- 2021-10-27 发布 |
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文档介绍
人教版数学八年级上册《最短路径问题》随堂测试
13.4 最短路径问题 基础巩固 1.有两棵树位置如图,树脚分别为 A,B.地上有一只昆虫沿 A—B 的路径在地面上爬行.小 树顶 D 处一只小鸟想飞下来抓住小虫后,再飞到大树的树顶 C 处,问小鸟飞至 AB 之间何处 时,飞行距离最短,在图中画出该点的位置. 2.已知,如图所示,甲、乙、丙三个人做传球游戏,游戏规则如下:甲将球传给乙,乙将 球立刻传给丙,然后丙又立刻将球传给甲.若甲站在∠AOB 内的 P 点,乙站在 OA 上,丙站 在 OB 上,并且甲、乙、丙三人的传球速度相同.问乙和丙必须站在何处,才能使球从甲到 乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少? 3.如图所示,P,Q 为△ABC 边上的两个定点,在 BC 上求作一点 R,使△PQR 的周长最小. 4.七年级(1)班同学做游戏,在活动区域边 OP 放了一些球(如图),则小明按怎样的路线跑, 去捡哪个位置的球,才能最快拿到球跑到目的地 A? 能力提升 5.公园内两条小河 MO,NO 在 O 处汇合,两河形成的半岛上有一处景点 P(如图所示).现计 划在两条小河上各建一座小桥 Q 和 R,并在半岛上修三段小路,连通两座小桥与景点,这两 座小桥应建在何处才能使修路费用最少?请说明理由. 6.如图,牧童在 A 处放牛,其家在 B 处,A,B 到河岸 CD 的距离分别为 AC,BD,且 AC=BD, 若 A 到河岸 CD 的中点的距离为 500 m. (1)牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走路程最短?在图中作出 该处,并说明理由; (2)最短路程是多少? 参考答案 1.解:如图,作 D 关于 AB 的对称点 D′,连接 CD′交 AB 于点 E,则点 E 就是所求的点. 2.解:如图所示,(1)分别作点 P 关于 OA,OB 的对称点 P1,P2; (2)连接 P1P2,与 OA,OB 分别相交于点 M,N. 因为乙站在 OA 上,丙站在 OB 上,所以乙必须站在 OA 上的 M 处,丙必须站在 OB 上的 N 处才 能使传球所用时间最少. 3.解:(1)作点 P 关于 BC 所在直线的对称点 P′; (2)连接 P′Q,交 BC 于点 R,则点 R 就是所求作的点(如图所示). 4.解:如图,作小明关于活动区域边线 OP 的对称点 A′,连接 AA′交 OP 于点 B, 则小明 行走的路线是小明→B→A,即在 B 处捡球,才能最快拿到球跑到目的地 A. 5.解:如图,作 P 关于 OM 的对称点 P′,作 P 关于 ON 的对称点 P″,连接 P′P″,分别 交 MO,NO 于 Q,R,连接 PQ,PR,则 P′Q=PQ,PR=P″R,则 Q,R 就是小桥所在的位置. 理由:在 OM 上任取一个异于 Q 的点 Q′,在 ON 上任取一个异于 R 的点 R′,连接 PQ′,P′Q′, Q′R′,P″R′,PR′,则 PQ′=P′Q′,PR′=P″R′,且 P′Q′+Q′R′+R′P″>P′Q +QR+RP″,所以△PQR 的周长最小,故 Q,R 就是我们所求的小桥的位置. 6.解:(1)作法:如图作点 A 关于 CD 的对称点 A′; 连接 A′B 交 CD 于点 M.则点 M 即为所求的点. 证明:在 CD上任取一点 M′,连接 AM′,A′M′,BM′,AM, 因为直线 CD 是 A,A′的对称轴,M,M′在 CD 上,所以 AM=A′M,AM′=A′M′, 所以 AM+BM=A′M+BM=A′B, 在△A′M′B 中,因为 A′M′+BM′>A′B, 所以 AM′+BM′=A′M′+BM′>AM+BM,即 AM+BM 最小. (2)由(1)可得 A′C=AC=BD, 所以△A′CM≌△BDM, 即 A′M=BM,CM=DM, 所以 M 为 CD 的中点,且 A′B=2AM, 因为 AM=500 m, 所以 A′B=AM+BM =2AM=1 000 m. 即最短路程为 1 000 m.查看更多