七年级下册数学知识点梳理

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版 七 年 级 数 学 下 册 知 识 点 归 纳 第一章 二元一次方程组 一、二元一次方程组 1、概念： ①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数（即次数）都是 1 的方程，叫二元一次 方程。 ②二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程； 或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起，就组成了二元一次方程组。 2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解： 使二元一次方程左右两边的值相等（即等式成立）的两个未知数的值，叫二元一次方程的 解。 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组 的解。 注：①、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是一组（对）数，用 大括号联立；②、一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组；③、而二元一次 方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数 组或无解（即无公共解）。 二元一次方程组的解的讨论： 已知二元一次方程 组 1 、 当a1/a2 ≠ b1/b2 时，有唯一解； 2 、 当 a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 时，无解； 3 、 当 a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 时，有无数解。 例如：对应方程组：①、 ②、 ③、 例：判断下列方程组是否为二元一次方程组： ①、 ②、 ③ 、 ④、 3、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数： 用含 X 的代数式表示 Y，就是先把 X 看成已知数，把 Y 看成未知数；用含 Y 的代数式表示 X， a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 x + y = 4 3x - 5y = 9 x + y = 3 2x + 2y = 5 x + y = 4 2x + 2y = 8 a + b = 2 b + c = 3 x = 4 y = 5 3t + 2s = 5 ts + 6 = 0 x = 11 2x + 3y = 0 则相当于把 Y 看成已知数，把 X 看成未知数。 例：在方程 2x + 3y = 18 中，用含 x 的代数式表示 y 为：___________,用含 y 的代数式表 示 x 为:____________。 4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值： 要抓住两个方面：①、未知数的指数为 1，②、未知数前的系数不能为 0 例：已知方程 (a-2)x^(/a/-1) – (b+5)y^(b^2-24) = 3 是关于 x、y 的二元一次方程，求 a、b 的值。 5、求二元一次方程的整数解 例：求二元一次方程 3x + 4y = 18 的正整数解。 思路：利用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法，可以求出方程有正整数解时 x、 y 的取值范围，然后再进一步确定解。 解：用含 x 的代数式表示 y: y = 9/2 – (3/4)x 用含 y 的代数式表示 x: x = 6 – (4/3)y 因为是求正整数解，则：9/2 – (3/4)x > 0 , 6 – (4/3)y > 0 所以，0 < x < 6 ,0 < y < 9/2 所以，当 y = 1 时，x = 6 – 4/3 = 14/3 ,舍去 ； 当 y = 2 时，x = 6 – 8/3 = 10/3 ， 舍去 ；当 y = 3 时，x = 6 – 12/3 = 2 , 符合 ； 当 y = 4 时，x = 6 – 16/3 = 2/3 ， 舍去 。 所以，3x + 4y = 18 的正整数解 为： 再例：①、如 果 是方程组 的解，求 a-b 的值。 ②、甲、乙两人共解方程 组 由于甲看错 了方程①中的 a，得到的方程组 的解 为 乙看错了方程②中的 b，得到的方程组 的解为 试 计 算 a^2009 + (-b/10)^2010 的值。 二、二元一次方程组的解法——消元 （整体思想就是：消去未知数，化“二元”为“一元”） 1、代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示 出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入 消元法，简称代入法。 注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知 x = 2 y = 3 x = 3 y = - 1 ax - 2y = 5 2x + by = 3 ax + 5y = 15,① 4x - by = -2,② x = - 3, y = - 1, x = 5, y = 4, 数的代数式表示出来； ②、将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！），消去一个未知数， 得到一个一元一次方程； ③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求 出另一个未知数的值； ⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。 2、加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可 变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到 一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减 法。 