同步练习《第十三章轴对称》（整章）人教版数学八年级上册

同步练习《第十三章轴对称》（整章）人教版数学八年级上册

第十三章 轴对称 ‎13.1 轴对称（练习）‎ 一、单选题（共10小题）‎ ‎1．（2019·成都市武侯区西蜀实验学校初一期末）下列图形中，是轴对称图形的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据轴对称图形的概念求解即可．‎ ‎【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项错误；‎ B、不是轴对称图形，本选项错误；‎ C、不是轴对称图形，本选项错误；‎ D、是轴对称图形，本选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．‎ ‎2．（2019·富顺县赵化中学校初一期末）如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则等于（ ）‎ A．115° B．110° C．125° D．120°‎ ‎【答案】B 43‎ ‎【解析】根据折叠的性质及∠1=40°可求出∠2的度数，再由平行线的性质即可解答．‎ ‎【详解】解：∵四边形EFGH是四边形EFBA折叠而成，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∵∠2+∠3+∠1=180°，∠1=40°，‎ ‎∴∠2=∠3=（180°-40°）=×140°=70°，‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴∠AEF+∠EFB=180°，‎ ‎∴∠AEF=180°-70°=110°．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，明白折叠不变性：折叠前后图形全等．据此找出图中相等的角是解题的关键．‎ ‎3．（2018·台州市书生中学初二期中）下列图案属于轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据轴对称图形的概念求解即可．‎ ‎【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；‎ B、不是轴对称图形，故此选项错误；‎ C、是轴对称图形，故此选项正确；‎ D、不是轴对称图形，故此选项错误；‎ 43‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．‎ ‎4．（2018·澧县教育局张公庙镇中学初二期末）在△ABC中，∠BAC＝115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为（　　）‎ A．50° B．40° C．30° D．25°‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，GA=GC，根据等腰三角形的性质计算即可．‎ ‎【详解】∵∠BAC=115°，‎ ‎∴∠B+∠C=65°，‎ ‎∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，‎ ‎∴EA=EB，GA=GC，‎ ‎∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，‎ ‎∴∠EAG=∠BAC-（∠EAB+∠GAC）=∠BAC-（∠B+∠C）=50°，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．‎ ‎5．（2019·湖北中考真题）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）‎ A． B．‎ 43‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【详解】A、不是轴对称图形，故本选项错误；‎ B、不是轴对称图形，故本选项错误；‎ C、不是轴对称图形，故本选项错误；‎ D、是轴对称图形，故本选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．‎ ‎6．（2019·重庆南开融侨中学初一期末）下列图形中，不是轴对称图形的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据轴对称图形的定义逐一进行判断即可得.‎ ‎【详解】A、是轴对称图形，不符合题意；‎ B、是轴对称图形，不符合题意；‎ C、不是轴对称图形，符合题意；‎ D、是轴对称图形，不符合题意，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了轴对称图形，熟练掌握“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，就说这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴”是解题的关键.‎ 43‎ ‎7．（2018·北京首师大附中一分校初二期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，分别以A，B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（　　）‎ A．10 B．12 C．14 D．19‎ ‎【答案】B ‎【解析】由线段垂直平分线的性质，证得AD＝BD，继而可得△BCD的周长＝BC+AC．‎ ‎【详解】根据题意得：D在AB的垂直平分线上，‎ ‎∴AD＝BD，‎ ‎∵△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，‎ ‎∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝7+5＝12．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键，此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎8．（2018·北京清华附中初二期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（　　）‎ A．14 B．18 C．20 D．26‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，BC＝2BE＝8，根据三角形的周长公式计算即可．‎ 43‎ ‎【详解】∵DE是BC的垂直平分线，‎ ‎∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，‎ ‎∵△ABC的周长为22，‎ ‎∴AB+BC+AC＝22，‎ ‎∴AB+AC＝14，‎ ‎∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．