人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：解一元一次不等式（解析版）

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：解一元一次不等式（解析版）

人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：‎ 解一元一次不等式 ‎ 知识网络 重难突破 知识点一 解一元一次不等式 一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为：或。‎ 例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。‎ 一元一次不等式的解集的表示方法：‎ 表示的两种形式：①用不等式表示；②用数轴表示。‎ 下面我们讨论用数轴表示一元一次不等式解集的四种情况：‎ ‎【注意】‎ 1、 用数轴表示不等式解集时要“两定”：定边界点，定方向。‎ 2、 若符号为“>或<”时，边界点为空心，若符号为“≥或≤”，边界点为实心。‎ 3、 定方向时要注意“小于向左，大于向右”。‎ 解一元一次不等式的一般步骤：‎ ① 去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1‎ 解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：‎ 一元一次方程 一元一次不等式 ‎ 16 / 16‎ 解法的依据 方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变 方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 解法的步骤 ‎①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1‎ ‎①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1‎ 在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向 解得情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式可以有无数多个解 ‎【典型例题】‎ 考查题型一 解一元一次不等式解集 典例1（2018·李沧区期末）已知：关于x的方程＝m的解为非正数，求m的取值范围．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 方程，‎ ‎2x+2m-6x+3=6m，‎ ‎-4x=4m-3，‎ x=-．‎ 因为它的解为非正数，即x≤0，‎ ‎∴-≤0，‎ 得m≥．‎ 变式1-1（2018·万州区期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ ‎【答案】x≤﹣1，见解析.‎ ‎【详解】‎ ‎ 16 / 16‎ 解：去分母得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6，‎ ‎4x﹣2﹣15x﹣3≥6，‎ ‎﹣11x≥11，‎ x≤﹣1，‎ 在数轴上表示不等式的解集为：‎ ‎．‎ 变式1-2（2019·营山县期末）解不等式：并将它的解集在数轴上表示出来.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题按“去分母 → 去括号 → 移项 → 合并 → 系数化为1 → 解集表示在数轴上”步骤依次解答.‎ 试题解析：去分母，得 ‎ 去括号，得 ‎ 移项，得 合并同类项，得 ‎ 解集表示在数轴上：‎ 考查题型二 求一元一次不等式的正数解 典例2（2018·聊城市期中）若关于x的不等式3x-2m≥0的负整数解为-1，-2，则m的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解，得x≥，根据题意得，-3<≤-2，解得，故选D.‎ 变式2-1（2020·铜仁市期末）不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非负整数解有（   ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 16 / 16‎ 解不等式得：3x﹣3≤5﹣x，4x≤8，x≤2，所以不等式的非负整数解有0、1、2这3个，故答案选C．‎ 变式2-2（2019·济南市期中）不等式的非负整数解有（ ）个 A．4 B．6 C．5 D．无数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎3(x－2)≤＋4，‎ 去括号，得3 x-6≤x+4，‎ 移项、合并同类项，得2x≤10，‎ 系数化为1，得x≤5， ‎ 则满足不等式的非负整数解为：0，1，2，3，4，5，共6个.‎ 故选B.‎ 变式2-3（2018·宝鸡市期中）使不等式成立的最小整数是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．0 D．2‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解：解不等式，两边同时乘以6得：﹣12x﹣4≤9x+3，‎ 移项得：﹣12x﹣9x≤4+3，‎ 即﹣21x≤7，‎ ‎∴x≥﹣，‎ 则最小的整数是0．‎ 故选：C．‎ 考查题型三 在数轴表示不等式的解集 典例3（2019·长春市期末）不等式3x﹣6≥0的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎ 16 / 16‎ ‎3x﹣6≥0，解得x≥2，‎ 在数轴上表示为：，‎ 故选B．‎ 变式3-1（2019·潍坊市期中）不等式x+1≥2x﹣1的解集在数轴上表示为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 移项，‎ 得：x﹣2x≥﹣1﹣1，‎ 合并同类项，‎ 得：﹣x≥﹣2，‎ 系数化为1，‎ 得：x≤2，‎ 将不等式的解集表示在数轴上如下：‎ ‎．