注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为： ①、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等 式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未 知数前的系数相反或相等； ②、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的 值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。 例：解方程组： ①、 ②、 3、用换元法解方程组： 根据题目的特点，利用换元法简化求解，同时应注意换元法求出的解要代回关系式中，求出 方程组中未知数的解。 例：ⅰ、解方程组： ⅱ、已知方程组 的解是 ，则方程组 的解是：（ ） A、 B、 C、 D、 4、用整体代入法解方程组： 例：解方程 组： 4y–(2y + x + 16)/2 = -6x 2y + 3x = 7 – 2x - y x/2 + y/3 = 13/2 x/3– y/4 = 3/2 5/(x+1) + 4/(y-2) = 2 7/(x+1)– 3/(y-2) = 13/20 2x - y = 6 ① (x+2y)(4x–2y)= 192 ② 2a-3b = 13 a 2(x+2)-3(y-1) = 13 解：将②变形为：(x+2y)×2(2x–y)= 192 ③ ，把①代入③得：(x+2y)×2×6 = 192 , 即 x+2y = 16 ④ 再把①和④组成新的方程 组： 解得： 5、另外几种类型的例题： （1）、若︱m + n – 5︱ + (2m + 3n - 5)2= 0 ,求(m - n)2 的值。 （2）、已知代数式 x2+ ax + b，当 x = -1 时，它的值是 5，当 x =1 时，它的值是-1，求当 x =2 时，代数式的值。 （3）、已知方程 组 与 有相同的解，求 m，n 的值。 （4）、已知方程 组 的解 x、y 互为相反数，求 m、x 以及 y 的值。 （5）、关于 x、y 的方 程组 的解，也是方程 2x + y = 3 的解，求 k 的值。 （6）、某蔬菜公司收购到某种蔬菜 140 吨，准备加工后上市销售。该公司的加工能力是：每 天可以精加工 6 吨或者粗加工 16 吨。现计划用 15 天完成加工任务，该公司应安排几天粗加 工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为 1000 元，精加工后的 利润为 2000 元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？ 三、实际问题与二元一次方程组 1、利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程为：审题并找出数量关系式 —> 设元（设 未知数） —> 根据数量关系式列出方程组 —> 解方程组 —> 检验并作答（注意：此步骤不 要忘记） 2、列方程组解应用题的常见题型： （1）、和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量 - 较小量 = 相差量 ，总 量 = 倍数 × 倍量； （2）、产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例； （3）、速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程 = 速度 × 时间，包括相遇问题、追 及问题等； （4）、航速问题：①、顺流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 + 水（风）速； ②、逆流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 – 水（风）速； （5）、工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作总量 = 工作效率×工作时间，（有时需 把工作总量看作 1）； 2x - y = 6 x + 2y = 16 5x + y = 3 mx + 5y = 4 x - 2y = 5 5x + ny = 1 3x - 5y = 2m 2x + 7y = m-18 2x - y = k 3x + y = k+1 （6）、增长率问题：解这类问题的基本关系式是：原量×（1+增长率）= 增长后的量，原量 ×（1-减少率）= 减少后的量； （7）、盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总 量； （8）、数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其 表示； （9）、几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式； （10）、年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等。 例 1：一批水果运往某地，第一批 360 吨，需用 6 节火车车厢加上 15 辆汽车，第二批 440 吨，需用 8 节火车车厢加上 10 辆汽车，求每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨？ 例 2：甲、乙两物体分别在周长为 400 米的环形轨道上运动，已知它们同时从一处背向出 发，25 秒后相遇，若甲物体先从该处出发，半分钟后乙物体再从该处同向出发追赶甲物体， 则再过 3 分钟后才赶上甲，假设甲、乙两物体的速度均不变，求甲、乙两物体的速度。 例 3：甲、乙二人分别以均匀速度在周长为 600 米的圆形轨道上运动，甲的速度比乙大， 当二人反向运动时，每 150 秒相遇一次，当二人同向运动时，每 10 分钟相遇一次，求二人的 速度。 例 4：有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是 3 ：7，乙种酒精溶液的酒精与水 的比是 4 ：1，今要得到酒精与水的比是 3 ：2 的酒精溶液 50kg，求甲、乙两种溶液各取多 少 kg？ 