‎ ‎9．（2019·南通市启秀中学初一期末）京剧是我国的国粹，是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介，在下面的四个京剧脸中，不是轴对称图形的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．‎ ‎【详解】解：A.不是轴对称图形，故本选项符合题意；‎ B.是轴对称图形，故本选项不符合题意；‎ C.是轴对称图形，故本选项不符合题意；‎ D.是轴对称图形，故本选项不符合题意．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.‎ 43‎ ‎10．（2019·重庆市育才中学初三期末）如图所示的图案中，是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据轴对称图形的概念求解．‎ ‎【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；‎ B、不是轴对称图形，故本选项错误；‎ C、是轴对称图形，故本选项正确；‎ D、不是轴对称图形，故本选项错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．‎ 提升篇 二、填空题（共5小题）‎ ‎11．（2019·山东中考真题）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，的度数是________.‎ ‎【答案】45°‎ ‎【解析】根据折叠过程可知，在折叠过程中角一直是轴对称的折叠.‎ ‎【详解】在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，‎ 43‎ 故答案为：45°‎ ‎【点睛】考核知识点：轴对称.理解折叠的本质是关键.‎ ‎12．（2019·哈尔滨市萧红中学初一期末）如图，三角形纸片中，AB=5cm，AC=7cm，BC=9cm.沿过点B的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为BD,则△DEC的周长是________cm.‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】根据折叠的性质可知ED=AD、BE=BA，结合AB=5cm、BC=9cm、AC=7cm可得出CE=4cm、AC=CD+AD，再套用三角形的周长公式即可得出△CED的周长．‎ ‎【详解】∵△BDA与△BDE关于BD对称，‎ ‎∴△BDA≌△BDE，‎ ‎∴DA=DE，BA=BE.‎ ‎∴CE=CB−BE =CB−BA.‎ ‎∵BC=9cm，AB=5cm，‎ ‎∴CE=4cm.‎ ‎∴△CDE的周长=CE+DE+CD=CE+AC ‎∵AC=7cm，‎ ‎∴△CED的周长=7+4=11cm.‎ ‎【点睛】本题考查翻转问题，解题关键在于熟练掌握折叠的性质.‎ ‎13．（2019·齐河县第五中学初二期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝10，DE垂直平分AB，△BDC的周长为18，则BC＝________．‎ 43‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】先根据DE垂直平分AB可知，AD=BD，即AC=BD+CD，再由AC=10，△BDC的周长为18即可求出答案．‎ ‎【详解】∵DE垂直平分AB，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∴AD+CD=BD+CD，即AC=BD+CD．‎ ‎∵AC=10，△BDC的周长为18，‎ ‎∴BC=18-AC=18-10=8．‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．‎ ‎14．（2018·西藏达孜县中学初二期中）平行四边形，长方形，等边三角形 ，半圆这几个几何图形中，对称轴最多的是___________。‎ ‎【答案】等边三角形 ‎【解析】根据平行四边形，长方形，等边三角形 ，半圆的性质解答即可.‎ ‎【详解】∵平行四边形没有对称轴，长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴 ，半圆有1条对称轴，‎ ‎∴对称轴最多的是等边三角形.‎ 故答案为：等边三角形.‎ 43‎ ‎【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.‎ ‎15．（2018·巍山县庙街镇白龙桥中学初二期中）已知CD垂直平分AB，若AC=4cm，AD=5cm，则四边形ADBC的周长是__________.‎ ‎【答案】18cm ‎【解析】由于CD垂直平分AB，所以AC=BC，AD=BD，而AC=4cm，AD=5cm，由此即可求出四边形ADBC的周长．‎ ‎【详解】解：∵CD垂直平分AB， AC=4cm，AD=5cm，‎ ‎∴AC=BC=4cm，AD=BD=5cm，‎ ‎∴四边形ADBC的周长为AD+AC+BD+BC=18cm．‎ 故答案为：18 cm．‎ ‎【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．‎ 三、解答题（共1小题）‎ ‎16．（2018·大庆市万宝学校初一期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D.‎ ‎(1)若∠A＝40°，求∠CBE的度数；‎ ‎(2)若△BCE的周长为8cm，AB＝5cm，求BC的长．‎ 43‎ ‎【答案】（1）30°（2）3cm ‎【解析】（1）根据题意可以推出∠ABC=70°，AE=BE，即可推出∠ABE=∠A=40°，便可推出∠CBE的度数；‎ ‎（2）根据题意可以推出AC＋BC＝8cm.又AB＝5cm，即可推出BC＝8－5＝3cm．‎ ‎【详解】解：‎ ‎(1)∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝70°.‎ ‎∵DE垂直平分AB，‎ ‎∴AE＝BE，‎ ‎∴∠ABE＝∠A＝40°，‎ ‎∴∠CBE＝∠ABC－∠EBA＝70°－40°＝30°.‎ ‎(2)∵△BCE的周长为8cm，‎ ‎∴BE＋EC＋BC＝8cm.‎ ‎∵AE＝BE，‎ ‎∴AE＋EC＋BC＝8cm，‎ ‎∴AC＋BC＝8cm.‎ ‎∵AC＝AB＝5cm，‎ ‎∴BC＝8－5＝3cm．‎ ‎【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题关键. ‎ 43‎ 第十三章 轴对称 ‎13.2 画轴对称图形（练习）‎ 一、单选题(共10小题)‎ ‎1．