八年级数学上册第十二章全等三角形12-2三角形全等的判定第2课时边角边教学课件新版 人教版

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八年级数学上册第十二章全等三角形12-2三角形全等的判定第2课时边角边教学课件新版 人教版

12.2 三角形 全等 的判定 第十二章 全等三角形 第 2 课时 “边 角 边” 情境引入 学习目标   1 . 探索并正确理解三角形全等的 判定方法 “ SAS ” . (重点)   2 . 会用“ SAS ” 判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用.(重点) 3. 了解“ SSA ” 不能作为两个三角形全等的条件.(难点)   1. 回顾三角形全等的判定方法 1 三边对应相等的两个三角形全等(可以简写为 “边边边”或“ SSS” ) . 在△ ABC 和△ DEF 中 ∴ △ ABC ≌ △ DEF ( SSS ) AB=DE BC=EF CA=FD 2. 符号语言表达: A B C D E F 知识回顾 当两个三角形满足六个条件中的 3 个时,有四种情况 : 三角 × 三边 √ 两边一角 ? 两角一边 除了 SSS 外 , 还有其他情况吗? 思考 讲授新课 三角形全等的 判定( “ 边角边 ” 定理) 一 问题: 已知一个三角形的两条边和一个角,那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢? A B C A B C “ 两边及夹角 ” “ 两边和其中一边的对角” 它们能判定两个三角形全等吗? 尺规作图画出一个 △ A′B′C′ ,使 A′B′ = AB , A′C′ = AC ,∠ A ′ =∠ A (即使两边和它们的夹角对应相等) . 把画好的 △ A′B′C′ 剪下,放到 △ ABC 上,它们全等吗? A B C 探究活动 1 : SAS 能否判定 的两个三角形全等 动手试一试 A B C A ′ D E B ′ C ′ 作法: ( 1 )画 ∠ DA ' E =∠A ; ( 2 )在射线 A'E 上截取 A'C'=AC , 在射线 A'D 上截取 A'B'=AB ; ( 3 )连接 B ' C '. ? 思考: ① △ A′ B′ C′ 与 △ ABC 全等吗?如何验证? ② 这两个三角形全等是满足哪三个条件? 在 △ ABC 和 △ DEF 中, ∴   △ ABC ≌ △ DEF ( SAS ). 文字语言: 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 (简写成 “边角边 ” 或“ SAS ” ). 知识要点 “边角边”判定方法 几何语言: AB = DE , ∠ A = ∠ D , A C = A F , A B C D E F 必须是两边“夹角” 例 1 : 如果 AB = CB ,∠ ABD = ∠ CBD , 那么 △ ABD 和 △ CBD 全等吗? 分析 : △ ABD ≌ △ CBD . 边 : 角 : 边 : AB=CB ( 已知 ) , ∠ ABD = ∠ CBD ( 已知 ) , ? A B C D (SAS) BD=BD ( 公共边 ). 典例精析 证明: 在 △ ABD 和 △ CBD 中, AB=CB ( 已知 ) , ∠ABD= ∠CBD ( 已知 ) , ∴ △ ABD ≌ △ CBD ( SAS). BD=BD ( 公共边 ) , 变式 1: 已知:如图 ,AB=CB,∠1= ∠2. 求证 :(1) AD=CD ; (2) DB 平分 ∠ ADC. A D B C 1 2 4 3 在 △ABD 与 △CBD 中, 证明 : ∴△ABD ≌ △CBD ( SAS ), AB=CB ( 已知), ∠1=∠2 (已知), BD=BD (公共边), ∴AD=CD , ∠3=∠4 , ∴DB 平分 ∠ ADC. A B C D 变式 2: 已知 :AD=CD , DB 平分 ∠ADC ,求证 :∠A=∠C. 1 2 在 △ABD 与 △CBD 中, 证明 : ∴△ABD ≌ △CBD ( SAS ), AD=CD ( 已知), ∠1=∠2 (已证), BD=BD (公共边), ∴ ∠ A =∠ C. ∵DB 平分 ∠ ADC , ∴ ∠1=∠2. 例 2 : 如图,有一池塘,要测池塘两端 A 、 B 的距离,可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C ,连接 AC 并延长到点 D ,使 CD = CA ,连接 BC 并延长到点 E ,使 CE = CB .连接 DE , 那么量出 DE 的长就是 A 、 B 的距离,为什么 ? C · A E D B 证明:在 △ ABC 和 △ DEC 中, ∴ △ ABC ≌ △ DEC ( SAS ), ∴ AB =DE , ( 全等三角形的对应边相等 ) . AC = DC ( 已知 ), ∠ ACB = ∠ DCE ( 对顶角相等 ), CB = EC ( 已知 ) , 证明线段相等或者角相等时,常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决 . 归纳 已知 : 如图 , AB=DB,CB=EB ,∠1 =∠ 2 , 求证 : ∠ A =∠ D . 证明 :∵ ∠1 =∠ 2( 已知 ) , ∴∠1+∠ DBC = ∠ 2+ ∠ DBC ( 等式的性质 ) , 即 ∠ ABC =∠ DBE . 