例 5：一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果 1 立方米木料可制成方桌桌面 50 个，或 制作桌腿 300 条，现有 5 立方米木料，请问，要用多少木料做桌面，多少木料做桌腿，能使 桌面恰好配套？此时，可以制成多少张方桌？ 例 6：某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时 50 千米的速度行驶，就会 迟到 24 分钟，如果他以每小时 75 千米的速度行驶，则可提前 24 分钟到达乙地，求甲、乙两 地间的距离。 例 7：某农场有 300 名职工耕种 51 公顷土地，计划种植水稻、棉花、蔬菜三种农作物，已 知种植各种农作物每公 顷所需劳动力人数及投 入资金如右表： 已知该农场计划投入 资金 67 万元，应该怎样 农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金 水稻 4 人 1 万元 棉花 8 人 1 万元 蔬菜 5 人 2 万元 安排这三种农作物的种植面积才能使所有职工都有工作而且投入资金正好够用？ 例 8：某酒店的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天 25 元，两人间每人每天 35 元，一个 50 人的旅游团到该酒店租了若干间客房，且每间客房恰好住满，一天共花去 1510 元，求两种客房各租了多少间？ 例 9：某山区有 23 名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要 a 元，资助一名小学生的学习费用需要 b 元。某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与 使用这些捐款恰好资助 受捐助中学生和小学生 人数的部分情况如右表： （1）、求 a、b 的值； （2）初三年级的捐款解 决了其余贫困中小学生 的学习费用，请分别计算出初三年级的捐款所资助的中学生和小学生人数。 四、三元一次方程组的解法 1、概念：由三个方程组成方程组，且方程组中共含有三个未知数，每个方程中含有的未知数 的次数都是 1 次，这样的方程组叫三元一次方程组。 注：三元一次方程组中的三个方程并不一定都是三元一次方程，只需满足“方程组中共含有 三个未知数”的条件即可。 2、解三元一次方程组的基本思想： 例 1：解方程组 例 2：在 y = ax2+bx+c 中，当 x=1 时，y=0；x=2 时，y=3；x=3 时,y=28，求 a、b、c 的值。 当 x = -1 时，y 的值是多少？ 例 3：甲、乙、丙三数之和是 26，甲数比乙数大 1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大 18，求 这三个数。 第二章 整式的乘法 1．同底数幂的乘法：am·an=am+n ，底数不变，指数相加. 2．幂的乘方与积的乘方：(am)n=amn ，底数不变，指数相乘； (ab)n=anbn ，积的乘方等于各 因式乘方的积. 年级 捐款数额 （元） 捐助贫困中学生人数 （名） 捐助贫困小学生人数 （名） 初一年级 4000 2 4 初二年级 4200 3 3 初三年级 7400 三元一次 方程组 消元 ————————> (代入法、加减法) 二元一次 方程组 消元 ————————> (代入法、加减法) 一元一次 方程 3x + 4z = 7 2x + 3y + z = 9 5x– 9y + 7z = 8 3x + 4y + z = 14 x + 5y + 2z = 17 2x + 2y - z = 3 3．单项式的乘法：系数相乘，相同字母相乘，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积 里. 4．单项式与多项式的乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc ，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得 的积相加. 5．多项式的乘法：(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd ，先用多项式的每一项去乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积相加. 6．乘法公式： （1）平方差公式：(a+b)(a-b)= a2-b2，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方 差； （2）完全平方公式： ① (a+b)2=a2+2ab+b2, 两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的 2 倍； ② (a-b)2=a2-2ab+b2 , 两个数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的 2 倍； ※ ③ (a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，略. 7．配方： （1）若二次三项式 x2+px+q 是完全平方式,则有关系式： q2 p 2      ； ※ （2）二次三项式 ax2+bx+c 经过配方，总可以变为 a(x-h)2+k 的形式，利用 a(x-h)2+k ①可以判断 ax2+bx+c 值的符号； ②当 x=h 时，可求出 ax2+bx+c 的最大（或最小）值 k. ※（3）注意： 2x 1x x 1x 2 2 2       . 8．同底数幂的除法：am÷an=am-n ，底数不变，指数相减. 9．零指数与负指数公式: （1）a0=1 (a≠0)； a-n= na 1 ,(a≠0). 注意：00，0-2 无意义； ×10-5 . 第三章 因式分解 1.因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。 即：多项式几个整式的积 例： 1 1 1 ( )3 3 3ax bx x a b   因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。 2.因式分解的方法： （1）提公因式法： ①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写 成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。 