人教版初一数学上学期 角

人教版初一数学上学期 角

‎2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点03 角 知识框架 基础知识点 知识点1-1角的相关概念 ‎1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边．‎ 角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．‎ 如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形．‎ 如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角.‎ ‎2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）． ‎ ‎1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°．‎ ‎3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种：‎ ‎(1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置．‎ ‎(2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆．‎ ‎(3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α．‎ ‎4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）．‎ ‎5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的为1分，记作“1′”，即l°＝ 60′.1′的为1秒，记作“1″”，即1″＝60″．‎ ‎1．（2020·邢台市第七中学初一期中）下列关于角的说法正确的是（）‎ ‎①角是由两条射线组成的图形 ②角的边长越长，角越大；③在角一边延长线上取一点E ④角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】A ‎【分析】根据角的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ ‎【解析】①角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故本选项错误；‎ ‎②角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故本选项错误；‎ ‎③角的边是射线，不能延长，故本选项错误；‎ ‎④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确．所以只有④一个选项正确．故选 A．‎ ‎【点睛】本题主要是对角的定义的考查，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，需要熟练掌握．‎ ‎2．（2020·山东冠县初一期中）下列四个图形中，能同时用∠1，∠ABC，∠B三种方法表示同一个角的图形是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：能同时用∠1，∠ABC和∠B三种方式表示同一个角的图形只能是B．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查角的表示法．‎ ‎3．（2020·天津初一期中）如图所示，可以用一个大写英文字母表示的角是_____．‎ ‎【答案】、‎ ‎【分析】利用角的表示方法即可求解．‎ ‎【解析】解：可以用一个大写英文字母表示的角只有、，故答案为：、．‎ ‎【点睛】本题考查角的表示，准确掌握角的表示方法是解题的关键．‎ ‎4．（2020·广东省初一期中）下列说法正确的是（ ）．‎ A．平角的终边和始边不一定在同一条直线上 B．角的边越长，角越大 C．大于直角的角叫做钝角 D．两个锐角的和不一定是钝角 ‎【答案】D ‎【分析】直接利用角的定义及平角，钝角的定义分别分析得出答案．‎ ‎【解析】解：A、平角的终边和始边一定在同一条直线上，故A错误；‎ B、角的大小与边的长短无关，故B错误；C、钝角是大于直角且小于平角的角，故C错误；‎ D、两个锐角的和不一定是钝角，故D正确；故选D．‎ ‎【点睛】此题主要考查了角的定义以及平角，钝角的定义，正确把握有关的定义是解题的关键．‎ ‎5．（2020·全国初一课时练习）下列角度换算错误的是（　　）‎ A．10.6°＝10°36″ B．900″＝0.25° C．1.5°＝90′ D．54°16′12″＝54.27°‎ ‎【答案】A ‎【分析】根据度、分、秒之间的换算关系求解．‎ ‎【解析】解：A、10.6°＝10°36'，错误；B、900″＝0.25°，正确；C、1.5°＝90′，正确；‎ D、54°16′12″＝54.27°，正确；故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了度、分、秒之间的换算关系：，，难度较小．‎ ‎6．（2020·成都市嘉祥外国语初一月考）某人下午6点到7点之间外出购物，出发和回来时发现表上的时针和分针的夹角都为110°，此人外出购物共用了__________分钟．‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】设此人外出购物共用了x分钟，则（6−0.5）x=110+110，解得x=40，所以此人外出购物共用了40分钟，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是钟面角，时针转动一大格，转过的角度为30度，分针转动一小格，转过的角度为6度，时针与分针转动角度的速度比值是．掌握以上内容是解此题的关键．‎ ‎7．（2020·上海市静安区实验中学月考）用量角器量图中的角，30°的角有_____个，60°的角有_____个，90°的角有_____个，120°的角有_____个．‎ ‎【答案】6 5 4 6 ‎ ‎【分析】根据量角器量出各角的度数即可求解．‎ ‎【解析】如图，30°的角有∠BAC、∠CAD、∠DAE、∠EAF、∠ACB、∠AEF,共6个；‎ ‎60°的角有∠BAD、∠CAE、∠DAF、∠ADC、∠ADE,共5个；‎ ‎90°的角有∠ACD、∠AED、∠BAE、∠CAF,共4个；‎ ‎120°的角有∠ABC、∠BCD、∠CDE、∠DEF、∠EFA、∠FAB,共6个；故答案为6；5；4；6．‎ ‎【点睛】此题主要考查角度的识别，解题的关键是熟知量角器的使用及角度的大小比较．‎ ‎8．（2020山西吕梁初一期末）如图，在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据，喜羊羊同学认为是两点确定一条直线，懒羊羊同学认为是两点之间线段最短．你认为_____同学的说法是正确的．‎ ‎【答案】喜羊羊．‎ ‎【分析】根据直线的性质，可得答案．‎ ‎【解析】解：在利用量角器画一个的的过程中，对于先找点，再画射线这一步骤的画图依据，喜羊羊同学认为是两点确定一条直线，懒羊羊同学认为是两点之间线段最短．我认为喜羊羊同学的说法是正确的，故答案为：喜羊羊．‎ ‎【点睛】本题考查了直线的公理：两点确定一条直线，要与线段的公理：两点之间线段最短，区分开来，不要混淆．‎ ‎9．（2020·江苏仪征市初一期中）日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针；和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识.‎ ‎（1）如图1，上午8:00这一时刻，时钟上分针与时针的夹角等于________；‎ ‎（2）请在图2中画出8:20这一时刻时针和分针的大致位置，思考并回答：从上午8:00到8:20，时钟的分针转过的度数是________，时钟的时针转过的度数是________；‎ ‎（3）“元旦”这一天，小明上午八点整出门买东西，回到家中时发现还没到九点，但是时针与分针重合了，那么小明从离开家到回到家的时间为多少分钟？‎ ‎【答案】（1）120°；（2）120°，10°；（3）44‎ ‎【分析】（1）根据8：00这一时刻时针在8上，分针在12上，之间共有4个大格，列式计算即可得解；‎ ‎（2）根据分针共转过4个大格子，每一个大格子是30°列式计算即可得解；时针在8到9之间转过20分钟，转完整个大格子需要60分钟，然后列式计算即可得解；‎ ‎（3）设8点x分钟时，时针与分针重合了，然后根据分针的速度是时针的速度的12倍，列出方程求解即可．‎ ‎【解析】解：（1）30°×4=120°；‎ ‎（2）分针转过4×30°=120°，时针转过：×30°=10°；故答案为（1）120°；（2）120°，10°；‎ ‎（3）设8点x分钟时，时针与分针重合了则（12-1）××30°=8×30°，‎ 解得x=≈44，∴小明从离开家到回到家的时间为44分钟.‎ ‎【点睛】本题考查了钟面角问题，求出时针与分针的夹角问题，通常需要考虑夹角中的大格子和小格子两个部分，也可以利用分针的转速是时针的转速的12倍考虑求解．‎ ‎10．（2020·辽宁鞍山初一期末）如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角；求画n条射线所得的角的个数 .‎ ‎【答案】3；6；10；.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）如图1，当在∠AOB内部画一条射线OC后，图中有∠AOB、∠AOC、∠BOC，共计3个角；‎ ‎（2）如图2，当在∠AOB内部画两条射线OC、OD后，图中有∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共计6个角；‎ ‎（3）如图3，当在∠AOB内部画三条射线OC、OD、OE后，图中有∠AOE，∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠EOD，∠EOC，∠EOB，∠DOC，∠DOB，∠COB，共计10个角；‎ ‎（4）当在∠AOB的内部画n条射线后，图中以O为端点的射线共有（n+2）条，由角的定义“有公共端点的两条射线组成的图形叫角”可知，这（n+2）条射线中的每一条射线都和另外（n+1）条射线共形成了（n+1）个角，总共就有（n+2）（n+1）个角，但由于其中每两个角重复计算了一次（如∠AOB和∠BOA是同一个角，但算了两次），所以角的总个数应为：.‎ 知识点1-2角的比较 ‎1）角的比较方法 ‎(1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2．