2020年苏科版数学初中八年级上册第一次月考质检考试测试卷及答案 附月考知识点归纳

2020年苏科版数学初中八年级上册第一次月考质检考试测试卷及答案 附月考知识点归纳

2020 年苏科版数学初中八年上册第一次月考质检考试测试卷及答案 附月考知识点归纳 一、选择题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 1．（3 分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（3 分）下列事件（1）打开电视机，正在播放新闻； （2）父亲的年龄比他儿子年龄大； （3）下个星期天会下雨；（4）抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是 1；（5） 一个实数的平方是正数（6）若 a、b 异号，则 a+b＜0．属于确定事件的有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（3 分）已知样本数据个数为 30，且被分成 4 组，各组数据个数之比为 2：4：3：1，则 第二小组和第三小组的频率分别为（ ） A．0.4 和 0.3 B．0.4 和 9 C．12 和 0.3 D．12 和 9 4．（3 分）要使分式 有意义，那么 x 的取值范围是（ ） A．x＞2 B．x＞3 C．x≠2 D．x≠3 5．（3 分）若顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形 ABCD 一定是 （ ） A．矩形 B．菱形 C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形 6．（3 分）如图，将矩形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到矩形 FGCE，点 M、N 分别是 BD、GE 的中点，若 BC＝14，CE＝2，则 MN 的长（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 7．（3 分）“平行四边形的对角线互相垂直”是 事件．（填“必然”、“随机”、“不可 能”） 8．（3 分）学校为了考察我校八年级同学的视力情况，从八年级的 17 个班共 850 名学生中， 每班抽取了 5 名进行分析．在这个问题中．样本是 ，样本的容量是 ． 9．（3 分）某食堂有煤 mt，原计划每天烧煤 at，现每天节约用煤 b（b＜a）t，则这批煤可 比原计划多烧 天． 10．（3 分）下列命题： ① 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ② 对角 线互相平分的四边形是平行四边形； ③ 在四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，那么这 个四边形 ABCD 是平行四边形； ④ 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边 形．其中正确的命题是 （将命题的序号填上即可）． 11．（3 分）如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的长分别为 6cm、8cm，AE⊥BC 于点 E，则 AE 的长是 ． 12．（3 分）若关于 x 的方程 的解是正数，则 m 的取值范围是 ． 13．（3分）矩形的一个角的平分线把一条边分成3cm 和5cm 的两部分，则它的面积是 ． 14．（3 分）如图，P 是正方形 ABCD 内一点，将△ABP 绕点 B 顺时针方向旋转能与△CBP′ 重合，若 PB＝2，则 PP′＝ ． 15．（3 分）如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD＝2AD，E、F、G 分别 是 OC、OD、AB 的中点，下列结论： ① ∠OBE＝ ∠ADO； ② EG＝EF； ③ GF 平分∠ AGE； ④ EF⊥GE，其中正确的是 ． 16．（3 分）如图，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 的边 AD、AB、BC、CD 上，且 AF＝ CH，BG＝DE，若 AB＝2，BC＝4，则四边形 EFGH 周长最小值为 ． 三、解答题 17．（10 分）设中学生体质健康综合评定成绩为 x 分，满分为 100 分，规定：85≤x≤100 为 A 级，75≤x＜85 为 B 级，60≤x＜75 为 C 级，x＜60 为 D 级．现随机抽取福海中学部分 学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答 下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了 名学生， α ＝ %； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中 C 级对应的圆心角为 度； （4）若该校共有 2000 名学生，请你估计该校 D 级学生有多少名？ 18．（8 分）解下列方程： （1） ＝1； （2） ． 19．（6 分）先化简：（ ﹣a+1）÷ ，并从 0，﹣1，2 中选一个合适的数作为 a 的值代入求值． 20．