北师大版初中数学平面图形的密铺教案

北师大版初中数学平面图形的密铺教案

‎ ‎ ‎4.7 平面图形的密铺 教学目标 ‎(一)教学知识点：‎ ‎1.了解平面图形的密铺的含义.‎ ‎2.掌握哪些平面图形可以密铺，密铺的理由及简单的密铺设计.‎ ‎(二)能力训练要求：‎ ‎1.经历探索多边形密铺(镶嵌)条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力.‎ ‎2.通过探索平面图形的密铺，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计.‎ ‎(三)情感与价值观要求：‎ 平面图形的密铺是体现电冰箱在现实生活中应用的一个方面；也是开发、培养学生创造性思维的一个重要渠道。‎ 教学重点：三角形、四边形和正六边形可以密铺。‎ 教学难点：用同一种平面图形或者几种平面图形可以密铺的条件。‎ 教学过程：‎ 一.巧设情景问题，引入课题 我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案. 这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺.‎ 这节课我们来探索平面图形的密铺.‎ 二.讲授新课 平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌，在平面上密铺需注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠.那我们先来探索多边形密铺的条件，拿出准备好的剪刀和硬纸片分组来做一做：‎ ‎(1)用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？‎ ‎(2)用同一种四边形可以密铺吗？用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验.‎ ‎(3)在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？‎ ‎(4)在用四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？‎ ‎(学生动手制作、教师强调：大家要注意：三角形、四边形的形状，可以是任意的，但裁剪出的每种图形一定是全等形.)‎ ‎1．用形状、大小完全相同的三角形可以密铺.因为三角形的内角和为180°，所以，用6个这样的三角形就可以组合起来镶嵌成一个平面.‎ 从用三角形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处有6个角，这6个角分别是这种三角形的内角(其中有三组分别相等)，它们可以组成两个三角形的内角，它们的和为360°.‎ ‎2．用同一种四边形也可以密铺，在用四边形密铺的图案中，观察到：每个拼接点处的四个角恰好是一个四边形的四个内角.四边形的内角和为360°，所以它们的和为360°.‎ ‎3．从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°.‎ 通过探索活动，我们得知：用形状、大小完全相同的四边形或三角形可以密铺一个平面，那么其他的多边形能否密铺？下面大家来想一想：‎ ‎(1)正六边形能否密铺？简述你的理由.‎ 3‎ ‎ ‎ ‎(2)分析如下图，讨论正五边形不能密铺.‎ ‎(3)还能找到能密铺的其他正多边形吗？‎ 小节：要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺.一般三角形、四边形也可以密铺.虽然它们的内角未必都相等.‎ 三.课堂练习：(一) 1.如图，在一个正方形的内部按图示(1)的方式剪去一个正三角形，并平移，形成如图(2)所示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否进行密铺？说说理由. ‎ ‎2. 根据上面的思路，自己独立设计一个可以密铺的“基本单位”图形.‎ 答案：可以密铺.‎ ‎(二)试一试：同时用边长相同的正八边形和正方形能否密铺？用硬纸板为材料进行实验.答案：可以密铺 四．课时小结 本节课我们通过活动，知道任意一个三角形，四边形或正六边形可以镶嵌成一个平面，并且探索出正多边形密铺的条件.即：一种正多边形的一个内角的倍数是否是360°.‎ 六．课后探索：‎ 探索用两种正多边形镶嵌平面的条件.‎ 过程：让学生先从简单的两种正多边形开始探索.‎ ‎(1)正三角形与正方形 正方形的每个内角是90°，正三角形的每个内角是60°，对于某个拼结点处，设有x个60°角，有y个90°角，则：‎ ‎60x+90y=360 即：2x+3y=12‎ 又x、y是正整数 解得：x=3,y=2‎ 即：每个顶点处用正三角形的三个内角，正方形的两个内角进行拼接.(如下图)‎ ‎(2)正三角形与正六边形 3‎ ‎ ‎ 正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，对于某个拼结点处，设有x个60°角，有y个120°角，即：‎ ‎60x+120y=360° 即x+2y=6‎ x、y是正整数 解得：‎ 即：每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形，或者用二个正三角形和两个正六边形，如下图.‎ ‎(3)正三角形和正十二边形 与前一样讨论，得每个顶点处用一个正三角形和两个正十二边形 由以上讨论可找到镶嵌平面的条件.‎ 结论：‎ 由n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：‎ ‎(1)n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°;‎ ‎(2)n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍. ‎ 3‎