华东师大版八年级上册专题练习题含答案三角形全等的判定

华东师大版八年级上册专题练习题含答案三角形全等的判定

第 1页（共 59页） 三角形全等的判定 一、填空题 1．如图，已知等边△ABC，AB=2，点 D 在 AB 上，点 F 在 AC 的延长线上，BD=CF，DE⊥BC 于 E，FG ⊥BC 于 G，DF 交 BC 于点 P，则下列结论：①BE=CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1 中， 一定正确的是 ． 2．如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，E 为 CD 边上一点，∠DAE=30°，M 为 AE 的中点，过点 M 作直 线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q．若 PQ=AE，则 AP 等于 cm． 3．如图，矩形 ABCD 中，AB=8，点 E 是 AD 上的一点，有 AE=4，BE 的垂直平分线交 BC 的延长线于点 F，连结 EF 交 CD 于点 G．若 G 是 CD 的中点，则 BC 的长是 ． 4．如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE=2CE，过点 C 作 CF⊥BE，垂足为 F，连接 OF，则 OF 的长为 ． 第 2页（共 59页） 5．如图，已知△ABC 三个内角的平分线交于点 O，点 D 在 CA 的延长线上，且 DC=BC，AD=AO，若∠ BAC=80°，则∠BCA 的度数为 ． 6．已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形（用阴影表示），点 B1 在 y 轴上且坐标是 （0，2），点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 在 x 轴上，C1 的坐标是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继 续下去，则点 A2014 到 x 轴的距离是 ． 7．如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则 DF= ． 8．如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点，G 是 AD 延长线上一点，BE=DG，连接 EG，CF⊥EG 交 EG 于点 H，交 AD 于点 F，连接 CE，BH．若 BH=8，则 FG= ． 9．如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则 BD 的长为 ． 第 3页（共 59页） 10．如图，在△ABC 中，分别以 AC，BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE．设△ACD、△BCE、△ABC 的 面积分别是 S1、S2、S3，现有如下结论： ①S1：S2=AC2：BC2； ②连接 AE，BD，则△BCD≌△ECA； ③若 AC⊥BC，则 S1•S2= S3 2． 其中结论正确的序号是 ． 二、解答题 11．如图，E、F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB，AC 上的点，且 BE=AF，CE、BF 交于点 P． （1）求证：CE=BF； （2）求∠BPC 的度数． 12．如图，在四边形 ABCD 中，点 H 是 BC 的中点，作射线 AH，在线段 AH 及其延长线上分别取点 E， F，连结 BE，CF． （1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是 ，并证明． （2）在问题（1）中，当 BH 与 EH 满足什么关系时，四边形 BFCE 是矩形，请说明理由． 第 4页（共 59页） 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线交 BC 于点 E，EF⊥AB 于点 F，点 F 恰好是 AB 的 一个三等分点（AF＞BF）． （1）求证：△ACE≌△AFE； （2）求 tan∠CAE 的值． 14．在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，直线 MN 过点 A 且 MN∥BC，过点 B 为一锐角顶 点作 Rt△BDE，∠BDE=90°，且点 D 在直线 MN 上（不与点 A 重合），如图 1，DE 与 AC 交于点 P，易 证：BD=DP．（无需写证明过程） （1）在图 2 中，DE 与 CA 延长线交于点 P，BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立， 请说明理由； （2）在图 3 中，DE 与 AC 延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明． 15．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，且 DE=CF，连 接 OE，OF．求证：OE=OF． 16．如图，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一点，连接 BP、DP，延长 BC 到 E，使 PB=PE．求 证：∠PDC=∠PEC． 第 5页（共 59页） 17．如图，已知△ABC 中 AB=AC． （1）作图：在 AC 上有一点 D，延长 BD，并在 BD 的延长线上取点 E，使 AE=AB，连 AE，作∠EAC 的 平分线 AF，AF 交 DE 于点 F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接 CF，求证：∠E=∠ACF． 18．探究：如图①，在△ABC 中，AB=AC，∠ABC=60°，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD， 连结 CD，AE，求证：△ACE≌△CBD． 应用：如图②，在菱形 ABCF 中，∠ABC=60°，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD，连结 CD， EA，延长 EA 交 CD 于点 G，求∠CGE 的度数． 19．（1）如图 1，点 E，F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：∠A=∠D． （2）如图 2，在边长为 1 个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上． ①sinB 的值是 ； ②画出△ABC 关于直线 l 对称的△A1B1C1（A 与 A1，B 与 B1，C 与 C1 相对应），连接 AA1，BB1，并计算 梯形 AA1B1B 的面积． 第 6页（共 59页） 20．在平面内正方形 ABCD 与正方形 CEFH 如图放置，连 DE，BH，两线交于 M．求证： （1）BH=DE． （2）BH⊥DE． 21．如图，点 D 是线段 BC 的中点，分别以点 B，C 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧相交于点 A，连 接 AB，AC，AD，点 E 为 AD 上一点，连接 BE，CE． （1）求证：BE=CE； （2）以点 E 为圆心，ED 长为半径画弧，分别交 BE，CE 于点 F，G．若 BC=4，∠EBD=30°，求图中 阴影部分（扇形）的面积． 22．如图所示，已知∠1=∠2，请你添加一个条件，证明：AB=AC． （1）你添加的条件是 ； （2）请写出证明过程． 第 7页（共 59页） 23．如图，在等边△ABC 中，点 D 在直线 BC 上，连接 AD，作∠ADN=60°，直线 DN 交射线 AB 于点 E， 过点 C 作 CF∥AB 交直线 DN 于点 F． （1）当点 D 在线段 BC 上，∠NDB 为锐角时，如图①，求证：CF+BE=CD； （提示：过点 F 作 FM∥BC 交射线 AB 于点 M．） （2）当点 D 在线段 BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图②；当点 D 在线段 CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图③，请分别写出线段 CF，BE，CD 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4 ，则 BE= ，CD= ． 24．如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 上的点，且 AE⊥BF，垂足为点 G． 求证：AE=BF． 25．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，在 BC 的同侧作任意 Rt△DBC，∠ BDC=90°． （1）若 CD=2BD，M 是 CD 中点（如图 1），求证：△ADB≌△AMC； 下面是小明的证明过程，请你将它补充完整： 第 8页（共 59页） 证明：设 AB 与 CD 相交于点 O， ∵∠BDC=90°，∠BAC=90°， ∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°． ∵∠DOB=∠AOC， ∴∠DBO=∠① ． ∵M 是 DC 的中点， ∴CM= CD=② ． 又∵AB=AC， ∴△ADB≌△AMC． （2）若 CD＜BD（如图 2），在 BD 上是否存在一点 N，使得△ADN 是以 DN 为斜边的等腰直角三角形？ 若存在，请在图 2 中确定点 N 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由； （3）当 CD≠BD 时，线段 AD，BD 与 CD 满足怎样的数量关系？