第章有理数及其运算复习材料

第章有理数及其运算复习材料

‎ ‎ 第二章 有理数及其运算 复习材料 一、知识梳理：‎ ‎⑴正数与负数：负数产生的必要性；具有相反意义的量。‎ ‎⑵有理数的分类：整数、分数统称有理数；整数又包括正整数、零、负整数，分数又包括正分数与负分数。‎ ‎⑶相反数、倒数、绝对值：‎ ‎ 只有符号不同的两个数是互为相反数，a的相反数为－a；‎ ‎ 一个数除以1所得的商是这个数的倒数，零没有倒数；‎ ‎ 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。‎ ‎⑷数轴：原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。‎ ‎⑸有理数的大小比较：‎ ‎ 方法一：零大于一切正数，而小于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小。‎ ‎ 方法二：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。‎ ‎⑹代数和：‎ ‎ 把有理数的加、减运算统一写成加法形式，成为几个有理数的和，通常称为代数和；省略加号的和的形式。‎ ‎⑺去括号与添括号：‎ 去括号法则：括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号。‎ 添括号法则：在“+”号后边添括号，括到括号内的各项都不变；在“－”号后边添括号，括到括号内的各项都要变号。‎ ‎⑻乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的给果叫做幂。‎ ⑼有理数的运算法则 ‎①：有理数的加法法则：‎ （1） 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；‎ （2） 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；‎ （3） 一个数同0相加，仍得这个数。‎ ‎②有理数的减法法则：‎ ‎ 减去一个数等于加上这个数的相反数。‎ 减去一个数等于加上这个数的相反数，引入相反数后，加减运算可以统一为加法运算。‎ 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，用字母表示为：‎ ‎ 在此过程中有两个转化必须同时进行，即当把减号变为加号时，减数必须变为原来的相反数。‎ 有理数的减法 (一) 由 ‎ 6‎ ‎ ‎ 得到有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 ‎ ‎③有理数的乘法法则：‎ 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。乘积为1的两个数互为倒数，用符号表示为：的倒数为（a≠0）‎ 1） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；‎ 2） 任何数与零相乘都得零；‎ 3） 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；‎ 4） 几个有理数相乘，若其中有一个为零，积就为零。‎ ‎④有理数的除法法则：‎ ‎ 法则一：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；‎ ‎ 法则二：除以一个数等于乘以这个数的倒数。‎ 有理数的乘方：‎ ‎ 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。‎ 有理数的运算顺序：‎ ‎ 先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，则先算括号内，再算括号外。‎ 运算律：‎ ‎①加法的交换律： ②加法的结合律：‎ ‎③乘法的交换律：‎ 注意：（1），当用字母表示乘数时，“×”可以写成“·”或省略。‎ ‎ （2）这里、代表任意有理数，可以表示正数、负数或0。‎ ‎ ④乘法的结合律：⑤乘法对加法的分配律：‎ 注：除法没有分配律。‎ 同号的两个数相乘，积的符号是“十”，积的绝对值是是各因数绝对值的积；‎ 异号的两个数相乘，积的符号是“一”，积的绝对值是是各因数绝对值的积；‎ 零乘以任何数都得零。‎ 注意：1.式子中的字母，分别表示任意的一个有理数，也就是说它们可以表示整数，也可以表示分数，特别是既可以表示正数，也可以表示负数或0.例如 ‎ ‎2.也要注意：在同一个式子中，同一个字母只表示同一个数。‎ 一般规律：利用加法运算律，通常把正数、负数、互为相反数分别结合在一起运算比较简便。‎ 绝对值的定义。‎ 6‎ ‎ ‎ 借助于数轴给出绝对值的定义，并由这个定义得出一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.运用此结论可以直接求一个数的绝对值。‎ 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。