 12 x 2 y +18 xy 2 分解因式 . 解: 原式 = 3 xy (4 x + 6 y ). 错误 公因式 没有提 尽,还 可以提出公因式 2 . 注意: 公因式要 提尽 . 正解: 原式 = 6 xy (2 x +3 y ). 3. 小明 的 解法 有误吗? 巩固练习 当多项式的某一项和公因式相同时,提公因式后剩余的项是 1. 错误 注意: 某项提出莫漏 1 . 解: 原式 = x (3 x –6 y ). 把 3 x 2 – 6 xy + x 分解因式 . 正解 : 原式 = 3 x·x –6 y·x +1· x = x (3 x –6 y +1) 4. 小亮的 解法 有误吗? 巩固练习 提出 负号时括号里的项没变 号 . 错误 把 – x 2 + xy – xz 分解因式 . 解: 原式 = – x ( x + y – z ). 注意: 首项有负常 提负 . 正解 : 原式 = – ( x 2 – xy + xz ) = – x ( x – y + z ) 5 . 小 华 的 解法 有误吗? 巩固练习 提 取 公因式分解 因式的技巧: ① 当公因式是多项式 时,把 多项式看成 一个整体 提取公因式;②分解因式 分 解 到 不能分解 为止;③某一项全部提取 后,不 要 漏掉 “ 1 ” ;④首项有负 号常提 负号 ; ⑤ 检查因式分解的结果是否正 确,可 用 整式的乘法验 证 . 巩固练习 归纳总结 例 3 计算: ( 1 ) 39×37–13×91 ; ( 2 ) 29×20.16 + 72×20.16 + 13×20.16–20.16×14 . (2) 原 式= 20.16 ×(29 + 72 + 13–14) = 2016. = 13×20 = 260 ; 解 : (1) 原 式= 3×13×37–13×91 = 13 ×(3×37–91) 方法总结: 在计算求值 时,若 式子各项都含有公因 式,用 提取公因式的方法可使运算简便. 素养考点 3 利用因式分解进行简便运算 探究新知 =259 = 9900 ( 1 ) 99 2 + 99 ( 2 ) = 99 × (99+1) 6. 简便计 算 . 巩固练习 解: 原式 = 259 解: 原式 =99 × 99+99 ( 3 ) 13.8×0.125+86.2× 解 : 原式 = 13.8×0.125+86.2×0.125 = 0.125 ×(13.8+86.2) =0.125×100 = 12.5 例 4 已知 a + b = 7 , ab = 4 ,求 a 2 b + ab 2 的值. ∴ 原式 = ab ( a + b ) = 4×7 = 28. 解: ∵ a + b = 7 , ab = 4 , 方法总结: 含 a ± b , ab 的求值 题,通 常要将所求代数式进行因式分 解,将 其变形为能用 a ± b 和 ab 表示的式 子,然 后将 a ± b , ab 的值整体带入即可 . 素养考点 4 利用因式分解求整式的值 探究新知 7 . 已 知 a + b =5 , ab =3 ,求 a 2 b + ab 2 的值 . 解 : a 2 b + ab 2 = ab ( a + b ) = 3 × 5 = 15 巩固练习 1 . 分解 因式: a 2 – 5 a = _________  . 连接中考 巩固练习 2 . 若 a + b =4 , ab =1 , 则 a 2 b + ab 2 =    . 解析: ∵ a + b =4, ab =1, ∴ a 2 b + ab 2 = ab ( a + b ) = 1×4 = 4 . a ( a – 5 ) 4 1. 多项式 15 m 3 n 2 +5 m 2 n – 20 m 2 n 3 的公因式 是 (    ) A.5 mn B.5 m 2 n 2 C.5 m 2 n D .5 mn 2 2 . 把 多项 式 ( x +2)( x –2)+( x –2) 提 取公因 式 ( x –2) 后,余 下的部分 是 (    ) A . x +1 B . 2 x C . x +2 D . x +3 3. 