重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）11

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11.3.2 多边形的内角和 第十一章 三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 11.3 多边形及其内角和 八年级数学上（RJ） 教学课件 情境引入 学习目标 1. 能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式 . （重点） 2. 学会 运用多边形的内角和与外角和公式解决问题 . （难点） 法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“ abeilles bee pavilion ” . 导入新课 情景引入 思考： 你知道正六边形的内角和是多少吗？ 问题 2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？ 问题 1 三角形内角和是多少度？ 三角形内角和 是 180°. 都是 360°. 问题 3 猜想任意四边形的内角和是多少度？ 讲授新课 多边形的内角和 一 猜想： 四边形 ABCD 的内角和是 360°. 问题 4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？ 猜想与证明 方法 1 ：如图，连接 AC , 所以四边形被分为两个三角形， 所以四边形 ABCD 内角和为 180 °× 2=360 ° . A B C D A B C D E 方法 2 ：如图，在 CD 边上任取一点 E ，连接 AE , DE ， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形 ABCD 的内角和为 180 °× 3-(∠ AEB +∠ AED +∠ CED ) = 180 °× 3-180 ° = 360 ° . 方法 3 ：如图，在四边形 ABCD 内部取一点 E ， 连接 AE , BE , CE , DE ， 把四边形分成四个三角形：△ ABE , △ ADE , △ CDE , △ CBE . 所以四边形 ABCD 内角和为： 180 °× 4-(∠ AEB +∠ AED +∠ CED +∠ CEB ) =180 °× 4-360 ° =360 ° . A B C D E A B C D P 方法 4 ：如图，在四边形外任取一点 P , 连接 PA 、 PB 、 PC 、 PD 将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形 . 所以四边形 ABCD 内角和为 180° ×3 － 180° = 360°. 这四种方法都运用了 转化思想 ，把 四边形分割成三角形 ，转化到已经学了的 三角形内角和 求解 . 结论： 四边形的内角和为 360 ° . 例 1 ： 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由 . 解： 如图，四边形 ABCD 中， ∠ A + ∠ C =180°. ∠ A +∠ B +∠ C +∠ D =(4 － 2) ×180 °= 360 ° ， 因为 ∠ B ＋∠ D = 360° －（∠ A ＋∠ C ） = 360° － 180° = 180°. 所以 A B C D 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补 . 典例精析 【变式题】 如图，在四边形 ABCD 中，∠ A 与∠ C 互补， BE 平分∠ ABC ， DF 平分∠ ADC ，若 BE ∥ DF ，求证：△ DCF 为直角三角形． 证明：∵在四边形 ABCD 中，∠ A 与∠ C 互补， ∴∠ ABC +∠ ADC =180°， ∵ BE 平分∠ ABC ， DF 平分∠ ADC ， ∴∠ CDF +∠ EBF =90°， ∵ BE ∥ DF ，∴∠ EBF =∠ CFD ， ∴∠ CDF +∠ CFD =90°， 故△ DCF 为直角三角形． 运用了整体思想 A C D E B A B C D E F 问题 5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方 法求五边形和六边形内角和吗 ? 内角和为 180° ×3 = 540°. 内角和为 180° ×4 = 720°. n 边形 六边形 五边形 四边形 三角形 多边形内角和 分割出三角形的个数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 图形 边数 ······ 0 n - 3 1 2 3 1 2 3 4 n - 2 （ n - 2 ） · 180º 1 × 180º = 180º 2 × 180º = 360º 3 × 180º = 540º 4 × 180º = 720º ······ ······ ······ ······ 由特殊到一般 分割 多边形 三角形 分割点与多边形的位置关系 顶点 边上 内部 外部 转化思想 总结归纳 多边形的内角和公式 n 边形内角和等于 ( n -2)×180 °. 例 2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？ 解：设这个多边形边数为 n ，则 （ n -2）•180=360+720， 解得 n =8， ∵这个多边形的每个内角都相等， （ 8 -2）×180° = 1080°， ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°． 典例精析 例 3 已知 n 边形的内角和θ=（ n -2）×180°． （1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数 n ．若不对，说明理由； 解：∵360°÷180°=2， 630°÷180°=3 ...... 90°， ∴甲的说法对，乙的说法不对， 360°÷180°+2=4． 故甲同学说的边数 n 是4； （2）若 n 边形变为（ n + x ）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定 x ． 解：依题意有 （ n + x -2）×180°-（ n -2）×180°=360°， 解得 x =2． 故 x 的值是2． 【变式题】 一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为 1125° ，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？ 解：设此多边形的内角和为 x ， 则有 1125° ＜ x ＜ 1125° ＋ 180° ， 即 180°×6 ＋ 45° ＜ x ＜ 180°×7 ＋ 45° ， 因为 x 为多边形的内角和，所以它是 180° 的倍数， 所以 x ＝ 180°×7 ＝ 1260°. 所以 7 ＋ 2 ＝ 9 ， 1260° － 1125° ＝ 135°. 因此，漏加的这个内角是 135° ，这个多边形是九边形． 