（2019·北京师大附中初一期中）点A (2，-1)关于x轴对称的点B的坐标为（ ）‎ A．(2, 1) B．(-2，1) C．(2，-1) D．(-2，- 1)‎ ‎【答案】A ‎【解析】关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得到答案．‎ ‎【详解】点A（2，-1）关于x轴对称的点B的坐标为：（2，1）．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．‎ ‎2．（2019·邢台市第八中学初二期中）点M(1,4-m)关于直线y=-3对称的点的坐标为(1,7),则m=（ ）‎ A．16 B．27 C．17 D．15‎ ‎【答案】C ‎【解析】与平行于x轴的直线y=-3对称的点的坐标与原坐标的横坐标相等，纵坐标到直线y=-3的距离相等，由此分析所求对称点的坐标即可；‎ ‎【详解】解：当M关于直线y=-3对称的点的坐标为（1，7）时，如图：‎ 根据对称的性质，有：‎ ‎-3-（4-m）=10‎ 43‎ 解得：m=17，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是要掌握坐标系中对称点的坐标变化与对称轴的关系．‎ ‎3．（2019·广东省湛江市第二十七中学初三期末）平面直角坐标系内的点A（1，﹣2）与点B（1，2）关于（　　）‎ A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线y＝x对称 ‎【答案】A ‎【解析】根据关于x轴对称点的特征即可解答．‎ ‎【详解】点A（1，﹣2）与点B（1，2）关于x轴对称．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了关于x轴对称点的性质，熟知关于x轴对称点的性质是解决问题的关键．‎ ‎4．（2019·博兴县店子镇中学初二期末）在直角坐标系中，点A（–2，2）与点B关于x轴对称，则点B的坐标为（ ）‎ A．（–2，2） B．（–2，–2） C．（2，–2） D．（2，2）‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．‎ ‎【详解】解：∵点A（-2，2）与点B关于x轴对称，‎ ‎∴点B的坐标为（-2，-2）．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：‎ ‎（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；‎ 43‎ ‎（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．‎ ‎5．（2018·辽宁北镇第一初级中学初二期末）点A（a﹣3，﹣1）与点B（2，b+2）关于x轴对称，则a，b的值分别是（　　）‎ A．a=1，b=﹣3 B．a=1，b=﹣1 C．a=5，b=﹣3 D．a=5，b=﹣1‎ ‎【答案】D ‎【解析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．‎ ‎【详解】（2，b+2）与点（a-3，-1）关于x轴对称，得 a-3=2，b+2=1．‎ 解得a=5，b=-1，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．‎ ‎6．（2018·重庆巴蜀中学初二期中）如图，△ABC顶点B的坐标是（﹣5，2），先把△ABC向右平移3个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于y轴的对称图形△A2B2C2，则顶点B2的坐标是（　　）‎ A．（2，﹣2） B．（﹣2，2） C．（2，2） D．（﹣2，﹣2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据点B1，B之间的关系结合点B的坐标，可得出点B1的坐标，再由顶点B2和顶点B1关于y 43‎ 轴对称，可得出点B2的坐标，此题得解．‎ ‎【详解】∵顶点B的坐标是（﹣5，2），将其向右平移3个单位得到顶点B1，∴顶点B1的坐标为（﹣2，2）．‎ 又∵顶点B2和顶点B1关于y轴对称，∴顶点B2的坐标为（2，2）．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移以及关于x轴、y轴对称的点的坐标，牢记“关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变”是解题的关键．‎ ‎7．（2018·大连市第三十中学初二期末）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（　　）‎ A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（2，﹣3）‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．‎ ‎【详解】解：点P（2，﹣3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）， ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．‎ ‎8．（2019·监利县博爱中学初一期末）(a，－6)关于x轴的对称点的坐标为（ ）‎ A．(－a， 6) B．(a， 6) C．(a， －6) D．(－a， －6)‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可.‎ ‎【详解】解：(a，－6)关于x轴的对称点的坐标为(a， 6).‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了平面直角坐标系中对称点的坐标特点.熟练掌握对称点的坐标特点是解题关键.‎ ‎9．（2018·重庆巴蜀中学初二期中）若点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则m+n的值是（　　）‎ 43‎ A．1 B．﹣2 C．2 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．‎ ‎【详解】A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，得：m=3，n=﹣2，m+n=3+（﹣2）=1．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了关于x轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．‎ ‎10．（2018·陕西高新一中初二期中）若点与点关于轴对称，则的值为（ ）‎ A．3 B．1 C．-3 D．