2020八年级数学上册 第11章 数的开方 11

2020八年级数学上册 第11章 数的开方 11

‎11．1　平方根与立方根 第1课时　平方根 学习目标 ‎1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点；‎ ‎2.从求二次幂的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运算的互逆性；‎ ‎3.使学生理解数的平方根的概念，能运用根号表示一个数的平方根；‎ ‎4.掌握用平方运算求某些数的平方根的方法．‎ 学习过程 一、创设情境 问题1 要剪出一块面积为‎25 cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？‎ 问题2 已知圆的面积是16πcm2，求圆的半径长．‎ ‎(学生探索，回答问题)‎ 二、探究归纳 问题1解 设正方形纸片的边长为xcm，依题意有：x2＝25，‎ 求出满足x2＝25的x值，就可得正方形纸片的边长．‎ 因52＝25，(-5)2＝25，故满足x2＝25的x的值可以是5，也可以是－5，但正方形边长只能取正值．所以x＝5．‎ 答 正方形纸片的边长为‎5cm．‎ 这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25．‎ 问题2解 设圆的半径为R cm，依题意有：‎ πR2=16π，即R2=16，‎ 求出满足R2＝16的R的值即可求出圆的半径．‎ 因42＝16，(－4)2＝16，故满足R2＝16的R的值为4或－4，但圆的半径只能取正值．所以数R＝4．‎ 答 圆的半径为‎4cm．‎ 这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16．‎ 刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x2＝a，求x的值．‎ 概括 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(square root)（也叫a的二次方根）．‎ 在上述例1问题中，因为52＝25，所以5是25的一个平方根．又因为(－5)2＝52＝25，所以－5也是25的一个平方根．这就是说，25的平方根有两个：5与－5．　　在上述例2问题中，因为42＝16，所以4是16的一个平方根．又因为(－4)2＝42＝16，所以－4也是16的一个平方根．这就是说，16的平方根有两个： 4与－4‎ 4‎ ‎．　　所以，根据平方根的意义，我们可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根．‎ 三、实践应用 例1 求100的平方根．‎ 解 因为102＝100，(-10)2＝100，除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10.‎ 学生试一试：‎ ‎(1) 144的平方根是什么？(2) 0的平方根是什么？(3)的平方根是什么？(4)－4有没有平方根？为什么？请学生也编三道求平方根的题目，并给出解答．与同学交流，你发现了什么？‎ ‎1．平方根的性质：‎ 问 正数的平方根是什么？‎ 答 如果数是正数，它们都有两个平方根，这些数的两个平方根都分别是互为相反数．‎ 问 0的平方根是什么？‎ 答 0的平方根是0，这是因为02＝0．由于任何不为零的数的平方都不等于零，所以零的平方根只有一个，它就是零本身．‎ 问 负数有平方根吗？为什么？‎ 答 负数没有平方根．由于正数、零和负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根．‎ 请同学概括数的平方根的性质．‎ 答 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．‎ ‎2.一个非负数a的平方根的表示法．‎ 当a＞0时，a的正的平方根用符号“”表示，其中a叫做被开方数，2叫做根指数，a的负的平方根用符号“－”表示，这两个平方根合起来可以记作“”．这里，符号“”，读作“二次根号”，“”读作“二次根号a”．当根指数是2时，通常将这个2省略不写，如记作，读作“根号a”；记作，读作“正负根号a”．‎ 一般地，如果＝a(a≥0)，那么a的平方根可以表示为x=．例如，9的平方根记作，读作正负根号9．‎ ‎3.开平方．‎ 求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算是已知指数和幂求底数．平方与开平方互为逆运算．一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0．但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0．负数没有平方根．因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根．‎ 例2 将下列各数开平方：(1)49， (2)1.69．‎ 分析 开方运算就是求平方根，我们可以通过平方运算来解决．‎ 解 (1)因为，所以49的平方根是，即．‎ 4‎ ‎(2) 因为，所以1.69的平方根是，即．‎ 例3 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．‎ ‎(1)－64；(2)0；(3)(－4)2．‎ 分析 因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0．‎ 解 (1)因为－64是负数，所以－64没有平方根；‎ ‎(2)0有一个平方根，它是0；‎ ‎(3)因为，所以有两个平方根，且．‎ 四、交流反思 ‎1.一般地，如果＝a，那么叫做a的平方根．(也叫a的二次方根)．用表示．当a＞0时a有两个平方根，即，表示a的正的平方根，-表示a的负的平方根，它们互为相反数；当a＝0时，a有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根．‎ ‎2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方和开平方运算有区别又有联系．区别在于，平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂；而在开平方运算中，已知的是指数和幂，求的是底数．在平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的；在开平方运算中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的．‎ ‎3.平方和开平方运算又有联系，二者互为逆运算．‎ ‎4.求一个数的平方根，可以通过平方运算来解决．‎ 五、检测反馈 ‎1.说出下列各数的平方根 ‎(1)64；　　(2)0.25；　　(3) ．‎ ‎2.求下列各数的平方根(1)；　 (2) 0.36；　(3) 324．‎ ‎3. 平方根等于本身的数是 .‎ ‎4. 已知，y是的正的平方根，求代数式的值.‎ 答案：1. (1)±8； (2) ±0.5； (3) ±‎ ‎2. (1) ± ；(2) ±0.6；(3) ±18‎ ‎3. 0‎ ‎4.x＝ ±2，y＝5，的值是﹣.‎ 4‎ 六、学习小结 回忆一下：本节课你有什么收获？‎ 1. 平方根、开平方的定义；‎ 2. 平方根的表示；‎ 3. 平方根的性质；‎ 4. 求一个数的平方根.‎ 4‎