（8 分）某商店用 1000 元购进一批套尺，很快销售一空；商店又用 1500 元购进第二批 同款套尺，购进单价比第一批贵 25%，所购数量比第一批多 100 套． （1）求第一批套尺购进的单价； （2）若商店以每套 4 元的价格将这两批套尺全部售出，可以盈利多少元？ 21．（12 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1 个单位长度．平面直角坐标 系 xOy 的原点 O 在格点上，x 轴、y 轴都在格线上．线段 AB 的两个端点也在格点上． （1）若将线段 AB 绕点 O 逆时针旋转 90°得到线段 A1B1，试在图中画出线段 A1B1． （2）若线段 A2B2 与线段 A1B1 关于 y 轴对称，请画出线段 A2B2． （3）若点 P 是此平面直角坐标系内的一点，当点 A、B1、B2、P 四边围成的四边形为平 行四边形时，请你直接写出点 P 的坐标． 22．（10 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两 点，且 AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE． （1）求证：△CDF≌△ABE； （2）求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 23．（10 分）在△ABC 中，点 M 是边 BC 的中点，AD 平分∠BAC，BD⊥AD，BD 的延长线 交 AC 于点 E，AB＝12，AC＝20． （1）求证：BD＝DE； （2）求 DM 的长． 24．（12 分）在正方形 ABCD 中，点 E、F 在边 AB、CD 上，点 G、H 在边 AD、CB 上，EF 和 GH 相交于点 O，∠DGH＝70°，按下列要求分别画出 EF （1）当∠GOE＝90°时，求证：EF＝GH； （2）当 EF＝GH 时，画出示意图，直接写出∠GOE 的度数． 25．（12 分）已知：四边形 ABCD 是一张矩形纸片，AB＝3cm，BC＝5cm （1）在矩形 ABCD 的边 AD 上找一点 E，使 CE 平分∠BED，请利用刻度尺或圆规作出 点 E，写出作法，并给出证明； （2）把矩形纸片沿某直线剪一刀分成两部分后，再用这两部分拼成一个菱形，请画出剪 拼的示意图，并求出菱形的较长对角线的长度． 26．（14 分）如图，正方形 ABCO 的边 OA、OC 在坐标轴上，点 B 坐标为（6，6），将正方 形 ABCO 绕点 C 逆时针旋转角度 α （0°＜ α ＜90°），得到正方形 CDEF，ED 交线段 AB 于点 G，ED 的延长线交线段 OA 于点 H，连 CH、CG． （1）求证：△CBG≌△CDG； （2）求∠HCG 的度数；并判断线段 HG、OH、BG 之间的数量关系，说明理由； （3）连结 BD、DA、AE、EB 得到四边形 AEBD，在旋转过程中，当 G 点在何位置时四 边形 AEBD 是矩形？请说明理由并求出点 H 的坐标． 参考答案与试题解析 一、选择题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 1．（3 分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形 【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（3 分）下列事件（1）打开电视机，正在播放新闻； （2）父亲的年龄比他儿子年龄大； （3）下个星期天会下雨；（4）抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是 1；（5） 一个实数的平方是正数（6）若 a、b 异号，则 a+b＜0．属于确定事件的有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】X1：随机事件 【解答】解：（1）打开电视机，正在播放新闻是随机事件； （2）父亲的年龄比他儿子年龄大是必然事件； （3）下个星期天会下雨是随机事件； （4）抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是 1 是不可能事件； （5）一个实数的平方是正数是随机事件； （6）若 a、b 异号，则 a+b＜0 是随机事件． 故选：B． 3．（3 分）已知样本数据个数为 30，且被分成 4 组，各组数据个数之比为 2：4：3：1，则 第二小组和第三小组的频率分别为（ ） A．0.4 和 0.3 B．0.4 和 9 C．12 和 0.3 D．12 和 9 【考点】V7：频数（率）分布表 【解答】解：∵样本数据个数为 30，且被分成 4 组，各组数据个数之比为 2：4：3：1， ∴第二小组和第三小组的频数为：30× ＝12，30× ＝9， ∴第二小组和第三小组的频率分别为： ＝0.4， ＝0.3． 故选：A． 4．（3 分）要使分式 有意义，那么 x 的取值范围是（ ） A．x＞2 B．x＞3 C．x≠2 D．x≠3 【考点】62：分式有意义的条件 【解答】解：由题意得，x﹣2≠0， 解得，x≠2， 故选：C． 5．（3 分）若顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形 ABCD 一定是 （ ） A．矩形 B．