下列多项式的分解因 式,正 确的 是 (    ) A.12 xyz – 9 x 2 y 2 =3 xyz ( 4 – 3 xyz ) B.3 a 2 y – 3 ay +6 y =3 y ( a 2 – a +2 ) C . – x 2 + xy – xz = – x ( x 2 + y – z ) D. a 2 b +5 ab – b = b ( a 2 +5 a ) B C D 课堂检测 基础巩固题 4. 把下列各式分解因式: (1) 分解 因式 : m 2 – 3 m =    . (2) 12 xyz –9 x 2 y 2 =_____________ ; (3) 因式分解 : ( x +2 ) x – x – 2= ___________  . (4) – x 3 y 3 – x 2 y 2 – xy =_______________ ; 3 xy (4 z –3 xy ) – xy ( x 2 y 2 + xy +1) (5) ( x – y ) 2 + y ( y – x ) =_____________ . ( y – x )(2 y – x ) 5. 若 9 a 2 ( x – y ) 2 –3 a ( y – x ) 3 = M ·(3 a + x – y ) ,则 M 等于 _____________. 3 a ( x – y ) 2 m ( m – 3 ) ( x +2 )( x – 1 ) 课堂检测 基础巩固题 6. 简便计算: (1) 1.99 2 +1.99×0.01 ; (2) 2013 2 +2013 – 2014 2 ; ( 3 ) ( –2 ) 101 + ( –2 ) 100 . (2) 原式 = 2013 ( 2013+1 ) – 2014 2 = 2013×2014 – 2014 2 = 2014× ( 2013 – 2014 ) = – 2014 . 解 : (1) 原式 = 1.99 ( 1.99+0.01 ) = 3.98; (3) 原 式 = ( –2 ) 100 × ( –2+1 ) =2 100 × ( –1 ) = –2 100 . 课堂检测 基础巩固题 解 : (1) 2 x 2 y + xy 2 = xy (2 x + y )= 3 ×4=12. (2) 原 式 = ( 2 x +1 )[( 2 x +1 )–( 2 x –1 )] = (2 x +1)(2 x +1–2 x +1)=2(2 x +1). ( 1 ) 已 知 : 2 x + y =4 , xy =3 ,求 代数式 2 x 2 y + xy 2 的值 . ( 2 ) 化简求值: ( 2 x +1 ) 2 – ( 2 x +1 )( 2 x –1 ) , 其中 x = . 当 x= 时 能力提升题 原式 = 2 ×(2 × + 1)= 4. 课堂检测 △ ABC 的三边长分别为 a 、 b 、 c ,且 a + 2 ab = c + 2 bc ,请 判断 △ ABC 的形 状,并 说明理由. ∴△ ABC 是等腰三角形. 解: 整理 a + 2 ab = c + 2 bc 得 , a + 2 ab – c –2 bc = 0 , ( a – c ) + 2 b ( a – c ) = 0 , ( a – c )(1 + 2 b ) = 0 , ∴ a – c = 0 或 1 + 2 b = 0 , 即 a = c 或 b = –0.5( 舍去 ) , 拓广探索题 课堂检测 因式 分解 定义 am+bm+mc=m ( a+b+c ) 方法 提公因式法 确定公因式的方法:三 定,即 定系数;定字母;定指数 第 一步 找公因式 ;第二步 提公因式 注意 1. 分解因式是一种恒等变形; 2. 公因式:要提尽; 3. 不要漏项; 4. 提负 号,要 注意变号 课堂小结 1 4.3 因 式分解 14.3.2 公 式 法 第一课时 第二课时 人教 版 数学 八 年级 上册 第一课时 平方差公式 a 米 b 米 b 米 a 米 ( a – b ) 如图,在 边长为 a 米的正方形上剪掉一个边长为 b 米的小正方 形,将 剩余部分拼成一个长方 形,根 据此图形变 换,你 能得到什么公式? a 2 – b 2 = ( a+b )( a – b ) 导入新知 1. 探 索并运用 平方差公式 进行因式分 解,体 会转化思想 . 2. 能 综合 运用提公因式法和平方差公式对多项式 进行 因式分解. 素养目标 用平方差公式进行因式分解 多 项式 a 2 – b 2 有什么特点?你能将它分解因式吗? 