湖北省黄石市阳新县2019--2020学年八年级上学期期末考试数学试题 （解析版）

湖北省黄石市阳新县2019--2020学年八年级上学期期末考试数学试题 （解析版）

‎2019-2020学年湖北省黄石市阳新县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题 ‎1．下列图形中，有且只有三条对称轴的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2．解分式方程+＝3时，去分母后变形正确的是（　　）‎ A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1） ‎ C．2﹣（x+2）＝3 D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）‎ ‎3．下列等式正确的是（　　）‎ A．（﹣1）﹣3＝1 B．（﹣2）3×（﹣2）3＝﹣26 ‎ C．（﹣5）4÷（﹣5）4＝﹣52 D．（﹣4）0＝1‎ ‎4．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：其中不能使△ABC≌△AED的条件（　　）‎ A．AB＝AE B．BC＝ED C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E ‎5．下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（　　）‎ A．（a﹣b）3﹣b（b﹣a）2＝（b﹣a）2（a﹣2b） ‎ B．（x+2）（x+3）＝x2+5x+6 ‎ C．4a2﹣9b2＝（4a﹣9b）（4a+9b） ‎ D．m2﹣n2+2＝（m+n）（m﹣n）+2‎ ‎6．某部门组织调运一批物资，一运送物资车开往距离出发地180千米的目的地，出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．设原计划速度为x千米/小时，则方程可列为（　　）‎ A．＝ ‎ B．＝ ‎ C．+1＝﹣ ‎ D．+1＝+‎ ‎7．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．在显微镜下测得一个病毒的直径为0.00000000205米，该数据用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.205×10﹣8米 B．2.05×109米 ‎ C．20.5×10﹣10米 D．2.05×10﹣9米 ‎9．根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（　　）‎ A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2 ‎ B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2 ‎ C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2 ‎ D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2‎ ‎10．根据如图数字之间的规律，问号处应填（　　）‎ A．61 B．52 C．43 D．37‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）下列各題不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卷指定位置 ‎11．已知a2+b2＝18，ab＝﹣1，则a+b＝　 　．‎ ‎12．将一副学生用三角板（即分别含30°角、45°角的直角三角板）按如图所示方式放置，则∠1＝　 　°．‎ ‎13．如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入　 　号球袋．‎ ‎14．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是　 　米．‎ ‎15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5cm，则AE＝　 　cm．‎ ‎16．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，点D是直线BC上动点，连接AD，在直线AD的右侧作等边△ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段CD的长度为　 　．‎ 三、解答题（共9个题，共72分）解题应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有点困难，那么把自己能写出来解答尽量写出来 ‎17．计算：‎ ‎（1）（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2）；‎ ‎（2）（﹣0.125）2018×（﹣2）2018×（﹣4）2019．‎ ‎18．分解因式：‎ ‎（1）﹣3a2+6ab﹣3b2；‎ ‎（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．‎ ‎19．解方程：‎ ‎（1）+＝；‎ ‎（2）+＝．‎ ‎20．先化简，再求值：（x+1）÷（2+），其中x＝﹣．‎ ‎21．如图所示，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC，BD相交于点M，求证：‎ ‎（1）∠ABC＝∠DCB；‎ ‎（2）AM＝DM．‎ ‎22．为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．‎ ‎（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？‎ ‎（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？‎ ‎23．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝100°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，求∠MAN的度数是多少？