请直接写出． 26．如图，四边形 ABCD 是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF 与 BC 交于点 G． （1）求证：AE=CF； （2）若∠ABE=55°，求∠EGC 的大小． 27．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是 D，AE 平分∠BAD，交 BC 于点 E．在△ ABC 外有一点 F，使 FA⊥AE，FC⊥BC． （1）求证：BE=CF； （2）在 AB 上取一点 M，使 BM=2DE，连接 MC，交 AD 于点 N，连接 ME． 求证：①ME⊥BC；②DE=DN． 第 9页（共 59页） 28．【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判 定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进 行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探 究． 【深入探究】 第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC≌△DEF． （1）如图①，在△ABC 和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道 Rt△ABC≌Rt △DEF． 第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC≌△DEF． （2）如图②，在△ABC 和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E 都是钝角，求证：△ABC≌ △DEF． 第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等． （3）在△ABC 和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出 △DEF，使△DEF 和△ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹） 第 10页（共 59页） （4）∠B 还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC 和△DEF 中，AC=DF， BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E 都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF． 29．问题背景： 如图 1：在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F 分别是 BC，CD 上的点．且 ∠EAF=60°．探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G．使 DG=BE．连结 AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明 △AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ； 探索延伸： 如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F 分别是 BC，CD 上的点，且∠EAF= ∠ BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用： 如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30°的 A 处，舰艇乙在指挥中心南 偏东 70°的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50°的方向以 80 海里/小时的速度前进.1.5 小时后，指挥 中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F 处，且两舰艇之间的夹角为 70°，试求此时两舰艇之间的 距离． 30．如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，AC 与 BD 相交于 O 点，OC=OA，若 E 是 CD 上任意一点， 连接 BE 交 AC 于点 F，连接 DF． （1）证明：△CBF≌△CDF； （2）若 AC=2 ，BD=2，求四边形 ABCD 的周长； （3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明． 第 11页（共 59页） 第 12页（共 59页） 《12.2 三角形全等的判定》 参考答案与试题解析 一、填空题 1．如图，已知等边△ABC，AB=2，点 D 在 AB 上，点 F 在 AC 的延长线上，BD=CF，DE⊥BC 于 E，FG ⊥BC 于 G，DF 交 BC 于点 P，则下列结论：①BE=CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1 中， 一定正确的是 ①②④ ． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】由等边三角形的性质可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出 BE=CG，DE=FG，就可以得出△DEP ≌△FGP，得出∠EDP=∠GFP，EP=PG，得出 PC+BE=PE，就可以得出 PE=1，从而得出结论． 【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°． ∵∠ACB=∠GCF， ∵DE⊥BC，FG⊥BC， ∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°． 在△DEB 和△FGC 中， ， ∴△DEB≌△FGC（AAS）， ∴BE=CG，DE=FG，故①正确； 在△DEP 和△FGP 中， ， ∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正确； 第 13页（共 59页） ∴PE=PG∠EDP=∠GFP≠60°，故③错误； ∵PG=PC+CG， ∴PE=PC+BE． ∵PE+PC+BE=2， ∴PE=1，故④正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角 形全等是关键． 2．如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，E 为 CD 边上一点，∠DAE=30°，M 为 AE 的中点，过点 M 作直 线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q．若 PQ=AE，则 AP 等于 1 或 2 cm． 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形． 【专题】分类讨论． 【分析】根据题意画出图形，过 P 作 PN⊥BC，交 BC 于点 N，由 ABCD 为正方形，得到 AD=DC=PN，在 直角三角形 ADE 中，利用锐角三角函数定义求出 DE 的长，进而利用勾股定理求出 AE 的长，根据 M 为 AE 中点求出 AM 的长，利用 HL 得到三角形 ADE 与三角形 PQN 全等，利用全等三角形对应边，对应 角相等得到 DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由 PN 与 DC 平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到 PM 垂直于 AE，在直角三角形 APM 中，根据 AM 的长，利用锐角三角函数定义求出 AP 的长，再利用对称 性确定出 AP′的长即可． 【解答】解：根据题意画出图形，过 P 作 PN⊥BC，交 BC 于点 N， ∵四边形 ABCD 为正方形， 第 14页（共 59页） ∴AD=DC=PN， 在 Rt△ADE 中，∠DAE=30°，AD=3cm， ∴tan30°= ，即 DE= cm， 根据勾股定理得：AE= =2 cm， ∵M 为 AE 的中点， ∴AM= AE= cm， 在 Rt△ADE 和 Rt△PNQ 中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL）， ∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°， ∵PN∥DC， ∴∠PFA=∠DEA=60°， ∴∠PMF=90°，即 PM⊥AF， 在 Rt△AMP 中，∠MAP=30°，cos30°= ， ∴AP= = =2cm； 由对称性得到 AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm， 综上，AP 等于 1cm 或 2cm． 故答案为：1 或 2． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质 是解本题的关键． 第 15页（共 59页） 3．如图，矩形 ABCD 中，AB=8，点 E 是 AD 上的一点，有 AE=4，BE 的垂直平分线交 BC 的延长线于点 F，连结 EF 交 CD 于点 G．若 G 是 CD 的中点，则 BC 的长是 7 ． 【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质． 【专题】几何图形问题． 