是 a , b 两数的平方差的形式 ) )( ( b a b a – + = 2 2 b a – ) )( ( 2 2 b a b a b a – + = – 整式乘法 因式分解 两 个数的 平方 差 ,等 于这两个数的 和 与这两个数的 差 的 乘积 . 平方差公式: 探究新知 知识点 1 想一想 √ √ × × 辨一辨: 下列多项式能否用平方差公式来分解因 式,为 什么? √ √ ★ 符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分 解,即 能写成 : ( ) 2 –( ) 2 的形式 . 两数是平 方, 减号在中央. (1) x 2 + y 2 (2) x 2 – y 2 (3)– x 2 – y 2 –( x 2 + y 2 ) y 2 – x 2 (4)– x 2 + y 2 (5) x 2 –25 y 2 ( x +5 y )( x –5 y ) (6) m 2 –1 ( m +1)( m –1) 探究新知 例 1 分解因式: a a b b ( + ) ( – ) a 2 – b 2 = 解 : (1) 原 式 = 2 x 3 2 x 2 x 3 3 (2) 原 式 整体思想 a b 素养考点 1 利 用平方差公式分解因式的应 用 探究新知 方法点拨 公 式中的 a 、 b 无论表示 数、单项式、 还是 多项 式 ,只 要被分解的多项式能 转化 成 平方差 的形 式,就 能用平方差公式因式分解 . 探究新知 1. 分解因式: (1) ( a + b ) 2 –4 a 2 ; (2) 9( m + n ) 2 –( m – n ) 2 . = (2 m + 4 n )(4 m + 2 n ) 解 : (1) 原 式 = ( a + b –2 a )( a + b + 2 a ) = ( b – a )(3 a + b ) ; (2) 原 式 = (3 m + 3 n – m + n )(3 m + 3 n + m – n ) = 4( m + 2 n )(2 m + n ) . 若 用平方差公式分解后的结果中有公因 式,一 定要再用提公因式法继续分解 . 巩固练习 例 2 分 解因式: 解 : (1) 原 式 = ( x 2 ) 2 –( y 2 ) 2 = ( x 2 +y 2 )( x 2 – y 2 ) 分解 因式 后,一 定要检查是否还有能继续分解的因 式,若有,则 需继续分 解,直 到不能分解为止 . = ( x 2 +y 2 )( x+y )( x – y ); (2) 原 式 = ab ( a 2 –1) 分解 因式 时,一 般先用提公因式法进行分 解,然 后再用公式法 . 最后进行检查 . = ab ( a+ 1)( a –1). 素养考点 2 多次因式分解 探究新知 方法点拨 分解 因式前应先分析多项式的特 点,一 般 先提公因 式 , 再 套用公式 .必须进行到每一个多项式都 不能再分解因式 为止. 探究新知 2 . 分 解因式: (1) 5 m 2 a 4 – 5 m 2 b 4 ; (2) a 2 – 4 b 2 – a – 2 b . = ( a + 2 b )( a – 2b –1). = 5 m 2 ( a 2 + b 2 )( a + b )( a – b ) ; 解 : (1) 原 式 = 5 m 2 ( a 4 – b 4 ) = 5 m 2 ( a 2 + b 2 ) ( a 2 – b 2 ) (2) 原 式 = ( a 2 –4 b 2 )–( a + 2 b ) = ( a + 2 b )( a –2 b )–( a + 2 b ) 巩固练习 例 3 已知 x 2 – y 2 = –2 , x + y = 1 ,求 x – y , x , y 的值. ∴ x – y = –2 ②. 解: ∵ x 2 – y 2 = ( x + y )( x – y ) = –2 , x + y = 1 ① , 联立 ① ② 组成二元一次方程 组 , 解 得 : 素养考点 3 利用因式分解求整式的值 探究新知 方法总结: 在与 x 2 – y 2 , x ± y 有关的求代数式或未知数的值的问题 中,通 常需先因式分 解,然 后 整体代入 或 联立方程组 求值 . 3. 已知 x – y =2 , x 2 – y 2 =8 ,求 x + y 的 值 . 