‎ ‎24．小东同学在学习多项式乘以多项时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题就是要确定该一次项的系数，根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：•5•（﹣6）+2•（﹣6）•4+3•4•5＝﹣3，即一次项为﹣3x，认真领会小东同学解决问题的思路方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．‎ ‎（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数为　 　．‎ ‎（2）（x+6）（2x+3）（5x﹣4）所得多项式的二次项系数为　 　．‎ ‎（3）若计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式的一次项系数为0，则a＝　 　．‎ ‎（4）若（x+1）2021＝a0x2021+a1x2020+a2x2019+…+a2020x+a2021，则a2020＝　 　．‎ ‎25．【问题原型】如图1，在等腰直角三形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为　 　．‎ ‎【初步探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．‎ ‎【简单应用】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连续CD，求△BCD的面积（用含a的代数式表示）．‎ 参考答案 一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）下面每个小题给出的四个选项中，只有一个正确的请把正确选项对应的字母在答题卷中相应的格子涂黑，注意可用多种不同的方法来选取正确答案 ‎1．下列图形中，有且只有三条对称轴的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】首先确定轴对称图形，再根据对称轴的概念，确定对称轴的条数．‎ 解：A、有3条对称轴；‎ B、有1条对称轴；‎ C、不是轴对称图形；‎ D、不是轴对称图形．‎ 故选：A．‎ ‎2．解分式方程+＝3时，去分母后变形正确的是（　　）‎ A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1） ‎ C．2﹣（x+2）＝3 D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．‎ 解：方程变形得：﹣＝3，‎ 去分母得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1），‎ 故选：D．‎ ‎3．下列等式正确的是（　　）‎ A．（﹣1）﹣3＝1 B．（﹣2）3×（﹣2）3＝﹣26 ‎ C．（﹣5）4÷（﹣5）4＝﹣52 D．（﹣4）0＝1‎ ‎【分析】分别根据负整数指数幂的运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及任何非零数的零次幂等于1对各个选项逐一判断即可．‎ 解：A．（﹣1）﹣3＝﹣1，故本选项不合题意；‎ B．（﹣2）3×（﹣2）3＝[（﹣2）×（﹣2）]3＝（22）3＝26，故本选项不合题意；‎ C．（﹣5）4÷（﹣5）4＝1，故本选项不合题意；‎ D．（﹣4）0＝1，正确，故本选项符合题意．‎ 故选：D．‎ ‎4．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：其中不能使△ABC≌△AED的条件（　　）‎ A．AB＝AE B．BC＝ED C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E ‎【分析】根据等式的性质可得∠CAB＝∠DAE，然后再结合判定两个三角形全等的一般方法SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析．‎ 解：∵∠1＝∠2，‎ ‎∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，‎ ‎∴∠CAB＝∠DAE，‎ A、添加AB＝AE可利用SAS定理判定△ABC≌△AED，故此选项符合题意；‎ B、添加CB＝DE不能判定△ABC≌△AED，故此选项符合题意；‎ C、添加∠C＝∠D可利用ASA定理判定△ABC≌△AED，故此选项符合题意；‎ D、添加∠B＝∠E可利用AAS定理判定△ABC≌△AED，故此选项符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎5．下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（　　）‎ A．（a﹣b）3﹣b（b﹣a）2＝（b﹣a）2（a﹣2b） ‎ B．（x+2）（x+3）＝x2+5x+6 ‎ C．4a2﹣9b2＝（4a﹣9b）（4a+9b） ‎ D．m2﹣n2+2＝（m+n）（m﹣n）+2‎ ‎【分析】直接利用因式分解的定义进而分析得出答案．‎ 解：A、（a﹣b）3﹣b（b﹣a）2＝﹣（b﹣a）3﹣b（b﹣a）2‎ ‎＝（b﹣a）2（a﹣2b），是因式分解，故此选项正确；‎ B、（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，是整式的乘法运算，故此选项错误；‎ C、4a2﹣9b2＝（2a﹣3b）（2a+3b），故此选项错误；‎ D、m2﹣n2+2＝（m+n）（m﹣n）+2，不符合因式分解的定义，故此选项错误．‎ 故选：A．‎ ‎6．某部门组织调运一批物资，一运送物资车开往距离出发地180千米的目的地，出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．设原计划速度为x千米/小时，则方程可列为（　　）‎ A．＝ ‎ B．＝ ‎ C．+1＝﹣ ‎ D．+1＝+‎ ‎【分析】设原计划速度为x千米/小时，根据“一运送物资车开往距离出发地180千米的目的地”，则原计划的时间为：，根据“出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶”，则实际的时间为：+1，‎ 根据“实际比原计划提前40分钟到达目的地”，列出关于x的分式方程，即可得到答案．