公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以 是一个单项式或多项式。 例： 3 3 3 2 3 4 2 212 8 6a b c a b c a b c  的公因式是 ． 解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是 12、-8、6，它们的最大公约 数为 2；字母部分 3 3 3 2 3 4 2 2, ,a b c a b c a b c 都含有因式 3 2a b c ，故多项式的公因式是 2 3 2a b c . ②提公因式的步骤 第一步：找出公因式； 第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是 提公因式后剩下的另一个因式。 注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项 有负号的，要先提取符号。 例 1：把 2 2 3 312 18 24a b ab a b  分解因式. 解析：本题的各项系数的最大公约数是 6，相同字母的最低次幂是 ab，故公因式为 6ab。 解： 2 2 3 312 18 24a b ab a b  例 2：把多项式3( 4) (4 )x x x   分解因式 解析：由于 4 ( 4)x x    ，多项式3( 4) (4 )x x x   可以变形为3( 4) ( 4)x x x   ,我们可以发 现多项式各项都含有公因式（ 4x  ）,所以我们可以提取公因式（ 4x  ）后,再将多项 式写成积的形式. 解：3( 4) (4 )x x x   =3( 4) ( 4)x x x   =(3 )( 4)x x  例 3：把多项式 2 2x x  分解因式 解： 2 2x x  = 2( 2 ) ( 2)x x x x     （2）运用公式法 定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法 叫做运用公式法。 注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。 ②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若 多项式是三项式，可考虑完全平方公式。 例 1：因式分解 2 14 49a a  解： 2 14 49a a  = 2( 7)a  例 2：因式分解 2 22 ( ) ( )a a b c b c    解： 2 22 ( ) ( )a a b c b c    = 2( )a b c  （3）分组分解法（拓展） ①将多项式分组后能提公因式进行因式分解； 例：把多项式 1ab a b   分解因式 解： 1ab a b   =( ) ( 1)ab a b   = ( 1) ( 1) ( 1)( 1)a b b a b      ②将多项式分组后能运用公式进行因式分解. 例：将多项式 2 22 1a ab b   因式分解 解： 2 22 1a ab b   = 2 2 2( 2 ) 1 ( ) 1 ( 1)( 1)a ab b a b a b a b           （4）十字相乘法（形如 2 ( ) ( )( )x p q x pq x p x q      形式的多项式，可以考虑运用此种 方法） 方法：常数项拆成两个因数 p q和 ，这两数的和 p q 为一次项系数 例：分解因式 2 30x x  分解因式 2 52 100x x  补充点详解 补充点详解 我们可以将-30 分解成 p×q 的形式， 我们可以将 100 分解成 p×q 的形式， 使 p+q=-1, p×q=-30,我们就有 p=-6, 使 p+q=52, p×q=100,我们就有 p=2, q=5 或 q=-6,p=5。 q=50 或 q=2,p=50。 所以将多项式 2 ( )x p q x pq   可以分 所以将多项式 2 ( )x p q x pq   可以分 解为( )( )x p x q  解为( )( )x p x q  x 5 x 2 x -6 x 50 3.因式分解的一般步骤： 如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四 项或四项以上的多项式， 通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、 “三分组”、“四十字”。 注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解， 若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因 此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。 一、 例题解析 提公因式法 提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法： 系数——取多项式各项系数的最大公约数； 字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂. 【例 1】分解因式： ⑴    2 1 215 10n na a b ab b a   ( n 为正整数) ⑵ 2 1 2 14 6n m n ma b a b   ( m 、 n 为大于 1 的自然数) 【巩固】 分解因式： 2 1 2 2( ) ( )( ) 2( ) ( )n n nx y x z x y y x y z       ， n 为正整数. 【例 2】先化简再求值，      2y x y x y x y x     ，其中 2x   ， 1 2y  ．  求代数式的值： 2 2(3 2) (2 1) (3 2)(2 1) (2 1)(2 3 )x x x x x x x        ，其中 2 3x   . 【例 3】已知： 2b c a    ，求 2 2 2 2 1( ) ( ) (2 2 2 )3 3 3 3 3a a b c b c a b c b c a        的值.  分解因式： 3 2 2( )( ) ( ) ( )( )x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a            . 