解: 由题意得 : ( x + y )( x – y )=8 , x – y =2 , 2( x + y )=8 , x + y =4 . 巩固练习 例 4 计算下列各题: (1) 101 2 –99 2 ; (2) 53.5 2 × 4–46.5 2 × 4. 解 : (1) 原 式 = (101 + 99)(101–99) = 400 ; (2) 原 式 = 4 (53.5 2 –46.5 2 ) = 4( 53.5 + 46.5 )( 53.5 – 46.5 ) = 4 × 100 × 7= 2800. 方法总结: 较为复杂的有理数运 算,可 以运用因式分解对其进行变 形,使 运算得以简化 . 素养考点 4 利用因式分解进行简便运算 探究新知 巩固练习 4. 用平方差公式进行简便计算 : (1) 38²–37 ² (2) 213 ² –87 ² ( 3) 229 ² –171 ² (4) 91×89 解: (1) 38 ² –37 ² = ( 38+37)(38–37 ) = 75 (2) 213 ² –87 ² = (213+87)(213–87) =300×126= 37800 (3) 229 ² –171 ² = (229+171)(229–171 ) = 400×58= 23200 (4) 91×89 = (90+1)(90–1) =90 ² –1=8100–1= 8099 例 5 求证:当 n 为整数 时,多 项 式 ( 2 n +1 ) 2 – ( 2 n – 1 ) 2 一定能被8整除. 即多项 式 ( 2 n +1 ) 2 – ( 2 n – 1 ) 2 一定能被8整除. 证明: 原式 = ( 2 n +1+2 n – 1 )( 2 n +1 – 2 n +1 ) =4 n •2=8 n , ∵ n 为整 数, ∴8 n 被8整 除, 方法总结: 解决整除的基本思路就是将 代数式化为整式乘积 的形 式,然 后分析能被哪些数或式子整除. 素养考点 5 利用因式分解进行证明 探究新知 5. 若 a , b , c 是三角形的三 边,且 满足 关系式 a 2 – 2 bc = c 2 – 2 ab ,试 判断这个三角形的形状 . 解: ∵ a 2 – 2 bc = c 2 – 2 ab , ∴ ( a 2 – c 2 ) + 2 ab – 2 bc =0, ( a + c )( a – c ) + 2 b ( a-c )=0, ∴ ( a – c )( a + c +2 b ) = 0 . ∵ a + c +2 b ≠ 0, ∴ a – c =0, 即 a = c , ∴ 这个三角形是等腰三角形. 巩固练习 分析: 已知等式变形后,利用完全平方公式及平方差公式分解,得到 a = c , 即可确定出三角形形状 . 1 . 多项式4 a – a 3 分解因式的结果 是 (    ) A. a ( 4 – a 2 ) B. a ( 2 – a )( 2+ a ) C. a ( a – 2 )( a +2 ) D. a ( 2 – a ) 2 连接中考 2 . 若 a + b =4 , a – b =1 , 则( a +1) 2 –( b –1) 2 的值为     . 解析: ∵ a + b =4, a – b =1, ∴ ( a +1 ) 2 –( b – 1 ) 2 = ( a +1+ b – 1 )( a +1 – b +1 ) = ( a + b )( a – b +2 ) = 4 × ( 1+2 ) = 12 . B 12 巩固练习 1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的 是 (    ) A . a 2 + (– b ) 2 B . 5 m 2 –20 mn C . – x 2 – y 2 D . – x 2 + 9 D 2 . 将 多项式 x – x 3 因式分解正确的 是 (    ) A. x ( x 2 – 1 ) B. x ( 1 – x 2 ) C. x ( x +1 )( x – 1 ) D. x ( 1+ x )( 1 – x ) D 3. 若 a + b =3 , a – b =7 ,则 b 2 – a 2 的值 为 (    ) A . –21 B . 21 C . –10 D . 