数学冀教版八年级上册教案15-4二次根式的混合运算

数学冀教版八年级上册教案15-4二次根式的混合运算

- 1 - 15.4 二次根式的混合运算 教学目标 【知识与能力】 1.理解和掌握二次根式的混合运算的运算顺序. 2.会运用乘法公式进行二次根式的乘法运算. 【过程与方法】 1.通过二次根式的混合运算,培养学生的运算能力和探索精神. 2.培养学生积极的学习态度,克服困难的精神. 【情感态度价值观】 经历观察、比较等过程,让学生感受到数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的乐趣,并 提高应用意识. 教学重难点 【教学重点】 二次根式的混合运算的计算. 【教学难点】 能正确地进行二次根式的混合运算. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 导入一: 问题 1:二次根式有哪些性质和公式? 性质:(1)a≥0 时, 2 =a;(2)( )2=a(a≥0);(3) = · (a≥0,b≥0);(4) = 或 ÷ = ÷ (a≥0,b>0). 公式:(1) · = (a≥0,b≥0);(2) = (或 ÷ = ÷ )(a≥0,b>0). 问题 2:已学过的整式的乘法公式和法则有哪些? 在整式乘法中,单项式与多项式相乘的法则是什么?多项式与多项式的乘法法则是什么?什么 是完全平方式?分别用式子表示出来. 答:单项式与多项式相乘的法则是,用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.用式 子表示为 m(a+b+c)=ma+mb+mc. 多项式与多项式相乘的法则是先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得 的积相加.用式子表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,其中 a,b,m,n 都是单项式. 完全平方式:(a±b)2=a2±2ab+b2;平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2. 在实数范围内,整式中的乘法法则及乘法公式仍然适用,运用乘法法则及乘法公式可以进行 二次根式的混合运算. 问题 3:怎样化简二次根式? - 2 - 【课件 1】 化简下列二次根式. 12 ,3 1 3 , 1 1 3 , 48 , 27 . 学生独立完成,指名板演. [设计意图] 进一步梳理和巩固已学过的知识,纵览公式之间的区别与联系,为学习新知识 做好铺垫,同时体验公式与性质的准确应用. 导入二: 一个正方形的边长是 3 ,现将它的一边长增加 2 ,另一边长减少 2 ,你能计算出变化之后的 图形的面积吗?变化之后的图形的面积和原来正方形的面积相差多少? 引导学生分析: (1)变化后的图形的长为 3 + 2 ,宽为 3 - 2 ,面积为( 3 + 2 )( 3 - 2 ); (2)变化之后图形的面积和原来正方形的面积相差:( 3 + 2 )( 3 - 2 )-( 3 )2. 说明:怎样计算上面的两个算式呢?板书课题:15.4 二次根式的混合运算. [设计意图] 情境导入,抽象出二次根式的混合运算,从而引入到本节课所要学习的内容,为 学生学习二次根式的混合运算做好铺垫. 二、新知构建： [过渡语] 在含有二次根式的加、减、乘、除运算的式子中,我们可以按一定的顺序进行 计算,并将计算结果化为最简二次根式. 与数、整式和分式的混合运算一样,二次根式的混合运算,也应先算乘除,后算加减,有括号时, 先算括号内的. 活动一:大家谈谈——感知方法 【课件 2】 (教材第 101 页大家谈谈)计算下列各式. (1) 3 × ( 6 + 10 ); (2)(6 2 +3 18 ) ÷ 2 ; (3)( 3 -2)( 3 +2); (4)( 6 - 3 )( 6 + 3 ). 观察各算式的特点,说一说你在运算过程中,用到了哪些运算律和乘法公式. 分析:第(1)题可直接运用乘法分配律进行计算;第(2)题用括号内的每一项分别除以 2 ;(3) 和(4)利用平方差公式直接计算. 学生在练习本上完成. 