-5‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据关于y轴对称的点的坐标特征进行计算可得答案.‎ ‎【详解】解：点A(1+m,1-n)与点B(-3,2)关于y轴对称,‎ ‎1+m=3,1-n=2,‎ 解得:m=2,n=-1,‎ 所以m+n=2-1=1.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握坐标特征是解题的关键.‎ 提升篇 二、填空题（共5小题）‎ ‎11．（2018·四川省成都七中育才学校三圣分校初二期末）在平面直角坐标系中，点P(-3,-5)关于x轴对称的点的坐标是___________.‎ 43‎ ‎【答案】（-3，5）．‎ ‎【解析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出结论．‎ ‎【详解】点P（-3，-5）关于x轴对称的点是：（-3，5）．‎ 故答案为：（-3，5）．‎ ‎【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．‎ ‎12．（2018·天津市梅江中学初二期末）点P(－2，3)关于x轴的对称点P′的坐标为________．‎ ‎【答案】(－2，－3)‎ ‎【解析】让点P的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得到点P关于x轴的对称点P′的坐标．‎ ‎【详解】∵点P（-2，3）关于x轴的对称点P′，‎ ‎∴点P′的横坐标不变，为-2；纵坐标为-3，‎ ‎∴点P关于x轴的对称点P′的坐标为（-2，-3）．‎ 故答案是：（-2，-3）．‎ ‎【点睛】考查了关于x轴对称点的性质，用到的知识点为：两点关于x轴对称，横纵坐标不变，纵坐标互为相反数．‎ ‎13．（2019·广东深圳中学初二期末）已知点A（1，﹣2）关于x轴对称的点是点B，则AB＝_____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】直接利用关于x轴对称点的性质得出B点坐标，进而得出答案．‎ ‎【详解】∵点A（1，﹣2）关于x轴对称的点是点B，‎ ‎∴B（1，2），‎ ‎∴AB＝2﹣（﹣2）＝4．‎ 故答案为：4．‎ 43‎ ‎【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．‎ ‎14．（2018·威宁县思源实验学校初二期中）已知点A(6a+3，4)与点B(2﹣a，b)关于y轴对称，则ab＝_____．‎ ‎【答案】﹣4‎ ‎【解析】直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），即可得出a，b的值，进而得出答案．‎ ‎【详解】∵点A（6a+3，4）与点B（2﹣a，b）关于y轴对称，‎ ‎∴6a+3+2﹣a＝0，b＝4，‎ 解得：a＝﹣1，‎ 故ab＝﹣4．‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数.‎ ‎15．（2018·黑龙江省青龙山农场场直中学初二期末）点(2，1)关于x轴对称的点坐标为_______．‎ ‎【答案】（2，-1）‎ ‎【解析】利用关于x轴对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数,即点P(x,y)关于x轴的对称点P'(x,-y)的坐标是,进而求出即可.‎ ‎【详解】点(2，1)关于x轴对称的点坐标为（2，-1）.‎ 故答案为：（2，-1）.‎ ‎【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数.‎ 三、解答题（共2小题）‎ 43‎ ‎16．（2019·重庆市永川区红炉镇红炉初级中学校初二期中）如图，图中的小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点坐标为A(0，-2)、B(3，-1)、C(2，1).‎ ‎（1）请在图中画出△ABC关于轴对称的图形△AB1C1;‎ ‎（2）写出点B1，C1的坐标.‎ ‎【答案】（1）作图见解析；（2）B1（−3，−1），C1（−2，1）.‎ ‎【解析】（1）根据对称轴为y轴，作出△ABC的轴对称图形△A B1C1；‎ ‎（2）根据所画出的图形，写出B1和C1的坐标．‎ ‎【详解】解：（1）△ABC关于y轴对称的图形△AB1C1如图所示：‎ ‎（2）由图形可知B1（−3，−1），C1（−2，1）．‎ ‎【点睛】本题考查了轴对称变换的作图．关键是明确对称轴，根据对应点的连线被对称轴垂直平分，找对应点的位置．‎ ‎17．（2018·厦门外国语学校海沧附属学校初二期中）按要求完成作图：‎ ‎（1）作出△ABC关于x轴对称的图形；‎ 43‎ ‎（2）写出A、B、C的对应点A′、B′、C′的坐标；‎ ‎（3）直接写出△ABC的面积　 　．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）A′（﹣4，﹣1）、B′（﹣3，﹣3）、C′（﹣1，﹣2）（3）2.5‎ ‎【解析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于x轴对称的图形；‎ ‎（2）依据对应点A′、B′、C′的位置，即可得到其坐标；‎ ‎（3）依据割补法进行计算，即可得到△ABC的面积．‎ ‎【详解】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；‎ ‎（2）由图可得，A′（﹣4，﹣1）、B′（﹣3，﹣3）、C′（﹣1，﹣2）；‎ ‎（3）△ABC的面积＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝6﹣1﹣1﹣1.5＝2.5．‎ 故答案为：（1）见解析 ；（2）A′（﹣4，﹣1）、B′（﹣3，﹣3）、C′（﹣1，﹣2）；‎ ‎（3）2.5．‎ 43‎ ‎【点睛】本题考查利用轴对称变换进行作图，几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，是先从确定一些特殊的对称点开始．‎ 43‎ 第十三章 轴对称 ‎13.3 等腰三角形（练习）‎ 一、单选题（共10小题）‎ ‎1．设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据各类三角形的概念即可解答.‎ ‎【详解】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查各种三角形的定义，要明白等边三角形一定是等腰三角形，等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形.‎ ‎2．