公式法 平方差公式： 2 2 ( )( )a b a b a b    ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式； ③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. 完全平方公式： 2 2 22 ( )a ab b a b    2 2 22 ( )a ab b a b    ①左边相当于一个二次三项式； ②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的 2 倍，符号可正可负； ④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式： 第四章 相交线与平行线 一、知识网络结构 二、知识要点 1、在同一平面内，两条直线的位置关系有 两 种： 相交 和 平行 ， 垂直 是相交的一种 特殊情况。 2、在同一平面内，不相交的两条直线叫 平行线 。如果两条直线只有 一个 公共点，称这两 条直线相交；如果两条直线 没有 公共点，称这两条直线平行。 3、两条直线相交所构成的四个角中，有 公共顶点 且有 一条公共边 的两个角是 邻补角。邻补角的性质： 邻补角互补 。如图 1 所示， 与 互为邻补角， 与 互为邻补角。 + = 180°； + = 180°； + = 180°； + = 180°。 4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线 ， 这样的两个角互为 对顶角 。对顶角的性质：对顶角相等。如图 1 所示， 与 互为对 顶角。 = ； = 。 5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是 直角或 90°时，称这两条直线互相垂直， 其中一条叫做另一条的垂线。如图 2 所示，当 = 90°时， ⊥ 。 垂线的性质： 性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 性质 3：如图 2 所示，当 a ⊥ b 时， = = = = 90°。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。 6、同位角、内错角、同旁内角基本特征： ①在两条直线(被截线)的 同一方 ，都在第三条直线(截线)的 同一侧 ，这样 的两个角叫 同位角 。图 3 中，共有 对同位角： 与 是同位角； 与 是同位角； 与 是同位角； 与 是同位角。 ②在两条直线(被截线) 之间 ，并且在第三条直线(截线)的 两侧 ，这样的两个角叫 内错 图 1 13 4 2 图 2 13 4 2 a b 图 3 a 57 8 6 13 4 2 b c 角 。图 3 中，共有 对内错角： 与 是内错角； 与 是内错角。 ③在两条直线(被截线)的 之间 ，都在第三条直线(截线)的 同一旁 ，这样的两个角叫 同旁 内角 。图 3 中，共有 对同旁内角： 与 是同旁内角； 与 是同旁内角。 7、平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 平行线的性质： 性质 1：两直线平行，同位角相等。如图 4 所示，如果 a∥b， 则 = ； = ； = ； = 。 性质 2：两直线平行，内错角相等。如图 4 所示，如果 a∥b，则 = ； = 。 性质 3：两直线平行，同旁内角互补。如图 4 所示，如果 a∥b，则 + = 180°； + = 180°。 性质 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果 a∥b，a∥c，则 ∥ 。 8、平行线的判定： 判定 1：同位角相等，两直线平行。如图 5 所示，如果 = 或 = 或 = 或 = ，则 a∥b。 判定 2：内错角相等，两直线平行。如图 5 所示，如果 = 或 = ，则 a ∥b 。 判定 3：同旁内角互补，两直线平行。如图 5 所示，如果 + = 180°； + = 180°，则 a∥b。 判定 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果 a∥b，a∥c，则 ∥ 。 9、判断一件事情的语句叫命题。命题由 题设 和 结论 两部分组成，有 真命题 和 假命题 之 分。如果题设成立，那么结论 一定 成立，这样的命题叫 真命题 ；如果题设成立，那么结 论 不一定 成立，这样的命题叫假命题。真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题 叫定理，它可以作为继续推理的依据。 10、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变 换，简称平移。 平移后，新图形与原图形的 形状 和 大小 完全相同。平移后得到的新图形中每一点，都是 由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 平移性质：平移前后两个图形中①对应点的连线平行且相等；②对应线段相等；③对应角相 等。 图 4 a 57 8 6 13 4 2 b c 图 5 a 57 8 6 13 4 2 b c 第五章 旋转 一.知识框架 二．知识概念 1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形 的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。（图形的旋转是图形上的每一点在 平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应 线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。） 2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫 做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于 0°， 大于 360°）。 3．中心对称图形与中心对称： 中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转 180 度后能与自身重合，那么我们就说，这 个图形成中心对称图形。 