【分析】根据线段中点的定义可得 CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG 和△CFG 全等，根据全等 三角形对应边相等可得 DE=CF，EG=FG，设 DE=x，表示出 BF，再利用勾股定理列式求 EG，然后表示 出 EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 BF=EF，然后列出方程求出 x 的值， 从而求出 AD，再根据矩形的对边相等可得 BC=AD． 【解答】解：∵矩形 ABCD 中，G 是 CD 的中点，AB=8， ∴CG=DG= ×8=4， 在△DEG 和△CFG 中， ， ∴△DEG≌△CFG（ASA）， ∴DE=CF，EG=FG， 设 DE=x， 则 BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x， 在 Rt△DEG 中，EG= = ， ∴EF=2 ， ∵FH 垂直平分 BE， ∴BF=EF， ∴4+2x=2 ， 解得 x=3， ∴AD=AE+DE=4+3=7， 第 16页（共 59页） ∴BC=AD=7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距 离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 4．如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE=2CE，过点 C 作 CF⊥BE，垂足为 F，连接 OF，则 OF 的长为 ． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质． 【专题】计算题；几何图形问题． 【分析】在 BE 上截取 BG=CF，连接 OG，证明△OBG≌△OCF，则 OG=OF，∠BOG=∠COF，得出等腰直 角三角形 GOF，在 RT△BCE 中，根据射影定理求得 GF 的长，即可求得 OF 的长． 【解答】解：如图，在 BE 上截取 BG=CF，连接 OG， ∵RT△BCE 中，CF⊥BE， ∴∠EBC=∠ECF， ∵∠OBC=∠OCD=45°， ∴∠OBG=∠OCF， 在△OBG 与△OCF 中 ∴△OBG≌△OCF（SAS） ∴OG=OF，∠BOG=∠COF， ∴OG⊥OF， 在 RT△BCE 中，BC=DC=6，DE=2EC， ∴EC=2， 第 17页（共 59页） ∴BE= = =2 ， ∵BC2=BF•BE， 则 62=BF ，解得：BF= ， ∴EF=BE﹣BF= ， ∵CF2=BF•EF， ∴CF= ， ∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF= ， 在等腰直角△OGF 中 OF2= GF2， ∴OF= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的应用． 5．如图，已知△ABC 三个内角的平分线交于点 O，点 D 在 CA 的延长线上，且 DC=BC，AD=AO，若∠ BAC=80°，则∠BCA 的度数为 60° ． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【专题】几何图形问题． 第 18页（共 59页） 【分析】可证明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根据∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分线 可得∠BAO=40°，从而得出∠DAO=140°，根据 AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，则 ∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60° 【解答】解：∵△ABC 三个内角的平分线交于点 O， ∴∠ACO=∠BCO， 在△COD 和△COB 中， ， ∴△COD≌△COB， ∴∠D=∠CBO， ∵∠BAC=80°， ∴∠BAD=100°， ∴∠BAO=40°， ∴∠DAO=140°， ∵AD=AO，∴∠D=20°， ∴∠CBO=20°， ∴∠ABC=40°， ∴∠BCA=60°， 故答案为：60°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决此题 的关键． 6．已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形（用阴影表示），点 B1 在 y 轴上且坐标是 （0，2），点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 在 x 轴上，C1 的坐标是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继 续下去，则点 A2014 到 x 轴的距离是 ． 第 19页（共 59页） 【考点】全等三角形的判定与性质；规律型：点的坐标；正方形的性质；相似三角形的判定与性质． 【专题】规律型． 【分析】根据勾股定理可得正方形 A1B1C1D1 的边长为 = ，根据相似三角形的性质可得后面 正方形的边长依次是前面正方形边长的 ，依次得到第 2014 个正方形和第 2014 个正方形的边长， 进一步得到点 A2014 到 x 轴的距离． 【解答】解：如图，∵点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 在 x 轴上，B1C1∥B2C2∥B3C3， ∴△B1OC1∽△B2E2C2∽B3E4C3…，△B1OC1≌△C1E1D1，…， ∴B2E2=1，B3E4= ，B4E6= ，B5E8= …， ∴B2014E4016= ， 作 A1E⊥x 轴，延长 A1D1 交 x 轴于 F， 则△C1D1F∽△C1D1E1， ∴ = ， 在 Rt△OB1C1 中，OB1=2，OC1=1， 正方形 A1B1C1D1 的边长为为 = ， ∴D1F= ， 第 20页（共 59页） ∴A1F= ， ∵A1E∥D1E1， ∴ = ， ∴A1E=3，∴ = ， ∴点 A2014 到 x 轴的距离是 × = 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各边长是解题关键． 7．如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则 DF= 6 ． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】几何图形问题． 【分析】根据题中条件由 SAS 可得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得 AC=DF=6． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF ∵BE=CF， ∴BC=EF， 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AC=DF=6． 故答案是：6． 第 21页（共 59页） 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．全等三角形的判定是结合全 等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 8．如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点，G 是 AD 延长线上一点，BE=DG，连接 EG，CF⊥EG 交 EG 于点 H，交 AD 于点 F，连接 CE，BH．若 BH=8，则 FG= 5 ． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定与性质． 【专题】几何图形问题；压轴题． 【分析】如解答图，连接 CG，首先证明△CGD≌△CEB，得到△GCE 是等腰直角三角形；过点 H 作 AB、 BC 的垂线，垂足分别为点 M、N，进而证明△HEM≌△HCN，得到四边形 MBNH 为正方形，由此求出 CH、 HN、CN 的长度；最后利用相似三角形 Rt△HCN∽Rt△GFH，求出 FG 的长度． 【解答】解：如图所示，连接 CG． 在△CGD 与△CEB 中 ∴△CGD≌△CEB（SAS）， ∴CG=CE，∠GCD=∠ECB， ∴∠GCE=90°，即△GCE 是等腰直角三角形． 又∵CH⊥GE， ∴CH=EH=GH． 过点 H 作 AB、BC 的垂线，垂足分别为点 M、N，则∠MHN=90°， 又∵∠EHC=90°， ∴∠1=∠2， ∴∠HEM=∠HCN． 在△HEM 与△HCN 中， 第 22页（共 59页） ∴△HEM≌△HCN（ASA）． ∴HM=HN， ∴四边形 MBNH 为正方形． ∵BH=8， ∴BN=HN=4 ， ∴CN=BC﹣BN=6 ﹣4 =2 ． 在 Rt△HCN 中，由勾股定理得：CH=2 ． ∴GH=CH=2 ． ∵HM∥AG， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3． 又∵∠HNC=∠GHF=90°， ∴Rt△HCN∽Rt△GFH． ∴ ，即 ， ∴FG=5 ． 故答案为：5 ． 【点评】本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定 理等重要知识点，难度较大．作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键． 9．如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则 BD 的长为 ． 