菱形 C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形 【考点】KX：三角形中位线定理；LC：矩形的判定 【解答】解：已知：如右图，四边形 EFGH 是矩形，且 E、F、G、H 分别是 AB、BC、 CD、AD 的中点，求证：四边形 ABCD 是对角线垂直的四边形． 证明：由于 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点， 根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG； ∵四边形 EFGH 是矩形，即 EF⊥FG， ∴AC⊥BD， 故选：C． 6．（3 分）如图，将矩形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到矩形 FGCE，点 M、N 分别是 BD、GE 的中点，若 BC＝14，CE＝2，则 MN 的长（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【考点】KW：等腰直角三角形；LB：矩形的性质；R2：旋转的性质 【解答】解：连接 AC、CF、AF，如图所示： ∵矩形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到矩形 FFCE， ∴∠ABC＝90°， ∴AC＝ ＝ ＝10 ， AC＝BD＝GE＝CF，AC 与 BD 互相平分，GE 与 CF 互相平分， ∵点 M、N 分别是 BD、GE 的中点， ∴M 是 AC 的中点，N 是 CF 的中点， ∴MN 是△ACF 的中位线， ∴MN＝ AF， ∵∠ACF＝90°， ∴△ACF 是等腰直角三角形， ∴AF＝ AC＝10 × ＝20， ∴MN＝10 故选：D 二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 7．（3 分）“平行四边形的对角线互相垂直”是 随机 事件．（填“必然”、“随机”、“不可 能”） 【考点】L5：平行四边形的性质；X1：随机事件． 菁优 网版权所有 【解答】解：因为平行四边形的对角线互相平分，但不一定互相垂直，所以平行四边形 的对角线互相垂直是随机事件， 故答案为：随机 8．（3 分）学校为了考察我校八年级同学的视力情况，从八年级的 17 个班共 850 名学生中， 每班抽取了 5 名进行分析．在这个问题中．样本是 85 名学生的视力情况 ，样本的容 量是 85 【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量 【解答】解：17×5＝85 在这个问题中．样本是 85 名学生的视力情况，样本的容量是 85． 故答案分别为 85 名学生的视力情况，85． 9．（3 分）某食堂有煤 mt，原计划每天烧煤 at，现每天节约用煤 b（b＜a）t，则这批煤可 比原计划多烧 （ ﹣ ） 天． 【考点】6G：列代数式（分式） 【解答】解：这些煤可比原计划多用的天数＝实际所烧天数﹣原计划所烧天数＝（ ﹣ ）天． 故答案为：（ ﹣ ）． 10．（3 分）下列命题： ① 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ② 对角 线互相平分的四边形是平行四边形； ③ 在四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，那么这 个四边形 ABCD 是平行四边形； ④ 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边 形．其中正确的命题是 ② （将命题的序号填上即可）． 【考点】L6：平行四边形的判定；O1：命题与定理． 菁优网版 权所有 【解答】解： ① 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，等腰梯 形也满足该条件．故 ① 错误； ② 对角线互相平分的四边形是平行四边形．故 ② 正确； ③ 在四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，那么这个四边形 ABCD 不一定是平行四边形， 筝形也满足该条件．故 ③ 错误； ④ 一组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行．故 ④ 错误； 故填： ②11．（3 分）如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的长分别为 6cm、8cm，AE⊥BC 于点 E，则 AE 的长是 cm 【考点】L8：菱形的性质 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴CO＝ AC＝3cm，BO＝ BD＝4cm，AO⊥BO， ∴BC＝ ＝5cm， ∴S 菱形 ABCD＝ ＝ ×6×8＝24cm2， ∵S 菱形 ABCD＝BC×AE， ∴BC×AE＝24， ∴AE＝ ＝ cm． 故答案为： cm． 12．（3 分）若关于 x 的方程 的解是正数，则 m 的取值范围是 m＜3 且 m≠ ． 【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式． 菁优网版 权所有 【解答】解：去分母得：x＝2（x﹣3）+2m， 解得：x＝6﹣2m ∵关于 x 的方程 的解是正数， ∴6﹣2m＞0， ∴m＜3， ∵x﹣3≠0， ∴6﹣2m﹣3≠0， ∴m≠ ， ∴m 的取值范围是：m＜3 且 m≠ ． 