《同步导学案》人教七年级数学（下册）第七章 第二课时 平面直角坐标系

《同步导学案》人教七年级数学（下册）第七章 第二课时 平面直角坐标系

第二课时 平面直角坐标系 ‎1. 认识平面直角坐标系，在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，能由点的位置写出点的坐标.‎ ‎2.能根据实际条件建立适当的平面直角坐标系.‎ ‎3.重难点:正确建立平面直角坐标系，根据坐标描出点的位置，由点的位置确定点的坐标的.‎ 知识导入 ‎ 如何用一对实数来表示平面内的位置呢？早在1637年以前，法国数学家笛卡儿受到了经、纬线的启发，地理上的经纬度是以赤道和本初子午线为标准的，这两条线从局部上看是平面内互相垂直的两条直线。所以笛卡儿在平面内画两条互相垂直且有公共原点的的数轴，其中水平的数轴叫x轴（或横轴）取向右为正方向，竖直的数轴叫y轴（或纵轴），取向上为正方向，X轴或Y轴统称为坐标轴，这个平面叫做坐标平面．这就是今天要研究的笛卡儿的平面直角坐标系．如下图所示 ‎ ‎ 知识讲解 知识点一：平面直角坐标系、坐标面 平面内两条互相垂直并且原点重合的数轴组成平面直角坐标系．其中，水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点叫做平面直角坐标系的原点．直角坐标系所在的平面叫做坐标平面．‎ 例 (1)在如图6.1-10的平面直角坐标系中描出下列各点:‎ A(4,5),B(-2,3),C(-4,-1),D(2.5,-2),E(0,-4),F(3,0)‎ ‎(2)观察各点在坐标系中的位置，总结各象限内的符号规律及坐标轴上点的坐标特点.‎ 分析 要根据坐标描出点的具体位置，应先找到该点横坐标在x轴上的位置，过该位置作y轴的平行线；再找到该点纵坐标在y轴上的位置，过该位置作x轴的平行线，两线的交点即为要描出的点的位置.‎ 解析 (1)先在x轴上找出表示4的点.再在y轴上找出表示5的点,过这两个点分别作x轴和y轴的垂线,垂线的交点为A.同理可描出点B、C、D、E、F.点A、B、C、D、E、F在坐标平面内的位置如图6.1-11所示 ‎ ‎(2)符号规律第一象限（+，+），第二象限（—，+），第三象限（—，—），第四象限（+，—）.x轴上的点的纵坐标为0即x轴上的点的坐标为（a，0）. y轴上的点的横坐标为0即y轴上的点的坐标为（0，a）.‎ 点拨 平面内点的坐标是一对有序数对，即有序数对与坐标面内的点对应的，对于平面直角坐标系内的任意一点，都有一对有序数对和它对应.因此平面内的点与有序数对是一一对应的.明确各象限内坐标的符号及坐标轴上点的特点.以便快捷解题.‎ 知识点二：有序数对表示平面内的点 例2 ‎ 一图形在平面直角坐标系中如图6.1-12所示.‎ ‎(1)分别写出A、B、C、D、E、F、G、H、L各点的坐标 ‎(2)注意观察点B、H、L、E的坐标和坐标轴的位置关系，你发现了什么？并用自己的语言总结这个规律.‎ ‎(3)再分别观察H、F、C的坐标和坐标轴的位置关系？点L、G、D的坐标和坐标轴的位置关系，又能得到什么规律？‎ ‎（4）注意观察点F和点G的坐标，你又能发现什么？如果在y轴上的点又有什么特点呢？‎ 分析 （1）写坐标系中点的坐标时要确定各点的纵横坐标，也就是要确定各点对应的横轴（x轴）和纵轴（y轴）的数据, 把横坐标写在纵坐标的前面即可.如A点先找到对应横轴(x轴)的数据-2,再找到对应纵轴（y轴）的数据3,写成坐标的形式为(-2,3);再如坐标轴上的点亦按同样做法.如点E,先确定横轴(x轴)上的数据位0,纵轴(y轴)上的数据1,写成坐标的形式为(0,1).‎ ‎（2）通过观察点B、H、L、E的坐标可以发现它们的纵坐标都相等，与横轴(x轴)平行，与纵轴(y轴)垂直.‎ ‎(3)通过观察H、F、C的坐标可以发现它们的横坐标都相等，与纵轴(y轴)平行，与横轴(x轴)垂直.‎ ‎(4) )通过观察点F和点G的坐标发现它们的横坐标都为0,在横轴(x轴)上.结合图形可以得到y轴上的点的横坐标为0.‎ 解析 (1)各点坐标分别为A(-2,3),B(-4,1),C(-3,-1),D(-1,-1),E(0,1),‎ F(-3,0),G(-1,0),H(-3,1),L(-1,1).‎ ‎(2) 点B、H、L、E的纵坐标相同都为1,都平行于横轴（x轴）.与纵轴(y轴)垂直.‎ ‎(3)通过观察H、F、C的坐标可以发现它们的横坐标都相等，与纵轴(y轴)平行，与横轴(x轴)垂直.‎ ‎(4)‎ ‎ )通过观察点F和点G的坐标发现它们的横坐标都为0,在横轴(x轴)上.结合图形可以得到y轴上的点的横坐标为0.