第 23页（共 59页） 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】根据等式的性质，可得∠BAD 与∠CAD′的关系，根据 SAS，可得△BAD 与△CAD′的关系， 根据全等三角形的性质，可得 BD 与 CD′的关系，根据勾股定理，可得答案． 【解答】解：作 AD′⊥AD，AD′=AD，连接 CD′，DD′，如图： ∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD， 即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD 与△CAD′中， ， ∴△BAD≌△CAD′（SAS）， ∴BD=CD′． ∠DAD′=90° 由勾股定理得 DD′= ， ∠D′DA+∠ADC=90° 由勾股定理得 CD′= ， ∴BD=CD′= ， 故答案为： ． 第 24页（共 59页） 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出 全等图形是解题关键． 10．如图，在△ABC 中，分别以 AC，BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE．设△ACD、△BCE、△ABC 的 面积分别是 S1、S2、S3，现有如下结论： ①S1：S2=AC2：BC2； ②连接 AE，BD，则△BCD≌△ECA； ③若 AC⊥BC，则 S1•S2= S3 2． 其中结论正确的序号是 ①②③ ． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】①根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断； ②根据 SAS 即可求得全等； ③根据面积公式即可判断． 【解答】①S1：S2=AC2：BC2 正确， 解：∵△ADC 与△BCE 是等边三角形， ∴△ADC∽△BCE， ∴S1：S2=AC2：BC2． ②△BCD≌△ECA 正确， 证明：∵△ADC 与△BCE 是等边三角形， ∴∠ACD=∠BCE=60° ∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD， 即∠ACE=∠DCB， 在△ACE 与△DCB 中， 第 25页（共 59页） ， ∴△BCD≌△ECA（SAS）． ③若 AC⊥BC，则 S1•S2= S3 2 正确， 解：设等边三角形 ADC 的边长=a，等边三角形 BCE 边长=b，则△ADC 的高= a，△BCE 的高= b， ∴S1= a a= a2，S2= b b= b2， ∴S1•S2= a2 b2= a2b2， ∵S3= ab， ∴S3 2= a2b2， ∴S1•S2= S3 2． 【点评】本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似三角形面积的比等 于相似比的平方，熟知各性质是解题的关键． 二、解答题 11．如图，E、F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB，AC 上的点，且 BE=AF，CE、BF 交于点 P． （1）求证：CE=BF； （2）求∠BPC 的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】（1）欲证明 CE=BF，只需证得△BCE≌△ABF； （2）利用（1）中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF，则由图示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF= ∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根据三角形内角和定理求得∠BPC=120°． 第 26页（共 59页） 【解答】（1）证明：如图，∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°， ∴在△BCE 与△ABF 中， ， ∴△BCE≌△ABF（SAS）， ∴CE=BF； （2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF， ∴∠BCE=∠ABF， ∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°， ∴∠BPC=180°﹣60°=120°． 即：∠BPC=120°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等 三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 12．如图，在四边形 ABCD 中，点 H 是 BC 的中点，作射线 AH，在线段 AH 及其延长线上分别取点 E， F，连结 BE，CF． （1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是 EH=FH ，并证明． （2）在问题（1）中，当 BH 与 EH 满足什么关系时，四边形 BFCE 是矩形，请说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定． 【专题】几何综合题；分类讨论． 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当 EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH 时，都可以证 明△BEH≌△CFH， （2）由（1）可得出四边形 BFCE 是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出 BH=EH 时，四边形 BFCE 是矩形． 第 27页（共 59页） 【解答】（1）答：添加：EH=FH， 证明：∵点 H 是 BC 的中点， ∴BH=CH， 在△BEH 和△CFH 中， ， ∴△BEH≌△CFH（SAS）； （2）解：∵BH=CH，EH=FH， ∴四边形 BFCE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）， ∵当 BH=EH 时，则 BC=EF， ∴平行四边形 BFCE 为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大． 13．（2014•株洲）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线交 BC 于点 E，EF⊥AB 于点 F，点 F 恰好是 AB 的一个三等分点（AF＞BF）． （1）求证：△ACE≌△AFE； （2）求 tan∠CAE 的值． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据角的平分线的性质可求得 CE=EF，然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全 等． （2）由△ACE≌△AFE，得出 AC=AF，CE=EF，设 BF=m，则 AC=2m，AF=2m，AB=3m，根据勾股定理可 求得，tan∠B= = ，CE=EF= ，在 RT△ACE 中，tan∠CAE= = = ； 【解答】（1）证明：∵AE 是∠BAC 的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF， 第 28页（共 59页） ∴CE=EF， 在 Rt△ACE 与 Rt△AFE 中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）； （2）解：由（1）可知△ACE≌△AFE， ∴AC=AF，CE=EF， 设 BF=m，则 AC=2m，AF=2m，AB=3m， ∴BC= = = m， 解法一：∵∠C=∠EFB=90°， ∴△EFB∽△ACB， ∴ = ， ∵CE=EF， ∴ = = ； 解法二：∴在 RT△ABC 中，tan∠B= = = ， 在 RT△EFB 中，EF=BF•tan∠B= ， ∴CE=EF= ， 在 RT△ACE 中，tan∠CAE= = = ； ∴tan∠CAE= ． 【点评】本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形，根据已知条件表示出 线段的值是解本题的关键． 14．在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，直线 MN 过点 A 且 MN∥BC，过点 B 为一锐角顶 点作 Rt△BDE，∠BDE=90°，且点 D 在直线 MN 上（不与点 A 重合），如图 1，DE 与 AC 交于点 P，易 证：BD=DP．（无需写证明过程） 第 29页（共 59页） （1）在图 2 中，DE 与 CA 延长线交于点 P，BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立， 请说明理由； （2）在图 3 中，DE 与 AC 延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）如答图 2，作辅助线，构造全等三角形△BDF≌△PDA，可以证明 BD=DP； （2）如答图 3，作辅助线，构造全等三角形△BDF≌△PDA，可以证明 BD=DP． 【解答】题干引论： 证明：如答图 1，过点 D 作 DF⊥MN，交 AB 于点 F， 则△ADF 为等腰直角三角形，∴DA=DF． ∵∠1+∠FDP=90°，∠FDP+∠2=90°， ∴∠1=∠2． 在△BDF 与△PDA 中， ∴△BDF≌△PDA（ASA） ∴BD=DP． 第 30页（共 59页） （1）答：BD=DP 成立． 