思路点拨：多边形的内角的度数在 0 ° ~180 °之间 . 例 4 如图，在五边形 ABCDE 中，∠ C =100°，∠ D =75°，∠ E =135°， AP 平分∠ EAB ， BP 平分∠ ABC ，求∠ P 的度数． 解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠ C , ∠ D , ∠ E 的度数可求∠ EAB +∠ ABC 的度数，再根据角平 分线的定义可得∠ P AB 与∠ P BA 的角度和，进一步求 得∠ P 的度数． 可运用了整体思想 解：∵∠ EAB +∠ ABC +∠ C +∠ D +∠ E =540°，∠ C =100°，∠ D =75°，∠ E =135°， ∴∠ EAB +∠ ABC =540°-∠ C -∠ D -∠ E =230° . ∵ AP 平分∠ EAB , ∴∠ PAB ＝ ∠ EAB ， 同理可得∠ ABP ＝ ∠ ABC ， ∵∠ P +∠ PAB +∠ PBA =180°， ∴∠ P =180°-∠ PAB -∠ PBA =180°− (∠ EAB +∠ ABC )=180°− ×230°=65°． 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 用形状、大小完全相同的任意四边形可拼成一块无空隙的地板，你知道这是为什么吗？ 你知道吗？ 多边形的外角和 二 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和． 问题 1 ： 任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ 问题 2 ： 五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？ E B C D 1 2 3 4 5 A 互补 5 × 180 ° =900 ° E B C D 1 2 3 4 5 A 五边形外角和 =360 ° = 5 个平角 － 五边形内角和 = 5×180° － (5 － 2) × 180° 结论：五边形的外角和等于 360° . 问题 3 ： 这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？ 在 n 边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做 n 边形的外角和． n 边形外角和 n 边形的外角和等于 360° . － ( n － 2) × 180° =360 ° = n 个平角 - n 边形内角和 = n ×180 ° A n A 2 A 3 A 4 1 2 3 4 n A 1 思考： n 边形的外角和又是多少呢？ 与边数无关 问题 4 ： 回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 练一练： (1) 若一个正多边形的内角是 120 ° , 那么这是正 ____ 边形 . (2) 已知多边形的每个外角都是 45 ° , 则这个多边形是 ______ 边形 . 六 正八 典例精析 例 4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的 2 倍，求这个多边形的边数 . 解： 设多边形的边数为 n . ∵ 它的内角和等于 ( n － 2)•180° ， 多边形外角和等于 360 ° ， ∴ ( n － 2)•180°=2× 360º. 解得 n =6. ∴ 这个多边形的边数为 6. 例 5 已知一个多边形的每个内角与外角的比都 是 7:2 ，求这个多边形的边数 . 解法一：设这个多边形的内角为 7 x ° , 外角为 2 x ° , 根据题意得 7 x +2 x =180 ， 解得 x =20. 即每个内角是 140 ° ， 每个外角是 40 °. 360 ° ÷40 °=9. 答：这个多边形是九边形 . 还有其他解法吗？ 解法二：设这个多边形的边数为 n , 根据题意得 解得 n =9. 答：这个多边形是九边形 . 【变式题】 一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数． 解：设该正多边形的内角是 x °，外角是 y °， 则得到一个方程组 解得 而任何多边形的外角和是360°， 则该正多边形的边数为360÷120=3， 故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条． 例 6 如图，在正五边形 ABCDE 中，连接 BE ，求∠ B E D 的度数． 解：由题意得 AB = AE , 所以 ∠AEB = (180 ° -∠ A )=36 °， 所以∠ B E D =∠ AED -∠ AEB =108 ° -36 ° =72 ° . 当堂练习 1. 判断． (1) 当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加 .( ) (2) 当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加 .( ) (3) 三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( ) 2. 一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的 每一个内角等于 ______ ． 120 ° 3. 如图所示，小华从点 A 出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点 A 时，走的路程一共是 ________ 米． 150 4. 一个多边形的内角和不可能是（ ） A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 ° D 5. 一个多边形从一个顶点可引对角线 3 条，这个多边形 内角和等于（ ） A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 ° B 6. 一个多边形的内角和为 1800° ，截去一个角后，求得到的多边形的内角和 . 解： ∵1800÷180 ＝ 10 ， ∴ 原多边形边数为 10 ＋ 2 ＝ 12. ∵ 一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1 ，可能不变，也可能加 1 ， ∴ 新多边形的边数可能是 11 ， 12 ， 13 ， ∴ 新多边形的内角和可能是 1620° ， 1800° ， 1980°. 能力提升： 如图，求 ∠ 1 ＋ ∠2 ＋ ∠ 3 ＋ ∠ 4 ＋ ∠ 5 ＋ ∠ 6 ＋ ∠ 7 的度数 . 解：如图， ∵∠3 ＋ ∠4 ＝ ∠8 ＋ ∠9 ， ∴∠1 ＋ ∠2 ＋ ∠3 ＋ ∠4 ＋ ∠5 ＋ ∠6 ＋ ∠7 ＝ ∠1 ＋ ∠2 ＋ ∠8 ＋ ∠9 ＋ ∠5 ＋ ∠6 ＋ ∠7 ＝五边形的内角和＝ 540°. 8 9 课堂小结 多边形的内角和 内角和计算公式 ( n -2) × 180 °( n ≥3 的整数） 外角和 多边形的外角和等于 360° 特别注意：与边数无关 . 正多 边形 内角 = ，外角 =