‎ 解：设原计划速度为x千米/小时，‎ 根据题意得：‎ 原计划的时间为：，‎ 实际的时间为：+1，‎ ‎∵实际比原计划提前40分钟到达目的地，‎ ‎∴+1＝﹣，‎ 故选：C．‎ ‎7．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．‎ 解：∵42+92＝97＜122，‎ ‎∴三角形为钝角三角形，‎ ‎∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．‎ 故选：C．‎ ‎8．在显微镜下测得一个病毒的直径为0.00000000205米，该数据用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.205×10﹣8米 B．2.05×109米 ‎ C．20.5×10﹣10米 D．2.05×10﹣9米 ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ 解：0.00000000205米，该数据用科学记数法表示为2.05×10﹣9米．‎ 故选：D．‎ ‎9．根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（　　）‎ A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2 ‎ B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2 ‎ C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2 ‎ D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2‎ ‎【分析】根据图形确定出多项式乘法算式即可．‎ 解：根据图2的面积得：（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，‎ 故选：A．‎ ‎10．根据如图数字之间的规律，问号处应填（　　）‎ A．61 B．52 C．43 D．37‎ ‎【分析】由图可知每个圆中的规律为左边与上边对应的数相乘得到的积再加上右边的数，所得结果为最下边的数．‎ 解：由图可知每个圆中的规律为：1×2+2＝4，2×3+3＝9，3×5+4＝19，4×7+5＝33，‎ ‎∴最后一个圆中5×11+6＝61，‎ ‎∴？号所对应的数是61，‎ 故选：A．‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）下列各題不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卷指定位置 ‎11．已知a2+b2＝18，ab＝﹣1，则a+b＝　±4　．‎ ‎【分析】根据完全平方和公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，的变形进行计算．‎ 解：（a+b）2＝a2+2ab+b2＝（a2+b2）+2ab＝18﹣2＝16，则a+b＝±4；‎ 故答案是：±4．‎ ‎12．将一副学生用三角板（即分别含30°角、45°角的直角三角板）按如图所示方式放置，则∠1＝　105　°．‎ ‎【分析】先根据三角形的内角和得出∠2＝180°﹣90°﹣30°＝60°，再利用对顶角相等可得∠3＝∠2＝60°，再根据三角形外角的性质得到∠1＝45°+∠3，计算即可求解．‎ 解：由三角形的内角和得∠2＝180°﹣90°﹣30°＝60°，‎ 则∠3＝∠2＝60°，‎ 则∠1＝45°+∠3＝105°．‎ 故答案为：105．‎ ‎13．如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入　1　号球袋．‎ ‎【分析】由已知条件，按照反射的原理画图即可得出结论．‎ 解：‎ 如图，该球最后将落入1号球袋．‎ ‎14．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余电线的质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是　　米．‎ ‎【分析】这卷电线的总长度＝截取的1米+剩余电线的长度．‎ 解：根据1米长的电线，称得它的质量为a克，只需根据剩余电线的质量除以a，即可知道剩余电线的长度．故总长度是（+1）米．‎ 故答案为：（+1）．‎ ‎15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5cm，则AE＝　3　cm．‎ ‎【分析】根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF＝∠B，然后利用“角边角”证明△ABC和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝EF，再根据AE＝AC﹣CE，代入数据计算即可得解．‎ 解：∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠ECF+∠BCD＝90°，‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴∠BCD+∠B＝90°，‎ ‎∴∠ECF＝∠B（等角的余角相等），‎ 在△FCE和△ABC中，，‎ ‎∴△ABC≌△FEC（ASA），‎ ‎∴AC＝EF，‎ ‎∵AE＝AC﹣CE，BC＝2cm，EF＝5cm，‎ ‎∴AE＝5﹣2＝3cm．‎ 故答案为：3．‎ ‎16．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，点D是直线BC上动点，连接AD，在直线AD的右侧作等边△ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段CD的长度为　6　．‎ ‎【分析】以AC为边作等边△ACF，连接DF，可证△ACE≌△AFD，可得CE＝DF，则DF⊥CB时，DF的长最小，即DE的长最小，即可求解．