在 △ ABC 和 △ DBE 中 , AB = DB ( 已知 ) , ∠ ABC =∠ DBE ( 已证 ) , CB = EB ( 已知 ) , ∴△ ABC ≌ △ DBE (SAS). ∴ ∠ A =∠ D ( 全等三角形的对应角相等 ). A 1 2 C B D E 针对训练  想一想: 如图,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起,摆出 △ ABC . 固定住长木棍,转动短木棍,得到 △ ABD . 这个实验说明了什么? B A C D △ ABC 和△ ABD 满足 AB = AB , AC = AD , ∠ B = ∠ B , 但△ ABC 与△ ABD 不全等 . 探究活动 2 : SSA 能否判定两个三角形全等 画一画 : 画 △ ABC 和 △ DEF ,使 ∠ B =∠ E =30° , AB = DE =5 cm , AC = DF =3 cm .观察所得的两个三角形是否全等?   A B M C D A B C A B D 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 . 结论 例 3 下列条件中,不能证明△ABC ≌ △DEF的是(  ) 典例精析 A. AB = DE,∠B = ∠E,BC = EF B. AB = DE,∠A = ∠D,AC = DF C. BC = EF,∠B = ∠E,AC = DF D. BC = EF,∠C = ∠F,AC = DF 解析:要判断能不能使 △ ABC ≌ △ DEF ,应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角,只有选项 C 的条件不符合,故选 C. C 方法总结: 判断三角形全等时,注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等.解题时要根据已知条件的位置来考虑,只具备 SSA 时是不能判定三角形全等的. 当堂练习 1. 在下列图中找出全等三角形进行连线 . Ⅰ ر 30 º 8 cm 9 cm ر 30 º 8 cm 8 cm 8 cm 5 cm Ⅲ ر 30 º 8 cm 8 cm Ⅲ ر 30 º 8 cm 9 cm Ⅷ 8 cm 5 cm 30 º ر 8 cm 5 cm Ⅱ 30 º ر 8 cm 5 cm 2. 如图 , AB = DB , BC = BE , 欲证 △ ABE ≌ △ DBC , 则需要增加的条件是 ( ) A. ∠ A = ∠ D B. ∠ E = ∠ C C. ∠ A = ∠ C D. ∠ ABD = ∠ EBC   D 3. 如图,点 E 、 F 在 AC 上, AD // BC , AD = CB , AE = CF . 求证 : △ AFD ≌ △ CEB . F A B D C E 证明 : ∵ AD // BC , ∴ ∠ A =∠ C , ∵ AE = CF , 在 △ AFD 和△ CEB 中 , AD = CB ∠ A =∠ C AF = CE ∴ △ AFD ≌ △ CEB ( SAS ) . ∴ AE+EF=CF+EF , 即 AF = CE . ( 已知 ), ( 已证 ), ( 已证 ), 4. 已知:如图 , AB = AC , AD 是△ ABC 的角平分线, 求证: BD = CD . 证明: ∵AD 是△ ABC 的角平分线, ∴ ∠ BAD =∠ CAD , 在 △ ABD 和△ ACD 中 , AB = AC ∠ BAD =∠ CAD AD = AD ∴ △ ABD ≌ △ ACD ( SAS ) . ( 已知 ), ( 已证 ), ( 已证 ), ∴ BD = CD . 已知:如图 , AB=AC, BD=CD , 求证: ∠ BAD= ∠ CAD. 变式 1 证明: ∴ ∠ BAD =∠ CAD , 在 △ ABD 和△ ACD 中 , ∴ △ ABD ≌ △ ACD ( SSS ) . AB = AC BD = CD AD = AD ( 已知 ), ( 公共边), ( 已知 ), 已知:如图 , AB=AC, BD=CD , E 为 AD 上一点 , 求证: BE = CE . 变式 2 证明: ∴ ∠ BAD =∠ CAD , 在 △ ABD 和△ ACD 中 , AB = AC BD = CD AD = AD ( 已知 ), ( 公共边), ( 已知 ), ∴ BE = CE . 在 △ ABE 和△ ACE 中 , AB = AC ∠ BAD =∠ CAD AE = AE ( 已知 ), ( 公共边), ( 已证 ), ∴ △ ABD ≌ △ ACD ( S S S ) . ∴ △ ABE ≌ △ ACE ( S A S ) . 5. 如图,已知CA=CB,AD=BD, M,N分别是CA,CB的中点,求证:DM=DN . 在 △ABD 与 △CBD 中 证明 : CA=CB ( 已知) AD=BD (已知) CD=CD (公共边) ∴△ACD ≌ △BCD ( SSS ) 能力提升 连接 CD ,如图所示; ∴ ∠A=∠B 又 ∵ M,N分别是CA,CB的中点, ∴ AM=BN 在 △AMD 与 △BND 中 AM=BN ( 已证) ∠ A= ∠ B (已证) AD=BD (已知) ∴△AMD ≌ △ B ND ( SAS ) ∴ DM=DN. 课堂小结 边角边 内容 有两边及夹角对应相等的两个三角形全等(简写成 “ SAS ”) 应用 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意 1. 已知两边,必须找“夹角” 2. 已知一角和这角的一夹边,必须找这角的另一夹边
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