七年级上册数学基础知识

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七年级上册数学基础知识

第一章:有理数 一、有理数的基础知识 ‎1、三个重要的定义:(1)正数:像1、2.5、这样大于0的数叫做正数;(2)负数:在正数前面加上“-”号,表示比0小的数叫做负数;(3)0即不是正数也不是负数,0是一个具有特殊意义的数字,0是正数和负数的分界,不是表示不存在或无实际意义。‎ 概念剖析:①判断一个数是否是正数或负数,不能用数的前面加不加“+”“-”去判断,要严格按照“大于0的数叫做正数;小于0的数叫做负数”去识别。‎ ‎②正数和负数的应用:正数和负数通常表示具有相反意义的量。‎ ‎③所有正整数组成正整数集合;所有负整数组成负整数集合;正整数、0、负整数统称为整数,正整数、0、负整数组成整数集合;‎ ‎④常常有温差、时差、高度差(海拔差)等等差之说,其算法为高温减低温等等;‎ ‎2、有理数的概念及分类:整数和分数统称为有理数。‎ 有理数的分类如下:‎ ‎(1)按定义分类: (2)按性质符号分类:‎ ‎ ‎ 概念剖析:①整数和分数统称为有理数,也就是说如果一个数是有理数,则它就一定可以化成整数或分数;‎ ‎ ②正有理数和0又称为非负有理数,负有理数和0又称为非正有理数 ‎③整数和分数都可以化成小数部分为0或小数部分不为0的小数,但并不是所有小数都是有理数,只有有限小数和无限循环小数是有理数;‎ ‎3、数轴:标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。‎ 数轴有三要素:原点、正方向、单位长度。画一条水平直线,在直线上取一点表示0(叫做原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。在数轴上所表示的数,右边的数总比左边的数大,即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大,所以正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数。‎ 概念剖析:①画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可;‎ ‎②数轴的方向不一定都是水平向右的,数轴的方向可以是任意的方向;‎ ‎③数轴上的单位长度没有明确的长度,但单位长度与单位长度要保持相等;‎ - 11 -‎ ‎④有理数在数轴上都能找到点与之对应,一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度。‎ ‎⑤在数轴上求任意两点a、b的距离L,则有公式,这两个公式选择那个都一样。‎ ‎4、相反数 ‎ 如果两个数只有符号不同,那么其中一个数就叫另一个数的相反数。0的相反数是0,互为相反的两个数,在数轴上位于原点的两则,并且与原点的距离相等。‎ 概念剖析:①“如果两个数只有符号不同,那么其中一个数就叫另一个数的相反数”,不要茫然的认为“如果两个数符号不同,那么其中一个数就叫另一个数的相反数”。‎ ‎ ②很显然,数a的相反数是-a,即a与-a互为相反数。要把它与倒数区分开。‎ ‎ ③互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边,一个在原点的右边,且离原点的距离相等,也就是说它们关于原点对称。‎ ‎④在数轴上离某点的距离等于a的点有两个。‎ ‎⑤如果数和数互为相反数,则+=0;或;‎ ‎⑥求一个数的相反数,只要在这个数的前面加上“—”即可;例如的相反数是;‎ ‎5、绝对值 ‎ 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。‎ ‎(1)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。‎ ‎(2)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;0的绝对值是0;一个负数的绝对值是它的相反数,可用字母a表示如下:‎ ‎(3)两个负数比较大小,绝对值大的反而小。‎ 概念剖析:①“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离”,而距离是非负,也就是说任何一个数的绝对值都是非负数,即。 ‎ ‎ ②互为相反数的两个数离原点的距离相等,也就是说互为相反数的两个数绝对值相等。‎ 二、有理数的运算 ‎1、有理数的加法 - 11 -‎ ‎(1)有理数的加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反的两个数相加得0;一个数同0相加,仍得这个数。‎ ‎(2)有理数加法的运算律:‎ 加法的交换律 :a+b=b+a;加法的结合律:( a+b ) +c = a + (b +c)‎ 知识窗口:用加法的运算律进行简便运算的基本思路是:先把互为相反数的数相加;把同分母的分数先相加;把符号相同的数先相加;把相加得整数的数先相加。