八年级下数学课件八年级下册数学课件《线段的垂直平分线》 北师大版 (2)_北师大版

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八年级下数学课件八年级下册数学课件《线段的垂直平分线》 北师大版 (2)_北师大版

1.3线段的垂直平分线(一) 用心想一想,马到功成如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置?AB 线段垂直平分线的性质:定理:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的点.求证:PA=PB.NAPBCM证明:∵MN⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS);∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). 用心想一想,马到功成你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?如果有一个点到线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.当我们写出逆命题时,就想到判断它的真假.如果真,则需证明它;如果假,则需用反例说明. 已知:线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.求证:P点在AB的垂直平分线上.证明:过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB,PC=PC,∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC,即P点在AB的垂直平分线上.CBPA 证法二:取AB的中点C,过P,C作直线.∵AP=BP,PC=PC.AC=CB,∴△APC≌△BPC(SSS).∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等).又∵∠PCA+∠PCB=180°,∴∠PCA=∠PCB=∠90°,即PC⊥AB∴P点在AB的垂直平分线上.CBPA已知:线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.求证:P点在AB的垂直平分线上.一题多解 CBPA已知:线段AB,点P是平面内一点且PA=PB.求证:P点在AB的垂直平分线上.一题多解证法三:过P点作∠APB的角平分线交AB于点C.∵AP=BP,∠APC=∠BPC,PC=PC,∴△APC≌△BPC(SAS).∴AC=BC,∠PCA=∠PCB又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°∴P点在线段AB的垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定:定理:到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 练一练已知:如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC.求证:直线AO垂直平分线段BC.证明:∵AB=AC,∴点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).同理,点O在线段BC的垂直平分线上.∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线).你还有其他证明方法吗? 加强应用在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=40°,AC的垂直平分线MN与AB相交于点D,则∠BCD的度数是多少?ABCDMN分析:由点D在线段AC的垂直平分线上,可以得到DA=DC,即△DAC是等腰三角形,问题解决.解:∵点D在线段AC的垂直平分线上,∴DA=DC,∴∠DCA=∠A=40°∵∠B=90°,∴∠ACB=90°-∠A=50°∴∠BCD=∠ACB-∠DCA=50°-40°=10°方法总结:有线段的垂直平分线时,常利用它的性质定理得到等腰三角形,再利用等腰三角形的性质解决问题. 放开手脚做一做1.如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm,那么ED=cm;如果∠ECD=60°,那么∠EDC=.CADBE 补充练习:已知:△ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P.求证:点P在AC的垂直平分线上. 课堂小结,畅谈收获:一、线段垂直平分线的性质定理.二、线段垂直平分线的判定定理. 随堂练习第1题习题1.71、2、3
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