‎ ‎(2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC.‎ 提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”.‎ ‎2）角的和、差 由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1．‎ ‎3）角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．‎ 如图4-4-9所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA.‎ ‎4）方向的表示 方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。‎ 注意表示方向时要先写北或南，再写偏东或偏西，最后写多少度.如图4-4-2所示，OA是表示北偏东30°的一条射线．特别地，射线OC表示北偏西45。或写成西北方向．‎ ‎ ‎ 仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ‎1．请将∠ABE，∠1，∠2，∠3用不同方法表示出来，填入下表：‎ ‎∠ABE ‎ ‎∠1 ‎ ‎∠2 ‎ ‎∠3 ‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】根据角的表示方法，结合图形表示如下：‎ ‎∠ABE ‎ ‎∠ABC ‎ ‎∠ACB ‎ ‎∠ACF ‎ ‎∠α ‎ ‎∠1 ‎ ‎∠2 ‎ ‎∠3 ‎ ‎【点睛】本题考查角的大小比较，关键是找到正确的比较方法.‎ ‎2．（2019·陕西延安初一期末）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD＝150°，则∠BOC等于（　　）‎ A．30° B．45° C．50° D．60°‎ ‎【答案】A ‎【分析】从如图可以看出，∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数，从而问题可解．‎ ‎【解析】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=150°‎ ‎∴∠BOC=∠AOB+∠COD﹣∠AOD=90°+90°﹣150°=30°．故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了角的和差及数形结合的数学思想，认真读图，找出其中的数量关系是解答本题的关键.‎ ‎3．（2020·河南商水初一期末）如图，∠AOB是直角，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，若∠DOE＝45°，那么OE平分∠BOC吗？请说明理由．‎ ‎【答案】OE平分∠BOC，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：分别求出∠AOC，求出∠DOC，求出∠EOC，求出∠BOE，看看∠BOE和∠EOC的度数是否相等即可．‎ 试题解析：OE平分∠BOC，理由如下：‎ 因为∠AOB是直角，∠BOC＝50°，所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝140°.‎ 因为OD平分∠AOC，所以∠DOC＝∠AOC＝70°.‎ 因为∠DOE＝45°，所以∠EOC＝70°－45°＝25°.‎ 因为∠BOC＝50°，所以∠BOE＝50°－25°＝25°＝∠EOC，所以OE平分∠BOC.‎ ‎4．（2019·河北正定初三零模）如图，一张地图上有A、B、C三地，C地在A地的东南方向，若∠BAC=83°，则B地在A地的（ ）‎ A．南偏西38°方向 B．北偏东52º方向 C．南偏西52°方向 D．西南方向 ‎【答案】A ‎【解析】∵C地在A地的东南方向，∴∠1=45°.‎ ‎∵∠BAC=83°，∴∠2=83°-45°=38°.故选A.‎ 点睛：本题考查了方向角的计算，由C地在A地的东南方向可得∠1=45°，从而利用角的和差可求出∠2=38°，根据方向角的定义可知B地在A地的南偏西38°方向.‎ ‎5.（2020·上海市静安区实验中学单元测试）‎ ‎（1）因为OA与OA是公共边，边OC在∠AOB的 ，所以∠AOC ∠AOB；‎ ‎（2）因为OA与OA是公共边，边OD与边OC叠合，所以∠AOC ∠AOD；‎ ‎（3）因为OB与OB是公共边，边OA在 的 ，所以∠BOC ∠BOA．‎ ‎【答案】（1）内部，＜；（2）=；（3）∠BOC，外部，＜‎ ‎【分析】（1）根据图形及角度关系即可判断；（2）根据图形及角度关系即可判断；（3）根据图形及角度关系即可判断．‎ ‎【解析】由图可知：（1）因为OA与OA是公共边，边OC在∠AOB的内部，所以∠AOC＜∠AOB 故答案为：内部；＜；‎ ‎（2）因为OA与OA是公共边，边OD与边OC叠合，所以∠AOC=∠AOD；故答案为：=；‎ ‎（3）因为OB与OB是公共边，边OA在∠BOC的外部，所以∠BOC＜∠BOA．‎ 故答案为：∠BOC；外部；＜．‎ ‎【点睛】此题主要考查角度之间的关系，解题的关键是根据图形数形结合进行求解．‎ ‎6．（2018·全国初一课时练习）如图，∠AOB的平分线为OM，ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.试说明：（1）∠MON=(∠BON-∠AON)；（2）∠MOG=(∠AOG+∠BOG)．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【分析】根据角平分线定义和角的和差关系，得 ‎（1）∠BON－∠AON=∠BOM+∠MON－∠AON=(∠BOM－∠AON)+∠MON=∠MON+∠MON=2∠MON；‎ ‎（2）∠AOG+∠BOG=∠AOB+∠BOG+∠BOG=2∠MOB+2∠BOG=2(∠MOB+∠BOG)=2∠MOG.‎ ‎【解析】解：(1)因为，∠BON=∠BOM+∠MON，‎ ‎∠BON－∠AON=∠BOM+∠MON－∠AON=(∠BOM－∠AON)+ ∠MON=∠MON+∠MON=2∠MON，‎ 所以，∠MON=(∠BON－∠AON)；‎ ‎(2)因为，∠AOG+∠BOG=∠AOB+∠BOG+∠BOG=2∠MOB+2∠BOG=2(∠MOB+∠BOG)=2∠MOG，‎ 所以，∠MOG=(∠AOG+∠BOG).‎ ‎【点睛】本题考核知识点：角的和差.解题关键点：理解角的和差关系.‎ ‎7．（2019·全国初一课时练习）如图，已知‎∠AOB=90°‎，‎∠AOC为锐角，OD平分‎∠AOC，OE平分‎∠BOC.‎ ‎（1）求‎∠DOE的度数；（2）当‎∠AOB=m°‎时，求‎∠DOE的度数.‎ ‎【答案】（1）45°;（2）‎‎1‎‎2‎m‎°‎ ‎【分析】根据角平分线定义得出∠COD=‎1‎‎2‎∠AOC，∠EOC=‎1‎‎2‎∠BOC，再根据∠DOE=∠EOC-∠COD=‎1‎‎2‎∠AOB.（1）将∠AOB=90°代入计算即可；（2）将∠AOB=m°代入即可.‎ ‎【解析】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠COD=‎1‎‎2‎∠AOC，∠EOC=‎1‎‎2‎∠BOC，‎ ‎∴.∠DOE=∠EOC-∠COD=‎1‎‎2‎∠BOC-‎1‎‎2‎∠AOC=‎1‎‎2‎（∠BOC-∠AOC）=‎1‎‎2‎∠AOB.‎ ‎（1）∵∠AOB=90°，∴∠DOE=‎1‎‎2‎×90°=45°；‎ ‎（2）∵∠AOB=m°，∴∠DOE=m°‎‎2‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，根据图形得出所求角与已知角的关系是解题的关键.‎ ‎8．（2019·全国初一单元测试）(1)如图所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；(3)如果(1)中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数；(4)从(1)(2)(3)的结果中你能看出什么规律？‎ ‎【答案】（1）45°（2）（3）45°（4）∠MON的大小总等于∠AOB的一半，与锐角∠BOC的大小无关．‎ ‎【分析】（1）先求出∠MOC的度数：（90+30）÷2=60°，∠CON的度数是：30÷2=15°，然后用∠MOC的度数减去∠CON的度数即可得出∠MON的度数.（2）根据问题（1）的解题思路把∠AOB的度数用字母a代替即可.（3）根据问题（1）的解题思路把∠BOC的度数用字母代替即可.（4）根据（1）（2）（3）的得数可知：∠MON的度数是始终是∠AOB的度数的一半》‎ ‎【解析】 (1)因为OM平分∠AOC，所以∠MOC＝∠AOC.‎ 又因为ON平分∠BOC，所以∠NOC＝∠BOC.‎ 所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝∠AOC－∠BOC＝ (∠AOC－∠BOC)＝∠AOB.‎ 又因为∠AOB＝90°，所以∠MON＝45°.‎ ‎(2)当∠AOB＝α，其他条件不变时，∠MON＝.(3)当∠BOC＝β，其他条件不变时，∠MON＝45°.‎ ‎(4)分析(1)(2)(3)的结果和(1)的解答过程可知：∠MON的大小总等于∠AOB的一半，与锐角∠BOC的大小无关．‎ ‎“点睛”本题考查了组合角中某个角的度数的求解，根据是明确各角之间的联系.‎ ‎9．（2020·全国初一单元测试）如图，∠EOD＝70°，射线OC，OB分别是∠AOE，∠AOD的平分线．‎ ‎(1)若∠AOB＝20°，求∠BOC的度数；(2)若∠AOB＝α，求∠BOC的度数；(3)若以OB为钟表上的时针，OC为分针，再过多长时间由B，O，C三点构成的三角形的面积第一次达到最大值？‎ ‎【答案】(1) 35°;(2) 35°;(3) 再经过分钟由B，O，C三点构成的三角形的面积第一次达到最大值 ‎【分析】（1）由OB为∠AOD的平分线，得到∠AOD=2∠AOB，由∠AOD+∠EOD求出∠AOE的度数，再由OC为∠AOE的平分线，利用角平分线定义得到∠AOC的度数，即可确定出∠BOC的度数；‎ ‎（2）同（1）一样即可表示出∠BOC的度数；（3）当OC⊥OB时面积最大，设经过t分钟，这三点构成的三角形的面积第一次达到最大值，由题意列出关于t的方程，解方程即可得.‎ ‎【解析】 (1)∵OB为∠AOD的平分线，∠AOB＝20°，‎ ‎∴∠AOD＝2∠AOB＝40°，∴∠AOE＝∠AOD＋∠EOD＝110°，‎ ‎∵OC为∠AOE的平分线，∴∠AOC＝∠AOE＝55°，∴∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝35°；‎ ‎(2)∵OB为∠AOD的平分线，∠AOB＝α，∴∠AOD＝2∠AOB＝2α，∴∠AOE＝∠AOD＋∠EOD＝70°＋2α.