人教版八年级数学上册第十三章13.3等腰三角形

人教版八年级数学上册第十三章13.3等腰三角形

第十三章 轴对称 13.3等腰三角形 第4课时 1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的 证明和计算．（难点） 学习目标 导入新课 问题引入 问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起， 你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之 间的数量关系吗？ 分离 拼接 A CB 问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折， 如图所示，你有什么发现？ 讲授新课 u性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 它所对的直角边等于斜边的一半. A B C D 如图，△ADC是△ABC的轴对称图形， 因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°， 从而△ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD, 可得BC=CD= AB.1 2 你还能用其他方 法证明吗？ 含30°角的直角三角形的性质 证法1 证明：在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°． 延长BC 到D，使BD =AB，连接AD， 则△ABD 是等边三角形． 又∵AC⊥BD, A B C D 证明方法： 倍长法 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB．2 1 ∴BC = BD．　　 1 2 ∴BC = AB．　　 1 2 E A B C 证明2： 在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形， ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC. ∵ ∠A= 30°， ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°. ∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC. ∴　BC = AB．　　 1 2 证明方法： 截半法 知识要点 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半. u应用格式： ∵　在Rt△ABC 中， 　　∠C =90°，∠A =30°，　　 A B C ∴　BC = AB．　　 1 2 √ 判断下列说法是否正确： 1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边 的一半． 2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。 3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。 4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍． 例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　) A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 典例精析 注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要 分清线段所在的直角三角形． D 解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝ 90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm， 在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D. 例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于 C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　) A．3 B．2 C.1.5 D．1 解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝ ∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝ ∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP， PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C. E C 方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂 直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构 造含30°角的直角三角形． 例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC 的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平 分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由． 解： 1 . 2 CD DB 理由如下：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE. 又∵DE＝DE， ∴△AED≌△BED(ASA)， 在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°， ∴AD＝BD，∠DAE＝∠B. ∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，1 2 ∴∠BAD＝∠CAD＝∠B. ∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°， ∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°. ∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB. 1 2 1 2 1 2 方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线 段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探 究线段倍分关系的结论时，要联想此性质． 想一想：　图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？ 它们所对的锐角分别是多少度？ 例4　如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的 中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm， ∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？ A B C D E A B C D E 解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °， ∴BC= AB, DE= AD.1 2 1 2 ∴BC= AB= ×7.4=3.7(m).1 2 1 2 又AD= AB,1 2 ∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m).1 2 1 2 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m. 例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上 的高. A CB D 15 ° 15 ° 20 解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D. ∵∠B=∠ACB=15° (已知), ∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°， ) ) 1 2 1 2∴CD= AC= ×20=10. 方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构 造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作 高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30° 角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题. 当堂练习 1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下 部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( ) A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种 植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售 价a元，则购买这种草皮至少需要( ) A．300a元 B．150a元 C．450a元 D．225a元 B B 4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC = .5 5.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=___. AC B 8 3.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°， AB =4．则BD = . A B C D 1 第3题图 第5题图 6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的 垂直平分线，BE=5，则求AC的长． 解：连接AE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴BE=AE， ∴∠EAB=∠B=15°， ∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°． ∵∠C=90°， ∴AC= AE= BE=2.5．1 2 1 2 7.在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是 BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA. 证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°. ∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC ∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°. ∴AB=2AD. ∵DE⊥AB，∴∠AED=90°， ∴∠ADE=30°，∴AD=2AE. ∴AB=4AE，∴BE=3AE. 8.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为 BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P， BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ. 拓展提升 ∴△ADC≌△BEA. 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°， ∵CD=AE， ∴∠CAD=∠ABE. ∵∠BAP+∠CAD=60°， ∴∠ABE+∠BAP=60°. ∴∠BPQ=60°. 又∵ BQ⊥AD， ∴BP=2PQ. ∴∠PBQ=30°， ∴∠BQP=90°， 课堂小结 内 容 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半 使 用 要 点 含30° 角 的 直 角 三 角 形 的 性 质 找准30 °的角所对的直角边，点明斜边 注 意 前提条件：直角三角形中