人教版八年级数学上册第十一章11.2与三角形有关的角

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人教版八年级数学上册第十一章11.2与三角形有关的角

第十一章 三角形 11.2与三角形有关的 角 第1课时 学习目标 2.会运用三角形内角和定理进行计算.(难点) 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内 角和等于180°.(重点) 我的形状最 小,那我的 内角和最小. 我的形状最 大,那我的 内角和最大. 不对,我有一 个钝角,所以 我的内角和才 是最大的. 一天,三类三角形通过对自身的特点,讲出了自己对三角 形内角和的理解,请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 导入新课 情境引入 我们在小学已经知道,任意一个三角形的内角和等于180°.与 三角形的形状、大小无关,所以它们的说法都是错误的. 思考:除了度量以外,你还有什么办法可以验证三角形的内角 和为180°呢? 折叠 还可以用拼接的 方法,你知道怎 样操作吗? 锐角三角形 测量 480 720 600 600+480+720=1800 (学生运用学科工具—量角器测量演示) 剪拼 A B C 2 1 (小组合作,讨论剪拼方法。各小组代表板演剪拼过程) 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠,还需要通过数学知识来说明.从上面 的操作过程,你能发现证明的思路吗? 还有其他的拼 接方法吗? 讲授新课 探究:在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下拼合在 一起. 三角形的内角和定理的证明 l 验证结论 三角形三个内角的和等于180°. 求证:∠A+∠B+∠C=180°. 已知:△ABC. 证法1:过点A作l∥BC, ∴∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°, ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 证法2:延长BC到D,过点C 作CE∥BA, ∴ ∠A=∠1 . (两直线平行,内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行,同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°, ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. CB A E D 1 2 CB A E D F 证法3:过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC. (两直线平行,同位角相等) ∠A+∠AED=180°, ∠AED+∠EDF=180°, (两直线平行,同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°, ∴∠A+∠B+∠C=180°. 想一想:同学们还有其他的方法吗? 思考:多种方法证明三角形内角和等于180°的核心 是什么? 借助平行线的“移角”的功能,将三 个角转化成一个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 34 5 l P 6 m A B C D E C 24 A B 3E Q D F P G H 1 B G C 24 A 3E DF H 1 试一试:同学们按照上图中的辅助线,给出证明步骤? 知识要点 在这里,为了证明的需要,在原来的图形上添画的线 叫做辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线. u思路总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平 角或同旁内角互补等,这种转化思想是数学中的 常用方法. u作辅助线 例1 如图,在△ABC中, ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD 是△ABC的角平分线,求∠ADB的度数. A B C D 解:由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线,得 ∠BAD= ∠BAC=20 °.1 2 在△ABD中, ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20°=85°. 三角形的内角和定理的运用 【变式题】如图,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC, ∠A=50°,∠B=70°,求∠EDC,∠BDC的度数. 解:∵∠A=50°,∠B=70°, ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=60°. ∵CD是∠ACB的平分线, ∴∠BCD= ∠ACB=30°. ∵DE∥BC, ∴∠EDC=∠BCD=30°, 在△BDC中,∠BDC=180°-∠B-∠BCD=80°. 1 2 例2 如图,△ABC中,D在BC的延长线上,过D作 DE⊥AB于E,交AC于F.已知∠A=30°,∠FCD= 80°,求∠D. 解:∵DE⊥AB,∴∠FEA=90°. ∵在△AEF中,∠FEA=90°,∠A=30°, ∴∠AFE=180°-∠FEA-∠A=60°. 又∵∠CFD=∠AFE, ∴∠CFD=60°. ∴在△CDF中,∠CFD=60°,∠FCD=80°, ∠D=180°-∠CFD-∠FCD=40°. 基本图形 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 总结归纳 4 例3 在△ABC 中, ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍, ∠C 比∠B 大15°,求∠A,∠B,∠C的度数. 解: 设∠B为x°,则∠A为(3x)°, ∠C为(x + 15)°, 从而有 3x + x +(x + 15)= 180. 解得 x = 33. 所以 3x = 99 , x + 15 = 48. 