‎ ‎∵OC为∠AOE的平分线，∴∠AOC＝∠AOE＝35°＋α，∴∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝35°.‎ ‎(3)当OC⊥OB时，B，O，C这三点构成的三角形面积最大，‎ 设经过t分钟，这三点构成的三角形的面积第一次达到最大值，‎ 由题意得：6t－0.5t＝35＋90，解得：t＝，‎ 则再经过分钟由B，O，C三点构成的三角形的面积第一次达到最大值．‎ ‎【点睛】本题考查了角的计算，钟面角，角平分线定义，一元一次方程的应用等，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．‎ ‎10．已知∠AOB=120°，OC、OD过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．‎ ‎（1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，求∠MON的度数；‎ ‎（2）如图②，若∠COD=50°，∠AOC≠∠DOB，求∠MON的度数；‎ ‎（3）如图③，在∠AOB内，若∠COD=α（0°<α<60°），求∠MON的度数．‎ ‎【解析】（1）∵OC，OD是∠AOB的三等分线，‎ ‎∴∠AOC=∠COD=∠DOB=∠AOB=×120°=40°，‎ ‎∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，‎ ‎∴∠MOC=∠AOC=20°，∠DON=∠DOB=20°，‎ ‎∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=80°．‎ ‎（2）∵射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB，‎ ‎∴∠MOC=∠AOC，∠DON=∠DOB，∴∠MOC+∠DON=（∠AOC+∠DOB），‎ ‎∵∠AOB=120°，∠COD=50°，∴∠AOC+∠DOB=120°-50°=70°，‎ ‎∴∠MOC+∠DON=35°，∴∠MON=50°+35°=85°．‎ ‎（3）∵射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB，‎ ‎∴∠MOC=∠AOC，∠DON=∠DOB，∴∠MOC+∠DON=（∠AOC+∠DOB），‎ ‎∵∠AOB=120°，∠COD=α，∴∠AOC+∠DOB=120°-α，‎ ‎∴∠MOC+∠DON=60°-α，∴∠MON=60°-α+α=60°+α=．‎ 知识点1-3余角与补角 ‎1）余角定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。‎ 用数学语言表示：如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β余角；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°‎ ‎2）补角定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。‎ 用数学语言表示：如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°‎ ‎3）余角（补角）定理：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。‎ ‎1．（2019·常州）如果∠α=35°，那么∠α的余角为__________．‎ ‎【答案】55°‎ ‎【解析】∵∠θ=35°，∴它的余角等于90°-35°=55°．故答案为：55°．‎ ‎2．（2019·西安市铁一中学初一月考）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，那么的度数为_____．‎ ‎ ‎ ‎【答案】20°.‎ ‎【分析】根据∠1=∠BOD+EOC-∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解.‎ ‎【解析】‎ 解：如图：∠BOD=90°-∠A0B=90°-30°=60°∠EOC=90°-∠EOF=90°-40°=50°‎ 又：∠1=∠BOD+∠EOC-∠BOE .∠1=60°+50°-90°=20°故答案是：20°.‎ ‎【点睛】本题主要考查了角度的计算，正确理解∠1=∠BOD+EOC-∠BOE这一关系是解决本题的关键.‎ ‎3．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】A、∵∠1+∠2=360°–90°×2=180°，∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；‎ B、∵∠1=30°+90°=120°∴∠1+∠2=120°+60°=180°∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；‎ C、∵∠1=180°–60°=120°∴∠1+∠2=120°+60°=180°∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；‎ D、∠1度数无法确定，∠2=60°，所以∠1与∠2不一定互补，故本选项符合题意．故选D．‎ ‎4．（2020·广西防城港初一期中）如图，图中∠α的度数等于(　 　)‎ A．135° B．125° C．115° D．105°‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：∠α的度数=180°﹣45°=135°．故选A．‎ ‎【点睛】本题考查邻补角．‎ ‎5．下列说法中错误的是(　　)‎ A．两点之间线段最短 B．平角的度数为 C．锐角的补角大于它本身 D．锐角大于它的余角 ‎【答案】D ‎【分析】分别根据线段公理、平角的定义、补角和余角的定义逐项判断即可．‎ ‎【解析】解：A、两点之间线段最短，说法正确，本选项不符合题意；‎ B、平角的度数为，说法正确，本选项不符合题意；‎ C、锐角的补角大于它本身，说法正确，本选项不符合题意；‎ D、锐角大于它的余角，说法错误，例如30°的余角是60°，而30＜60，所以本选项符合题意．故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了线段公理、平角的定义、补角和余角的定义等知识，属于基本题型，熟练掌握基本知识是关键．‎ ‎6．（2019·陕西三原初一期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOD，若∠BOE＝40°，则∠AOF的度数是( )‎ A．65° B．60° C．50° D．40°‎ ‎【答案】A ‎【分析】根据余角的性质，可得∠BOD的度数，根据邻补角的性质的性质，可得∠AOD的度数，根据角平分线的性质，可得答案．‎ ‎【解析】由余角的性质，得∠BOD=90°-∠BOE=90°-40°=50°，‎ 由邻补角的性质，得∠AOD=180°-∠BOD=180°-50°=130°，‎ 由角平分线的性质，得∠AOF=∠AOD=×130°=65°，故答案为65°．‎ ‎【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，利用了余角的性质，邻补角的性质，角平分线的性质．‎ ‎7．（2020·安徽金寨初一期末）如图所示，与互为邻补角，OD是的角平分线，OE在内，，求的度数.‎ ‎【答案】72°‎ 分析：由∠BOE= ∠EOC可得角∠BOC=3∠BOE，再由∠DOE=72°，从而得∠BOD=72°-∠BOE，由已知则可得∠AOB=144°-∠BOE，由∠AOB与∠BOC互为补角即可得∠BOE的度数，从而可得.‎ ‎【解析】∵， ，‎ ‎∵ ，∴，‎ ‎∵是的平分线，∴，‎ ‎∵与互为补角，∴，‎ ‎∴，∴，∴.‎ 点睛：本题主要考查角度的计算，这类题要注意结合图形进行，此题关键是能用∠BOE表示∠AOB与∠BOC，然后利用∠AOB与∠BOC互为补角这一关系从而使问题得解.‎ ‎8．（2020·山东淄博初三零模）已知M，N，P，Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是( )‎ A．∠NOQ＝42° B．∠NOP＝132°‎ C．∠PON比∠MOQ大 D．∠MOQ与∠MOP互补 ‎【答案】C ‎【解析】如图所示：∠NOQ=138°，选项A错误；∠NOP=48°，选项B错误；‎ 如图可得∠PON=48°，∠MOQ=42°，所以∠PON比∠MOQ大，选项C正确；‎ 由以上可得，∠MOQ与∠MOP不互补，选项D错误．故答案选C．‎ 考点：角的度量.‎ ‎9．（2020·湛江市初一月考）如图，OA⊥OC，OB⊥OD，4位同学观察图形后分别说了自己的观点．甲：∠AOB=∠COD；乙：∠BOC+∠AOD=180°；丙：∠AOB+∠COD=90°；丁：图中小于平角的角有5个．‎ 其中正确的结论是（  ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【解析】解：根据同角的余角相等可得，∠AOB=∠COD，而不会得出∠AOB+∠COD=90°，故甲正确，丙错误；∠BOC+∠AOD=∠BOC+∠AOB+∠BOD=∠AOC+∠BOD=90°+90°=180°，故乙正确；‎ 图中小于平角的角有∠COD，∠BOD，∠AOD，∠BOC，∠AOC，∠AOB六个，故丁错误．‎ 正确的有两个，故选B．‎ ‎10．（2020·陕西西安·西北工业大学附属中学初一期末）如图，射线和分别为和的角平分线，，则（ ）‎ A．110° B．120° C．130° D．140°‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据角平分线的性质即可求解．‎ ‎【解析】∵射线和分别为和的角平分线，‎ ‎∴，∴+=130°故选C．‎ ‎【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知角平分线的性质．‎ 题型1 与角有关的基本概念 ‎1．（2020·银川外国语实验学校初一期末）用一个放大镜去观察一个角的大小，正确的说法是（　　）‎ A．角的度数扩大了 B．角的度数缩小了 C．角的度数没有变化 D．以上都不对 ‎【答案】C 分析：角的大小只与两边叉开的大小有关,放大镜不能改变角的大小.‎ ‎【解析】用放大镜看一个角的大小时,角的度数不会发生变化.故选C.‎ 点睛：本题考查角的相关概念，具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小.