10 A 课堂检测 基础巩固题 4. 把下列各式分解因式: (1) 16 a 2 –9 b 2 =_________________; (2) ( a + b ) 2 –( a – b ) 2 =_________________; (3) 因式分解 : 2 x 2 –8=_________________ ; (4) – a 4 +16 =_________________. (4 a +3 b )(4 a –3 b ) 4 ab (4+ a 2 )(2+ a )(2– a ) 5. 若将 ( 2 x ) n –81分解成 ( 4 x 2 +9 )( 2 x +3 )( 2 x –3 ) ,则 n 的值是 _____________. 4 2( x +2)( x –2) 课堂检测 基础巩固题 1. 已 知 4 m + n =40,2 m – 3 n =5 . 求 ( m +2 n ) 2 – ( 3 m – n ) 2 的值. 原式 = – 40×5= – 200 . 解: 原式 = ( m +2 n +3 m – n )( m +2 n – 3m+ n ) = ( 4 m + n )( 3 n – 2 m ) = – ( 4 m + n ) ( 2 m – 3 n ) , 当 4 m + n =40,2 m – 3 n =5 时 , 能力提升题 课堂检测 2. 如图,在 边长为 6.8 cm 正方形钢板 上,挖 去 4 个边长为 1.6 cm 的小正方 形,求 剩余部分的面积. 解: 根据题 意,得 6.8 2 –4×1.6 2 = 6.8 2 – (2×1.6) 2 = 6.8 2 –3.2 2 = (6.8 + 3.2)(6.8 – 3.2) = 10×3.6 = 36 (cm 2 ) 答: 剩余部分的面积为 36 cm 2 . 课堂检测 能力提升题 (1)99 2 –1 能否被 100 整除吗? 解 : (1) 因 为 99 2 –1=(99+1)(99–1)=100×98 , 所 以, (2 n +1) 2 –25 能被 4 整除 . (2) n 为整 数, (2 n +1) 2 –25 能否被 4 整除? 所以 99 2 –1 能被 100 整除 . (2) 原 式 = ( 2 n +1+5 ) (2 n +1–5) =(2 n +6)(2 n –4) = 2( n +3) × 2( n –2)= 4( n +3)( n –2). 拓广探索题 课堂检测 平方差公式分解因式 公式 a 2 – b 2 =( a+b )( a–b ) 步骤 一提: 公因式; 二套: 公式; 三查: 多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止 . 课堂小结 第 二 课 时 完全平方公式 我们知 道,因 式分解与整式乘法是反方向的变 形,我 们学习了因式分解的两种方法:提取公因式法、运用平方差公式法 . 现 在,大 家自然会 想,还 有哪些乘法公式可以用来分解因式呢? 导入新知 2. 能 较熟练地运用 完全平方公式 分解因式. 1. 理 解 完全平方公式 的特点 . 素养目标 3. 能 综合运用 提公因式 、 完全平方公式 分解因式这两种方法进行求值和证明. 1. 因式分解: 把一个多项式转化为 几个整式的积 的形式 . 2. 我们已经学过哪些 因 式分解的方法? 提 公因式法 平 方差公式 a 2 – b 2 =( a+b )( a–b ) 用完全平方公式分解因式 知识点 1 3. 完全平方公式 ( a ± b ) 2 = a 2 ±2 ab + b 2 探究新知 回 顾旧知 你 能把下面 4 个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗? 同学们拼出图形为: a a b b a b a b ab a ² b ² ab 探究新知 这个大正方形的面积可以怎么求? a 2 +2 ab + b 2 ( a + b ) 2 = a b a b a ² ab ab b ² ( a + b ) 2 a 2 +2 ab + b 2 = 将上面的等式倒过来 看,能 得到: 探究新知 a 2 + 2 ab+b 2 a 2 – 2 ab+b 2 我 们把 a ² + 2 ab+b² 和 a ² – 2 ab+b ² 这样的式子 叫 做 完 全平方式 . 