中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转 180 度后能与另一个图形重合，那么我们就说， 这两个图形成中心对称。 4.中心对称的性质： 关于中心对称的两个图形是全等形。 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。 一、精心选一选 (每小题 3 分，共 30 分) 1．下面的图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系内一点 P（－2,3）关于原点对称的点的坐标是 （ ） A．（3，－2） B． (2,3） C．（－2，－3） D． (2，－3） 3．3 张扑克牌如图 1 所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转 180o 后得到如图（2）所示，则 她所旋转的牌从左数起是（ ） A．第一张 B．第二张 C．第三张 D．第四张 4．在下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC 经过旋转或平移得到的是（ ） 5．如图 3 的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ） A．向右平移 7 格 B．以 AB 的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以 AB 为对称轴作轴对称 C．绕 AB 的中点旋转 1800，再以 AB 为对称轴作轴对称 D．以 AB 为对称轴作轴对称，再向右平移 7 格 6．从数学上对称的角度看，下面几组大写英文字母中，不同于另外三组的一组是（ ） A．A N E G B．K B X N C．X I H O D．Z D W H 7．如图 4，C 是线段 BD 上一点，分别以 BC、CD 为边在 BD 同侧作 等边 △ABC 和等边△CDE,AD 交 CE 于 F，BE 交 AC 于 G，则图中可通 过旋 转而相互得到的三角形对数有( )． A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 8．下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一 点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角 A B C A B C D 图 4 图 图 12 度是（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 9．如图 5 所示，图中的一个矩形是另一个 矩形顺时针方向旋转 90°后形成的个数 是（ ） A．l 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 10．如图 6，ΔABC 和ΔADE 都是等腰直角三角形，∠C 和∠ADE 都是直角，点 C 在 AE 上，ΔABC 绕着 A 点经过逆时针旋转后能 够与ΔADE 重合得到图 7，再将图 23—A—4 作为“基本图形”绕 着 A 点经过逆时针连续旋转得到图 7.两次旋转的角度分别为 （ ） A．45°，90° B．90°，45° C．60°，30° D．30°，60 二、耐心填一填（每小题 3 分，共 24 分） 11．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经 过 ，而且被_____________平分. 12．在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五种图 形中， 既是轴对称图形，又是中心对称图形的是_____________． 13．时钟上的时针不停地旋转，从上午 8 时到上午 11 时，时 针旋 转的旋转角是_____________． 14．如图 8，△ABC 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转 60°，得△AB′C′，则△ABB′ 是 三角形. 15．已知ａ＜0，则点Ｐ（ａ2，－ａ＋3）关于原点的对称点Ｐ1 在第＿＿＿象限 16．如图 9，△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40°后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上， ∠AOD＝90°，则∠D 的度数是 ． 17．如图 10，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为 2，则 图中阴影部分的面积是＿＿＿. 18．如图,四边形 ABCD 中，∠BAD=∠C=90o，AB=AD，AE⊥BC 于 E，若线段 AE=5，则 S 四边形 ABCD ＝ 。 三、 细心解 一解 （共 46 分） 19．（6 分） 如图 12，四边形 ABCD 的 ∠BAD= ∠C=90o,AB=AD,AE⊥BC 于 E, BEA 旋转后能与 DFA 重合。 (1）旋转中心是哪一点? (2）旋转了多少度? (3）如果点 A 是旋转中心，那么点 B 经过旋转后，点 B 旋转到什么位置？ 20．（4分）如图13，请画出 ABC 关于点O点为对称中心的对称图形 A B C D E 图 7 图 5 图 8 O D C B A 图 9 图 10 E D CB A 图 11 图 A B C D E 图 6 21．（6 分）如图 14，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立平面直角 坐标系后， ABC△ 的顶点均在格点上，点C 的坐标为(4 1)， ． ①把 ABC△ 向上平移 5 个单位后得到对应的 1 1 1A B C△ ，画出 1 1 1A B C△ ，并写出 1C 的坐标； ②以原点O 为对称中心，再画出与 1 1 1A B C△ 关于原点O 对称的 2 2 2A B C△ ，并写出点 2C 的坐 标． 18．（4 分）如图 15，方格中有一条美丽可爱的小金鱼． (1）若方格的边长为 1，则小鱼的面积为 ． (2）画出小鱼向左平移 3 格后的图形（不要求写作图步骤和过程）． 22．（6 分）如图 16,E、F 分别是正方形 ABCD 的边 CD、DA 上一点，且 CE＋AF＝EF，请你用旋 转的方法求∠EBF 的大小． 