‎ ‎2．（2019·山东招远初一期中）若两个角的和与这两个角的差之和是一个平角的度数，则这两个角（　　）‎ A．一个是锐角，一个是钝角 B．都是钝角 C．必有一个是直角 D．两个都是直角 ‎【答案】C ‎【分析】根据题意设这两个角中较大的角为x,较小的角为y,此时即可得到这两个角的和为x+y,差为x-y;结合已知条件,可得到x+y+x-y=180°,进而得到这两个角中较大的那个角x;‎ 再结合已知条件对较小的角y进行分析得到答案 ‎【解析】解:设这两个角中,较大的角为x,较小的角为y,则这两个角的和为x+y,这两个角的差为x-y.‎ ‎∵ x+y与x-y的和是平角的度数∴ x+y+x-y=180°,∴ x=90°,‎ 通过观察可知,y的值可以是直角,也可以是锐角,故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平角的知识,一条射线绕它的端点旋转,当始边和终边在同一条直线上,方向相反时,所构成的角叫平角,1平角=180度.‎ ‎3．下列四个命题：①小于平角的角是钝角；②平角是一条直线；③等角的余角相等；④凡直角都相等．其中真命题的个数的是（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【答案】B ‎【分析】根据平角、余角和直角的概念进行判断，即可得出答案.‎ ‎【解析】（1）钝角应大于90°而小于180°，故此选项错误；（2）角和直线是两个不同的概念，故此选项错误；（3）根据余角的概念可知：等角的余角相等，故此选项正确；（4）直角都等于90°，故此选项正确．因此答案选择B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了角的有关概念，等角的余角相等的性质．特别注意角和直角是两个不同的概念，不要混为一谈.‎ ‎4．（2020·广东汕头初一期末）下列说法：（1）两点之间线段最短；（2）两点确定一条直线；（3）同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；（4）A、B两点间的距离是指A、B两点间的线段；其中正确的有（　　）‎ A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 ‎【答案】C ‎【分析】（1）根据线段的性质即可求解；（2）根据直线的性质即可求解；（3）余角和补角一定指的是两个角之间的关系，同角的补角比余角大90°；（4）根据两点间的距离的定义即可求解．‎ ‎【解析】（1）两点之间线段最短是正确的；（2）两点确定一条直线是正确的；‎ ‎（3）同一个锐角的补角一定比它的余角大90°是正确的；‎ ‎（4）A、B两点间的距离是指A、B两点间的线段的长度，原来的说法是错误的．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了补角和余角、线段、直线和两点间的距离的定义及性质，是基础知识要熟练掌握．‎ ‎5．（2020·河北省初一期末）下列说法正确的是( )‎ A．连接两点的线段，叫做两点间的距离 B．射线OA与射线AO表示的是同一条射线 C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D．从一点引出的两条直线所形成的图形叫做角 ‎【答案】C ‎【分析】根据线段、射线、直线的定义即可解题.‎ ‎【解析】解：A. 连接两点的线段长度，叫做两点间的距离 B. 射线OA与射线AO表示的是同一条射线,错误,射线具有方向性,‎ C. 经过两点有一条直线，并且只有一条直线,正确,‎ D. 错误,应该是从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，故选Ｃ.‎ ‎【点睛】本题考查了线段、射线、直线的性质,属于简单题,熟悉定义是解题关键.‎ ‎6．（2019·河北晋州·初一期中）下列说法中错误的有(　　)‎ ‎(1)线段有两个端点，直线有一个端点；(2)角的大小与我们画出的角的两边的长短无关；‎ ‎(3)线段上有无数个点；(4)同角或等角的补角相等；(5)两个锐角的和一定大于直角．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B 分析：根据平面图形的基本概念依次分析各小题即可判断.‎ ‎【解析】（1）线段有两个端点，直线没有端点，（5）20°+20°=40°是锐角，故错误；（2）角的大小与我们画出的角的两边的长短无关，（3）线段上有无数个点，（4）同角或等角的补角相等，正确；故选B.‎ 点评：本题是基础应用题，只需学生熟练掌握平面图形的基本概念，即可完成.‎ 题型2 钟面上的角度问题 ‎1．10时整，钟表的时针与分针之间所成的角的度数是（ ）‎ A．30° B．60° C．90° D．120°‎ ‎【答案】B ‎【分析】由于钟表的指针恰好是10点整，时针指向10，分针指向12，根据钟面被分成12大格，每大格为30度得到此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数=2×30°．‎ ‎【解析】解：钟表的指针恰好是10点整，时针指向10，分针指向12，‎ 所以此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数=2×30°=60°． 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30度；分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，掌握以上知识是解题的关键．‎ ‎2．（2020·河北省初一期中）某校决定下午开始举行中学生武术健身操比赛，下午这一时刻，时钟上时针与分针所夹的较小角等于_________ ．‎ ‎【答案】130‎ ‎【分析】根据分针旋转的速度乘分针旋转的时间，可得分针的旋转角，根据时针旋转的速度乘时针旋转的时间，可以得出时针的旋转角，二者作差即可得出答案．‎ ‎【解析】解：下午这一时刻，时钟上时针与分针所夹的较小角等于：‎ ‎．故答案为：130．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是钟面角，时针转动一大格，转过的角度为30度，分针转动一小格，转过的角度为6度，时针与分针转动角度的速度比值是．掌握以上内容是解此题的关键．‎ ‎3．（2020·全国单元测试）时钟的分针从4点整的位置起，顺时针方向转_______度时，分针才能第一次与时针重合．‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】根据钟面上的角度问题及一元一次方程的应用可直接进行求解．‎ ‎【解析】解：由题意得：分针每分钟走，时针每分钟走，则，解得，‎ 即经过分钟后，分针与时针重合，∴分针转了度．故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查一元一次方程方程的应用及钟面上的角度问题，关键是根据题意得到分针、时针每分钟走的角度，然后列方程求解即可．‎ ‎4．（2020·浙江绍兴·初一期末）上午9点钟的时候，时针和分针成直角，则下一次时针和分针成直角的时间是_____．‎ ‎【答案】9时32‎8‎‎11‎分．‎ ‎【分析】根据实际问题，时针转动速度为‎360‎‎12×60‎‎=‎‎1‎‎2‎（度/分钟），分钟转动速度为‎360‎‎60‎=6（度/分钟），设再次转成直角的时间间隔为x，可以列出方程，从而求解下一次时针与分针成直角的时间．‎ ‎【解析】设再次转成直角的时间间隔为x，则（6﹣‎1‎‎2‎）x=90×2，（6﹣‎1‎‎2‎）x=180，∴x=32‎8‎‎11‎．‎ ‎∴下一次时针与分针成直角的时间为9时32‎8‎‎11‎分，故答案为：9时32‎8‎‎11‎分．‎ ‎【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和钟面角问题，此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．‎ ‎5．（2020·全国初一课时练习）一天24小时中，时钟的分针和时针共组合成_____次平角，______次周角．‎ ‎【答案】22 24 ‎ ‎【解析】一天24小时中，时针只转2圈，而分针转24圈，且转动的方向相同，5-7点，及11-13点各自只 要一次是平角，因而一天22小时中，时钟的分针和时针共组合成24次平角，24次周角，‎ 故答案为22，24.‎ ‎【点睛】本题考查钟面角，正确认识时钟的转动情况，是解决本题的关键．‎ ‎6．如图，在钟面上，点为钟面的圆心，以点为顶点按要求画出符合下列要求的角（角的两边不经过钟面上的数字）：‎ ‎（1）在图1中画一个锐角，使锐角的内部含有2个数字，且数字之差的绝对值最大；‎ ‎（2）在图2中画一个直角，使直角的内部含有3个数字，且数字之积等于数字之和；‎ ‎（3）在图3中画一个钝角，使钝角的内部含有4个数字，且数字之和最小；‎ ‎（4）在图4中画一个平角，使平角的内部与外部的数字之和相等；‎ ‎（5）在图5中画两个直角，使这两个直角的内部含有的3个数字之和相等.‎ ‎【答案】见解析 ‎【分析】（1）根据锐角的内部含有2个数字，且数字之差的绝对值最大，可知这2个数字分别是1和12，据此画出图形；（2）根据直角的内部含有3个数字，且数字之积等于数字之和可知，这3个数字分别是1，2，3，据此画出图形；（3）根据钝角的内部含有4个数字，且数字之和最小可知，这4个数字分别是1，2，3，4，据此画出图形；（4）根据平角的内部与外部的数字之和相等，又10+11+12+1+2+3=4+5+6+7+8+9，据此可画出平角；（5）根据这两个直角的内部含有的3个数字之和相等，又12+1+2=4+5+6，据此可画出图形．‎ ‎【解析】解：根据题意，（1）~（5）中符合要求的角如图所示：‎ ‎【点睛】此题考查了钟面角以及有理数的运算，解题的关键是根据题意找出相对应的钟面数字．‎ 题型3.旋转、折叠有关的角度问题 ‎1．如图，将一张长方形纸片的角A、E分别沿着BC、BD折叠，点A落在A'处，点E落在边BA'上的E'处，则∠CBD的度数是（　　）‎ A．85° B．90° C．95° D．100°‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据折叠的性质可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，∵∠ABC+∠A′BC+∠E′BD+∠EBD=180°，∴2∠A′BC+2∠E′BD=180°．∴∠A′BC+∠E′BD=90°．∴∠CBD=90°．故选B．‎ ‎【点睛】由折叠的性质，即可得：∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，然后由平角的定义，即可求得∠A′BC+∠E′BD=90°，则可求得∠CBD的度数．