‎ 故选B．‎ 变式3-2（2020·白云区期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 解：，‎ 移项得：，‎ 合并同类项得：，‎ 系数化为1得，，‎ 在数轴上表示为：‎ ‎ 16 / 16‎ 故选：B．‎ 变式3-3（2019·德惠市期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.‎ ‎【答案】x<2,图见解析.‎ ‎【解析】‎ 去分母得，5x-1<3（x+1），‎ 去括号得，5x-1<3x+3，‎ 移项得，5x-3x<3+1，‎ 合并同类项得，2x<4，‎ 把x的系数化为1得，x<2．‎ 在数轴上表示为：‎ ‎．‎ 列不等式解应用题的基本步骤：‎ ‎1)审：认真审题，分清已知量、未知量；‎ ‎2)找：要抓住题中的关键字找出题中的不等关系；‎ ‎3)设：设出适当的未知数；‎ ‎4)列：根据题中的不等关系列出不等式；‎ ‎5)解：解出所列不等式的解集；‎ ‎6)答：检验是否符合题意，写出答案。‎ ‎【典型例题】‎ 考查题型四 列一元一次不等式 典例4（2019·铜陵市期末）某商店将定价为3元的商品，按下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．小聪有27元钱想购买该种商品，那么最多可以购买多少件呢？若设小聪可以购买该种商品x件，则根据题意，可列不等式为(　　)‎ A．3×5+3×0.8x≤27 B．3×5+3×0.8x≥27‎ C．3×5+3×0.8(x﹣5)≤27 D．3×5+3×0.8(x﹣5)≥27‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ ‎ 16 / 16‎ 设小聪可以购买该种商品x件， 根据题意得：3×5+3×0.8（x-5）≤27． 故选C．‎ 变式4-1（2019·佛山市期末）某次知识竞赛共有道题，每一题答对得分，答错或不答扣分，小亮得分要超过分，他至少要答对多少道题？如果设小亮答对了道题，根据题意列式得（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 根据题意，得 ‎.‎ 故选：.‎ 变式4-2（2019·定襄县期末）张老师每天从甲地到乙地锻炼身体，甲、乙两地相距1.4千米.已知他步行的平均速度为80米/分，跑步的平均速度为200米/分，若他要在不超过10分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步分钟，则列出的不等式为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：由题意可得 故选A．‎ 变式4-3（2019·泉州市期中）把一些书分给几名同学，若______；若每人分11本，则有剩余.依题意，设有名同学，可列不等式，则横线的信息可以是( )‎ A．每人分7本，则剩余8本 B．每人分7本，则可多分8个人 C．每人分8本，则剩余7本 D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分8本 ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎ 16 / 16‎ 由7（x+8）＞11x可知条件为：每人分7本，则可多分8个人.‎ 故本题选B .‎ 变式4-4（2018·雅安市期中）亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有300元．设x个月后他至少有300元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是(　　)‎ A．30x﹣45≥300 B．30x+45≥300 C．30x﹣45≤300 D．30x+45≤300‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 此题中的不等关系：现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有300元．至少即大于或等于．‎ 解：x个月可以节省30x元，根据题意，得30x+45≥300．‎ 故选B．‎ 变式4-5（2018·南阳市期末）把一些书分给几名同学，若（　　）；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学可列不等式7（x+9）＜11x．‎ A．每人分7本，则可多分9个人 B．每人分7本，则剩余9本 C．每人分9本，则剩余7本 D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：由不等式9x＋7＜11x，可得：把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人分11本，则不够；‎ 故选C．‎ 考查题型五 用一元一次不等式解决实际问题 典例5（2020·运城市期中）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）‎ A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 ‎【答案】B ‎【详解】‎ 设可打x折，则有1200×-800≥800×5%，‎ ‎ 16 / 16‎ 解得x≥7．‎ 即最多打7折．‎ 故选B．‎ 变式5-1（2018·天河区期末）在一次“数学与生活”知识竞赛中，竞赛题共26道，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，选对得4分，不选或选错扣2分，得分不低于70分得奖，那么得奖至少应选对（   ）道题．‎ A．22 B．21 C．20 D．19‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设要得奖至少需做对道题，根据题意得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∵只能取整数，‎ ‎∴最小取21，即至少要做对21道题，才能获奖.‎ 故选B.