故答案为：m＜3 且 m≠ ． 13．（3 分）矩形的一个角的平分线把一条边分成 3cm 和 5cm 的两部分，则它的面积是 24 或 40cm2 ． 【考点】LB：矩形的性质 【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AB＝AE， 当 AE＝3cm 时，AB＝AE＝3＝CD，AD＝3cm+5cm＝8cm＝BC， ∴此时矩形 ABCD 的面积＝24cm2； 当 AE＝5cm 时，AB＝AE＝5cm＝CD，AD＝3cm+5cm＝8cm＝BC， ∴此时矩形 ABCD 的面积＝40cm2； 故答案为：24 或 40cm2． 14．（3 分）如图，P 是正方形 ABCD 内一点，将△ABP 绕点 B 顺时针方向旋转能与△CBP′ 重合，若 PB＝2，则 PP′＝ 2 ． 【考点】R2：旋转的性质 【解答】解：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠ABC＝90°， ∵△ABP 绕点 B 顺时针方向旋转能与△CBP′重合， ∴∠PBP′＝∠ABC＝90°，PB＝P′B＝2， ∴△PBP′为等腰直角三角形， ∴PP′＝ PB＝2 ． 故答案为 2 ． 15．（3 分）如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD＝2AD，E、F、G 分别 是 OC、OD、AB 的中点，下列结论： ① ∠OBE＝ ∠ADO； ② EG＝EF； ③ GF 平分∠ AGE； ④ EF⊥GE，其中正确的是 ①②③ ． 【考点】L5：平行四边形的性质． 菁优网版 权所有 【解答】 ①②③ 解： ① ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，DO＝BO＝ BD， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD＝2AD， ∴AD＝DO， ∴BC＝BO， ∵E 是 CO 中点， ∴∠OBE＝ ∠OBC， ∴∠OBE＝ ∠ADO，故 ① 正确； ② ∵BC＝BO， ∴△BOC 是等腰三角形， ∵E 是 CO 中点， ∴EB⊥CO， ∴∠BEA＝90°， ∵G 为 AB 中点， ∴EG＝ AB， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵E、F 分别是 OC、OD 的中点， ∴EF＝ CD ∴EG＝EF，故 ② 正确； ③ ∵，E、F 分别是 OC、OD 的中点， ∴EF∥DC， ∵DC∥AB， ∴EF∥AB， ∴∠EFG＝∠AGF， ∵EF＝EG， ∴∠EFG＝∠EGF， ∴∠EGF＝∠AGF， ∴GF 平分∠AGE，故 ③ 正确； 故答案为： ①②③ ． 16．（3 分）如图，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 的边 AD、AB、BC、CD 上，且 AF＝ CH，BG＝DE，若 AB＝2，BC＝4，则四边形 EFGH 周长最小值为 4 ． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质；PA：轴对称﹣最短路线问 题 【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∵AF＝CH，BG＝DE， ∴AF＝CH，AE＝CG， 在△AEF 与△CGH 中， ， ∴△AEF≌△CGH（SAS） ∴EF＝HG， 同理 FG＝HE， 作 E 关于 AB 的对称点 E1，作 E 关于 DC 的对称点 E2，作 E2 关于 CB 的对称点 E3，连接 E1E3 交 CB 于 G，交 AB 于点 F，连接 E2G 交 CD 于 H，连接 EF、EH， 则此时，四边形 EFGH 周长最小，四边形 EFGH 周长＝E1E3， ∴E1E2＝2AD＝2BC＝8，E2E3＝2CD＝2AB＝4， ∴E1E3＝ ＝4 ， ∴四边形 EFGH 周长最小值为 4 ， 故答案为：4 ． 三、解答题 17．（10 分）设中学生体质健康综合评定成绩为 x 分，满分为 100 分，规定：85≤x≤100 为 A 级，75≤x＜85 为 B 级，60≤x＜75 为 C 级，x＜60 为 D 级．现随机抽取福海中学部分 学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答 下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了 50 名学生， α ＝ 24 %； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中 C 级对应的圆心角为 72 度； （4）若该校共有 2000 名学生，请你估计该校 D 级学生有多少名？ 【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图 【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生数是： ＝50（人）， a＝ ×100%＝24%； 故答案为：50，24； （2）等级为 C 的人数是：50﹣12﹣24﹣4＝10（人）， 补图如下： （3）扇形统计图中 C 级对应的圆心角为 ×360°＝72°； 故答案为：72； （4）根据题意得：2000× ＝160（人）， 答：该校 D 级学生有 160 人． 