八年级数学上册第十二章全等三角形12-2三角形全等的判定第3课时角边角角角边教学课件新版 人教版

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12.2 三角形 全等 的判定 第十二章 全等三角形 第 3 课时 “角边角”、“角角边” 情境引入 学习目标 1 ．探索并正确理解三角形全等的 判定方法 “ ASA ” 和“ AAS ” ． 2 ．会用 三角形全等的判定方法 “ ASA ” 和“ AAS ” 证明两个三角形全等． 导入新课 如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适? 你能说明其中理由吗? 情境引入 3 2 1 讲授新课 三角形全等的 判定（ “ 角边角 ” 定理） 一 问题： 如果已知一个三角形的 两角及一边 ，那么有几种可能的情况呢？ A B C A B C 图一 图二 “两角及夹边” “两角和其中一角的对边” 它们能判定两个三角形全等吗？ 作图探究 先任意画出一个△ ABC ，再画一个 △ A ′ B ′ C ′ ， 使 A ′ B ′ = AB ， ∠ A ′ =∠ A ， ∠ B ′ =∠ B ( 即使两角和它们的夹边对应相等 ). 把画好的 △ A ′ B ′ C ′ 剪下，放到 △ ABC 上，它们全等吗？ A C B A C B A ′ B ′ C ′ E D 作法： （ 1 ）画 A'B'=AB ; （ 2 ）在 A'B ' 的同旁画 ∠ DA'B ' =∠ A ， ∠ EB'A '=∠ B ， A'D ， B'E 相交于点 C' . 想一想： 从中你能发现什么规律？ 知识要点 “角边角”判定方法 文字语言： 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等 ( 简写成“角边角”或“ ASA ” ） . 几何语言： ∠ A =∠ A ′ （ 已知 ）， AB = A ′ B ′ （ 已知 ）， ∠ B =∠ B ′ （ 已知 ）， 在 △ ABC 和△ A′ B′ C′ 中， ∴ △ ABC ≌ △ A′ B′ C′ （ ASA ） . A B C A ′ B ′ C ′ 例 1 已知： ∠ ABC ＝∠ DCB ，∠ ACB ＝ ∠ DBC ， 求证： △ ABC ≌ △ DCB ． ∠ ABC ＝∠ DCB ( 已知）， BC ＝ CB （公共边）， ∠ ACB ＝∠ DBC （已知）， 证明： 在 △ ABC 和 △ DCB 中 ， ∴△ ABC ≌ △ DCB （ ASA ） . 典例精析 B C A D 判定方法： 两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等． 例 2 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上， AB = AC, ∠ B =∠ C , 求证： AD = AE . A B C D E 分析： 证明 △ ACD ≌ △ ABE , 就可以得出 AD = AE . 证明： 在 △ ACD 和 △ ABE 中， ∠ A =∠ A （ 公共角 ）， AC = AB （ 已知 ）， ∠ C =∠ B （ 已知 ）， ∴ △ ACD ≌ △ ABE （ ASA) ， ∴ AD = AE . 问题： 若三角形的两个内角分别是 60° 和 45° ， 且 45° 所对的边为 3cm ， 你能画出这个三角形吗 ? 60° 45° 用 “ 角角边 ” 判定 三角形全等 二 合作探究 60° 思考： 这里的条件与 1 中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为 1 中的条件吗？ 75° 45° 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 . 简写成“角角边”或“ AAS”. 归纳总结 ∠ A =∠ A′ （ 已知 ）， ∠ B = ∠ B′ （ 已知 ）， AC = A′C ′ （ 已知 ）， 在 △ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴ △ ABC ≌ △ A′ B′ C′ （ AAS ） . A B C A ′ B ′ C ′ 例 3 ： 在 △ ABC 和 △ DEF 中， ∠ A ＝∠ D ，∠ B ＝ ∠ E ， BC=EF. 求证： △ ABC ≌ △ DEF ． ∠ B ＝ ∠ E ， BC ＝ EF ， ∠ C ＝∠ F. 证明： 在 △ ABC 中 ， ∠ A + ∠ B+ ∠ C ＝ 180 ° . ∴△ ABC ≌ △ DEF （ ASA ） . ∴ ∠ C ＝ 180 ° － ∠ A － ∠ B . 同理 ∠ F ＝ 180 ° － ∠ D － ∠ E . 又 ∠ A ＝∠ D ，∠ B ＝ ∠ E, ∴ ∠ C ＝∠ F . 在 △ ABC 和 △ DEF 中 ， 例 4 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA ≌ △AEC； 证明：(1)∵BD⊥ m ，CE⊥ m ， ∴∠ADB＝∠CEA＝90°， ∴∠ABD＋∠BAD＝90°. ∵AB⊥AC， ∴∠BAD＋∠CAE＝90°， ∠ABD＝∠CAE. 在△BDA和△AEC中， ∠ ADB =∠ CEA= 90° ， ∠ ABD ＝ ∠ CAE, AB ＝ AC ， ∴ △ BDA ≌△ AEC (AAS) . (2)DE＝BD＋CE. ∴ BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE. 证明：∵△ BDA ≌ △ AEC , 方法总结： 利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化． 1. △ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC ≌ △DEF ，则下列补充的条件中错误的是（ ） A．AC＝DF B．BC＝EF C．∠A＝∠D D．∠C＝∠F 2 . 在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（　） A．一定不全等　 B．一定全等　 　 C．不一定全等　　 D．以上都不对 当堂练习 A B A B C D E F 3. 如图 ∠ ACB =∠ DFE ， BC = EF ，那么应补充一个条件 ，才能使 △ ABC ≌ △ DEF （写出一个即可） . ∠ B =∠ E 或 ∠ A =∠ D 或 AC = DF （ ASA ） （ AAS ） （ SAS ） AB = DE 可以吗？ × AB∥DE 4. 已知： 如图 ， AB ⊥ BC ， AD ⊥ DC ，∠ 1=∠2, 求证： AB = AD . A C D B 1 2 证明： ∵ AB ⊥ BC ， AD ⊥ DC ， ∴ ∠ B =∠ D =90 °. 在 △ ABC 和 △ ADC 中， ∠1=∠2 （ 已知 ）， ∠ B =∠ D （ 已证 ）， AC = AC （ 公共边 ）， ∴ △ ABC ≌ △ ADC （ AAS) ， ∴ AB = AD . 学以致用： 如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗? 3 2 1 答：带 1 去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等 . 能力提升： 已知：如图， △ ABC ≌ △ A ′ B ′ C ′ ， AD 、 A ′ D ′ 分别是 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 的高 . 试说明 AD ＝ A ′ D ′ ，并用一句话说出你的发现 . A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ 解：因为 △ ABC ≌ △ A ′ B ′ C ′ ， 所以 AB = A'B' （全等三角形对应边相等）， ∠ ABD =∠ A'B'D' （全等三角形对应角相等） . 因为 AD ⊥ BC ， A'D' ⊥ B'C' ，所以 ∠ ADB =∠ A'D'B' . 在△ ABD 和△ A'B'D' 中， ∠ ADB =∠ A'D'B' （已证）， ∠ ABD =∠ A'B'D' （已证）， AB=AB （已证）， 所以△ ABD ≌ △ A'B'D' . 所以 AD=A'D' . A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ 全等三角形对应边上的高也相等 . 课堂小结 边角边 角角边 内容 有两角及夹边对应相等的两个三角形全等（简写成 “ AS A ”) 应用 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意 注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别