‎ 注：这里可以是正数，也可以是负数和0.‎ 代数表示（数学语言）是：字母可个有理数。‎ ‎(1)当是正数时，;(2) 当是负数时，;(3)当是0时，.‎ 数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。‎ 一般地，一和互为相反数，特别地，0的相反数仍是0.‎ 即，这里的表示任意一个数，也可以是负数，也可以是正数或0.规定+0=0，一0=0.‎ 一般地，在数学中，人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。‎ ‎（1）原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。‎ ‎（2）正方向 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；‎ ‎（3）单位长度：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，…从原点向左，用类似的方法表示一1，一2。。。‎ 有理数如何分类？‎ ‎1、按形式（整或分）来分类可分为 2、按符号（“正”或“负”）来分类可分为：‎ ‎ ‎ 对于3.14，下面说法中正确的是（ ）‎ A、 是负数，不是分数B、不是分数，是有理数 ‎ C、是负数，也是分数D、是分数，不是有理数 ‎1、用正数与负数表示的量具有相反意义。 2、0既不是正数，也不是负数。‎ ‎3、正数、负数的定义：我们把以前学过的0以外的数叫做正数，在这些数的前面带有“一”时叫做负数。根据需要有时在正数前面也加上“十”（正号）表示正数。‎ 举例说明：3、2、0.5、等是正数（也可加上“十”） －3、－2、－0.5、－等是负数。‎ ‎4、数0既不是正，也不是负数，0是正数和负数的分界。‎ ‎0℃是一个确定的温度，海拔为0的高度是海平面的平均高度，0的意义已不仅表示“没有”。‎ 6‎ ‎ ‎ ‎ 测试题 姓名：‎ 一、选择题 ‎1．的相反数是（　　）‎ A．－2　　　　　B．2 　　 C． D．‎ ‎2．在数轴上与－3距离4个单位的点表示的数是（　　）‎ ‎　A．4　　　　　B．－4　　　C．3 　　　　　　D．1和－7‎ ‎3．如果一个数的平方等于它的倒数，那么这个数一定是（　　）‎ ‎　A．0　　　　　B．1　　　　C．－1 　　　　　 D．1或－1‎ ‎4．如果两个有理数的和是负数，那么这两个数（　　）‎ ‎　A．一定都是负数　　　　　　B．至少有一个是负数　‎ ‎　C．一定都是非正数 　　　　　D．一定是一个正数和一个负数 ‎5．下列结论中，不正确的是（　　）‎ A．1除以非零数的商，叫做这个数的倒数 B．两个数的积为1　，这两个数互为倒数 C．一个数的倒数一定小于这个数 D．一个数和它的倒数的商等于这个数的平方 ‎6．有下列各数，0.01，10，－6.67，，0，－90，－（－3），，，其中属于非负整数的共有（　　）‎ ‎　A．1个　　B．2个　　C．3个 D．4个 二、填空题 ‎7．的大小关系：　　　　．‎ ‎8．－1.5的倒数是　　　　　　　　．‎ ‎9．绝对值小于4的负整数有　　　　个，正整数有　　　　　个，整数有　　　　个．‎ ‎10．水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录如下（规定上升为正，单位：厘米）：‎ ‎＋3，－6，－1，＋5，－4，＋2，－2，－3，‎ 那么这天中水池水位最终的变化情况是　　　　　　　　　．‎ ‎11．数轴上，与表示－2的点的距离为3的数是　　　　　　．‎ 三、计算与化简 ‎12．；　　　　　　　　　　13．；‎ 6‎ ‎ ‎ ‎14．；　　　　　　　　　　　15．；‎ ‎16．．‎ 四、辨析与思考 ‎17．．‎ ‎　　辨析：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎18． ＝．‎ 辨析：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 五、操作与解释 ‎19．某食品厂从生产的食品罐头中，抽出样品20听检查每听的质量，超过和不足标准的部分分别用正、负数表示，记录如下：‎ 与标准质量的偏差/克 ‎－10‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎＋5‎ ‎＋10‎ ‎＋15‎ 听数 ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎1‎ 问：这批样品平均每听质量比标准每听质量多或少几克？‎ 6‎ ‎ ‎ ‎20．小王和小张在玩“24”点游戏，他们互相给对方四张牌，要求对方根据牌上的数字凑成“24”点，他们互给对方的牌上的数字如下：①黑桃1，方块2，红桃2，黑桃3；②方块1，草花3，草花7和红桃12．请你帮他们凑成“24”点．‎ 六、探索与思考 ‎21．先观察＝＝1－＝‎ ‎＝＝1－＝‎ 再计算的值． ‎ 6‎