‎ ‎2、有理数的减法 ‎(1)有理数减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。‎ ‎(2)有理数减法常见的错误:顾此失彼,没有顾到结果的符号;仍用小学计算的习惯,不把减法变加法;只改变运算符号,不改变减数的符号,没有把减数变成相反数。‎ ‎(3)有理数加减混合运算步骤:先把减法变成加法,再按有理数加法法则进行运算;‎ 概念剖析:减法是加法的逆运算,用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。转化后它满足加法法则和运算律。‎ ‎3、有理数的乘法 ‎(1)有理数乘法的法则:两个有理数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数与0相乘都得0。‎ ‎(2)有理数乘法的运算律:交换律:ab=ba;结合律:(ab)c=a(bc);交换律:a(b+c)=ab+ac。‎ ‎(3)倒数的定义:乘积是1的两个有理数互为倒数,即ab=1,那么a和b互为倒数;倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。‎ 概念剖析:①“两个有理数相乘,同号得正,异号得负”不要误认为成“同号得正,异号得负”‎ ‎②多个有理数相乘时,积的符号确定规律:多个有理数相乘,若有一个因数为0,则积为0;几个都不为0的因数相乘,积的符号由负因数的个数来决定,当负因数的个数为奇数时,积为负;当负因数的个数为偶数时,积为正。‎ ‎③有理数乘法的计算步骤:先确定积的符号,再求各因数绝对值的积。‎ ‎4、有理数的除法 有理数的除法法则:除以一个数,等于乘上这个数的倒数,0不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法;除法法则也可以看成是:两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数都等于0。‎ 概念剖析:①除法是乘法的逆运算,用法则“除以一个数,等于乘上这个数的倒数”即可转化,转化后它满足乘法法则和运算律。‎ - 11 -‎ ‎ ②倒数的求法:求一个整数的倒数,直接可写成这个数分之一,即a的倒数为(a≠0);求一个真分数和假分数的倒数,只要将分子、分母颠倒一下即可,即的倒数为;求一个带分数的倒数,应先将带分数化为假分数,再求其倒数;求一个小数的倒数,应先将小数化为分数,再求其倒数。注意:0没有倒数。‎ ‎5、有理数的乘方 ‎(1)有理数的乘方的定义:求几个相同因数a的积的运算叫做乘方,乘方是一种运算,是几个相同的因数的特殊乘法运算,记做“an”其中a叫做底数,表示相同的因数,n叫做指数,表示相同因数的个数,它所表示的意义是n个a相乘,不是n乘以a,乘方的结果叫做幂。‎ ‎(2)正数的任何次方都是正数,负数的偶数次方是正数,负数的奇数次方是负数,0的任何非0次幂都是0,1的任何非0次幂都是1,-1偶数次幂是1、-1奇数次幂是-1;‎ 概念剖析:①“an” 所表示的意义是n个a相乘,不是n乘以a;‎ ‎②。因为表示个相乘,而表示个a的相反数;‎ ‎③任何数的偶次幂都得非负数,即。‎ 知识窗口:所有的奇数可以表示为2n+1或2n-1;所有的偶数可以表示为2n。‎ ‎6、有理数的混合运算 ‎(1)进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算,一般可先根据题中的加减运算,把算式分成几段,计算时,先从每段的乘方开始,按顺序运算,有括号先算括号里的,同时要注意灵活运用运算律简化运算。‎ ‎(2)进行有理数的混合运算时,应注意:一是要注意运算顺序,先算高一级的运算,再算低一级的运算;二是要注意观察,灵活运用运算律进行简便运算,以提高运算速度及运算能力。‎ 知识窗口:有理数混合运算的关键时把握好运算顺序,即先乘方、再乘除、最后加减;有括号的先算括号;若是同级运算,应按照从左到右的顺序进行。‎ ‎7、科学记数法 ‎(1)把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数位只有一位的数,这种记数方法叫做科学记数法。‎ ‎(2)与实际完全符合的数叫做准确数,与准确数接近的数叫做近似数。一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。‎ ‎(3)一个数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止(最末尾一位),所得的数字,叫做这个数的有效数字。‎ 概念剖析:I 把一个数用科学记数法表示为a×10n,其中,为自然数,‎ - 11 -‎ ‎①当时, 为这个数的整数位数减1;例如:用科学记数法表示得,它满足 , (的整数部分有6位数);‎ ‎②当时,为0;例如:用科学记数法表示得;‎ ‎③当时,为由变到的过程中小数点移动位数的相反数;‎ ‎④科学记数法既然是将很大的数或很小的数一种简单的记数方法,那么就在记数的过程中不能出现几百、几千、几万或几百分之一、几千分之一、几万分之一等等词出现。