已知直角三角形中，角所对的直角边长是厘米，则斜边的长是( )‎ A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 ‎【答案】B ‎【解析】由于在直角三角形中30°角所对的直角边长是斜边的一半，根据已知条件即可求出斜边的长．‎ ‎【详解】∵直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，‎ ‎∴斜边的长是4厘米．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】此题考查了直角三角形的性质，如果直角三角形的一个锐角为30°‎ 43‎ ‎，那么它所对的直角边长度是斜边的一半．‎ ‎3．（2019·重庆市永川区红炉镇红炉初级中学校初二期中）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD,则∠A的度数是（ ）‎ A．18° B．24° C．30° D．36°‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．‎ ‎【详解】解：∵AB＝AC，‎ ‎∴∠ABC＝∠C，‎ ‎∵BD＝BC＝AD，‎ ‎∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，‎ 设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝，‎ 可得2x＝，‎ 解得：x＝36°，‎ 则∠A＝36°，‎ 故选：D．‎ 43‎ ‎【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．‎ ‎4．（2019·重庆市永川区红炉镇红炉初级中学校初二期中）一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（ ）‎ A．13 B．17 C．22 D．17或22‎ ‎【答案】C ‎【解析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．‎ ‎【详解】解：①若4为腰长，9为底边长，由于4＋4＜9，则三角形不存在；‎ ‎②9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．‎ 所以这个三角形的周长为9＋9＋4＝22．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．‎ ‎5．（2019·龙口市第五中学初一期中）如图，三个等边三角形如图放置，若∠1=70°，则∠2+∠3=（　　）‎ A．110° B．105° C．100° D．95°‎ ‎【答案】A ‎【解析】由图可知△ABC的三个外角的分别为60°+∠1，60°+∠2，60°+∠3，利用三角形的外角和是360°即可解决问题．‎ ‎【详解】解：如图，‎ 43‎ ‎△ABC的外角和=60°+∠1+（60°+∠2）+（60°+∠3）=360°‎ 即∠1+∠2+∠3=180°，‎ 又∠1=70°，‎ 所以∠2+∠3=110°．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角和定理，熟练掌握三角形的外角和定理是关键．‎ ‎6．（2019·乐清育英学校初中分校初一期中）等腰三角形的两条边长分别9cm和12cm，则这个等腰三角形的周长是( )‎ A．30cm B．33cm C．24cm或21cm D．30cm或33cm ‎【答案】D ‎【解析】根据9cm和12cm可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．‎ ‎【详解】解：当9cm为腰时，三边为9cm，9cm，12cm，符合三角形三边关系定理，周长为：9+9+12=30 cm；‎ 当12cm为腰时，三边为12cm，12cm，9cm，符合三角形三边关系定理，周长为：12+12+9=33cm．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据2，5，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．‎ ‎7．（2019·广东深圳外国语学校初二期末）等腰三角形的一个外角为110°，则它的顶角的度数是（　）‎ A．40° B．70°‎ C．40°或70° D．以上答案均不对 43‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据外角与相邻的内角的和为180°求这个内角的度数，再分这个角是顶角与底角两种情况讨论求解．‎ ‎【详解】解：∵等腰三角形的一个外角是110°，‎ ‎∴与这个外角相邻的内角是180°﹣110°＝70°，‎ ‎①当70°角是顶角时，它的顶角度数是70°，‎ ‎②当70°角是底角时，它的顶角度数是180°﹣70°×2＝40°，‎ 综上所述，它的顶角度数是70°或40°．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查等腰三角形的两底角相等的性质，要注意分两种情况讨论求解．‎ ‎8．（2018·江苏泰兴市西城初级中学初二月考）等腰三角形的周长为13 cm，其中一边长为3 cm，则该等腰三角形的底边为（ ）‎ A．7 cm B．3 cm C．7 cm或3 cm D．8 cm ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．‎ 当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．‎ 则该等腰三角形的底边为3cm．‎ 故选B．‎ ‎9．（2018·延安市实验中学初二期末）在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，若AC=6，则BD=（ ）‎ A．6 B．3 C．9 D．12‎ 43‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，‎ ‎∵∠B=30°，∴∠DCB=60°，‎ ‎∵∠ACB=90°，∴∠ACD=30°，‎ ‎∵AC=6，∴AD=3，AB=12，∴BD=9.‎ 故选C.‎ 点睛：在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半.‎ ‎10．（2017·安徽初二期中）已知等腰三角形的一边等于3，一边等于7，那么它的周长等于（　　 ）‎ A．13 B．17 C．13或17 D．10或17‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题解析：当3为底时，其它两边都为7，‎ ‎3、7、7可以构成三角形，周长为17；‎ 当3为腰时，其它两边为3和7，‎ ‎∵3+3=6<7，‎ 所以不能构成三角形，故舍去，‎ ‎∴答案只有17.