解:(1) 3 × ( 6 + 10 )= 3 × 6 + 3 × 10 = 18 + 30 =3 2 + 30 . (2)(6 2 +3 18 ) ÷ 2 =6 2 ÷ 2 +3 18 ÷ 2 =6+9=15. (3)( 3 -2)( 3 +2)=( 3 )2-22=3-4=-1. (4)( 6 - 3 )( 6 + 3 )=( 6 )2-( 3 )2=6-3=3. 教师强调:计算的结果要化为最简二次根式,对于(2)你还有其他方法吗?鼓励学生可以将 3 18 化成最简二次根式,再求值. [设计意图] 通过计算让学生认识到二次根式的一些计算与整式的一些运算类似,也可以利 用整式的乘法公式进行计算,从而让学生领悟二次根式的乘除法的计算方法. 活动二:例题讲解 【课件 2】 计算下列各式. (1) 2 × ( 8 - 10 ); (2)( 24 + 50 ) ÷ 2 . 〔解析〕 (1)把乘法运算的结果化成最简二次根式,再进行加减运算;(2)不是最简二次根式 的可以先化简,再进行计算. 学生独立思考后完成,教师指两名学生板演,全班讲评. - 3 - 解:(1)思路一: 2 × ( 8 - 10 )= 16 - 20 =4-2 5 . 思路二: 2 × ( 8 - 10 )= 2 × (2 2 - 2 × 5 )=4-2 5 . (2)思路一:( 24 + 50 ) ÷ 2 = 24 ÷ 2 + 50 ÷ 2 = 12 + 25 =2 3 +5. 思路二:( 24 + 50 ) ÷ 2 =(2 6 +5 2 ) ÷ 2 =2 6 ÷ 2 +5 2 ÷ 2 =2 3 +5. 说明:教师要鼓励学生采用不同的方法进行计算,提倡方法的多样化. [过渡语] 在二次根式的运算中,有的时候还要用到我们学过的整式乘法公式. 【课件 3】 计算下列各式. (1)( 5 + 2 )( 5 - 2 ); (2)( 3 +1)2. 想一想:(1)( )2(a≥0)的值是多少? (2)本题中的(1)(2)怎样计算比较简便? 分析:可以利用平方差公式和完全平方公式进行计算. 解:(1)原式=( 5 )2-( 2 )2=5-2=3. (2)原式=( 3 )2+2 × 3 × 1+12=3+2 3 +1=4+2 3 . 注意:在计算过程中,有同类项或被开方数相同的最简二次根式要进行合并.乘法公式在实数 范围内也是成立的. 【课件 4】 (教材第 102 页做一做)计算下列各式. (1) 5 × (2 5 -3 15 ); (2)( 7 -1)2; (3)( 3 - 2 )( 12 + 8 ). 学生独立完成,指三名同学板演过程,然后教师集体讲评. 解:(1) 5 × (2 5 -3 15 )= 5 × 2 5 - 5 × 3 15 =10-15 3 . (2)( 7 -1)2=( 7 )2-2 × 7 × 1+12=7-2 7 +1=8-2 7 . (3)( 3 - 2 )( 12 + 8 )= 3 × 12 + 3 × 8 - 2 × 12 - 2 × 8 =6+2 6 -2 6 -4=2. 【课件 5】 计算下列各式. (1) 1 2 - 1 ; (2)(5+ 3 )( 3 -3). 引导学生思考:(1)中怎样能把其分母有理化? (2)应采用哪种方法计算. 学生思考后得出(1)中分子、分母同时乘( 2 +1);(2)利用多项式乘多项式的法则进行计算. 教师巡视指导后展示答案,分析过程. 解:(1) 1 2 - 1 = 2+1 ( 2 - 1 )( 2+1 ) = 2+1 2 - 1 = 2 +1. (2)(5+ 3 )( 3 -3)=5 3 -15+( 3 )2-3 3 =2 3 -12. [知识拓展] 二次根式的混合运算实质上就是有理数的混合运算与无理数的混合运算,是对 前面学过的二次根式的乘除法和加减法的运算法则的综合应用.在进行二次根式的运算时, 能用乘法公式的要尽量使用乘法公式,这样可以使计算过程大大简化. [设计意图] 进一步体会整式的乘法法则和公式对二次根式的一些计算同样适用,提高学生 的分析能力和对知识的整合能力. 三、课堂小结： 1.在实数范围内,乘法分配律、乘法法则及乘法公式仍然成立,在二次根式的混合运算中均可 运用. 2.在进行二次根式的加减乘除混合运算时,先运用乘法法则进行二次根式的乘法运算,再进 行二次根式的加减运算.在进行二次根式的和与差的乘法运算时,可以直接运用公式进行计 - 4 - 算. 3.在进行二次根式的混合运算时,先进行乘法运算,再进行加减运算,有括号时,先算括号里 面的. 4.一般地,二次根式运算结果中的二次根式应化为最简二次根式.