23． 19．（8 分）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片 ABC△ 和 DEF△ ．将这两张三角形胶片的顶点 B 与顶点 E 重合，把 DEF△ 绕点 B 顺时针方向旋转， 这时 AC 与 DF 相交于点O． （1）当 DEF△ 旋转至如图②位置，点 ( )B E ，C D， 在同一直线上时， AFD 与 DCA 的数 量关系是 ． 2 分 （2）当 DEF△ 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． （3）在图③中，连接 BO AD， ，探索 BO与 AD 之间有怎样的位置关系，并证明． 第六章 数据的分析 一、知识点讲解： 1.平均数： （1）算术平均数：一组数据中，有 n 个数据 nxxx，，，21，则它们的算术平均数为 n xxxx n 21 . （2）加权平均数： 若在一组数字中， 出现 次， 出现 次，…， 出现 次，那么 叫做 、 、…、 的加权平均数。其中， 、 、…、 分别是 、 、…、 的权. 权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。 权的表示方法：比、百分比、频数（人数、个数、次数等）。 2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则 处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数 就是这组数据的中位数。 3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。 4.平均数中位数众数的区别与联系 相同点 平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势 的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表。 图 14 图 15 图 16C A E FD B C D O A F B(E) A D OFCB(E) 图① 图② 图③ 不同点 它们之间的区别，主要表现在以下方面。 1）、定义不同 平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。 中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。 2）、求法不同 平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。 中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间 位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组 数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。 众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。 3）、个数不同 在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一组数据中， 可能不止一个众数，也可能没有众数。 4）、代表不同 平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体 “平均水平”。 中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等 水平”。 众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。 这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表。 5）、特点不同 平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。主要缺点是 易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数。 中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上 的代表值，不受数据极端值的影响。 众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中 的部分数据有关，不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数， 也可能会有多个或没有 。 6）、作用不同 平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，反 映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况，也可以用来作为不 同组数据比较的一个标准。因此，它在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、 平均身高、平均体重等。 中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但当一组数据的 个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适。 众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。。在一组数据中， 如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这 组数据的“集中趋势”就比较适合。 5.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。极差反映的是数据的 变化范围。 6. 方 差 ： 设 有 n 个 数 据 nxxx ，，， 21 ， 各 数 据 与 它 们 的 平 均 数 的 差 的 平 方 分 别 是 2 2 2 1 )()( xxxx  ， ，…， ，，2)( xxn  我们用它们的平均数，即用 来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。 