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】三角形的任意两边之和大于第三边.‎ 43‎ 提升篇 二、填空题（共5小题）‎ ‎11．（2019·四川中考真题）如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则_______度．‎ ‎【答案】72．‎ ‎【解析】根据五边形的内角和公式求出，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．‎ ‎【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 同理，‎ 故答案为：72‎ ‎【点睛】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键．‎ ‎12．（2019·兰州市外国语学校初一期末）等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为___________.‎ 43‎ ‎【答案】4.5cm ‎【解析】此题要分情况考虑：3cm是底或3cm是腰．根据周长求得另一边，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断是否能够组成三角形．‎ ‎【详解】当3cm是底时,则腰长是(12−3)÷2=4.5(cm)，此时能够组成三角形；‎ 当3cm是腰时,则底是12−3×2=6(cm)，此时3+3=6，不能组成三角形，应舍去.‎ 故答案为：4.5cm ‎【点睛】此题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题关键在于分情况讨论 ‎13．（2019·重庆南开融侨中学初一期末）如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠B=120°，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，若AC=12，则DE=___________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】先根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠A=∠C=30°，根据线段垂直平分线性质和等腰三角形性质求出∠ABE=30°，根据含30度角的直角三角形性质可得CE=BE，继而求出AE长，再根据含30度角的直角三角形性质即可求得答案.‎ ‎【详解】连接BE，‎ ‎∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，‎ ‎∴∠A=∠C=30°，‎ ‎∵AB的垂直平分线DE，‎ ‎∴AE=BE，‎ ‎∴∠ABE=∠A=30°，‎ 43‎ ‎∴∠EBC=120°-30°=90°，‎ ‎∴CE=2BE，‎ ‎∵AE+BE=AC=12，‎ ‎∴AE=4，‎ 又∵∠A=30°，∠ADE=90°，‎ ‎∴DE=AE=2，‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键.‎ ‎14．（2019·四川中考真题）如图，在中，，点，都在边上，，若，则的长为_______.‎ ‎【答案】9.‎ ‎【解析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可求解.‎ ‎【详解】因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD△ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.‎ 43‎ ‎【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.‎ ‎15．（2018·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初一期末）如图，△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于E，与BC交于D，∠C＝15°，∠BAD＝60°．若CD＝10，则AB的长度为_____．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC＝10，根据三角形的外角的性质得到∠ADB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得到答案．‎ ‎【详解】解：∵DE垂直平分AC，‎ ‎∴DA＝DC＝10，‎ ‎∴∠DAC＝∠C＝15°，‎ ‎∴∠ADB＝30°，‎ 又∠BAD＝60°，‎ ‎∴∠B＝90°，‎ 又∠ADB＝30°‎ ‎∴AB＝AD＝×10＝5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．‎ 三、解答题（共2小题）‎ ‎16．（2019·广西中考真题）如图，已知等腰顶角．‎ 43‎ ‎（1）在AC上作一点D，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加墨）；‎ ‎（2）求证：是等腰三角形．‎ ‎【答案】（1）如图，点D为所作；见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）根据题意作AB的垂直平分线；‎ ‎（2）根据题意求出，即可证明.‎ ‎【详解】（1）解：如图，点D为所作；‎ ‎（2）证明：∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴是等腰三角形．‎ 43‎ ‎【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.‎ ‎17．（2018·厦门外国语学校海沧附属学校初二期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3cm，求BC的长．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】在△ABC中，根据等边对等角的性质及三角形内角和定理得出∠B＝∠C＝30°，由AD⊥AC，∠C＝30°，得出CD＝2AD＝6，再证明∠BAD＝∠B＝30°，那么AD＝DB＝3，于是BC＝CD+BD＝9．‎ ‎【详解】解：∵AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠C．‎ ‎∵∠BAC＝120°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，‎ ‎∴∠B＝∠C＝30°．‎ ‎∵AD⊥AC，‎ ‎∴∠DAC＝90°．‎ ‎∴DC＝2AD，∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°．