答: ∠A, ∠B, ∠C的度数分别为99°, 33°, 48°. 几何问题借助方程 来解. 这是一个重要 的数学思想. 【变式题】在△ABC中,∠A= ∠B= ∠ACB, CD是△ABC的高,CE是∠ACB的平分线,求∠DCE 的度数. 1 2 1 3 解析:根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB,利 用三角形的内角和求出∠A,再求出∠ACB,∠ACD, 最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE 的度数. 比例关系可 考虑用方程 思想求角度. 解:∵∠A= ∠B= ∠ACB, 设∠A=x,∴∠B=2x,∠ACB=3x. ∵∠A+∠B+∠ACB=180°, ∴x+2x+3x=180°,得x=30°, ∴∠A=30°,∠ACB=90°. ∵CD是△ABC的高,∴∠ADC=90°, ∴∠ACD=180°-90°-30°=60°. ∵CE是∠ACB的平分线, ∴∠ACE= ×90°=45°, ∴∠DCE=∠ACD-∠ACE=60°-45°=15°. 1 2 1 3 1 2 ②在△ABC中,∠A :∠B:∠C=1:2:3,则△ABC是 _________三角形 . 练一练: ①在△ABC中,∠A=35°,∠ B=43 °,则∠ C= . ③在△ABC中, ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则 ∠A= , ∠ B= ,∠ C= . 102° 直角 60° 50° 70° 北 .A D 北 .C B . 东 E 例4 如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏 东80 °方向,C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛 的视角∠ABC是多少度?从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是 多少度? 三角形的内角和定理也常常用在实际问题中. 解: ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°. 由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °. 所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°, ∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC中, ∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB =180°-60°-30° =90°, 答:从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的 视角∠ACB是90°. 北 .A D 北 .C B. 东 E 【变式题】如图,B岛在A岛的南偏西40°方向,C岛在A岛的 南偏东15°方向,C岛在B岛的北偏东80°方向,求从C岛看A, B两岛的视角∠ACB的度数. 解:如图, 由题意得BE∥AD,∠BAD=40°, ∠CAD=15°,∠EBC=80°, ∴∠EBA=∠BAD=40°, ∠BAC=40°+15°=55°, ∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°, ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC =180°-55°-40°=85°. D E 当堂练习 1.求出下列各图中的x值. x=70 x=60 x=30 x=50 2.如图,则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ . BA C D 4 1 32 E 40°( 280 ° 3.如图,四边形ABCD中,点E在BC上,∠A+∠ADE=180°, ∠B=78°,∠C=60°,求∠EDC的度数. 解:∵∠A+∠ADE=180°, ∴AB∥DE, ∴∠CED=∠B=78°. 又∵∠C=60°, ∴∠EDC=180°-(∠CED+∠C) =180°-(78°+60°) =42°. 4.如图,在△ABC中,∠B=42°,∠C=78°,AD 平分∠BAC.求∠ADC的度数. 解:∵∠B=42°,∠C=78°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°. ∵AD平分∠BAC, ∴∠CAD= ∠BAC=30°, ∴∠ADC=180°-∠B-∠CAD=72°. 1 2 5.如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分 ∠ACB,若∠BAC=60°,求∠BPC的度数. 解:∵△ABC中,∠A=60°, ∴∠ABC+∠ACB=120°. ∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, ∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)=60°. ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°, ∴∠BPC=180°-60°=120°. 1 2 拓 展 【变式题】你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗? 解:∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, ∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)=60°. ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°, ∴∠BPC=180°- (∠ABC+∠ACB) =180°- (180°-∠A)=90°+ ∠A . 1 2 1 2 1 2 1 2 课堂小结 三 角 形 的 内角和定理 证 明 了解添加辅助线 的方法及其目的 内 容 三角形内角和等于180 °
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