此题考查了折叠的性质与平角的定义，解题的关键是掌握翻折的性质．‎ ‎2．如图，把一张长方形纸片沿AB折叠后，若∠1＝50°，则∠2的度数为______．‎ ‎【答案】65°‎ ‎【解析】∵把一张长方形纸片沿AB折叠，∴∠2=∠3，‎ ‎∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=50°，∴∠2=（180°-∠1）2=65°.‎ ‎【点睛】此题考查了折叠的性质与平角的定义，解题的关键是掌握翻折的性质．‎ ‎3．（2020·甘州区思源实验学校初一月考）如图，将一张长方形纸片沿线段AB折叠，已知∠1=40°，则∠2=___．‎ ‎【答案】100°‎ ‎【分析】先根据折叠的性质得∠1=∠3=40°，然后根据平角的定义可计算出∠2=100°．‎ ‎【解析】∵长方形纸片沿线段AB折叠，‎ ‎∴∠1=∠3=40°，∴∠2=180°-∠1-∠3=180°-2×40°=100°．故答案为50°‎ ‎【点睛】本题考查了折叠的性质，也考查了平角的定义．‎ ‎4．（2020·偃师市实验中学初一月考）如图,将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠(点F在BC上,不与B,C重合),使点C落在长方形内部的点E处,若FH平分∠BFE,则∠GFH的度数是____. ‎ ‎【答案】90°‎ ‎【分析】根据折叠求出∠CFG=∠EFG=∠CFE，根据角平分线定义求出∠HFE=∠BFE，即可求出∠GFH=∠GFE+∠HFE=∠CFB．‎ ‎【解析】∵将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，∴∠CFG=∠EFG=∠CFE，‎ ‎∵FH平分∠BFE，∴∠HFE=∠BFE，‎ ‎∴∠GFH=∠GFE+∠HFE=（∠CFE+∠BFE）=×180°=90°，故答案为：90°．‎ ‎【点睛】本题考查了角的计算，折叠的性质，角平分线定义的应用，主要考查学生的推理和计算能力．‎ ‎5．（2020·东平县实验中学初一期中）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠CBD＝66°，则∠ABE＝_________.‎ ‎【答案】24°‎ ‎【分析】根据翻折的性质可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′，再根据平角的度数是180°，∠CBD＝66°，继而即可求出答案．‎ ‎【解析】解：根据翻折的性质可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′， 又∵∠ABE＋∠A′BE＋∠DBC＋∠DBC′＝180°，∴∠ABE＋∠DBC＝90°， 又∠CBD＝66°，∴∠ABE＝24°，故答案为：24°.‎ ‎【点睛】题考查了角的计算，解题的关键是根据翻折变换的性质，得出三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′．‎ ‎6．（2020·广西钦州·期末）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（　 ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【分析】分两种情况进行讨论：当转动较小角度的平分时，；当转动较大角度的平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值．‎ ‎【解析】解：分两种情况：‎ ‎①如图平分时，，即，解得；‎ ‎②如图平分时，，即，解得．‎ 综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5．故选：．‎ ‎【点睛】本题考查角的动态问题，理解题意并分析每个运动状态是解题的关键．‎ ‎7．（2018·四川省金堂实验中学初一月考）如图，以直线 AB 上一点 O 为端点作射线 OC，使∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点 O 处．（注：∠DOE=90°）‎ ‎(1)如图①，若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上，则∠COE= °；‎ ‎(2)如图②，将直角三角板 DOE 绕点 O 逆时针方向转动到某个位置，若 OC 恰好平分∠BOE，求∠COD 的度数；(3)如图③，将直角三角板 DOE 绕点 O 转动，如果 OD 始终在∠BOC 的内部， 试猜想∠BOD 和∠COE 有怎样的数量关系？并说明理由．‎ ‎【答案】（1）20；（2）20 º；（3）∠COE﹣∠BOD=20°．‎ 分析：（1）根据图形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；（2）根据角平分线定义求出∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD=∠BOE-∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD=∠BOC-∠BOD求出即可；（3）根据图形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相减即可求出答案．‎ ‎【解析】（1）如图①，∠COE=∠DOE﹣∠BOC=90°﹣70°=20°；‎ ‎（2）如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，∴∠EOB=2∠BOC=140°，‎ ‎∵∠DOE=90°，∴∠BOD=∠BOE﹣∠DOE=50°，‎ ‎∵∠BOC=70°，∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=20°；‎ ‎（3）∠COE﹣∠BOD=20°，‎ 理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，‎ ‎∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）=∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD ‎=∠COE﹣∠BOD=90°﹣70°=20°，即∠COE﹣∠BOD=20°．‎ 点睛：本题考查了角的综合计算，能根据图形和已知条件求出各个角之间的关系是解此题的关键．‎ ‎8．（2020·浙江嵊州初一期末）点A，O，B依次在直线MN上，如图1，现将射线OA绕点O顺时针方向以每秒10°的速度旋转，同时射线OB绕着点O按逆时针方向以每秒15°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t秒（t≤12）．‎ ‎（1）在旋转过程中，当t=2时，求∠AOB的度数．‎ ‎（2）在旋转过程中，当∠AOB=105°时，求t的值．‎ ‎（3）在旋转过程中，当OA或OB是某一个角（小于180°）的角平分线时，求t的值．‎ ‎【答案】(1) 130°；(2)t=3或11.4;(3)t=4.5或或9或 ‎【分析】（1）分别求出∠AOM和∠BON的度数，即可得出答案；‎ ‎（2）分为两种情况，得出方程10t+15t=180-105或10t+15t=180+105，求出方程的解即可；‎ ‎（3）分为四种情况，列出方程，求出方程的解即可．‎ ‎【解析】（1）当t=2时，∠AOM=10°t=20°，∠BON=15°t=30°，‎ 所以∠AOB=180°﹣∠AOM﹣∠BON=130°；‎ ‎（2）当∠AOB=105°时，有两种情况：‎ ‎①10t+15t=180﹣105，解得：t=3；②10t+15t=180+105，解得：t=11.4；‎ ‎（3）①当OB是∠AON的角平分线时，10t+15t+15t=180，解得：t=4.5；‎ ‎②当OA是∠BOM的角平分线时，10t+10t+15t=180，解得：t=；‎ ‎③当OB是∠AOM的角平分线时，5t+15t=180，解得：t=9；‎ ‎④当OA是∠BON的角平分线时，10t+7.5t=180，解得：t=．‎ ‎【点睛】本题考查了角平分线的定义和邻补角的定义，能求出符合的所有情况是解此题的关键．‎ ‎9．（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）如图，以直线 AB 上一点 O 为端点作射线 OC，使∠BOC=70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点 O 处．（注：∠DOE=90°）‎ ‎(1)如图①，若直角三角板 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上，则∠COE= °；‎ ‎(2)如图②，将直角三角板 DOE 绕点 O 逆时针方向转动到某个位置，若 OC 恰好平分∠BOE，求∠COD 的度数；(3)如图③，将直角三角板 DOE 绕点 O 转动，如果 OD 始终在∠BOC 的内部， 试猜想∠BOD 和∠COE 有怎样的数量关系？并说明理由．‎ ‎【答案】（1）20；（2）20 º；（3）∠COE﹣∠BOD=20°．‎ 分析：（1）根据图形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；（2）根据角平分线定义求出∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD=∠BOE-∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD=∠BOC-∠BOD求出即可；（3）根据图形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相减即可求出答案．‎ ‎【解析】（1）如图①，∠COE=∠DOE﹣∠BOC=90°﹣70°=20°；‎ ‎（2）如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，∴∠EOB=2∠BOC=140°，‎ ‎∵∠DOE=90°，∴∠BOD=∠BOE﹣∠DOE=50°，‎ ‎∵∠BOC=70°，∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=20°；‎ ‎（3）∠COE﹣∠BOD=20°，‎ 理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，‎ ‎∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）=∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD ‎=∠COE﹣∠BOD=90°﹣70°=20°，即∠COE﹣∠BOD=20°．