证明：如答图 2，过点 D 作 DF⊥MN，交 AB 的延长线于点 F， 则△ADF 为等腰直角三角形，∴DA=DF． ∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°， ∴∠1=∠2． 在△BDF 与△PDA 中， ∴△BDF≌△PDA（ASA） ∴BD=DP． （2）答：BD=DP． 证明：如答图 3，过点 D 作 DF⊥MN，交 AB 的延长线于点 F， 则△ADF 为等腰直角三角形，∴DA=DF． 在△BDF 与△PDA 中， 第 31页（共 59页） ∴△BDF≌△PDA（ASA） ∴BD=DP． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识点， 作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，且 DE=CF，连 接 OE，OF．求证：OE=OF． 【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质． 【专题】证明题． 【分析】欲证明 OE=OF，只需证得△ODE≌△OCF 即可． 【解答】证明：如图，∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADC=∠BCD=90°， AC=BD，OD= BD，OC= AC， ∴OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∴∠ADC﹣∠ODC=∠BCD﹣∠OCD， 即∠EDO=∠FCO， 在△ODE 与△OCF 中， ， ∴△ODE≌△OCF（SAS）， ∴OE=OF． 第 32页（共 59页） 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形 的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 16．如图，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一点，连接 BP、DP，延长 BC 到 E，使 PB=PE．求 证：∠PDC=∠PEC． 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】证明题． 【分析】根据正方形的四条边都相等可得 BC=CD，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，再利用“边 角边”证明△BCP 和△DCP 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PDC=∠PBC，再根据等边对等角 可得∠PBC=∠PEC，从而得证． 【解答】证明：在正方形 ABCD 中，BC=CD，∠BCP=∠DCP， 在△BCP 和△DCP 中， ， ∴△BCP≌△DCP（SAS）， ∴∠PDC=∠PBC， ∵PB=PE， ∴∠PBC=∠PEC， ∴∠PDC=∠PEC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并 判断出全等三角形是解题的关键． 17．如图，已知△ABC 中 AB=AC． （1）作图：在 AC 上有一点 D，延长 BD，并在 BD 的延长线上取点 E，使 AE=AB，连 AE，作∠EAC 的 平分线 AF，AF 交 DE 于点 F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接 CF，求证：∠E=∠ACF． 第 33页（共 59页） 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；作图—复杂作图． 【专题】作图题；证明题． 【分析】（1）以 A 为圆心，以 AB 长为半径画弧，与 BD 的延长线的交点即为点 E，再以点 A 为圆心， 以任意长为半径画弧，分别与 AC、AE 相交，然后以这两点为圆心，以大于它们 长度为半径画弧， 两弧相交于一点，过点 A 与这一点作出射线与 BE 的交点即为所求的点 F； （2）求出 AE=AC，根据角平分线的定义可得∠EAF=∠CAF，再利用“边角边”证明△AEF 和△ACF 全 等，根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠ACF． 【解答】（1）解：如图所示； （2）证明：∵AB=AC，AE=AB， ∴AE=AC， ∵AF 是∠EAC 的平分线， ∴∠EAF=∠CAF， 在△AEF 和△ACF 中， ， ∴△AEF≌△ACF（SAS）， ∴∠E=∠ACF． 【点评】本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，作一条线段等于已知线段，角 平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键． 第 34页（共 59页） 18．探究：如图①，在△ABC 中，AB=AC，∠ABC=60°，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD， 连结 CD，AE，求证：△ACE≌△CBD． 应用：如图②，在菱形 ABCF 中，∠ABC=60°，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD，连结 CD， EA，延长 EA 交 CD 于点 G，求∠CGE 的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质． 【专题】几何图形问题． 【分析】探究：先判断出△ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得 BC=AC，∠ACB=∠ABC， 再求出 CE=BD，然后利用“边角边”证明即可； 应用：连接 AC，易知△ABC 是等边三角形，由探究可知△ACE 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角 相等可得∠E=∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGE=∠ABC 即 可． 【解答】解：探究：∵AB=AC，∠ABC=60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACB=∠ABC， ∵BE=AD， ∴BE+BC=AD+AB， 即 CE=BD， 在△ACE 和△CBD 中， ， ∴△ACE≌△CBD（SAS）； 应用：如图，连接 AC，易知△ABC 是等边三角形， 第 35页（共 59页） 由探究可知△ACE≌△CBD， ∴∠E=∠D， ∵∠BAE=∠DAG， ∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG， ∴∠CGE=∠ABC， ∵∠ABC=60°， ∴∠CGE=60°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，熟记性质 并确定出三角形全等的条件是解题的关键，（2）作辅助线构造出探究的条件是解题的关键． 19．（1）如图 1，点 E，F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：∠A=∠D． （2）如图 2，在边长为 1 个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上． ①sinB 的值是 ； ②画出△ABC 关于直线 l 对称的△A1B1C1（A 与 A1，B 与 B1，C 与 C1 相对应），连接 AA1，BB1，并计算 梯形 AA1B1B 的面积． 【考点】全等三角形的判定与性质；作图-轴对称变换；锐角三角函数的定义． 【专题】网格型． 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得答案； 第 36页（共 59页） （2）根据正弦函数的定义，可得答案；根据轴对称性质，可作轴对称图形，根据梯形的面积公式， 可得答案． 【解答】（1）证明：BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF． 即 BF=CE． 在△ABF 和△DCE 中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）． ∴∠A=∠D； （2）解：①∵AC=3，BC=4， ∴AB=5． sinB= ； ②如图所示： 由轴对称性质得 AA1=2，BB1=8，高是 4， ∴ = =20． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等式的性质，全等三角形的判定与性质． 20．在平面内正方形 ABCD 与正方形 CEFH 如图放置，连 DE，BH，两线交于 M．求证： （1）BH=DE． （2）BH⊥DE． 第 37页（共 59页） 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）根据正方形的性质可得 BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE， 再利用“边角边”证明△BCH 和△DCE 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠ BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可． 【解答】证明：（1）在正方形 ABCD 与正方形 CEFH 中， BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°， ∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH， 即∠BCH=∠DCE， 在△BCH 和△DCE 中， ， ∴△BCH≌△DCE（SAS）， ∴BH=DE； （2）∵△BCH≌△DCE， ∴∠CBH=∠CDE， 又∵∠CGB=∠MGD， ∴∠DMB=∠BCD=90°， ∴BH⊥DE． 第 38页（共 59页） 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记性质并确定出全等三角形是解 题的关键，也是本题的难点． 21．如图，点 D 是线段 BC 的中点，分别以点 B，C 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧相交于点 A，连 接 AB，AC，AD，点 E 为 AD 上一点，连接 BE，CE． （1）求证：BE=CE； （2）以点 E 为圆心，ED 长为半径画弧，分别交 BE，CE 于点 F，G．若 BC=4，∠EBD=30°，求图中 阴影部分（扇形）的面积． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；扇形面积的计算． 【分析】（1）由点 D 是线段 BC 的中点得到 BD=CD，再由 AB=AC=BC 可判断△ABC 为等边三角形，于 是得到 AD 为 BC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得 BE=CE； （2）由 EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB=30°，则根据三角形内角和定理计算得∠ BEC=120°，在 Rt△BDE 中，BD= BC=2，∠EBD=30°，根据含 30°的直角三角形三边的关系得到 ED= BD= ，然后根据扇形的面积公式求解． 【解答】（1）证明：∵点 D 是线段 BC 的中点， ∴BD=CD， ∵AB=AC=BC， ∴△ABC 为等边三角形， ∴AD 为 BC 的垂直平分线， ∴BE=CE； 第 39页（共 59页） （2）解：∵EB=EC， ∴∠EBC=∠ECB=30°， ∴∠BEC=120°， 在 Rt△BDE 中，BD= BC=2，∠EBD=30°， ∴ED=BD•tan30°= BD= ， ∴阴影部分（扇形）的面积= = π． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线 段和角相等的重要工具．也考查了等边三角形的判定与性质、相等垂直平分线的性质以及扇形的面 积公式． 22．如图所示，已知∠1=∠2，请你添加一个条件，证明：AB=AC． （1）你添加的条件是 ∠B=∠C ； （2）请写出证明过程． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如∠B=∠C 或∠ADB=∠ADC 等； （2）根据全等三角形的判定定理 AAS 推出△ABD≌△ACD，再根据全等三角形的性质得出即可． 【解答】解：（1）添加的条件是∠B=∠C， 第 40页（共 59页） 故答案为：∠B=∠C； （2）证明：在△ABD 和△ACD 中 ， ∴△ABD≌△ACD（AAS）， ∴AB=AC． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA， AAS，SSS，全等三角形的对应角相等，对应边相等． 23．如图，在等边△ABC 中，点 D 在直线 BC 上，连接 AD，作∠ADN=60°，直线 DN 交射线 AB 于点 E， 过点 C 作 CF∥AB 交直线 DN 于点 F． （1）当点 D 在线段 BC 上，∠NDB 为锐角时，如图①，求证：CF+BE=CD； （提示：过点 F 作 FM∥BC 交射线 AB 于点 M．） （2）当点 D 在线段 BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图②；当点 D 在线段 CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图③，请分别写出线段 CF，BE，CD 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4 ，则 BE= 8 ，CD= 4 或 8 ． 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含 30 度角的直角三角形；平行四边形的判 定与性质． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）通过△MEF≌△CDA 即可求得 ME=CD，因为通过证四边形 BCFM 是平行四边形可以得出 BM=CF，从而证得 CF+BE=CD； （2）作 FM∥BC，得出四边形 BCFM 是平行四边形，然后通过证得△MEF≌△CDA 即可求得， （3）根据△ABC 的面积可求得 AB=BC=AC=4，所以 BD=2AB=8，所以 BE=8，图②CD=4 图③CD=8， 第 41页（共 59页） 【解答】（1）证明：如图①，过点 F 作 FM∥BC 交射线 AB 于点 M， ∵CF∥AB， ∴四边形 BMFC 是平行四边形， ∴BC=MF，CF=BM， ∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC， ∴∠EMF=∠ACB，AC=MF， ∵∠ADN=60°， ∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°， ∴∠BDE=∠DAC， ∴∠MFE=∠DAC， 在△MEF 与△CDA 中， ， ∴△MEF≌△CDA（AAS）， ∴CD=ME=EB+BM， ∴CD=BE+CF． （2）如图②，CF+CD=BE，如图③，CF﹣CD=BE； （3）∵△ABC 是等边三角形，S△ABC=4 ， ∴易得 AB=BC=AC=4， 如图②， 第 42页（共 59页） ∵∠ADC=30°，∠ACB=60°， ∴CD=AC=4， ∵∠ADN=60°， ∴∠CDF=30°， 又∵CF∥AB， ∴∠BCF=∠ABC=60°， ∴∠CFD=∠CDF=30°， ∴CD=CF， 由（2）知 BE=CF+CD， ∴BE=4+4=8． 如图③， ∵∠ADC=30°，∠ABC=60°， ∴∠BAD=∠ADC=30°， ∴BD=BA=4， ∴CD=BD+BC=4+4=8， ∵∠ADN=60°，∠ADC=30°， ∴∠BDE=90°， 又∵∠DBE=∠ABC=60°， ∴∠DEB=30°， 在 Rt△BDE 中，∠DEB=30°，BD=4， ∴BE=2BD=8， 综上，BE=8，CD=4 或 8． 第 43页（共 59页） 【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，30° 角所对的直角边等于斜边的一半等． 24．如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 上的点，且 AE⊥BF，垂足为点 G． 求证：AE=BF． 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】证明题． 【分析】根据正方形的性质，可得∠ABC 与∠C 的关系，AB 与 BC 的关系，根据两直线垂直，可得∠ AGB 的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG 与∠BAG 的关系，根据同角的余角相等，可得 ∠BAG 与∠CBF 的关系，根据 ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案． 【解答】证明：∵正方形 ABCD， ∴∠ABC=∠C，AB=BC． ∵AE⊥BF， ∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°， 第 44页（共 59页） ∵∠ABG+∠CBF=90°， ∴∠BAG=∠CBF． 在△ABE 和△BCF 中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE=BF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，直角三角形的性质，余角的 性质，全等三角形的判定与性质． 25．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，在 BC 的同侧作任意 Rt△DBC，∠ BDC=90°． （1）若 CD=2BD，M 是 CD 中点（如图 1），求证：△ADB≌△AMC； 下面是小明的证明过程，请你将它补充完整： 证明：设 AB 与 CD 相交于点 O， ∵∠BDC=90°，∠BAC=90°， ∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°． ∵∠DOB=∠AOC， ∴∠DBO=∠① ∠MCA ． ∵M 是 DC 的中点， ∴CM= CD=② BD ． 又∵AB=AC， ∴△ADB≌△AMC． （2）若 CD＜BD（如图 2），在 BD 上是否存在一点 N，使得△ADN 是以 DN 为斜边的等腰直角三角形？ 若存在，请在图 2 中确定点 N 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由； （3）当 CD≠BD 时，线段 AD，BD 与 CD 满足怎样的数量关系？请直接写出． 第 45页（共 59页） 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】（1）根据直角三角形的性质和中点的性质就可以的得出结论； （2）存在．在 BD 上截取 BN=CD，由条件可以得出，△ACD≌△ABN，就有 AN=AD，∠DAC=∠NAB，得 出∠NAD=90°而得出结论； （3）当 BD＞CD 时，如图 3，在 BD 上截取 BN=CD，由条件可以得出，△ACD≌△ABN，就有 AN=AD， ∠DAC=∠NAB，得出△AND 是等腰直角三角形，就可以得出 ND= AD，就可以得出 BD﹣CD= ．