习题精选：锐角三角函数的应用

习题精选：锐角三角函数的应用

锐角三角函数的应用 习题精选 自主演练，各个击破 三角函数的简单应用 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，下列关系式错误的是（ ） A． cosb c B B. tanb a B C. sina c A D. tan ba B  2. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，下列式子不成立的是（ ） A． 2 2 2a c b  B.sin aA c  C. tana b A D. cosc b B 3. Rt△ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高，AD＝4，BD＝2，那么 tan A ＝（ ） A． 2 2 B. 3 3 C. 2 4 D. 2 8 4.太阳光与地面成 42.5°的角，一树的影长 10 米，则树高约为________。（精确到 0.01 米） 5.在离地面高 6 米处的拉线固定一烟囱，拉线与地面成 60°角，则拉线的长约是________米。（精确 到 0.01 米） 6.如图 31—3—1，大坝横截面是梯形 ABCD，CD＝3 m, AD＝6 m. 坝高是 3 m ，BC 坡的坡度i ＝1:3, 则 坡角∠A＝__________，坝底宽 AB＝_____________。 7.如图 31—3—2，在 2005 年 6 月份的一次大风中，育英中学一棵大树在离地面若干米的 B 处折断， 树顶 A 落在离树根 12 米的地方，现测得∠BAC＝48°，求原树高是多少米？（精确到 0.01 米） 互动探究，拓展延伸 学科综合 8．由于过度采伐森林和破坏植被，使我国某些地区受到沙尘暴侵袭，近日 A 市气象局测得沙尘暴中 心在 A 市正东方向 400km 的 B 处，正在向西北方向转移（如图 31—3—3 所示），距沙尘暴中心 300km 的 范围内将受其影响，问 A 市是否会受到这次沙尘暴的影响？ 9．如图 31—3—4，为了测量电视塔 AB 的高度，在 C、D 两点测得塔顶 A 的仰角分别为 30°，45°。 已知 C、D 两点在同一水平线上，C、D 间的距离为 60 米，测倾器 CF 的高为 1.5 米，求电视塔 AB 的高。（精 确到 0.1 米） 10.如图 31—3—5，一只船自西各东航行，上午 9 时到达一座灯塔 P 的西南方向 68 海里的 M 处，上午 11 时到达这座灯塔的正南方向 N 处，求这只船航行的速度。 创新思维 （一）新型题 11．如图 31—3—6，为了测量河的宽度，东北岸选了一点 A，东南岸选相距 200m 的 B、C 两点测得 ∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，求这段河的宽度。（精确到 0.1m） （二）课本习题变式题 12.（习题第 1 题变式题）如图 31—3—7，瞭望台 AB 高 20m，瞭望台底部 B 测得对面塔顶 C 的仰角为 60°，从瞭望台顶 A 测得 C 的仰角为 45°，已知瞭望台与塔 CD 地势高低相同，求塔 CD 的高。 (三)易错题 13.如图 31—3—8，在天桥广场上的 A 处放一气球，当气球上升了 75m 时，恰在旗杆 CD 的上空 B 处， 在 A 点测得气球和 C 的仰角分别是 47°54′、25°17′，求旗杆 CD 的高（精确到 0.01m）。 迁移动用，落实课标 数学在经济、科技、生活中的应用 14.（2003·贵阳）如图 31—3—9，某货船以 20 海里/时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向 的 B 处，经 16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时，接到气象部门通知，一台风中心正以 40 海 里/时的速度由 A 向北偏西 60°方向移动，距台风中心 200 海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。 （1）问：B 处是否会受到台风的影响？请说明理由。 （2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？ 15.如图 31—3—10，某移动公司移动电话的信号收发塔建在某中学的科技楼上，李明同学利用测倾器 在距离科技楼靠塔的一面 25 米远处测得塔顶 A 的仰角为 60°，塔底 B 的仰角为 30°，你能利用这些数据 帮李明同学计算出该塔的高度吗？（结果精确到 0.1 米） 自主探究 16.（2003·辽宁）如图 31—3—11，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物 ABCD，且建筑物周围 没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度 AD 和高度 DC 都可直接测得，从 A、D、C 三点可看到塔顶端 H，可 供使用的测量工具有皮尺，测倾器。 （1）请你根据现在条件，充分利用矩形建筑物，设计一下测量塔顶端到地面高度 HG 的方案。 具体要求如下： 1 测量数据尽可能少；②在所绘图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形 上（如果测线段长用 m、n 表示；如果测角用 、  、 表示，测倾器高度不计）。 （2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度 HG（用字母表示）。 潜能开发 17.为建一座桥，施工时，需求出 B、C 两地的距离，如图 31—3—12，现测得 A 到 BC 的距离是 h，∠ ABC＝ ，∠ACB＝  ，试确定 BC 的距离。 经典名题，提升自我 中考链接 18.