‎ 点睛：本题考查了角的综合计算，能根据图形和已知条件求出各个角之间的关系是解此题的关键．‎ ‎10．（2018·湖北江汉·初一期末）已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．‎ ‎（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；‎ ‎（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；‎ ‎（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．‎ ‎【答案】（1）∠MEN＝90°；（2）∠MEN＝105°；（3）∠FEG＝2α﹣180°，∠FEG＝180°﹣2α．‎ ‎【分析】（1）根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．（2）根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题．（3）分两种情形分别讨论求解．‎ ‎【解析】（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF∴∠NEF＝∠AEF，∠MEF＝∠BEF ‎∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF＝∠AEF+∠BEF＝（∠AEF+∠BEF）＝∠AEB ‎∵∠AEB＝180°∴∠MEN＝×180°＝90°‎ ‎（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG ‎∴∠NEF＝∠AEF，∠MEG＝∠BEG ‎∴∠NEF+∠MEG＝∠AEF+∠BEG＝（∠AEF+∠BEG）＝（∠AEB﹣∠FEG）‎ ‎∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°∴∠NEF+∠MEG＝（180°﹣30°）＝75°‎ ‎∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°‎ ‎（3）若点G在点F的右侧，∠FEG＝2α﹣180°，若点G在点F的左侧侧，∠FEG＝180°﹣2α．‎ ‎【点睛】考查了角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．‎ 题型4 一副直角三角形板中的角度问题 ‎1．（2020·全国课时练习）如图所示，两块三角尺直角顶点重合，，则重合部分构成的角是_____________．‎ ‎【答案】45°‎ ‎【分析】根据题意得到∠AOD=∠COB=90°，再计算∠BOD=∠AOB-∠AOD，然后根据∠DOC=∠COB-∠BOD进行计算即可．‎ ‎【解析】解：∵∠AOD=∠COB=90°，而，‎ ‎∴∠BOD=∠AOB-∠AOD =135°-90°=45°，‎ ‎∴∠DOC=∠COB-∠BOD=90°-45°=45°．故答案为：45°．‎ ‎【点睛】本题考查角的计算,注意掌握1直角=90°，1平角=180°．‎ ‎2．（2020·甘肃肃州·初一期末）如右图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，∠2的大小是________．‎ ‎【答案】57°40′‎ ‎【分析】先根据角的和差求出∠EAC，再根据∠2=90°－∠EAC求解即可．‎ ‎【解析】因为∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，所以∠EAC＝60°－∠1=32°20′，‎ 因为∠EAD=90°，所以∠2=90°－∠EAC=57°40′．故答案为：57°40′．‎ ‎【点睛】本题以三角板为载体，考查了角的和差计算，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．‎ ‎3．（2020·辽宁铁岭·初三月考）将一副三角板按如图方式摆放在一起，且比大，则的度数等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】设出未知数：∠2＝x，则∠1＝x＋20°，根据∠1和∠2的互余关系列出方程，解方程即可．‎ ‎【解析】解：设∠2为x，则∠1＝x＋20°；‎ 根据题意得：x＋x＋20°＝90°，解得：x＝35°，则∠1＝35°＋20°＝55°；故答案为：55°．‎ ‎【点睛】本题考查了余角的定义；关键是设出未知数找出等量关系列方程．‎ ‎4．（2020·内蒙古乌兰浩特·初一期末）如图，将带有45°和30°两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，‎ ‎（1）若∠DCE＝25°，则∠ACB＝______；若∠ACB＝150°，则∠DCE＝______；‎ ‎（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）155°；30°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°，理由见解析.‎ ‎【分析】（1）由∠ACD＝90°，∠DCE＝25°，得出∠ACE＝65°，求出∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝155°；若∠ACB＝150°，由∠ACD＝∠BCE＝90°，得出∠DCE＝180°﹣150°＝30°；‎ ‎（2）由∠ACD＝∠BCE＝90°，得出∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝180°，结合已知条件，即可得出结论．‎ ‎【解析】（1）∵∠ACD＝90°，∠DCE＝25°，∴∠ACE＝90°﹣25°＝65°，‎ ‎∵∠BCE＝90°，∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝65°+90°＝155°；故答案为：155°‎ ‎∵∠ACB＝150°，∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠DCE＝90°+90°﹣∠ACB＝180°﹣150°＝30°；故答案为：30°‎ ‎（2）∠ACB+∠DCE＝180°．理由如下：‎ ‎∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝180°，‎ ‎∵∠ACE+∠DCE+∠BCD=∠ACB，∴∠ACB+∠DCE＝180°．‎ ‎【点睛】本题考查了角的计算，两角互余的性质，明确角的和差关系是解题的关键．‎ ‎5．（2020·湖南长沙·初一期末）一套三角尺（分别含，，和，，的角）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为．‎ ‎（1）当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是 度；‎ ‎（2）若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转．①当为何值时，边平分；②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1） ；（2）①；②秒或 ‎【分析】（1）当t=5秒时，由旋转知，10°×5=50°即可得出结论；（2）①如图1，根据PB平分∠CPD，可列方程进而求解；②设时间为t秒，设在秒时，，由题知，，根据题意可得到，，根据旋转过程列出方程即可求得结论．‎ ‎【解析】解：（1）当t=5秒时，由旋转知，10°×5=50° 180°-45°-50°=85°，故答案为：； ‎ ‎（2）①如图1所示： ‎ ‎ ∵PB平分∠CPD；∴∠CPB=∠BPD=∠CPD=30°，∴∠APC=∠APB-∠CPB=45°-30°=15°， 由∠MPN=180°得，10t+15+60+2t=180，解得，，∴当秒时，边PB平分∠CPD；‎ ‎②设在秒时，，由题知，‎ 在秒时，边对应的刻度是度，‎ 边对应的刻度是度，所以度；‎ 在秒时，边对应的刻度是度 边对应的刻度是度，所以度 由题知，，故 即或 解得秒或 ‎【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，量角器的识别，表示出∠APC与∠BPD是解本题的关键．‎ ‎6．（2019·山西灵丘·初一期末）（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？‎ 在①，②，③，④中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是______；（填序号）‎ ‎（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边、都在直线上.固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止.‎ ‎①当平分时，求旋转角度；‎ ‎②是否存在？若存在，求旋转角度；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）④；（2）①；②当，时，存在.‎ ‎【分析】（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是15°的倍数的角都可以画出来； （2）①根据已知条件得到∠EOD=180°-∠COD=180°-60°=120°，根据角平分线的定义得到∠EOB=∠EOD=×120°=60°，于是得到结论； ②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，根据角的和差列方程即可得到结论．‎ ‎【解析】解：（1）∵135°=90°+45°，120°=90°+30°，75°=30°+45°， ∴只有25°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故画不出；故选④；‎ ‎（2）①因为，所以.‎ 因为平分，所以.‎ 因为，所以.‎ ‎②当在左侧时，则，.‎ 因为，所以.解得.‎ 当在右侧时，则，.‎ 因为，所以. 解得.‎ 综合知，当，时，存在.‎ ‎【点睛】本题考查角的计算，角平分线的定义，正确的理解题意并分类讨论是解题关键．‎ 题型5作图题 ‎1．（2020·全国单元测试）用一副三角尺，不能画出的角是（ ）‎ A．75° B．15° C．135° D．115°‎ ‎【答案】D ‎【分析】用、的直角三角尺的各个角度进行加减运算即可．