当 BD＜CD 事实，如图 4，在 CD 上取一点 N，使 CN=BD，由条件可以得出，△ACN≌△ABD，就有 AN=AD， ∠DAB=∠NAC，得出△AND 是等腰直角三角形，就可以得出 ND= AD，就可以得出 CD﹣BD= ． 【解答】解：（1）由题意，得 ①根据直角三角形的性质就可以得出∴∠DBO=∠MCA（或∠ACO）； ②由等式的性质就可以得出 CM=BD； 故答案为：∠MCA，BD； （2）存在 理由：如图 3，在 BD 上截取 BN=CD， ∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AOB=∠COD， ∴∠ABN=∠ACD． 在△ACD 和△ABN 中， ， ∴△ACD≌△ABN（SAS）， ∴AN=AD，∠DAC=∠NAB． ∵∠NAB+∠NAC=90°， ∴∠DAC+∠NAC=90°， 即∠NAD=90°， ∴△NAD 为等腰直角三角形； （3）①当 CD＜BD 时， AD=BD﹣CD． 理由：如图 3，在 BD 上截取 BN=CD， ∵∠BAC=∠BDC=90°，∠AOB=∠COD， ∴∠ABN=∠ACD． 在△ACD 和△ABN 中， 第 46页（共 59页） ， ∴△ACD≌△ABN（SAS）， ∴AN=AD，∠DAC=∠NAB． ∵∠NAB+∠NAC=90°， ∴∠DAC+∠NAC=90°， 即∠NAD=90°， ∴△NAD 为等腰直角三角形； ∴ND= AD． ∵ND=BD﹣BN， ∴ND=BD﹣CD， ∴ AD=BD﹣CD ②当 CD＞BD 时， AD=CD﹣BD； 理由：如图 4，在 CD 上取一点 N，使 CN=BD， ∵∠BAC=∠BDC=90°，∠DOB=∠COA， ∴∠ABD=∠ACD． 在△ACN 和△ABD 中， ， ∴△ACN≌△ABD（SAS）， ∴AN=AD，∠DAB=∠NAC． ∵∠NAB+∠NAC=90°， ∴∠DAB+∠NAC=90°， 即∠NAD=90°， ∴△NAD 为等腰直角三角形， ∴DN= AD． ∵DN=CD﹣CN， ∴DN=CD﹣BD， ∴ AD=CD﹣BD． 第 47页（共 59页） 【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，直角 三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键． 26．如图，四边形 ABCD 是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF 与 BC 交于点 G． （1）求证：AE=CF； （2）若∠ABE=55°，求∠EGC 的大小． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）利用△AEB≌△CFB 来求证 AE=CF． （2）利用角的关系求出∠BEF 和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF 求得结果． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC， ∵BE⊥BF， ∴∠FBE=90°， 第 48页（共 59页） ∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°， ∴∠ABE=∠CBF， 在△AEB 和△CFB 中， ∴△AEB≌△CFB（SAS）， ∴AE=CF． （2）解：∵BE⊥BF， ∴∠FBE=90°， 又∵BE=BF， ∴∠BEF=∠EFB=45°， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC=90°， 又∵∠ABE=55°， ∴∠EBG=90°﹣55°=35°， ∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°． 【点评】本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的关键是求得△AEB ≌△CFB，找出相等的线段． 27．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是 D，AE 平分∠BAD，交 BC 于点 E．在△ ABC 外有一点 F，使 FA⊥AE，FC⊥BC． （1）求证：BE=CF； （2）在 AB 上取一点 M，使 BM=2DE，连接 MC，交 AD 于点 N，连接 ME． 第 49页（共 59页） 求证：①ME⊥BC；②DE=DN． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形． 【专题】证明题；几何综合题． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，从而得到∠B= ∠ACF，根据同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角边角”证明△ABE 和△ACF 全等，根据 全等三角形对应边相等证明即可； （2）①过点 E 作 EH⊥AB 于 H，求出△BEH 是等腰直角三角形，然后求出 HE=BH，再根据角平分线上 的点到角的两边距离相等可得 DE=HE，然后求出 HE=HM，从而得到△HEM 是等腰直角三角形，再根据 等腰直角三角形的性质求解即可； ②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根据等角对等边可得 AC=CE，再利用“HL”证明 Rt△ACM 和 Rt△ECM 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，从而求出∠DAE=∠ECM，根据等腰直角 三角形的性质可得 AD=CD，再利用“角边角”证明△ADE 和△CDN 全等，根据全等三角形对应边相等 证明即可． 【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°， ∵FC⊥BC， ∴∠BCF=90°， ∴∠ACF=90°﹣45°=45°， ∴∠B=∠ACF， ∵∠BAC=90°，FA⊥AE， ∴∠BAE+∠CAE=90°， ∠CAF+∠CAE=90°， ∴∠BAE=∠CAF， 在△ABE 和△ACF 中， 第 50页（共 59页） ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴BE=CF； （2）①如图，过点 E 作 EH⊥AB 于 H，则△BEH 是等腰直角三角形， ∴HE=BH，∠BEH=45°， ∵AE 平分∠BAD，AD⊥BC， ∴DE=HE， ∴DE=BH=HE， ∵BM=2DE， ∴HE=HM， ∴△HEM 是等腰直角三角形， ∴∠MEH=45°， ∴∠BEM=45°+45°=90°， ∴ME⊥BC； ②由题意得，∠CAE=45°+ ×45°=67.5°， ∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°， ∴∠CAE=∠CEA=67.5°， ∴AC=CE， 在 Rt△ACM 和 Rt△ECM 中 ， ， ∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL）， ∴∠ACM=∠ECM= ×45°=22.5°， 又∵∠DAE= ×45°=22.5°， ∴∠DAE=∠ECM， ∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC， 第 51页（共 59页） ∴AD=CD= BC， 在△ADE 和△CDN 中， ， ∴△ADE≌△CDN（ASA）， ∴DE=DN． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到 角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键， 难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角． 28．【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判 定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进 行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探 究． 第 52页（共 59页） 【深入探究】 第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC≌△DEF． （1）如图①，在△ABC 和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 HL ，可以知道 Rt△ABC ≌Rt△DEF． 第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC≌△DEF． （2）如图②，在△ABC 和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E 都是钝角，求证：△ABC≌ △DEF． 第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等． （3）在△ABC 和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出 △DEF，使△DEF 和△ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹） （4）∠B 还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC 和△DEF 中，AC=DF， BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E 都是锐角，若 ∠B≥∠A ，则△ABC≌△DEF． 