当一组数据比较小时可以用公式 22 2 2 2 1 2 1 [( ... ) ]ns x x x n xn      计算。 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。 标准差：方差的算术平方根，即 并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量. 7.极差、方差和标准差的区别与联系： 联系：极差、方差和标准差都是用来衡量（或描述）一组数据偏离平均数的大小（即波动大 小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况。 区别：极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的变化范围，主要反映一组数 据中两个极端值之间的差异情况，对其他的数据的波动不敏感。 方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数 据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数年据的变化都 将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标。在实际使用时，往往计算一 组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。 标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原 数据单位相同。 8.数据的收集与整理的步骤： 1.收集数据????2.整理数据????3.描述数据???4.分析数据???5.撰写调查报告???6.交流? 9.平均数、方差的三个运算性质 如果一组数据 x1，x2，x3，……，xn 的平均数是 x ，方差是 s2。 那么（1）一组新数据 x1+b，x2+b，x3+b，……，xn+b 的平均数是 x +b，方差是 s2。 （2）一组新数据 ax1，ax2，ax3，……，axn 的平均数是 a x ，方差是 a2s2. （3）一组新数据 ax1+b，ax2+b，ax3+b，……，axn+b 的平均数是 a x +b，方差是 a2s2. 二、典型例题： 1．5 名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：mm）：2 ， 2 ， 1 ，1，0 ， 则这组数据的极差为（ ）． A．4 mm B．3 mm C．5 mm D．0 mm 2．小伟五次数学考试成绩分别为：86 分，78 分，80 分，85 分，92 分，李老师想了解小伟 数学学习变化情况，则李老师最关注小伟数学成绩的（ ）． Ａ．平均数 Ｂ．众数 Ｃ．中位数 Ｄ．方差 3. 一组数据的方差一定是（ ）． A．正数 B．任意实数 C．负数 D．非负数 4．金华火腿闻名遐迩.某火腿公司有甲、乙、丙三台切割包装机，同时分装质量为 500 克的 火腿心片.现从它们分装的火腿心片中各随机抽取 10 盒，经称量并计算得到质量的方差如表 所示,你认为包装质量 最稳定的切割包装机是 （ ）. A.甲 B. 乙 C.丙 D.不能确定 A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 包装机 甲 乙 丙 方差(克 2) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．一次数学测试后，随机抽取九年级二班 5 名学生的成绩如下：78，85，91，98，98．关于 这组数据的错误说法．．．．是（ ）． Ａ．极差是 20 Ｂ．众数是 98 Ｃ．中位数是 91 Ｄ．平均数是 91 8．若一组数据 2，4， x ，6，8 的平均数是 6，则这组数据的方差是（ ）. A． 2 2 B．8 C． 2 10 D．40 9．我国着名的珠穆朗玛峰海拔高达 8844m，在它周围 2km 的附近，耸立的几座着名山峰的高 度如下表： 山峰名 珠穆 朗玛 洛子峰 卓穷峰 马卡 鲁峰 章子峰 努子峰 普莫 里峰 海拔高度 8844m 8516m 7589m 8463m 7543m 7855m 7145m 则这七座山峰海拔高度的极差为 m． 10．一组数据 5，5，5，5，5 的方差是 ． 11．对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测量．其平均数、方差计算结果如下：机床甲： =x甲 10， 2S甲 =x乙 10， 2S乙 = 0．0 6，由此可知：_________（“甲”或“乙”）机床性能好． 12．甲、乙两种产品进行对比实验，得知乙产品性能比甲产品性能更稳定，那么分析计算它 们的方差 2 甲S ， 2 乙S 的大小关系是 ． 13．一组数据 1，2，3，x，5 的平均数是 3，则该组数据的方差是 ． 14．已知数据 a，b，c 的方差是 1，则 4a，4b，4c 的方差是 ． 15．甲、乙两台包装机同时包装质量为 200g 的糖果，从中各抽取 10 袋，测得其实际质量分 别如下表：（单位：克） 甲 203 204 202 196 199 201 205 197 202 199 乙 201 200 208 206 210 209 200 193 194 194 （1）分别计算出两个样本的平均数与方差； （2）从计算结果看，哪台包装机的 10 袋糖果的平均质量更接近 200g？哪台包装机包装的 10 袋糖果质量比较稳定？ 16．李明、王林两人参加奥赛班集训的 11 次测验成绩如下表：（单位：分） 测 验 成 绩 李明 99 100 100 95 93 90 98 100 93 90 98 王林 98 99 96 94 95 92 92 98 96 99 97 （1）他们两人的平均成绩各是多少分？ （2）他们两人的极差和方差各是多少？ （3）现要从中选一人参加比赛，历届比赛的成绩表明，成绩在 98 分以上才能进入决赛，你 认为应选谁参加这次比赛呢，为什么？ （4）试分析两位同学的成绩特点，并对他们以后的学习各提出一条建议． 17.某校为选拔参加 2007 年全国初中数学竞赛的选手，进行了集体培训．在集训期间进行了 10 次测试，假设其中两位同学的测试成绩如下表所示： （1）根据图表中所示的信息填写下表： （2）这两位同学的测试成绩各有什么特点（从不同的角度分别说出一条即可）? （3）为了使参赛选手取得好成绩，应选谁参加比赛？为什么？