‎ ‎【解析】解：三角尺有的直角三角尺、的直角三角尺 则不能画出的角为 故答案为：D．‎ ‎【点睛】本题考查三角板的角度分析，结合、的直角三角尺的各个角度进行分析即可．‎ ‎2．（2020·全国课时练习）只用一副三角板可以画出的角度是（ ）‎ A．115° B．160° C．75° D．80°‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据题意用三角板画出角，无非是用角度加减法，再根据选项一一分析，排除错误答案．‎ ‎【解析】解：A、115°的角不能用三角板上的度数拼成；B、160°的角不能用三角板上的度数拼成；‎ C、30°+45°=75°，可以拼成；D、80°的角不能用三角板上的度数拼成．故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查用一副三角板拼成角度，注意掌握一副三角板的角有30°、45°、60°、90°．‎ ‎3．（2020·全国课时练习）已知射线，以射线为一边画一个角等于50°，有两种画法，并用量角器量出所画的两边所成角的度数．‎ ‎【答案】作图见解析，100°．‎ ‎【分析】根据题意可得两种画法分别是在射线OA的上方或下方，然后用量角器量出度数即可．‎ ‎【解析】如图所示，以射线OA为一边，先用量角器在射线OA的上方画，再用量角器在射线OA的下方画，用量角器量出；‎ ‎【点睛】本题主要考查角的作图及度量，关键是熟练掌握角的相关知识点．‎ ‎4．（2019·山东青岛·初一期中）作图题：已知：∠α、∠β、 求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β ‎【答案】画图见解析 分析：利用量角器作∠AOC=∠α，在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β，所以∠AOB=∠α+∠β，即为所求作的角.‎ ‎【解析】如图所示：（1）作∠AOC=∠α，‎ ‎（2）在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β，‎ 则∠AOB即为所求作的角.‎ ‎5．（2020·全国初一课时练习）如图所示，已知∠1，用量角器求作一个角，使它等于∠1.‎ ‎【答案】见解析 ‎【分析】先用量角器测出∠1的度数为60度，再画一条射线作为一边，以端点为顶点，画一个角使度数等于∠1的度数.‎ ‎【解析】如图，先用量角器测出∠1的度数为60度，再画一条射线作为一边，以端点为顶点，画一个角使度数等于∠1的度数.‎ 所以，∠2为所求.‎ ‎【点睛】本题考核知识点：画角.解题关键点：用量角器画角.‎ ‎6．（2016·安徽合肥38中初一期末）按下列要求作图：‎ ‎（1）如图，已知线段a，b，用尺规作一条线段，使它等于a＋2b；(不要求写作法，只保留作图痕迹)‎ ‎（2）借助三角尺作135°的角.‎ ‎【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析.‎ 分析：（1）作射线AE，在射线上顺次截取AB=a，BC=b，CD=b即可得出答案；‎ ‎（2）利用一个直角和一个45°的锐角得出135°的角即可．‎ ‎【解析】（1）如图所示：AD即为所求；‎ ‎（2）如图所示：‎ ‎7．（2020·全国课时练习）用一副三角尺画角．（1）． （2）．‎ ‎【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 ‎【分析】（1）利用三角板中的90°与45°角即可求解；（2）利用三角板中的90°与60°角即可求解．‎ ‎【解析】（1）如图，∠AOB为所求；‎ ‎（2）如图，∠BOC为所求；‎ ‎【点睛】此题主要考查角度的作图，解题的关键是熟知三角板的特点．‎ 题型6 与角有关的综合题（较难）‎ ‎1．（2019·内蒙古临河·初一期末）已知，O为直线AB上一点，∠DOE=90°．‎ ‎（1）如图1，若∠AOC=130°，OD平分∠AOC．①求∠BOD的度数；②请通过计算说明OE是否平分∠BOC．‎ ‎（2）如图2，若∠BOE：∠AOE=2：7，求∠AOD的度数．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）①115°；②答案见解析；（2）∠AOD＝50°‎ 分析：（1）①先求出∠AOD的度数，再根据邻补角求出∠BOD即可；‎ ‎②分别求出∠COE，∠BOE的度数即可作出判断；‎ ‎（2）由已知设∠BOE=2x，则∠AOE=7x， 再根据∠BOE＋∠AOE=180°，求出∠BOE=40°，再根据互余即可求出∠AOD＝90°－40°=50°.‎ ‎【解析】（1）①∵OD平分∠AOC，∠AOC=130°，∴∠AOD=∠DOC=∠AOC=×130°=65°，‎ ‎∴∠BOD=180°－∠AOD=180°－65°=115°；‎ ‎②∵∠DOE=90°，又∠DOC=65°，∴∠COE=∠DOE－∠DOC=90°－65°=25°，‎ ‎∵∠BOD=115°，∠DOE=90°，∴∠BOE=∠BOD－∠DOE=115°－90°=25°，‎ ‎∴∠COE=∠BOE，即OE平分∠BOC；‎ ‎（2）若∠BOE：∠AOE=2：7，设∠BOE=2x，则∠AOE=7x， ‎ 又∠BOE＋∠AOE=180°，∴2x+7x=180°，∴x=20°，∠BOE=2x=40°，‎ ‎∵∠DOE=90°，∴∠AOD＝90°－40°=50°.‎ ‎2．（2020·山东沂南·初一期末）点 O 是直线 AB上一点，∠COD 是直角，OE平分∠BOC．‎ ‎（1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC 的度数；‎ ‎②如图2，若∠DOE＝α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）；‎ ‎（2）将图 1中的∠COD 绕点O按顺时针方向旋转至图 2 所示位置．探究∠DOE 与∠AOC ‎ 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）①∠AOC＝50°；②∠AOC＝2α；（2）∠DOE＝∠AOC，理由详见解析.‎ ‎【分析】（1）①首先求得∠COE的度数，然后根据角平分线的定义求得∠COB的度数，再根据∠AOC＝180°﹣∠BOC即可求解；‎ ‎②解法与①相同，把①中的25°改成α即可；‎ ‎（2）把∠AOC的度数作为已知量，求得∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义求得∠COE的度数，再根据∠DOE＝∠COD﹣∠COE求得∠DOE，即可解决．‎ ‎【解析】（1）①∵∠COD＝90°，∠DOE＝25°，‎ ‎∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣25°＝65°，‎ 又∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE＝130°，‎ ‎∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°；‎ ‎②∵∠COD＝90°，∠DOE＝α，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣α，‎ 又∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE＝180°﹣2α，‎ ‎∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α；‎ ‎（2）∠DOE＝∠AOC，理由如下：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，‎ 又∵OE平分∠BOC∴∠COE＝∠BOC＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠AOC，‎ 又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣∠AOC）＝∠AOC．‎ ‎【点睛】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键．‎ ‎3．（2020·广东普宁·初一期末）如图1直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，射线OE平分∠AOD．‎ ‎（1）若∠COE＝40°，则∠BOD＝ ．‎ ‎（2）若∠COE＝α，求∠BOD（请用含α的代数式表示）；‎ ‎（3）当三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测∠COE与∠BOD 之间有怎样的数量关系？并说明理由．‎ ‎【答案】（1）80°；（2）2α；（3）∠BOD+2∠COE＝360°，理由见详解．‎ ‎【分析】（1）先根据直角计算∠DOE的度数，再根据角平分线的定义计算∠AOD的度数，最后利用平角的定义可得结论；（2）先根据直角计算∠DOE的度数，再根据角平分线的定义计算∠AOD的度数，最后利用平角的定义可得结论；（3）设∠BOD=β，则∠AOD=180°-β，根据角平分线的定义表示∠DOE，再利用角的和差关系求∠COE的度数，可得结论．‎ ‎【解析】‎ 解：（1）若∠COE＝40°，∵∠COD＝90°，∴∠EOD＝90°﹣40°＝50°，‎ ‎∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠EOD＝100°，∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°；‎ ‎（2）∵∠COE＝α，∴∠EOD＝90﹣α，‎ ‎∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠EOD＝2（90﹣α）＝180﹣2α，‎ ‎∴∠BOD＝180°﹣（180﹣2α）＝2α；‎ ‎（3）如图2，∠BOD+2∠COE＝360°，理由是：设∠BOD＝β，则∠AOD＝180°﹣β，‎ ‎∵OE平分∠AOD，∴∠EOD＝ ∠AOD＝ ＝90°﹣β，‎ ‎∵∠COD＝90°，∴∠COE＝90°+（90°﹣β）＝180°﹣β，‎ 即∠BOD+2∠COE＝360°．‎ 故答案为：（1）80°；（2）2α；（3）∠BOD+2∠COE＝360°，理由见详解．‎ ‎【点睛】本题考查余角的定义，角平分线的定义和平角的定义，以及角的和差关系，解题的关键是熟练掌握平角和余角的定义，并注意利用数形结合的思想．‎ ‎4．（2020·湖北黄石·期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．