‎ ‎∴∠BAD＝∠B．‎ ‎∴BD＝AD＝3．‎ ‎∴BC＝BD+DC＝3BD＝9．‎ 故答案为：9．‎ ‎【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．同时考查了等腰三角形的判定与性质．‎ 43‎ 第十三章 轴对称 ‎13.4 最短路径问题（练习）‎ 一、单选题（共10小题）‎ ‎1．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（　　）‎ A．点A B．点B C．AB之间 D．BC之间 ‎【答案】A ‎【解析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．‎ ‎【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×300+10×900=13500（米），‎ ‎②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+10×600=15000（米），‎ ‎③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×900+15×600=36000（米），‎ ‎④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜300），则所有人的路程的和是：30m+15（300-m）+10（900-m）=13500+5m＞13500，‎ ‎⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜600），则总路程为30（300+n）+15n+10（600-n）=15000+35n＞13500．‎ ‎∴该停靠点的位置应设在点A；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】考查了比较线段的长短，此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．‎ ‎2．已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN(假定河的两岸彼此平行，且桥与河岸互相垂直)，下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短的是( )‎ 43‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图作AI∥MN，且AI=MN，连接BI，由两点之间线段最短可知此时从A点到B点的距离最短，所以AM∥BN.‎ ‎【详解】‎ 解：如图，作AI∥MN，且AI=MN，连接BI，‎ ‎∴四边形AMNI为平行四边形，‎ ‎∴AM∥BN，此时从A点到B点距离最短.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了最短路径的问题，运用到了两点之间线段最短，平行四边形等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.‎ ‎3．某公司员工分别住在A、B、C、D四个住宅区，A区有20人，B区有15人，C区有5人，D区有30人，四个区在同一条直线上，位置如图所示．该公司的接送车打算在此间设立一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设置在（　　）‎ A．D区 B．A区 C．AB两区之间 D．BC两区之间 43‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和，选择最小的即可解答．‎ ‎【详解】解：∵当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：20×800+15×400+5×200=23000m；‎ 当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×400+5×600+30×800=33000m；‎ 当停靠点在AB两区之间时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：20×（400-x）+15x+5×（200+x）+30×（400+x）=（30x+21000）m；‎ 当停靠点在BC两区之间时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：20×（400+x）+15x+5×（200-x）+30×（400-x）=21000m．‎ ‎∴当停靠点在BC两区之间时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在BC两区之间．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】此题考查了比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键．要能把线段的概念在现实中进行应用．‎ ‎4．如图所示，从点A到点F的最短路线是(　　)‎ A．A→D→E→F B．A→C→E→F C．A→B→E→F D．无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】认真分析图形,要求点A到点F的最短路线,其中AB,EF的线路是固定的,则需要确定点B到点E之间的最短路线,由两点之间,线段最短可得,点B到点E之间BE最短.‎ ‎【详解】解:由图中可以看出,从点A到点F,AB,EF是必须经过的路线,点B到点E的路线中BE最短,所以点A到点F的最短路线为A→B→E→F,‎ 43‎ 故答案选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线段的性质，根据两点之间线段最短确定出点A到点F的最短路线是解题的关键．‎ ‎5．如图，从A地到B地有①、②、③三条路线，每条路线的长度分别为l、m、n，则（ ）‎ A．l＞m＞n B．l=m＞n C．m＜n=l D．l＞n＞m ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据两点间直线距离最短，认真观察图形，可知①③都是相当于走直角线，故①③相等，②走的是直线，最短．‎ 详解：由题意可得：∵从C到B地有①②③条路线可以走，每条路线长分别为l，m，n，‎ 则AC+AB=l＞BC ‎∴l=n＞m．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查了生活中的平移现象，要求学生充分利用两点间线段距离最近．‎ ‎6．如图，直线表示一条河，点，表示两个村庄，想在直线的某点处修建一个向，供水的水站，现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设管道一定最短的是( )‎ A． B．