‎ 变式5-2（2020·绍兴市期末）为了举行班级晚会，小明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，购买的球拍为x个，那么x的最大值是（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：设购买球拍x个，依题意得：1.5×20+22x≤200，‎ 解得：x≤7．‎ ‎∵x取整数，∴x的最大值为7；‎ 故选A．‎ 变式5-3（2019·杭州市期中）甲在集市上先买了只羊，平均每只元，稍后又买了只，平均每只羊元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱，赔钱的原因是( )‎ A． B． C． D．与、大小无关 ‎ 16 / 16‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 根据题意得到5×<3a+2b，解得a>b,故选C.‎ 变式5-4（2019·泰安市期末）某经销商销售一批多功能手表，第一个月以200元/块的价格售出80块，第二个月起降价，以150元/块的价格将这批手表全部售出，销售总额超过了2.7万元，则这批手表至少有（ ）‎ A．152块 B．153块 C．154块 D．155块 ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解：设这批手表有x块， 解得， 这批手表至少有154块， 故选C．‎ 变式5-5（2019·德州市期末）某超市销售一批节能台灯，先以55元/个的价格售出60个，然后调低价格，以50元/个的价格将剩下的台灯全部售出，销售总额超过了5500元，这批台灯至少有( )‎ A．44个 B．45个 C．104个 D．105个 ‎【答案】D ‎【详解】‎ 设这批闹钟至少有x个，‎ 根据题意得 5500×60+5000(x-60)>550000 ∴5000(x-60)>5500×40 x-60>44 ∴x>104 答：这批闹钟最少有105个.故选D.‎ 巩固训练 一、 选择题（共10小题）‎ ‎1．（2019·德州市期末）已知关于x的方程2x-a=x-1的解是非负数，则a的取值范围为（ ）‎ ‎ 16 / 16‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：原方程可整理为：（2-1）x=a-1，‎ 解得：x=a-1，‎ ‎∵方程x的方程2x-a=x-1的解是非负数，‎ ‎∴a-1≥0，‎ 解得：a≥1．‎ 故选A．‎ ‎2．（2019·临汾市期中）关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（ ）‎ A．14 B．7 C．﹣2 D．2‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ ‎≤﹣2，‎ m﹣2x≤﹣6，‎ ‎﹣2x≤﹣m﹣6，‎ x≥m+3，‎ ‎∵关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，‎ ‎∴m+3=4，解得m=2．‎ 故选D．‎ ‎3．（2019·兰州市期中）如果关于x的不等式 (a＋1) x>a＋1的解集为x<1，那么a的取值范围是( )‎ A．a>0 B．a<0 C．a>－1 D．a<－1‎ ‎【答案】D ‎【详解】‎ 试题分析：在不等式的左右两边同时乘以或除以一个负数，则不等符号需要改变，则1+a0，解得：a＜-1.‎ ‎4．（2020·娄底市期末）语句“的与的和不超过”可以表示为（　　）‎ ‎ 16 / 16‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5．‎ 故选A．‎ ‎5．（2019·驻马店市期中）一元一次不等式2(x＋1)≥4的解集在数轴上表示为( 　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：2(x＋1)≥4‎ ‎2x+2≥4‎ ‎2x≥2‎ X≥1‎ ‎∴不等式的解集在数轴上表示为：‎ 故选：A ‎6．（2019·东方市期中）不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解为（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【答案】B ‎【详解】‎ 移项得，﹣4x﹣3x≥﹣8﹣6，‎ 合并同类项得，﹣7x≥﹣14，‎ 系数化为1得，x≤2．‎ 故其非负整数解为：0，1，2，共3个．‎ 故选B．‎ ‎7．（2018·菏泽市期末）不等式＞﹣1的正整数解的个数是( )‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎ 16 / 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，去分母得3（x+1）>2(2x+2)-6，去括号得3x+3>4x+4-6，移项，合并同类项得-x>-5，系数化为1得x<5，所以满足不等式的正整数的个数有4个，故选D.‎ ‎8．（2019·赣州市期末）小美将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某一商品的定价为x元，并列出关系式为0.3（2x﹣100）＜1000，则下列何者可能是小美告诉小明的内容？（　　）‎ A．买两件等值的商品可减100元，再打3折，最后不到1000元 B．买两件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1000元 C．买两件等值的商品可打3折，再减100元，最后不到1000元 D．买两件等值的商品可打7折，再减100元，最后不到1000元 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：由关系式可知：‎ ‎0.3（2x﹣100）＜1000，‎ 由2x﹣100，得出两件商品减100元，以及由0.3（2x﹣100）得出买两件打3折，‎ 故可以理解为：买两件等值的商品可减100元，再打3折，最后不到1000元．‎ 故选A．‎ ‎9．