八年级上册数学知识点总结

八年级上册数学知识点总结

八年级上册知识点 ‎《三角形》知识归纳 知识回顾　‎ Ø 与三角形有关的线段 A 三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.‎ b ①边:AB,BC,CA或a,b,c ②顶点:A,B,C c ③角:‎ C B a ‎(2)三角形的分类 ‎ ①‎ ②‎ ‎ (3)三角形的主要线段 ①三角形的中线:顶点与对边中点的连线,三中线交点叫重心 ②三角形的角平分线:内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三角角平分线的交点叫内心 ③三角形的高:顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)‎ ‎(4)三角形三边间的关系. ①两边之和大于第三边 ‎ ‎ ②两边之差小于第三边 ‎ ‎(5)三角形的稳定性: 三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小不变了,这个性质叫做三角形的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.‎ Ø 与三角形有关的角 ‎（1）三角形的内角和定理及性质 定理：三角形的内角和等于180°。‎ ‎ 推论1：直角三角形的两个锐角互余。 ‎ ‎ 推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。‎ ‎ 推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。‎ ‎（2）三角形的外角及外角和 ‎①三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。‎ 10‎ ‎②三角形的外角和等于360°。‎ ‎（3）多边形及多边形的对角线 ‎①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．‎ ‎②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。‎ ‎③多边形的对角线的条数:‎ A.从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。‎ B.n 边形共有条对角线。‎ ‎（4）多边形的内角和公式及外角和 ①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n≥3)。‎ ‎②多边形的外角和等于360°。‎ ‎（5）平面镶嵌及平面镶嵌的条件。‎ ‎①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。‎ ‎②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。‎ 全等三角形 知识梳理 一、知识网络 二、基础知识梳理 ‎（一）、基本概念 ‎ ‎1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；‎ 10‎ ‎ 即能够完全重合的两个图形叫全等形。‎ 同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。‎ ‎2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；‎ ‎3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。‎ ‎（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。‎ ‎（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。‎ ‎（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。‎ ‎（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。‎ ‎4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 ‎（二）灵活运用定理 ‎1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。‎ ‎2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。‎ ‎3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。‎ ‎（1）已知条件中有两角对应相等，可找：‎ ‎①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)‎ ‎（2）已知条件中有两边对应相等，可找 ‎①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)‎ ‎（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ‎①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)‎ 轴对称知识梳理 一、基本概念 1.轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.‎ 10‎ 2. 线段的垂直平分线 3. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 ‎3.轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.‎ ‎4.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.‎ ‎5.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.‎ 二、主要性质 ‎1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.‎ ‎2.线段垂直平分钱的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.‎ ‎3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.‎ ‎（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.‎ ‎4.等腰三角形的性质 ‎（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.‎ ‎（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.‎ ‎（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.‎ ‎（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.‎ ‎（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。‎ ‎（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.‎ ‎5.等边三角形的性质 ‎（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.‎ ‎（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.‎ ‎（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.‎ 三、有关判定 ‎1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.‎ ‎2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.‎ ‎3.三个角都相等的三角形是等边三角形.‎ ‎4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.‎ ‎ 整式的乘除与因式分解 ‎1．同底数幂的乘法 ‎※同底数幂的乘法法则: (m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要注意以下几点:‎ 10‎ ‎①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；‎ ‎②指数是1时，不要误以为没有指数；‎ ‎③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；‎ ‎④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为 （其中m、n、p均为正数）；‎ ‎⑤公式还可以逆用： （m、n均为正整数）‎ ‎2．幂的乘方与积的乘方 ‎※1. 幂的乘方法则： (m,n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.‎ ‎※2. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底， 如将（-a）3化成-a3‎ ‎ ※3．底数有时形式不同，但可以化成相同。‎ ‎※4．要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）。‎ ‎※5．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 （n为正整数）。‎ ‎※6．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。‎ ‎3. 整式的乘法 ‎※（1）. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。‎ 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：‎ ‎①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；‎ ‎②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；‎ ‎③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；‎ ‎④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；‎ ‎⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。