18．（8 分）解下列方程： （1） ＝1； （2） ． 【考点】B3：解分式方程 【解答】解：（1）去分母，得 x（x﹣1）﹣4＝x2﹣1， 去括号，得 x2﹣x﹣4＝x2﹣1， 整理，得 x+3＝0， 所以，x＝﹣3， 经检验，x＝3 是原方式方程的解， 所以原分式方程的解为：x＝3， （2）去分母得：（x﹣2）2﹣（x+2）2＝16， 整理得：﹣8x＝16， 解得：x＝﹣2， 当 x＝2 时，x2﹣4＝0， 所以 x＝2 不是原方程的解． 所以原方程无解． 19．（6 分）先化简：（ ﹣a+1）÷ ，并从 0，﹣1，2 中选一个合适的数作为 a 的值代入求值． 【考点】6D：分式的化简求值 【解答】解：（ ﹣a+1）÷ ＝ ＝ ＝ ， 当 a＝0 时，原式＝ ． 20．（8 分）某商店用 1000 元购进一批套尺，很快销售一空；商店又用 1500 元购进第二批 同款套尺，购进单价比第一批贵 25%，所购数量比第一批多 100 套． （1）求第一批套尺购进的单价； （2）若商店以每套 4 元的价格将这两批套尺全部售出，可以盈利多少元？ 【考点】B7：分式方程的应用 【解答】解：（1）设第一批套尺购进的单价为 x 元． 解得 x＝2） 经检验：x＝2 是所列方程的解 答：第一批套尺购进的单价是 2 元． （2）1000÷2＝500（套） 500+500+100＝1100（套） 1100×4﹣（1000+1500）＝1900（元） 答：可盈利 1900 元． 21．（12 分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为 1 个单位长度．平面直角坐标 系 xOy 的原点 O 在格点上，x 轴、y 轴都在格线上．线段 AB 的两个端点也在格点上． （1）若将线段 AB 绕点 O 逆时针旋转 90°得到线段 A1B1，试在图中画出线段 A1B1． （2）若线段 A2B2 与线段 A1B1 关于 y 轴对称，请画出线段 A2B2． （3）若点 P 是此平面直角坐标系内的一点，当点 A、B1、B2、P 四边围成的四边形为平 行四边形时，请你直接写出点 P 的坐标． 【考点】P7：作图﹣轴对称变换；R8：作图﹣旋转变换 【解答】解：（1）如图，线段 A1B1 为所作； （2）如图，线段 A2B2 为所作； （3）点 P 的坐标为（﹣4，﹣1）或（4，﹣1）或（0，5）． 22．（10 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两 点，且 AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE． （1）求证：△CDF≌△ABE； （2）求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L6：平行四边形的判定 【解答】（1）证明：∵DF∥EB， ∴∠DFE＝∠BEF， ∵∠DFC+∠DFE＝180°，∠AEB+∠BEF＝180°， ∴∠DFC＝∠AEB， ∵AF＝CE， ∴AE＝CF， 在△FCD 和△EAB 中， ， ∴△FCD≌△EAB． （2）∵△FCD≌△EAB， ∴CD＝AB，∠DCF＝∠BAE， ∴DC∥AB，又∵CD＝AB， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 23．（10 分）在△ABC 中，点 M 是边 BC 的中点，AD 平分∠BAC，BD⊥AD，BD 的延长线 交 AC 于点 E，AB＝12，AC＝20． （1）求证：BD＝DE； （2）求 DM 的长． 【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理 【解答】（1）证明：∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD＝∠DAE ∵AD⊥BD ∴∠ADB＝∠ADE＝90° 在△ADB 与△ADE 中 ∴△ADB≌△ADE ∴BD＝DE （2）∵△ADB≌△ADE ∴AE＝AB＝12 ∴EC＝AC﹣AE＝8 ∵M 是 BC 的中点，BD＝DE DM＝ EC＝4 24．（12 分）在正方形 ABCD 中，点 E、F 在边 AB、CD 上，点 G、H 在边 AD、CB 上，EF 和 GH 相交于点 O，∠DGH＝70°，按下列要求分别画出 EF （1）当∠GOE＝90°时，求证：EF＝GH； （2）当 EF＝GH 时，画出示意图，直接写出∠GOE 的度数． 【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质 【解答】解：（1）如图 1，过点 E 作 ET⊥CD 于 T，过点 H 作 HR⊥AD 于 R， 则∠ETF＝∠HRG＝90° ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD，AD∥BC ∴四边形 ABHR、四边形 BCTE 均为矩形 ∴HR＝AB＝BC＝ET ∵∠GOE＝90° ∴∠GOF＝90°，∠GOF+∠D＝180° ∵∠DGO+∠DFO+∠GOF+∠D＝360° ∴∠DGO+∠DFO＝180° ∵∠EFT+∠DFO＝180° ∴∠DGO＝∠EFT ∴△EFT≌△HGR（AAS） ∴EF＝GH； （2）如图 2，过点 E 作 ET⊥CD 于 T，过点 H 作 HR⊥AD 于 R， 则∠ETF＝∠HRG＝90° ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD，AD∥BC ∴四边形 ABHR、四边形 BCTE 均为矩形 ∴HR＝AB＝BC＝ET ∵EF＝GH ∴Rt△EFT≌Rt△HGR（HL） ∴∠EFT＝∠HGR ∵∠EFT+∠DFO＝180° ∴∠HGR+∠DFO＝180° ∵∠HGR+∠DFO+∠GOF+∠D＝360° ∴∠GOF+∠D＝180° ∴∠GOF＝90° ∴∠GOE＝90° 如图 3，过点 E 作 ET⊥CD 于 T，过点 H 作 HR⊥AD 于 R， 则∠ETF＝∠HRG＝90° ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD，AD∥BC ∴四边形 ABHR、四边形 BCTE 均为矩形 ∴HR＝AB＝BC＝ET ∵EF＝GH ∴Rt△EFT≌Rt△HGR（HL） ∴∠EFT＝∠HGR＝70° ∵∠HGR+∠DFO+∠GOF+∠D＝360° ∴∠FOG＝130° ∴∠GOE＝180°﹣∠FOG＝180°﹣130°＝50° 综上所述，∠GOE＝90°或 50°． 25．（12 分）已知：四边形 ABCD 是一张矩形纸片，AB＝3cm，BC＝5cm （1）在矩形 ABCD 的边 AD 上找一点 E，使 CE 平分∠BED，请利用刻度尺或圆规作出 点 E，写出作法，并给出证明； （2）把矩形纸片沿某直线剪一刀分成两部分后，再用这两部分拼成一个菱形，请画出剪 拼的示意图，并求出菱形的较长对角线的长度． 【考点】KF：角平分线的性质；L9：菱形的判定；LB：矩形的性质；N4：作图—应用 与设计作图；PC：图形的剪拼 【解答】解：（1）如图 1 所示，点 E 即为所求； 由作图知 BC＝BE， ∴∠BCE＝∠BEC， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠BCE＝∠DEC， ∴∠BEC＝∠DEC， ∴EC 平分∠BED； （2）如图 2 所示，沿 BE 裁剪，将△ABE 平移至△DCF 位置，则四边形 BCFE 即为所求， 由（1）知，BC＝BE＝5， ∵AB＝3，∠A＝90°， ∴DF＝AE＝ ＝4， 则 AF＝AD+DF＝5+4＝9， ∴BF＝ ＝ ＝3 （cm）． 26．（14 分）如图，正方形 ABCO 的边 OA、OC 在坐标轴上，点 B 坐标为（6，6），将正方 形 ABCO 绕点 C 逆时针旋转角度 α （0°＜ α ＜90°），得到正方形 CDEF，ED 交线段 AB 于点 G，ED 的延长线交线段 OA 于点 H，连 CH、CG． （1）求证：△CBG≌△CDG； （2）求∠HCG 的度数；并判断线段 HG、OH、BG 之间的数量关系，说明理由； （3）连结 BD、DA、AE、EB 得到四边形 AEBD，在旋转过程中，当 G 点在何位置时四 边形 AEBD 是矩形？请说明理由并求出点 H 的坐标． 【考点】LO：四边形综合题 【解答】解（1）∵将正方形 ABCO 绕点 C 逆时针旋转角度 α ， ∴DC＝CO，∠CDG＝∠COA＝90°， ∵四边形 OCBA 是正方形， ∴CB＝CO，∠B＝90°， ∴CB＝CD，∠B＝∠CDG＝90° 在 Rt△CDG 与 Rt△CBG 中， ， ∴Rt△CDG≌Rt△CBG； （2）∵∠CDG＝90°， ∴∠CDH＝90°， 在 Rt△COH 与 Rt△CDH 中， ， ∴Rt△COH≌Rt△CDH， ∴∠OCH＝∠DCH，HO＝DH， ∵Rt△CDG≌Rt△CBG， ∴∠DCG＝∠BCG，DG＝BG， ∴∠HCG＝∠DCG+∠DCH＝45°， HG＝HD+DG＝HO+BG； （3）当 G 是 AB 中点时，四边形 ADBE 是矩形， ∵G 是 AB 中点， ∴BG＝AG＝ AB 由（2）得 DG＝BG， 又∵AB＝DE， ∴DG＝ DE， ∴DG＝GE＝BG＝AG， ∴四边形 AEBD 是平行四边形， ∵AB＝DE， ∴▱ ADBE 是矩形， 设点 H 的坐标为（x，0）， 则 HO＝HD＝x，DG＝BG＝AG＝3，AH＝6﹣x， 由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（3+x）2， 解得，x＝2， ∴H（2，0）． 八上数学苏科版 第一章——全等三角形知识点整理 1.全等形： 能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2.全等三角形：定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 表示方法：△ABC 全等于△DEF（△ABC  △DEF） 表示两个全等的三角形时对应顶点要写在对应的位置上。 全等三角形的性质： 1.全等三角形的对应边相等 2.全等三角形的对应角相等 3.全等三 角形对应边上的高、中线，对应角的角平分线相等 4.全等三角形的面积相等 3.三角形全等的判定： 1 边边边(SSS): 三边对应相等的两个三角形全等。 2 边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 3 角边角（ASA）：两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等。 角角边（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 4 斜边，直角边 (HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。 