苏教版数学八年级上册课件2-5等腰三角形的轴对称性(2)

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苏教版数学八年级上册课件2-5等腰三角形的轴对称性(2)

2.5等腰三角形的轴对称性(2) 1.等腰三角形有哪些性质?2.在一个三角形中,如果有两个角相等,那么这两个角所对的边的大小有什么关系?温故知新 请同学们分别拿出一张半透明纸,做一个实验,按以下方法进行操作:1.在半透明纸上画一条长为6cm的线段BC.2.以BC为始边,分别以点B和点C为顶点,用量角器画两个相等的锐角,两角终边的交点为A.3.找出BC的中点D,连接AD,然后沿AD对折.问题1:AB与AC是否重合?问题2:本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述?BCAD.【探索活动一】 在△BAT和△CAT中,∠1=∠2(角平分线定义),∠B=∠C(已知),AT=AT(公共边),∴△BAT≌△CAT(AAS),∴AB=AC(全等三角形对应边相等).已知:在△ABC中,∠B=∠C求证:AB=AC.证明:(1)作∠A的平分线交BC于T.ABCT(2)过A点作AD⊥BC,垂足为D.ABCD∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC,在△ADB和△ADC中,∠ADB=∠ADC,∠B=∠C,AD=AD,∴△ADB≌△ADC,∴AB=AC.思考:通过这题的证明你发现了什么结论?12 定理有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).符号语言∵∠B=∠C∴AB=AC(等角对等边) 思考:“等边对等角”与“等角对等边”是否一样?它们的主要区别在哪里?【说一说】 例题讲解已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C.求证:AB=AC.证明:作AD⊥BC于点D,则∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC. 如图,DB=DC,∠ABD=∠ACD.求证:AB=AC.∴AB=AC.证明:连接BC,如图.∵DB=DC,∴∠DBC=∠DCB.又∵∠ABD=∠ACD,∴∠DBC+∠ABD=∠DCB+∠ACD,即∠ABC=∠ACB. 思考1:什么是等边三角形?它与等腰三角形有什么区别与联系?思考2:等边三角形的性质有哪些?【探索活动二】等腰三角形等边三角形对称性轴对称图形(1条)边两腰相等角两底角相等特殊线三线合一(1条)轴对称图形(3条)三边相等三个角都等于60度三线合一(3条) 等边三角形的概念及性质(1)三边相等的三角形叫作等边三角形或正三角形.(2)等边三角形是轴对称图形,并且有3条对称轴.(3)等边三角形的各角都等于60°.【归纳小结】 如图所示,在等边△ABC中,D是AC边的中点,延长BC到点E,使CE=CD,连接DE,试判断△BDE的形状,并说明理由.解:△BDE是等腰三角形.理由如下:∵△ABC是等边三角形,D是AC边的中点,∴∠ABC=∠ACB=60°,∠ABD=∠DBC=∠ABC=30°.又∵CE=CD,∴∠E=∠CDE.又∵∠ACB=∠E+∠CDE,∴∠E=∠ACB=30°,∴∠DBC=∠E,∴BD=DE,∴△BDE是等腰三角形. 思考3:一个三角形满足什么条件就是等边三角形?为什么?【探索活动三】 等边三角形的判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形.(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.【归纳小结】 如图,点C为线段AB上一点,△ACM,△CBN是等边三角形,AN交CM于点E,BM交CN于点F.求证:(1)CE=CF;(2)EF∥AB. 证明:(1)∵△ACM,△CBN是等边三角形,∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°.∴∠MCN=180°-∠ACM-∠BCN=60°,∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN,即∠ACN=∠MCB.在△ACN和△MCB中,∴△ACN≌△MCB(SAS).∴∠ANC=∠MBC.在△ENC和△FBC中,∴△ENC≌△FBC(ASA).∴CE=CF. (2)由(1)知,CE=CF.∴△ECF为等腰三角形.又∵∠MCN=60°,∴△ECF为等边三角形.∴∠EFC=∠FCB=60°.∴EF∥AB. 【练习】图,AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2,CE⊥BE.求证:BD=2CE.证明:延长CE交BA的延长线于点F,如图.∵CE⊥BE,∴∠BEC=∠BEF=90°.∵∠1=∠2,∴∠F=∠BCE,∴BC=BF.∴CE=FE=CF,即CF=2CE.∵∠F+∠2=90°,∠F+∠ACF=90°,∴∠2=∠ACF.又∵AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴△BDA≌△CFA(ASA).∴BD=CF.∴BD=2CE. 如图,在△AB中,AB=AC,∠A=60°,BD⊥AC于D,E为BC的中点,DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证:E、C两点是线段BF的三等分点. 证明:∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形.∴∠ACB=60°,BC=AC.∵BD⊥AC,∴CD=AC.∵E为BC中点,∴EC=BE=BC.∴CD=EC.又∵∠DCB=60°,∴△DEC是等边三角形,∠DEC=60°.∵DF⊥DE,∴∠F=30°.∴DE=EF=(EC+CF).又∵DE=CE,∴DE=EC=CF,∴BE=EC=CF.∴E、C两点是线段BF的三等分点. 如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,E是AC延长线上的一点,且CE=CD,AD=DE.(1)求证:△ABC是等边三角形;(2)如果把AD改成△ABC的中线或高线,其余条件不变,请判断(1)中的结论是否依然成立?(只要求写出结论,不要求证明) 解:(1)证明:∵CD=CE,∴∠E=∠CDE,∴∠ACB=2∠E.∵AD=DE,∴∠E=∠DAC.∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠DAC=2∠E,∴∠ACB=∠BAC,∴BA=BC.∵AB=AC,∴AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形.(2)解:当AD为△ABC的中线或高线时,结论依然成立. 说说你本节课你有什么收获?【课堂小结】等腰三角形等边三角形对称性轴对称图形(1条)边两腰相等角两底角相等特殊线三线合一(1条)轴对称图形(3条)三边相等三个角都等于60度三线合一(3条)等边三角形的判定(1)三个角都相等的三角形是等边三角形.(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
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