观察这两个多项式 : (1) 每 个多项式有几项? (3) 中 间项和第一 项,第 三项有什么关系? (2) 每 个多项式的第一项和第三项有什么特征? 三 项 . 这两项都是数或式的平 方,并 且符号相 同 . 是第一项和第三项底数的积的 ± 2 倍 . 探究新知 完全平方式的特点: 1. 必须是 三项 式 ( 或 可以看成三项 的 ) ; 2. 有两个 同号 的数或式的平方; 3. 中间有两底数之积的 ±2 倍 . 完全平方式 : 探究新知 简记口诀 : 首 平 方,尾 平 方,首 尾两倍在中央 . 凡 具备这些特点的三项 式,就 是完全平方 式,将 它写成完全平方形 式,便 实现了因式分解 . 2 a b + b 2 ± = ( a ± b )² a 2 首 2 + 尾 2 ± 2 ×首×尾 ( 首 ± 尾 ) 2 两 个数的平方和加 上 ( 或 减 去 ) 这 两个数的积的 2 倍,等 于这两个数的 和 ( 或差 ) 的 平方 . 探究新知 3. a ²+4 ab +4 b² =( )²+2 · ( ) ·( )+( )²=( )² 2. m ²–6 m +9=( )² – 2· ( ) ·( )+( )² =( )² 1. x ²+4 x +4= ( )² +2 ·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a 2 b a + 2 b 2 b 对照 a ²± 2ab + b ² =( a ± b )² ,填 空: m m – 3 3 x 2 m 3 探究新知 试一试 下列各式是不是完全平方式? (1) a 2 –4 a +4 ; (2)1+4 a ² ; (3)4 b 2 +4 b –1 ; (4) a 2 + ab + b 2 ; (5) x 2 + x +0.25 . 是 只 有两项 ; 不是 4 b ² 与 –1 的符号不统一 ; 不是 不是 是 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍 . 探究新知 说一说 例 1 分解因式: (1) 16 x 2 + 24 x+ 9 ; (2)– x 2 +4 xy –4 y 2 . 分析 : (1) 中 , 16 x 2 =(4 x ) 2 , 9=3² , 24 x =2·4 x ·3 , 所以 16 x 2 +24 x +9 是一个完全平方 式 , 即 16 x 2 + 24 x +9= (4 x ) 2 +2·4 x ·3+ (3) 2 . (2) 中 首项有负 号,一 般先利用添括号法 则,将 其变形 为 – ( x 2 – 4 xy +4 y 2 ) , 然 后再利用公式分解因式 . 素养考点 1 利用完全平方公式分解因式 探究新知 解: (1) 16 x 2 + 24 x +9 = (4 x + 3) 2 ; = (4 x ) 2 + 2·4 x ·3 + (3) 2 (2) – x 2 + 4 xy – 4 y 2 = – ( x 2 – 4 xy +4 y 2 ) = – ( x – 2 y ) 2 . 1 . 把 下列多项式因式分解 . (1) x 2 –12 xy +36 y 2 . (2)16 a 4 +24 a 2 b 2 +9 b 4 . 解 : (1) x 2 –12 xy +36 y 2 = x 2 –2· x ·6 y +(6 y ) 2 = ( x –6 y ) 2 . (2)16 a 4 +24 a 2 b 2 +9 b 4 =(4 a 2 ) 2 +2·4 a 2 ·3 b 2 +(3 b 2 ) 2 = (4 a 2 +3 b 2 ) 2 . 巩固练习 (3)–2 xy – x 2 – y 2 . (4)4–12( x – y )+9( x – y ) 2 . 解 : (3)–2 xy – x 2 – y 2 = –( x 2 +2 xy + y 2 ) = –( x + y ) 2 . (4)4–12( x – y )+ 9( x – y ) 2 = 2 2 –2×2×3( x – y )+ [ 3( x – y ) ] 2 = [ 2–3( x – y ) ] 2 = (2–3 x +3 y ) 2 . 巩固练习 例 2 如果 x 2 –6 x + N 是一个完全平方 式,那 么 N 是 ( ) A . 