注：①边边边、边角边、角边角、角角边四种判定方法实用于所有三角形，斜边，直角边只 能判定直角三角形全等。 ②三角形全等的判定方法没有角角角（AAA）、边边角（SSA）和角边边(ASS)三种。 4.角的平分线的性质： 1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 2.角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 第二章——轴对称知识点整理 1.轴对称图形 定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个 图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形：长方形、正方形、等腰三角形、等边三角形、圆、正多边形、线段、角等。 正多边形对称轴线条数：正多边形对称轴线条数等于边数。 2.轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够和另外一个图形完全重合， 那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点， 叫做对称点。 性质：如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 判定：如果两个图形中任何一对对应点所连的线段都被同一条直线垂直平分，那么这两个图 形关于某直线对称。 注(1)轴对称图形是指一个图形的性质，而轴对称是指两个图形的位置关系。 (2)成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称。 3．线段的垂直平分线 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂 直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 判定：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 4．轴对称变换 定义：由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图 形与原图形的形状和大小完全相同，这样的图形变换叫做周对称变换。 用坐标表示轴对称： 点 P（ x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为 P′（x,－y） 点 P（ x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为 P′（－x,y） 简记：关于什么轴对称就什么坐标不变，另外一个坐标互为相反数。 5．轴对称图形的画法 通用画法：（1）作原图形各顶点的对称点；（2）把所作各对称点按原图形依次联结。 作对称点的方法简记：过顶点，作垂线，取等长。 平面直角坐标系中的画法：（1）求出原图形各顶点的对称点的坐标；（2）根据坐标在平面直 角坐标系中描出各对称点；（3）把各对称点按原图形依次联结。 6．等腰三角形 定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形。 元素：等腰三角形相等的两条边叫腰（有两条），另外一条边叫底边（有一条），两腰的夹角 叫顶角（有一个）两腰与底边的夹角叫底角（有两个）。 性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写为：等边对等角）。 （2）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：三线合 一）。 判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为：等角对等边）。 有关计算：（1）已知顶角求底角：底角=（1800 －顶角）÷2 （2）已知底角求顶角：顶角=1800 －底角×2 （3）已知一角求另一角：①当已知角为顶角时，另一角=（1800 －顶角）÷2 ②当已知角为底角时，另一角=1800 －底角×2 （4）已知腰长和底边长求周长：周长=腰长×2 + 底边长 （5）已知两边长求周长：周长=其中一边长×2 +另一边长（分两种情况讨论，但要注意是 否能构成三角形） （6）已知周长和底边长求腰长：腰长=（周长－底边长）÷2 （7）已知周长和腰长求底边长：底边长=周长－腰长×2 （8）已知周长和一边长，求另外两边长：分两种情况计算：①当已知边为腰时；②当已知 边为底时。（但要注意是否能构成三角形） 7.等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形。 性质：三边都相等，三个内角都等于 60°。 判定：方法一：根据定义判定，即三边都相等的三角形叫等边三角形。 方法二：三个角都相等的三角形是等边三角形。 方法三：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。 注：等边三角形是一种特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质 8.直角三角形的性质 直角三角形中， 030 角所对的直角边等于斜边的一半。反之，斜边等于 030 角所对直角边的 2 倍。