‎ II 在让数字精确和数有效数字时应注意:‎ ‎①在四舍五入法精确小数时不可轻视,即如果要求将一个小数精确到千分位,而四舍五入所得到的结果千分位为0时,该0不能省略。如:将精确到千分位,应为2.090,不应为2.09。其他分位也应注意。‎ ‎②在数一个数的有效数字时应该严格按照“从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止(最末尾一位),所得的数字”; 科学记数法a×10n的形式中,效数字只与a有关,而与10n无关。‎ 第二章 整式的加减 ‎2.1 整式 ‎ 单项式:由数字和字母乘积组成的式子。单独一个数或一个字母也是单项式。因此,判断代数式是否是单项式,关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系,即分母中不含有字母;若式子中含有加、减运算关系,也不是单项式。‎ 单项式的系数:是指单项式中的数字因数;‎ 单项数的次数:是指单项式中所有字母的指数的和。‎ 多项式:几个单项式的和。‎ 多项式的次数:多项式里次数最高项的次数。‎ 多项式的项:在多项式中,每一个单项式。(注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号)‎ 整事:单项式和多项式统称为整式。‎ ‎2.2整式的加减 同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项。(几个常数项也是同类项)‎ 同类项必须同时满足两个条件:(1)所含字母相同;(2)相同字母的次数相同,二者缺一不可。‎ 合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项。可以运用交换律,结合律和分配律。‎ 合并同类项法则:‎ - 11 -‎ 合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变;‎ 字母的升降幂排列:按某个字母的指数从小(大)到大(小)的顺序排列。‎ 如果括号外的因数是正(负)数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同(反)。‎ 去(添)括号:①若括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;‎ ‎ ②若括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反;‎ 一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项;‎ 第三章 一元一次方程 ‎1.等式:用“=”号连接而成的式子叫等式。‎ ‎2、等式的基本性质 ‎(1)等式两边同时加上(或减去)同一个数或代数式,所得结果仍是等式。若,则或。‎ ‎(2)等式两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式。若,则或;‎ ‎(3)对称性:等式的左右两边交换位置,结果仍是等式。若a=b,则b=a;‎ ‎(4)传递性:如果a=b,且b=c,那么a=c,这一性质叫等量代换。‎ ‎3.方程:含未知数的等式,叫方程。‎ ‎4.方程的解:使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;注意:“方程的解就能代入”!‎ ‎5.移项:改变符号后,把方程的项从一边移到另一边叫移项。移项的依据是等式性质1。移项必变号,“+”变“—”,“—”变“+”;“×” 变“÷”,“÷”变“×”;即移加变减,移乘变除,移减变加,移除变乘。‎ ‎6.一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。‎ ‎7.一元一次方程的标准形式: ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0)。‎ ‎8.一元一次方程解法的一般步骤:‎ 主要依据 注意问题 - 11 -‎ 解一元一次方程的步骤 ‎1、去分母 等式的性质2‎ 注意拿分母的最小公倍数乘遍方程的每一项,切记不可漏乘某一项,分母是小数的,要先利用分数的性质,把分母化为整数,若分子是代数式,则必加括号。‎ ‎2、去括号 去括号法则 乘法分配律 严格执行去括号的法则,若是数乘括号,切记不漏乘括号内的项,减号后去括号,括号内各项的符号一定要变号。‎ ‎3、移项 等式的性质1‎ 越过“=”的叫移项,属移项者必变号;未移项的项不变号,注意不遗漏,移项时把含未知数的项移在左边,已知数移在右边,书写时,先写不移动的项,把移动过来的项改变符号写在后面。‎ ‎4、合并同类项 合并同类项法则 注意在合并时,仅将系数加到了一起,而字母及其指数均不改变。‎ ‎5、系数化为1‎ 等式的性质2‎ 两边同除以未知数的系数,记住未知数的系数永远是分母(除数),切不可分子、分母颠倒。