11 B. 9 C. –11 D. –9 B 解析: 根据完全平方式的特 征,中 间 项 –6 x =2 x × (–3) ,故 可知 N =(–3) 2 =9 . 素养考点 2 利用完全平方公式求字母的值 探究新知 方法点拨 本题要 熟练掌握 完全平方公式的结构特 征 , 根据参数所在位 置,结 合公 式,找 出参数与已知项之间的数量关 系,从 而求出参数的值 . 计算过程 中,要 注意 积的2倍的符 号 ,避 免漏解. 探究新知 2 . 如果 x 2 – mx +16 是一个完全平方 式,那 么 m 的值为 ________. 解析: ∵16 = ( ± 4 ) 2 , 故 – m =2 × ( ± 4 ) , m = ± 8. ± 8 巩 固练习 例 3 把下列各式分解因式: ( 1 ) 3 ax 2 +6 axy +3 ay 2 ; (2)( a + b ) 2 –12( a + b )+ 36 . 解 : (1) 原 式 = 3 a ( x 2 +2 xy + y 2 ) = 3 a ( x + y ) 2 ; 分析 : (1) 中 有公因式 3 a ,应 先提出公因 式,再 进一步分解因式 ; (2) 中将 a + b 看成一个整体,设 a + b = m ,则原式化为 m 2 –12 m +36 . (2) 原 式 =( a + b ) 2 –2·( a+b ) ·6+6 2 = ( a+b –6) 2 . 素养考点 3 利用完全平方公式进行较复杂的因式分解 探究新知 利用 公式把某些具有特殊形 式 ( 如 平方差 式,完 全平方式 等 ) 的 多项式分解因 式,这 种分解因式的方法叫做 公式法 . 探究新知 3. 因式分解: (1) –3 a 2 x 2 + 24 a 2 x –48 a 2 ; (2) ( a 2 + 4) 2 –16 a 2 . = ( a 2 + 4 + 4 a )( a 2 + 4–4 a ) 解 : (1) 原 式 = –3 a 2 ( x 2 –8 x + 16) = –3 a 2 ( x –4) 2 ; (2) 原式 = ( a 2 + 4) 2 –(4 a ) 2 = ( a + 2) 2 ( a –2) 2 . 有公因式要先提 公因式 . 要检查每一个多项式的因 式,看 能否继续分解. 巩固练习 例 4 把下列完全平方公式分解因式: (1) 100 2 –2×100×99+99² ; (2)34 2 + 34×32 + 16 2 . 解 : (1) 原 式 =( 100–99)² (2) 原 式 = (34 + 16) 2 本题 利用完全平方公式分解因 式,可 以简化计 算 . =1. = 2500. 素养考点 4 利用完全平方公式进行简便运算 探究新知 4. 计算 : 765 2 ×17–235 2 ×17. 解: 765 2 ×17–235 2 ×17 = 17 ×( 765 2 –235 2 ) = 17 ×( 765+235)(765 –235) =17 ×1 000 × 530= 9010000 . 巩固练习 例 5 已知 : a 2 + b 2 +2 a –4 b +5=0 ,求 2 a 2 +4 b –3 的 值 . 提示: 从已知条件可以看出 , a 2 + b 2 +2 a – 4 b +5 与完全平方式有很大的相似性 ( 颜色相同的项 ) ,因此可通过 “ 凑 ” 成完全平方式的方法,将已知条件转化成 非负数之和等于 0 的形式,从而利用非负数的性质来 求解 . 素养考点 5 利用完全平方公式和非负性求字母的值 探究新知 解: 由已知可 得 ( a 2 +2 a +1 )+( b 2 –4 b +4 )= 0 即 ( a +1) 2 +( b –2) 2 =0 ∴ 2 a 2 +4 b –3=2×(–1) 2 +4×2–3=7 探究新知 方法总结 : 遇到多项式的值等于 0 、求另一个多项式的 值,常 常通过变形为 完全平方公式 和 ( 非 负数的 和 ) 的 形 式 ,然 后利用 非负数性质 来解答. 5. 已知 x 2 –4 x + y 2 –10 y + 29 = 0 ,求 x 2 y 2 + 2 xy + 1 的值. = 11 2 = 121. 