（2018·宜宾市期中）对于任意有理数a，b，c，d，规定＝ad﹣bc，如果＜8，那么x的取值范围是(　　)‎ A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＜5 D．x＞﹣5‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ 解：根据规定运算，不等式＜8化为 ‎﹣2x+2＜8，解得x＞﹣3．故选A．‎ ‎10．（2020·宁波市期中）某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x元；下午，他又买了20斤，价格为每斤y元．后来他以每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ）‎ ‎ 16 / 16‎ A．x＜y B．x＞y C．x≤y D．x≥y ‎【答案】B ‎【详解】解：根据题意得，他买黄瓜每斤平均价是，‎ 以每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱 则＞‎ 解之得，x＞y．‎ 所以赔钱的原因是x＞y．‎ 故选B．‎ 一、 填空题（共5小题）‎ ‎11．（2019·石家庄市期末）若不等式（a﹣3）x＞1的解集为，则a的取值范围是_____．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎∵(a−3)x>1的解集为x<，‎ ‎∴不等式两边同时除以(a−3)时不等号的方向改变，‎ ‎∴a−3<0，‎ ‎∴a<3.‎ 故答案为a<3.‎ ‎12．（2018·驻马店市期中）不等式＞＋2的解是__________．‎ ‎【答案】x＞－3‎ ‎【解析】‎ ‎＞＋2, 去分母得： 去括号得： 移项及合并得： 系数化为1得： .‎ 故答案为x＞－3.‎ ‎13．（2019·株洲市期末）通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以计算出它的树龄．通常规定以树干离地面1.5 m的地方作为测量部位．某树栽种时的树围为5 cm，以后树围每年增长3 cm.假设这棵数生长x年其树围才能超过2.4 m．列满足x的不等关系：__________________.‎ ‎【答案】5＋3x＞240‎ ‎ 16 / 16‎ ‎【详解】‎ 根据题意，得5+3x>240.‎ 故答案为：5+3x>240.‎ ‎14．（2018·大石桥市期末）某地中国移动“全球通”与“神州行”收费标准如下表：‎ 品牌 月租费 本地话费（元/分钟）‎ 长途话费（元/分钟）‎ 全球通 ‎13元 ‎0.35‎ ‎0.15‎ 神州行 ‎0元 ‎0.60‎ ‎0.30‎ 如果小明每月拨打本地电话时间是长途电话时间的2倍，且每月总通话时间在65—70分钟之间，那么他选择_________较为省钱（填“全球通”或“神州行”）‎ ‎【答案】全球通 ‎【解析】解：设小明打长途电话的时间为x分钟，则打本地电话的时间为2x分钟，∴选择“全球通”所需总费用为13+0.15x+0.35×2x=0.85x+13，选择“神州行”所需总费用为0.3x+0.6×2x=1.5x，当0.85x+13＞1.5x，即0＜x＜20时，选择神州行较为省钱；‎ 当0.85x+13=1.5x，即x=20时，都一样省钱；‎ 当0.85x+13＜1.5x，即x＞20时，选择全球通较为省钱；‎ ‎∵每月总通话时间在65～70分钟之间，∴选择全球通较为省钱，故答案为：全球通．‎ ‎15．（2019·安庆市期末）铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长宽高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽之比为3:2，则该行李箱长度的最大值是 cm.‎ ‎【答案】78.‎ ‎【详解】‎ 解：设长为3xcm，宽为2xcm，‎ 由题意，得：5x+30≤160，‎ 解得：x≤26，‎ 故行李箱的长的最大值为78．‎ 故答案为78cm．‎ 一、 解答题（共2小题）‎ ‎16．（2020·吕梁市期末）在某市实施城中村改造的过程中，“旺鑫”拆迁工程队承包了一项10000 m2‎ ‎ 16 / 16‎ 的拆迁工程．由于准备工作充分，实际拆迁效率比原计划提高了25%，提前2天完成了任务，请解答下列问题：‎ ‎（1）求“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁多少平方米；‎ ‎（2）为了尽量减少拆迁给市民带来的不便，在拆迁工作进行了2天后，“旺鑫”拆迁工程队的领导决定加快拆迁工作，将余下的拆迁任务在5天内完成，那么“旺鑫”拆迁工程队平均每天至少再多拆迁多少平方米？‎ ‎【答案】（1）“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁1250 m2；（2）“旺鑫”拆迁工程队平均每天至少再多拆迁250m2．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设“旺鑫”拆迁工程队计划平均每天拆迁x m2．‎ 由题意，得﹣=2，‎ 解得x=1000，‎ 经检验，x=1000是原方程的解并符合题意．‎ ‎（1+25%）×1000=1250（m2）．‎ 答：设“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁1250 m2．‎ ‎（2）设“旺鑫”拆迁工程队现在平均每天拆迁y m2．‎ 由题意，得5（1250+y）≥10000﹣2×1250‎ 解得y≥250．‎ 答：“旺鑫”拆迁工程队平均每天至少再多拆迁250m2．‎ ‎17．（2019·巴中市期中）一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个，则剩下9个；如果每人分6个，则最后一个儿童分得的橘子少于3个，问共几个儿童，分了多少个橘子？‎ ‎【答案】7，37．‎ ‎【详解】‎ 解：设共有x个儿童，则共有（4x+9）个橘子，‎ 则0≤4x+9-6（x-1）＜3‎ ‎∴6＜x≤7.5‎ 所以共有7个儿童，分了4x+9=37个橘子 故答案为7，37．‎ ‎ 16 / 16‎