‎ ‎6、检验 10. 列一元一次方程解应用题: ‎ ‎(1)读题分析法:“和,差,倍,分问题”‎ 仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套-----”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程。‎ ‎(2)画图分析法:“行程问题”‎ 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础。‎ ‎11.解实际应用题:‎ 知识点1:市场经济、打折销售问题 ‎(1)商品利润=商品售价-商品成本价 (2)商品利润率=×100%‎ ‎(3)商品销售额=商品销售价×商品销售量(4)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量 知能点2: 方案选择问题 知能点3储蓄、储蓄利息问题 - 11 -‎ ‎(1)顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税 ‎(2)利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 利息税=利息×税率(20%)‎ ‎(3)‎ 知能点4:工程问题 ‎ 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 ‎ 工作时间=工作量÷工作效率 完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1‎ 知能点5:若干应用问题等量关系的规律 ‎(1)和、差、倍、分问题 此类题既可有示运算关系,又可表示相等关系,要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义,如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等,它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。 增长量=原有量×增长率 现在量=原有量+增长量 ‎(2)等积变形问题 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变.‎ ‎①圆柱体的体积公式 V=底面积×高=S·h=r2h ②长方体的体积 V=长×宽×高=abc 知能点6:行程问题 ‎ 基本量之间的关系: 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 ‎ (1)相遇问题 (2)追及问题 ‎ ‎ 快行距+慢行距=原距 快行距-慢行距=原距 ‎ (3)航行问题 顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 ‎ 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系 知能点7:数字问题 ‎(1)要搞清楚数的表示方法:一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9)则这个三位数表示为:100a+10b+c。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.‎ ‎(2)数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示。‎ - 11 -‎ 第四章 图形认识初步 ‎4。1多姿多彩的图形 (1) 几何图形:把从实物中抽象出的各种图形称为几何图形;几何图形可分为立体图形和平面图形 (2) 立体图形:各部分不都在同一平面内的几何图形;(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)‎ (3) 平面图形:各部分都在同一平面的几何图形;(如线段、三角形、长方形、圆等)‎ (4) 立体图形的三视图:主视图(从正面看)、左视图(从左面看)、俯视图(从上面看)‎ (5) 展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形,这样的平面图形称为相应立体图形的展开图;‎ (6) 几何体简称为体;‎ (7) 包围着体的是面;(面有平的面和曲的面两种)‎ (8) 面和面相交的地方形成线;线和线相交的地方形成点;‎ (9) 点动成线、线动成面、面动成体;‎ (10) 几何图形都是由点、线、面、体组成的,点是构成图形的基本元素;‎ ‎4。2 直线、射线、线段 ‎1、线段、射线、直线的定义 ‎(1)线段:线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。线段可以量出长度。‎ ‎(2)射线:将线段向一个方向无限延伸就形成了射线,射线有一个端点。射线无法量出长度。