‎ ‎（1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？为什么？‎ ‎（2）如图2，当∠AOB＝70°，∠BOC＝60°时，∠MON＝　 　度．（直接写出结果）‎ ‎（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON的度数是多少？为什么？‎ ‎【答案】（1）45°，理由见解析；（2）35；（3）α，理由见解析 ‎【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；‎ ‎（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；‎ ‎（3）表示出∠AOC度数，表示出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可．‎ ‎【解析】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+60°＝150°，‎ ‎∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC＝∠AOC＝75°，∠NOC＝∠BOC＝30°，‎ ‎∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°；‎ ‎（2）如图2，∵∠AOB＝70°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝70°+60°＝130°，‎ ‎∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC＝65°，∠NOC＝∠BOC＝30°，‎ ‎∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝65°﹣30°＝35°． 故答案为：35．‎ ‎（3）如图3，∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β，‎ ‎∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，‎ ‎∴∠MOC＝∠AOC＝（α+β），∠NOC＝∠BOC＝β，‎ ‎∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝（α+β）﹣β＝α．‎ ‎【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON=∠MOC-∠NOC.‎ ‎5．（2020·全国初一课时练习）如图，已知，将一个直角三角形纸片()的一个顶点放在点处，现将三角形纸片绕点任意转动，平分斜边与的夹角，平分.‎ ‎（1）将三角形纸片绕点转动(三角形纸片始终保持在的内部)，若，则______；（2）将三角形纸片绕点转动(三角形纸片始终保持在的内部)，若射线恰好平方，若，求的度数;（3）将三角形纸片绕点从与重合位置逆时针转到与重合的位置，猜想在转动过程中和的数量关系？并说明理由.‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 ‎【分析】（1）利用角平分线定义得出，，再利用∠AOB的和差关系进行列方程即可求解；‎ ‎（2）利用，表达出∠AOC、∠BOD，利用∠AOB的和差关系进行列方程即可求解；‎ ‎（3）画出图形后利用角的和差关系进行计算求解即可．‎ ‎【解析】解：（1）∵平分斜边与的夹角，平分．‎ ‎∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD ‎∴设 ‎ ‎∴，‎ ‎∵∴‎ ‎∴故答案为: ‎ ‎（2）∵ ∴设 ‎∵射线恰好平方∴‎ ‎∴‎ ‎∵平分斜边与的夹角，平分．∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD ‎∴ ∴‎ ‎∵∴∴‎ ‎(3) ,证明如下：‎ 当OC与OA重合时，设∠COD=x,则 ‎ ‎∵ON平分∠BOD ∴ ‎ ‎∴ ∴ ‎ 当OC在OA的左侧时 设∠AOD=a，∠AOC=b，则∠BOD=∠AOB-∠AOD=150°-a，∠COD=∠AOD+∠AOC=a+b ‎∵ON平分∠BOD∴ ‎ ‎∵OM平分∠AOC∴ ‎ ‎∴∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON ‎ 当OD与OA重合时 ∵ON平分∠AOB∴ ‎ ‎∵OM平分∠AOC∴ ∴ ‎ 综上所述 ‎ ‎【点睛】本题考查了角平分线的动态问题，掌握角平分线的性质是解题的关键．‎ ‎6．（2020·山东潍坊·初一期中）如图，（1）已知是直角，，平分，平分．求的度数；（2）若， 其他条件不变．求的度数(用含的代数式表示)．‎ ‎【答案】（1）45°；（2）‎ ‎【分析】（1）先求出∠AOM的值，然后得出∠MOB的值，最后得出∠MON的值；（2）思路与（1）完全相同．‎ ‎【解析】（1）∵∠BOC=30°，∠AOB是直角，OM是∠AOC的角平分线∴∠AOM=60°∴∠MOB=30°‎ ‎∵ON是∠BOC的角平分线∴∠BON=15°∴∠MON=45°‎ ‎（2）∵∠BOC=30°，∠AOB=，OM是∠AOC的角平分线∴∠AOM=15°+‎ ‎∴∠MOB==‎ ‎∵ON是∠BOC的角平分线∴∠BON=15°∴∠MON==‎ ‎【点睛】本题考查利用角平分线的特点进行角度推导，解题关键是推导出∠MOB的大小．‎ ‎7．（2020·山东省昌乐第一中学月考）如图，∠AOB＝90°．∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．‎ ‎（1）求∠MON的度数；（2）若∠BOC＝60°，其他条件不变，则∠MON＝　 　；‎ ‎（3）若∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面的结果能看出什么规律？‎ ‎【答案】（1）45°；（2）45°；（3）；（4）∠MON的度数始终是∠AOB的一半，与∠BOC的大小无关 ‎【分析】（1）根据角的平分线定义和角的和差即可求解；（2）理由同（1）；‎ ‎（3）理由同（1）把∠AOB换成字母表示即可求解；（4）根据（1）、（2）、（3）的结论即可发现规律．‎ ‎【解析】解：（1）根据题意，得∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°，‎ ‎∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC＝60°，∠CON＝BOC＝15°，‎ ‎∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝60°﹣15°＝45°．答：∠MON的度数为45°．‎ ‎（2）∠MON＝（150﹣60）＝45°．故答案为45°．‎ ‎（3）∵ ∴‎ ‎∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴，∠CON＝BOC＝15°，‎ ‎∴ 答：∠MON的度数为．‎ ‎（4）∠MON的度数始终是∠AOB的一半，与∠BOC的大小没有关系．‎ ‎【点睛】根据角平分线的定义以及角的和差可以发现∠MON的度数始终是∠AOB的一半 ‎8．（2020·江苏南京·南师附中宿迁分校初一期末）已知直线AB过点O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分线．（1）操作发现：①如图1，若∠AOC＝40°，则∠DOE＝ ‎ ‎②如图1，若∠AOC＝α，则∠DOE＝ （用含α的代数式表示）‎ ‎（2）操作探究：将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，②中的结论是否成立？试说明理由．（3）拓展应用：将图2中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数，（用含α的代数式表示）‎ ‎【答案】（1）20°，；（2）成立，理由见详解；（3）180°－．‎ ‎【分析】（1）如图1，根据平角的定义和∠COD＝90°，得∠AOC＋∠BOD＝90°，从而∠BOD＝50°，OE是∠BOC的平分线，可得∠BOE＝70°，由角的和差得∠DOE＝20°；同理可得：∠DOE＝α；‎ ‎（2）如图2，根据平角的定义得：∠BOC＝180°－α，由角平分线定义得：∠EOC＝∠BOC＝90°－α，根据角的差可得（1）中的结论还成立；（3）同理可得：∠DOE＝∠COD＋∠COE＝180°－α．‎ ‎【解析】解：（1）如图1，∵∠COD＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°，‎ ‎∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝50°，∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋50°＝140°，‎ ‎∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝70°，∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝20°，‎ ‎②如图1，由（1）知：∠AOC＋∠BOD＝90°，‎ ‎∵∠AOC＝α，∴∠BOD＝90°﹣α，∴∠BOC＝∠COD＋∠BOD＝90°＋90°﹣α＝180°﹣α，‎ ‎∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣α，‎ ‎∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣α﹣（90°﹣α）＝α，‎ ‎（2）（1）中的结论还成立，理由是：‎ 如图2，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，‎ ‎∵OE平分∠BOC，∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，‎ ‎∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α；‎ ‎（3）如图3，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，‎ ‎∵OE平分∠BOC，∴∠EOC＝∠BOC＝90°﹣α，‎ ‎∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝90°＋（90°﹣α）＝180°﹣α．‎ ‎【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．‎