（2004·泰州）李小同的叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，需要修一个如图 31—3—13 所 示的育苗棚，棚宽 a ＝3 m,棚顶与地面所成的角约为 25°，长 b ＝9 m,则覆盖在顶上的塑料薄膜至少需 _________㎡.(精确到 1 ㎡) 19.（2004·曲沃课改实验区）如图 31—3—14，沿倾斜角为 30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的 水平距离 AC 为 2 m，那么相邻两棵树的斜坡距记 AB 约为_________m. 20.（2004·淮安）如图 31—3—15，小丽用一个两锐角分别为 30°和 60°的三角尺测量一棵树的高 度，已知她与树之间的距离为 9.0m ，眼睛与地面的距离为 1.6m，60°角对的直角边平行于地面，斜边所 在直线过树的顶端，那么这棵树的高度大约为（ ） A．5.2m B. 6.8m C. 9.4m D. 17.2m 21.(2004·重庆)如图 31—3—16，CD 是平面镜，光线从 A 点出发经 CD 上点 E 反射后照到 B 点，若入 射角为 （入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为 C、D，且 AC＝3，BD＝6，CD＝11，则 tan 的值为（ ） A． 11 3 B. 3 11 C. 9 11 D.11 9 22.（2004·河南）如图 31—3—17，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直 距离 MA 为 米，此时梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的距离 NC 为b 米，梯子 的倾斜角为 45°，这间房子的宽 AC 一定是（ ） A． 2 a b 米 B． 2 a b 米 C．b 米 D． 米 23.（2004·陕西）如图 31—3—18，有甲、乙两楼，甲楼高 AD 是 23 米，现在想测量乙楼 CB 的高度， 某人在甲楼的楼底 A 和楼顶 D 分别测昨乙楼的楼顶 B 的仰角为 65°13′和 45°，利用这些数据可求得乙 楼的高度为_________米。（结果精确到 0.01 米） 24.（2004·四川）如图 31—3—19，小丽的家住在成都市锦江河畔的电梯公寓 AD 内，她家的河对岸 新建了一座大厦 BC，为了测得大厦的高度，小丽在她家的楼底 A 处测得大厦顶部 B 的仰角为 60°，爬上 楼顶 D 处测得大厦顶部 B 的仰角为 30°，已知小丽所住的电梯公寓高 82 米，请你帮助小丽计算出大厦高 度 BC 及大厦与小丽所在电梯公寓间的距离 AC。 自主探究 25.（昆明市初中数学竞赛试题）如图 31—3—20 海中一小岛 A 在周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼 群由西向东航行，在 B 测得小岛 A 在北偏东 60°方向，航行 12 海里后到达 D，这时测得小岛 A 在北偏东 30°方向，如渔船不改变航向，有没有触礁的危险？ 趣味数学 26.如图 31—3—21，Rt△ABC 中，∠C＝90°，P 是斜边 AB 上的一个动点（不与 AB 重合），过 P 分别 作 PM⊥AC，PN⊥BC，△AMP 的面积是 1S ，△PNB 的面积是 2S ，四边形 CMPN 的面积是 aS , 1S ＋ 2S 与 3S 之 间有怎样的关系？ 参考答案： 1．A 2．D 3．A 4．9.16 米 5．6.93 6．30°，AB＝12 3 3 （m） 7.树高为 31.26 m 8.过点 A 作 AC⊥BD 于 C。在 Rt△ABC 中，∠ABC＝45°，AB＝400 ∴AC＝AB·sin 45 200 2  ,而 200 2 ＜300.∴A 市受其影响。 9.电视塔高约是 83.5 米。 10.由题意∠M＝45°，则在 Rt△PNM 中， cos MNM MP  ,即 2 68 2 MN  ∴MN＝34 2 ∴ 34 2 11 9    ≈24.04（海里/小时） 11.过 A 作 AO⊥BC 于 D，在 Rt△AOB 中，∠B＝60°，∴∠BAD＝30°， ∴BD＝AD· 3tan30 3 AD  . 在 Rt△ADC 中，∠C＝45°. ∴CD＝AD，又 BC＝200， ∴BD＋CD＝ 3 3 AD ＋AD＝200. 解得 AD≈126.8(米) 12. 47.3（m） 13．设 CD＝x m, ∵BD＝75 ∴AD＝ 75 tan tan 47 54 BD BAD    ≈67.768(m) ∴x＝AD· tan CAD ＝67.768× tan 25°17′≈32.01(m) 14.（1）受台风影响。 （2）应在 3.9 小时内卸完货。 15.在 Rt△ACD 中 ,AC＝CD· tan 60°＝25× 3 25 3 . 在 Rt△BCD 中，BC＝CD· tan 30°＝ 25 3 3 . ∴AB＝AC－BC＝ 25 325 3 3  ≈28.9（米） 16.答案不唯一，如图 HG＝ tan tan tan tan m a na     . 17.在 Rt△ABD 中，BD＝ tan tan AD h a a  . 在 Rt△ADC,CD＝ tan tan AD h   , ∴BC＝BD＋CD＝ (tan tan ) tan tan tan tan h h h a a a       . 18.30 19. 2.3 20. D 21. D 22. D 23. 42.73 24.大厦高 BC 是 123 米，电梯公寓与大厦间距离 41 3 米。 25.设 AC＝x 海里。 在 Rt△ABC 中，BC＝ tan30 x  . 在 Rt△ADC 中，DC＝ tan 60 x  ， 又 BC－DC＝12. ∴ tan30 x  － tan 60 x  ＝12. 解得 x＝ 6 3 ≈10.4, 10.4＞8,故渔船无触礁危险。 26.略