‎ ‎(3)直线:将线段向两个方向无限延伸就形成了直线,直线没有端点。直线无法量出长度。‎ 概念剖析:①线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点;‎ ‎ ②“线段可以量出长度”,即线段有明确的长度,“射线和直线都无法量出其长度”,即射线和直线既没有明确的长度,也没有射线与射线、直线与直线、射线与直线之间的长短比较之说;‎ ‎ ③线段只有长短之分,而没有大小之别,射线和直线既没有长短之分,也没有大小之别;‎ ‎2、线段、射线、直线的表示方法 (1) 直线的表示方法:①用一个小写字母表示直线(如直线l)②用一条直线上的两点来表示这条直线(如直线AB)‎ ‎(2)射线的表示方法只有一种:用端点和射线上的另一个点来表示,端点要写在前面。‎ ‎(3)直线的表示方法有两种:一是用直线上的两个点来表示,二是用一个小写的英文字母来表示。‎ 概念剖析:①将线段的两个端点位置颠倒,得到的新线段与原来的线段是同一线段,即线段AB与线段BA是同一线段;‎ ‎②将表示射线的两个点位置颠倒,得到的新射线与原来的射线不是同一射线,即射线AB与射线BA不是同一射线,因为它们的端点和方向不同;‎ ‎③将表示直线的两个点位置颠倒,得到的新直线与原来的直线是同一直线,即直线AB与直线BA是同一直线;‎ ‎④识别图中线段的条数要把握一点:只要有一个端点不相同,就是不同的线段;‎ ‎⑤识别图中射线的条数要把握两点:端点和方向缺一不可;‎ ‎3、线段、射线、直线的联系:‎ - 11 -‎ ‎①射线和直线都是有线段无限延伸形成的,把线段向一个方向无限延伸就成了射线,把线段向两个方向无限延伸就形成了直线。‎ ‎②射线和线段都可以看成是直线的一部分。‎ ‎4、线段、射线、直线的区别:‎ ‎①线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点;‎ ‎②“线段可以量出长度”,即线段有明确的长度,“射线和直线都无法量出其长度”,即射线和直线既没有明确的长度,也没有射线与射线、直线与直线、射线与直线之间的长短比较之说;‎ ‎③直线不能延伸,射线只能向一个方向延伸,线段可以向两个方向延伸;‎ ‎5、直线事实:过两点有且只有一条直线。简称两点确定一条直线。 ‎ ‎6、线段的比较:(1)叠合比较法;(2)度量比较法。‎ ‎7、线段事实:“两点之间,线段最短”。连接两点的线段的长度,叫做这两点的距离。‎ ‎8、线段的中点:如果线段上有一点,把线段分成相等的两条线段,这个点叫这条线段的中点。‎ ‎9、距离:连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离;‎ ‎4.3 角 ‎1、角的概念:‎ ‎(1)角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。两条射线叫角的边,共同的端点叫角的顶点。‎ ‎(2)角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。‎ ‎2、角的表示方法:‎ 角用“∠”符号表示 ‎(1)分别用两条边上的两个点和顶点来表示。(顶点必须在中间)‎ ‎(2)在角的内部写上阿拉伯数字,然后用这个阿拉伯数字来表示角。‎ ‎(3)在角的内部写上小写的希腊字母,然后用这个希腊字母来表示角。‎ ‎(4)直接用一个大写英文字母来表示。‎ ‎3、角的度量:会用量角器来度量角的大小。‎ ‎4、角的单位:角的单位有度、分、秒,用°、′、″表示,角的单位是60进制与时间单位是类似的。度、分、秒的换算:1°=60′,1′=60″。‎ ‎5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小 ‎(1)平角:角的两边成一条直线时,这个角叫平角。‎ ‎(2)周角:角的一边旋转一周,与另一边重合时,这个角叫周角。‎ ‎(3)0°<锐角<90°,直角=90°,90°<钝角<180°,平角=180°,周角=360°。‎ ‎6、画两个角的和,以及画两个角的差 ‎(1)用量角器量出要画的两个角的大小,再用量角器来画。‎ ‎(2)三角板的每个角的度数,30°、60°、90°、45°。‎ ‎7、角的平分线:从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。‎ ‎8、角的计算。‎ ‎9、余角和补角 (1) 互为余角:如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角;(即其中一个角是另一个角的余角)‎ - 11 -‎ (1) 互为补角:如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角;(即其中一个角是另一个角的补角)‎ (2) 补角的性质:等角的补角相等;‎ (3) 余角的性质:等角的余角相等;‎ 10、 方位角 - 11 -‎
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