‎ 43‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】依据轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离即可．‎ ‎【详解】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于P．‎ 根据两点之间，线段最短，可知选项A铺设的管道最短．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了最短路线问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．‎ ‎7．下列命题是真命题的是（　　）‎ A．两点之间的距离是这两点间的线段 B．墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，其依据是“两点之间，线段最短”‎ C．同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交和垂直三种 D．同平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ‎【答案】D ‎【解析】根据两点间的距离的定义、垂线的性质即可作出判断．‎ ‎【详解】A、两点之间的距离是这两点间的线段的长度，故错误；‎ B、墙上固定一根木条，至少需要两根钉子，其依据是“两点可以确定一条直线”，故错误；‎ C、同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交两种，故错误；‎ D、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确．‎ 故选：D．‎ 43‎ ‎【点睛】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．‎ ‎8．（2017·淄博市临淄区皇城镇第二中学初一期中）小李同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）‎ A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线 C．经过两点有且只有一条直线 D．两点之间线段最短 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题解析：由图可知，剪掉一部分，相当于用一条线段取代了连接原来两点之间的曲线.根据线段公理：两点之间，线段最短，所以剩下树叶的周长比原树叶的周长要小.‎ 故本题应选D.‎ 点睛：直线公理是指两点确定一条直线，而线段公理是指两点之间线段最短，我们要清楚这两者的区别.‎ ‎9．（2017·淄博市临淄区皇城镇第二中学初一期中）下列说法正确的是(　 　)‎ A．两点之间的连线中，直线最短 B．若P是线段AB的中点，则AP＝BP C．若AP＝BP，则P是线段AB的中点 D．两点之间的线段叫做这两点之间的距离 ‎【答案】B ‎【解析】‎ A中，两点之间线段最短，故A错误；‎ B中，若P是线段AB的中点，则点P到A、B的距离相等，即AP=BP，故B正确；‎ 43‎ C中，若AP=BP，点P不一定是线段AB的中点，如,故C错误；‎ D中，两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离，故D错误．‎ 故选B．‎ ‎10．如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据对称的性质以及两点之间线段最短可知选项C是正确的．‎ 故选C．‎ 提升篇 二、解答题（共3小腿）‎ ‎11．（2019·兰州市外国语学校初一期末）如下图所示.(1)作出△ABC关于y轴对称的图形；(2)在x轴上确定一点P,使得PA+PC最小.‎ ‎【答案】（1） 见解析；（2）见解析.‎ 43‎ ‎【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；‎ ‎（2）根据轴对称确定最短路线问题，找出点A关于x轴的对称点A′的位置，然后连接A′B与x轴的交点即为点P ‎【详解】解：(1)如图所示，△ABC即为所求； ‎ ‎(2)如图所示，点P即为所求（有两种做法：作A或C的对称点均可）. ‎ ‎【点睛】此题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，掌握作图法则是解题关键 ‎12．（2018·泸西县中枢镇逸圃初级中学初二期中）作图题（保留作图痕迹，不写作法）‎ 如图，A、B两村在一条小河MN的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．‎ ‎（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，在图1中用尺规作图作出厂址P的位置．‎ ‎（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，在图2中作出厂址Q的位置．‎ ‎【答案】作图见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据中垂线的性质知，作AB的中垂线，交于直线MN于点P就是所求的点；‎ ‎（2）由三角形的三边关系，三角形是任意两边之和大于第三边知，故作出点A关于直线MN的对称点E 43‎ ‎，连接BE交于直线MN的点Q是所求的点．‎ 试题解析：（1）如图所示：点P即为所求；‎ ‎（2）如图所示：点Q即为所求.‎ ‎13．（2017·内蒙古鄂尔多斯康巴什新区第二中学初二期中）如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面的AB边放一行球，参赛者从起点C起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利，如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球？为什么？‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：可过点D作关于AB的对称点D′，连接CD′与AB交于点E，即为所求．‎ 试题解析：如图，参赛者应向E点跑，因为AB所在直线是DD′的垂直平分线，所以ED=ED′，C、D′两点之间CE+ED′是最短的（两点之间线段最短），所以CE+ED是最短的．‎ 43‎ 点睛：此题考查轴对称最短路径问题，能够利用两点之间线段最短求解一些简单的实际问题.凡是涉及到最短距离问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.‎ 43‎