‎ 解：如图，以AC为边作等边△ACF，连接DF，‎ ‎∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，‎ ‎∴AC＝4，‎ ‎∵△ACF是等边三角形，‎ ‎∴CF＝AC＝AF＝4，∠BCF＝60°，‎ ‎∵△ADE是等边三角形，‎ ‎∴AD＝AE，∠FAC＝∠DAE＝60°，‎ ‎∴∠FAD＝∠CAE，‎ 在△ACE和△AFD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACE≌△AFD（SAS）‎ ‎∴CE＝DF，‎ ‎∴DF⊥BC时，DF的长最小，即CE的长最小，‎ ‎∵∠FCD'＝90°﹣60°＝30°，D'F⊥CB，‎ ‎∴CD'＝CF＝6，‎ 故答案为：6．‎ 三、解答题（共9个题，共72分）解题应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有点困难，那么把自己能写出来解答尽量写出来 ‎17．计算：‎ ‎（1）（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2）；‎ ‎（2）（﹣0.125）2018×（﹣2）2018×（﹣4）2019．‎ ‎【分析】（1）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果；‎ ‎（2）根据有理数的混合运算法则解答．‎ 解：（1）原式＝x2﹣9﹣x2+2x＝2x﹣9；‎ ‎（2）原式＝[（﹣0.125）×（﹣2）×（﹣4）]2018•（﹣4）‎ ‎＝（﹣1）2018•（﹣4）‎ ‎＝﹣4．‎ ‎18．分解因式：‎ ‎（1）﹣3a2+6ab﹣3b2；‎ ‎（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．‎ ‎【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；‎ ‎（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．‎ 解：（1）原式＝﹣3（a2﹣2ab+b2）＝﹣3（a﹣b）2；‎ ‎（2）原式＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．‎ ‎19．解方程：‎ ‎（1）+＝；‎ ‎（2）+＝．‎ ‎【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；‎ ‎（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ 解：（1）去分母得：3x+x+2＝4，‎ 解得：x＝，‎ 经检验x＝是分式方程的解；‎ ‎（2）去分母得：x﹣1+2x+2＝4，‎ 解得：x＝1，‎ 经检验x＝1是增根，分式方程无解．‎ ‎20．先化简，再求值：（x+1）÷（2+），其中x＝﹣．‎ ‎【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．‎ 解：（x+1）÷（2+）‎ ‎＝（x+1）÷‎ ‎＝（x+1）‎ ‎＝，‎ 当x＝﹣时，原式＝＝．‎ ‎21．如图所示，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC，BD相交于点M，求证：‎ ‎（1）∠ABC＝∠DCB；‎ ‎（2）AM＝DM．‎ ‎【分析】（1）根据“HL”直接判定即可；‎ ‎（2）由全等三角形的性质可得AC＝DB，∠ACB＝∠DBC，再根据“等角对等边”得出MC＝MB，即可得出结论．‎ ‎【解答】证明：（1）∵∠A＝∠D＝90°，‎ ‎∴△ABC和△DCB都是直角三角形．‎ 在Rt△ABC和Rt△DCB中，，‎ ‎∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），‎ ‎∴∠ABC＝∠DCB；‎ ‎（2）∵Rt△ABC≌Rt△DCB，‎ ‎∴AC＝DB，∠ACB＝∠DBC，‎ ‎∴MC＝MB，‎ ‎∴AM＝DM．‎ ‎22．为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．‎ ‎（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？‎ ‎（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？‎ ‎【分析】（1）假设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据工作总量＝工作时间×工作效率建立方程求出其解即可；‎ ‎（2）分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用，再根据关键语句“两车各运12趟可完成，需支付运费4800元”可得方程，再解出方程，再分别计算出利用甲或乙所需费用进行比较即可．‎ 解：（1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据题意得出：‎ ‎12（+）＝1，‎ 解得：x＝18，‎ 经检验得出：x＝18是原方程的解，‎ 则乙车单独运完此堆垃圾需运：2x＝36，‎ 答：甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟；‎ ‎（2）设甲车每一趟的运费是a元，由题意得：‎ ‎12a+12（a﹣200）＝4800，‎ 解得：a＝300，‎ 则乙车每一趟的费用是：300﹣200＝100（元），‎ 单独租用甲车总费用是：18×300＝5400（元），‎ 单独租用乙车总费用是：36×100＝3600（元），‎ ‎3600＜5400，‎ 故单独租用一台车，租用乙车合算．‎ 答：单独租用一台车，租用乙车合算．‎ ‎23．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝100°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，求∠MAN的度数是多少？‎ ‎【分析】据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″′＝80°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．