【考点】三角形综合题． 【分析】（1）直接利用 HL 定理得出 Rt△ABC≌Rt△DEF； （2）首先得出△CBG≌△FEH（AAS），则 CG=FH，进而得出 Rt△ACG≌Rt△DFH，再求出△ABC≌△DEF； （3）利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案； （4）利用（3）中方法可得出当∠B≥∠A 时，则△ABC≌△DEF． 【解答】（1）解：如图①， ∵∠B=∠E=90°， ∴在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， 故答案为：HL； （2）证明：如图②，过点 C 作 CG⊥AB 交 AB 的延长线于 G，过点 F 作 FH⊥DE 交 DE 的延长线于 H， ∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF 都是钝角， ∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF， 即∠CBG=∠FEH， 在△CBG 和△FEH 中， 第 53页（共 59页） ， ∴△CBG≌△FEH（AAS）， ∴CG=FH， 在 Rt△ACG 和 Rt△DFH 中， ， ∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL）， ∴∠A=∠D， 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）； （3）解：如图③中，在△ABC 和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E， △DEF 和△ABC 不全等； （4）解：由图③可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD， ∴∠A＞∠B， ∴当∠B≥∠A 时，△ABC 就唯一确定了， 则△ABC≌△DEF． 故答案为：∠B≥∠A． 第 54页（共 59页） 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法 是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细． 29．问题背景： 如图 1：在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F 分别是 BC，CD 上的点．且 ∠EAF=60°．探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G．使 DG=BE．连结 AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明 △AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF=BE+DF ； 探索延伸： 如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F 分别是 BC，CD 上的点，且∠EAF= ∠ BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用： 如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30°的 A 处，舰艇乙在指挥中心南 偏东 70°的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 50°的方向以 80 海里/小时的速度前进.1.5 小时后，指挥 中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F 处，且两舰艇之间的夹角为 70°，试求此时两舰艇之间的 距离． 【考点】三角形综合题． 【分析】问题背景：延长 FD 到点 G．使 DG=BE．连结 AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得 AE=AG，再 证明△AEF≌△AGF，可得 EF=FG，即可解题； 探索延伸：延长 FD 到点 G．使 DG=BE．连结 AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得 AE=AG，再证明△AEF ≌△AGF，可得 EF=FG，即可解题； 实际应用：连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 C，然后与（2）同理可证． 【解答】解：问题背景：EF=BE+DF，证明如下： 第 55页（共 59页） 在△ABE 和△ADG 中， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF= ∠BAD， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF， ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF 和△GAF 中， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF； 故答案为 EF=BE+DF． 探索延伸：结论 EF=BE+DF 仍然成立； 理由：延长 FD 到点 G．使 DG=BE．连结 AG，如图②， 在△ABE 和△ADG 中， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF= ∠BAD， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF， ∴∠EAF=∠GAF， 第 56页（共 59页） 在△AEF 和△GAF 中， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF； 实际应用：如图 3， 连接 EF，延长 AE、BF 相交于点 C， ∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°， ∴∠EOF= ∠AOB， 又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论 EF=AE+BF 成立， 即 EF=1.5×（60+80）=210 海里． 答：此时两舰艇之间的距离是 210 海里． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，实 际问题的转化，本题中求证△AEF≌△AGF 是解题的关键． 30．（2014•张家界）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，AC 与 BD 相交于 O 点，OC=OA，若 E 是 CD 上任意一点，连接 BE 交 AC 于点 F，连接 DF． （1）证明：△CBF≌△CDF； （2）若 AC=2 ，BD=2，求四边形 ABCD 的周长； （3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明． 第 57页（共 59页） 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质． 【专题】几何综合题；开放型． 【分析】（1）首先利用 SSS 定理证明△ABC≌△ADC 可得∠BCA=∠DCA 即可证明△CBF≌△CDF． （2）由△ABC≌△ADC 可知，△ABC 与△ADC 是轴对称图形，得出 OB=OD，∠COB=∠COD=90°，因为 OC=OA，所以 AC 与 BD 互相垂直平分，即可证得四边形 ABCD 是菱形，然后根据勾股定理全等 AB 长， 进而求得四边形的面积． （3）首先证明△BCF≌△DCF 可得∠CBF=∠CDF，再根据 BE⊥CD 可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到 ∠EFD=∠BCD=∠BAD． 【解答】（1）证明：在△ABC 和△ADC 中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BCA=∠DCA， 在△CBF 和△CDF 中， ， ∴△CBF≌△CDF（SAS）， （2）解：∵△ABC≌△ADC， ∴△ABC 和△ADC 是轴对称图形， ∴OB=OD，BD⊥AC， ∵OA=OC， ∴四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=DA， ∵AC=2 ，BD=2， 第 58页（共 59页） ∴OA= ，OB=1， ∴AB= = =2， ∴四边形 ABCD 的周长=4AB=4×2=8． （3）当 EB⊥CD 时，即 E 为过 B 且和 CD 垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD， 理由：∵四边形 ABCD 为菱形， ∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD， ∵△BCF≌△DCF， ∴∠CBF=∠CDF， ∵BE⊥CD， ∴∠BEC=∠DEF=90°， ∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°， ∴∠EFD=∠BAD． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是 结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 第 59页（共 59页）