‎ ‎※（2）．单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。‎ 单项式与多项式相乘时要注意以下几点：‎ ‎①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；‎ ‎②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；‎ 10‎ ‎③在混合运算时，要注意运算顺序。‎ ‎※（3）．多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。‎ 多项式与多项式相乘时要注意以下几点：‎ ‎①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；‎ ‎②多项式相乘的结果应注意合并同类项；‎ ‎③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得 ‎ ‎4．平方差公式 ‎¤1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 ‎¤其结构特征是：‎ ‎①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；‎ ‎②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。‎ ‎5．完全平方公式 ‎¤1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，‎ ‎¤口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；‎ ‎¤2．结构特征：‎ ‎①公式左边是二项式的完全平方；‎ ‎②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。‎ ‎¤3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现 这样的错误。‎ 添括号法则：添正不变号，添负各项变号，去括号法则同样 ‎6. 同底数幂的除法 ‎※1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 (a≠0,m、n都是正数,且m>n).‎ ‎※2. 在应用时需要注意以下几点:‎ ‎①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.‎ ‎②任何不等于0的数的0次幂等于1,即 ,如 ,(-2.50=1),则00无意义.‎ 10‎ ‎③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即 ( a≠0,p是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a-p的值一定是正的; 当a<0时,a-p的值可能是正也可能是负的,如 , ‎ ‎④运算要注意运算顺序. ‎ ‎7．整式的除法 ‎¤1．单项式除法单项式 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；‎ ‎¤2．多项式除以单项式 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。‎ ‎8. 分解因式 ‎※1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.‎ ‎※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.‎ 因式分解与整式乘法的区别和联系:‎ ‎(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;‎ ‎(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.‎ 分解因式的一般方法：‎ ‎1. 提公共因式法 ‎※1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. ‎ ‎※2. 概念内涵:‎ ‎(1)因式分解的最后结果应当是“积”;‎ ‎(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;‎ ‎(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ‎ ‎※3. 易错点点评:‎ ‎(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;‎ ‎(2)公因式是否提“干净”;‎ ‎(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.‎ ‎2. 运用公式法 ‎※1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.‎ ‎※2. 主要公式 (1)平方差公式: (2)完全平方公式: ‎ 10‎ ‎¤3. 易错点点评:‎ 因式分解要分解到底.如 就没有分解到底.‎ ‎※4. 运用公式法:‎ ‎(1)平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式;‎ ‎②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;‎ ‎③二项是异号.‎ ‎(2)完全平方公式: ①应是三项式 ②其中两项同号,且各为一整式的平方; ‎ ‎③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.‎ ‎3. 因式分解的思路与解题步骤:‎ ‎(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;‎ ‎(2)再看能否使用公式法;‎ ‎(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;‎ ‎(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;‎ ‎(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.‎ ‎4． 分组分解法:‎ ‎※1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.‎ ‎※2. 概念内涵:‎ 分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.‎ ‎※3. 注意: 分组时要注意符号的变化.‎ ‎5. 十字相乘法:‎ ‎※1.对于二次三项式 ,将a和c分别分解成两个因数的乘积,将二次三项式进行分解. ‎ ‎※2. 二次三项式 的分解:‎ ‎※3. 规律内涵: (1)理解:把 分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.‎ ‎(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.‎ ‎※4. 易错点点评 (1)十字相乘法在对系数分解时易出错;‎ ‎(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.‎ ‎ 第十五章    分式 ‎ 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。‎ 分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 ‎ 10‎ ‎ （） .分式的通分和约分：关键先是分解因式 ‎4.分式的运算：‎ 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 ‎ 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 ‎ 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减 混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。‎ ‎5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即；当n为正整数时， （ ‎ ‎6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)‎ ‎（1）同底数的幂的乘法：；（2）幂的乘方：;‎ ‎（3）积的乘方：；（4）同底数的幂的除法：( a≠0)；‎ ‎（5）商的乘方：()；(b≠0)‎ ‎7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。‎ 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。‎ 解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。‎ 解分式方程的步骤 ：‎ ‎(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．‎ 增根两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 ‎ 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 ‎ 列方程应用题的步骤是什么？ (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．‎ 应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． (4)顺水逆水问题 ‎ ‎ v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．‎ 10‎ ‎8.科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法． 用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是 用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)‎ 10‎