‎ 解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．‎ ‎∵∠DAB＝100°，‎ ‎∴∠AA′M+∠A″＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，‎ ‎∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，‎ ‎∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×80°＝160°，‎ ‎∠MAN＝180°﹣160°＝20°．‎ 故当△AMN周长最小时，∠MAN的度数是20°．‎ ‎24．小东同学在学习多项式乘以多项时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题就是要确定该一次项的系数，根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：•5•（﹣6）+2•（﹣6）•4+3•4•5＝﹣3，即一次项为﹣3x ‎，认真领会小东同学解决问题的思路方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．‎ ‎（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数为　﹣11　．‎ ‎（2）（x+6）（2x+3）（5x﹣4）所得多项式的二次项系数为　63.5　．‎ ‎（3）若计算（x2+x+1）（x2﹣3x+a）（2x﹣1）所得多项式的一次项系数为0，则a＝　﹣3　．‎ ‎（4）若（x+1）2021＝a0x2021+a1x2020+a2x2019+…+a2020x+a2021，则a2020＝　2021　．‎ ‎【分析】我们可知多项式乘多项式就是把一个多项式每一项去乘另一个多项式，在把所得积相加，根据题干提示，我们可以根据题目要求可以选择性求出一次项和二次项以及多项的系数．‎ ‎（1）中求一次项系数，含有一次项的有x，3x，5x，这三个中依次选出其中一个在与另外两项中的常数相乘最终积相加即可或者展开所有的式子得出一次项系数．‎ ‎（2）中求二次项系数，含有未知数的为：x、2x、5x，选出其中两个在与另一个括号的常数相乘，最后所得的积相加或者展开所有的式子得出一次项系数；‎ ‎ （3）先根据（1）所求方法求出一次项系数，最后用a表示，列出等式，求出a；‎ ‎ （4）根据前三问的规律可以计算出第四问的值．‎ 解：（1）由题意得：‎ 一次项系数为：1×1×（﹣3）+2×3×（﹣3）+2×1×5＝﹣11；‎ ‎（2）由题干材料知：‎ 二次项系数为：×2×（﹣4）+6×2×5+×5×3＝63.5；‎ ‎（3）一次项系数为：‎ ‎1×a×（﹣1）+1×（﹣3）×（﹣1）+1×a×2＝0，‎ 解得a＝﹣3；‎ ‎（4）通过题干以及前三问知：a2020＝2021×1＝2021．‎ 故答案为：﹣11；63.5；﹣3；2021．‎ ‎25．【问题原型】如图1，在等腰直角三形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为　32　．‎ ‎【初步探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．‎ ‎【简单应用】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连续CD，求△BCD的面积（用含a的代数式表示）．‎ ‎【分析】问题原型：如图1中，△ABC≌△BDE，就有DE＝BC＝8．进而由三角形的面积公式得出结论‘’‎ 初步探究：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE＝BC＝a．进而由三角形的面积公式得出结论．‎ 简单运用：如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF＝BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF＝DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．‎ 解：问题原型：如图1中，‎ 如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．‎ ‎∴∠BED＝∠ACB＝90°，‎ ‎∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，‎ ‎∴AB＝BD，∠ABD＝90°．‎ ‎∴∠ABC+∠DBE＝90°．‎ ‎∵∠A+∠ABC＝90°．‎ ‎∴∠A＝∠DBE．‎ 在△ABC和△BDE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△BDE（AAS）‎ ‎∴BC＝DE＝8．‎ ‎∵S△BCD＝BC•DE ‎∴S△BCD＝32，‎ 故答案为32．‎ 初步探究：△BCD的面积为a2．‎ 理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．‎ ‎∴∠BED＝∠ACB＝90°‎ ‎∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，‎ ‎∴AB＝BD，∠ABD＝90°．‎ ‎∴∠ABC+∠DBE＝90°．‎ ‎∵∠A+∠ABC＝90°．‎ ‎∴∠A＝∠DBE．‎ 在△ABC和△BDE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△BDE（AAS）‎ ‎∴BC＝DE＝a．‎ ‎∵S△BCD＝BC•DE ‎∴S△BCD＝a2；‎ 简单应用：如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，‎ ‎∴∠AFB＝∠E＝90°，BF＝BC＝a．‎ ‎∴∠FAB+∠ABF＝90°．‎ ‎∵∠ABD＝90°，‎ ‎∴∠ABF+∠DBE＝90°，‎ ‎∴∠FAB＝∠EBD．‎ ‎∵线段BD是由线段AB旋转得到的，‎ ‎∴AB＝BD．‎ 在△AFB和△BED中，‎ ‎，‎ ‎∴△AFB≌△BED（AAS），‎ ‎∴BF＝DE＝a．‎ ‎∵S△BCD＝BC•DE，‎ ‎∴S△BCD＝•a•a＝a2．‎ ‎∴△BCD的面积为a2．‎