解: ∵ x 2 –4 x + y 2 –10 y + 29 = 0 , ∴ ( x –2) 2 + ( y –5) 2 = 0. ∵ ( x –2) 2 ≥ 0 , ( y –5) 2 ≥ 0 , ∴ x –2 = 0 , y –5 = 0 , ∴ x = 2 , y = 5 , ∴ x 2 y 2 + 2 xy + 1 = ( xy + 1) 2 几 个非负数的和为 0 ,则 这几个非负数都为 0. 巩固练习 1 . 因式分解 : a 2 – 2 ab + b 2 =   . 连接中考 巩固练习 2 . 若 a + b =2 , ab =–3 , 则代数式 a 3 b +2 a 2 b 2 + ab 3 的值为 . 解析: ∵ a + b =2, ab = – 3, ∴ a 3 b +2 a 2 b 2 + ab 3 = ab ( a 2 +2 ab + b 2 ) , = ab ( a + b ) 2 , = – 3×4= – 12. ( a – b ) 2 –12 1. 下列四个多项式 中,能 因式分解的 是 ( ) A . a 2 + 1 B . a 2 –6 a + 9 C . x 2 + 5 y D . x 2 –5 y 2. 把多项式 4 x 2 y –4 x y 2 – x 3 分解因式的结果 是 ( ) A . 4 x y ( x – y )– x 3 B . – x ( x –2 y ) 2 C . x (4 x y –4 y 2 – x 2 ) D . – x (–4 x y + 4 y 2 + x 2 ) 3. 若 m = 2 n + 1 ,则 m 2 –4 mn + 4 n 2 的值是 ________ . B B 1 4. 若关于 x 的多项式 x 2 –8 x + m 2 是完全平方 式,则 m 的值为 _________ . ± 4 课堂检测 基础巩固题 5 . 把 下列多项式因式分解 . (1) x 2 –12 x +36 ; (2)4(2 a + b ) 2 –4(2 a + b )+ 1; (3) y 2 +2 y +1– x 2 ; ( 2 ) 原式 = [ 2 (2 a + b )] ² – 2·2 (2 a + b ) · 1 + ( 1 ) ²= (4 a +2 b – 1 ) 2 ; 解 : (1) 原式 = x 2 –2· x ·6+ ( 6 ) 2 = ( x –6 ) 2 ; ( 3 ) 原式 = ( y +1 ) ² – x ²= ( y +1+ x )( y +1– x ) . 课堂检测 基础巩固题 (2) 原式 1. 计算 : (1) 38.9 2 –2×38.9×48.9 + 48.9 2 . 解 : (1) 原 式 = (38.9–48.9) 2 = 100. 能力提升题 课堂检测 2 . 分 解因式 :(1)4 x 2 + 4 x + 1 ; (2) 小聪和小明的解答过程如下: 他们做对了吗?若错 误,请 你帮忙纠正过来. x 2 –2 x + 3. (2) 原 式 = ( x 2 –6 x + 9) = ( x –3) 2 解 : (1) 原 式 = (2 x ) 2 + 2•2 x •1 + 1 = (2 x +1) 2 小聪 : 小明 : × × 课堂检测 能力提升题 ( 1 ) 已 知 a – b = 3 ,求 a ( a –2 b ) + b 2 的值 ; ( 2 ) 已 知 ab = 2 , a + b = 5 ,求 a 3 b + 2 a 2 b 2 + ab 3 的值. 原式 = 2×5 2 = 50. 解 : (1) 原 式 = a 2 –2 ab + b 2 = ( a – b ) 2 . 当 a – b = 3 时,原 式 = 3 2 = 9. (2) 原 式 = ab ( a 2 + 2 ab + b 2 ) = ab ( a + b ) 2 .   当 ab = 2 , a + b = 5 时, 拓广探索题 课堂检测 完全平方公式分解因式 公式 a 2 ±2 ab + b 2 =( a±b ) 2 特点 (1) 要 求多项式有 三项 . (2) 其 中 两项同 号,且 都可以写成某数或式的平 方 ,另 一项则是 这两数或式的乘积的 2 倍 ,符 号可正可负 . 课堂小结
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