【精品】人教版 八年级下册数学 18正方形的判定

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第十八章 平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 八年级数学下（RJ） 教学课件 18.2.3 正方形 第2课时 正方形的判定 学习目标 1．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点) 2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 . (难点) 问题1 什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B CD 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平 行四边形. 正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分. O 导入新课 复习引入 问题2 你是如何判断是矩形、菱形？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 四个判定定理 定义 对角线相等定 义 对 角 线 垂 直 思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？ 讲授新课 正方形的判定 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展 开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方 形 一组邻边相等 对角线互相垂直 已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形. 证一证 A B CD O 对角线互相垂直的矩形是正方形. 活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观 察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 正方形 菱形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方 形 一个角是直角 对角线相等 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 证一证 A B CD O 对角线相等的菱形是正方形. 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角， 一组邻边相等， 总结归纳 对角线相等 对角线垂直 平行四 边形 正方形一组邻边相等 一内角是直角 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判 定这个四边形是正方形的是（ ） A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC 练一练 C A B CD O 例1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边 上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗? 为什么? 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AE=BF=CM=DN， ∴AN=BE=CF=DM. 分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌ △CMF≌△DNM，得四边形EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可. 典例精析 在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中， AE=BF=CM=DN, ∠A=∠B=∠C=∠D, AN=BE=CF=DM, ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, ∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF, ∴四边形EFMN是菱形， ∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°. ∴四边形EFMN是正方形 .  证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ， ∴∠DEC= ∠DFC=90°. 又∵ ∠C=90 °， ∴四边形EDFC是矩形. 过点D作DG⊥AB，垂足为G. ∵AD是∠CAB的平分线， DE⊥AC，DG⊥AB， ∴ DE=DG. 同理得DG=DF， ∴ED=DF， ∴四边形EDFC是正方形. 例2 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B 的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形 CEDF为正方形. A B C D E F G 例3 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O, 且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形. 证明：∵四边形ABCD为正方形, ∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°, ∠BOC=90°=∠COH+∠BOH. ∵EG⊥FH, ∴∠BOE+∠BOH=90°, ∴∠COH=∠BOE, ∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH. 同理可证：OE=OF=OG, B A C D OE H G F ∴OE=OF=OG=OH. 又∵EG⊥FH, ∴四边形EFGH为菱形. ∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF, ∴四边形EFGH为正方形. B A C B OE H G F 例4 如图，正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC， 垂足为A，AF=AE． （1）求证：BF=DE； （2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)， 问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由． （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°， ∴∠BAF=∠EAD， 在△ADE和△ABF中， AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF , ∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE. （2）解：当点E运动到AC的中点时，四边形 AFBE是正方形， 理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC， ∴BE⊥AC，BE=AE= AC， ∵AF=AE， ∴BE=AF=AE. 又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°， ∴BE∥AF， ∵BE=AF， ∴四边形AFBE是平行四边形， ∵∠FAE=90°，AF=AE， ∴四边形AFBE是正方形． 1 2 思考 前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形 各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形各 边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能 得到怎样的特殊平行四边形？ A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形任意四边形 平行四边形 菱形 正方形E F G H E F G H E F G H 当堂练习 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 D 2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列 结论中不正确的是（　　） A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 D 3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA =90°，请添加一个条件____________________， 可得出该四边形是正方形． AB=BC(答案不唯一) A B CD O 4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC， ②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中， 选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形， 其中错误的是_________________（只填写序号）．②③或①④ 5.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分 ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂 足分别为M、N. (1) 求证：ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形. C A B DP M N 证明：（1）∵BD平分∠ABC. ∴∠1=∠2. 又∵AB = BC, ∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB=∠CDB. 12 C A B DP M N （2）∵PM⊥AD,PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°. 又∵∠ADC=90°， ∴四边形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=∠CDB=45°. ∴∠MPD=∠NPD=45°. ∴DM=PM,DN=PN. ∴四边形NPMD是正方形. 6.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC， DF∥AB． （1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由； （2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形 AEDF为菱形，为什么？ 解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF为平行四边形. （2）∵四边形AEDF为菱形， ∴AD平分∠BAC， ∴当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形. （3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时， 四边形AEDF为正方形，不说明理由． 解：由四边形AEDF为正方形， ∴∠BAC=90°， ∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可． 课堂小结 5种判 定方法 三个角是直角 四条边相等 一 个 角 是 直 角 或 对 角 线 相 等一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结