‎ 点拨 由此题要归纳出规律,以便快捷解答. 纵坐标相同的点,都平行于横轴（x轴）；与纵轴(y轴)垂直.横坐标都相同的点，与纵轴(y轴)平行；与横轴(x轴)垂直.坐标轴上的点的坐标中至少有一个是0；横轴上的点的纵坐标为0，纵轴上的点的横坐标为0.‎ 知识点三：建立平面直角坐标糸 例3 如图6.1-13,正方形ABCD的边长为6.‎ ‎(1)如果以点A为原点,AB所在的直线为x轴,建立平面坐标系,那么y轴是哪条线?‎ ‎(2)写出正方形的顶点A、B、C、D的坐标.‎ ‎(3)请你另建立一个平面直角坐标系,此时正方形的顶点A、B、C、D的坐标又分别是多少?‎ 分析 （1）根据平面直角坐标系的定义：平面内两条互相垂直并且原点重合的数轴组成平面直角坐标系．可知y轴是AD所在直线.(2)根据坐标系写出各点坐标.（3）建立的直角坐标系不同,则各点的坐标也不同.要尽量使更多的点落在坐标轴上.‎ ‎ 解 (1)y轴是AD所在直线.‎ ‎(2）A(0,0),B(0,6),C(6,6),D(6,0). ‎ ‎(3)以点B为原点,AB所在的直线为x轴,建立平面坐标系,那么y轴是BC所在的直线. A(-6,0),B(0,0),C(0,6),D(-6,-6).‎ 点拨 建立平面直角坐标系时要尽量使更多的点落在坐标轴上.‎ 知识探究 ‎1.平面直角坐标系的相关概念及点符号特征 ‎(1)定义：平面内两条互相垂直并且原点重合的数轴组成平面直角坐标系．其中，水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点叫做平面直角坐标系的原点．直角坐标系所在的平面叫做坐标平面．‎ ‎(2)相关概念：建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，如图所示，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．注意坐标轴上的点不属于任何象限．‎ 平面直角坐标系内一点A的坐标用（a，b）来表示，a是横坐标、b是纵坐标这里的两个数据，一个表示水平方向与A点的距离，另一个表示竖直方向上到A点的距离。‎ ‎(3)各象限点的坐标的特点：‎ ‎①点P（x,y）在第一象限 x>0，y>0. （+，+）‎ ‎②点P（x,y）在第二象限 x<0，y>0. （—，+）‎ ‎③点P（x,y）在第三象限 x<0，y<0. （—，—）‎ ‎④点P（x,y）在第四象限 x>0，y<0. （+，—）‎ 可结合图像理解 第二象限 ‎（ －，＋ ）‎ 第一象限 ‎（ ＋，＋ ）‎ 第二象限 ‎（ －，－ ）‎ 第二象限 ‎（ ＋，－ ）‎ 例 设M(a，b)为平面直角坐标系中的点.‎ ‎(1)当a＞0，b＜O，点M位于第几象限?‎ ‎(2)当ab＞0时，点M位于第几象限?‎ ‎(3)当a为任意有理数，且b＜0时，点M位于第几象限?‎ 分析 (1)（+，—）点在第四象限；(2)由ab＞0，可得a，b同号，即a＞0，b＞0，或a＜0，b＜0，符号为(+，+)或(—，—).因此点M在第一象限或第三象限；(3)a为任意有理数，则M点的横坐标可以为正数、零或负数，而纵坐标为负数，故点M在x轴的下方，即点M在第三象限或第四象限或y轴的负半轴上.‎ 解析 (1)因为a＞0，b＜0，符号为(+，—)所以点M位于第四象限.‎ ‎(2)因为ab＞0，所以a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，符号为(+，+)或(—，—).所以点M位于第一象限或第三象限.‎ ‎(3)因为a为任意有理数，b＜0，所以点M在x轴下方，即点M在第三象限或第四象限或y轴上的负半轴上.‎ ‎2.坐标轴上点的坐标的特点是：‎ x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0. ‎ 即:⑴点P（x,y）在x轴上，则y=0.⑵点P（x,y）在y轴上，则x=0.‎ 例 (1)在平面直角坐标系中，已知点P（m-2,m+6）在轴上，则P点坐标为( ) (2)若点M（a，b）满足ab=0，则点M位于（ ）‎ 分析 主要考查坐标轴上的点的坐标的特征.‎ 解析 (1)根据x轴上的点的纵坐标为0，可得m+6=0.解得m=-6.m-2=-8.所以P点坐标为(-8,0).‎ ‎(2)ab=0，则a=0或b=0, 则点M位于x轴或y轴上.‎ ‎3.平行于（垂直于）坐标轴的点 平行于x轴（垂直于y轴）的直线上的点，它们到x轴的距离相等即它们的纵坐标相等.‎ 平行于y轴（垂直于x轴）的直线上的点，它们到y轴的距离相等即它们的横坐标相等.‎ 例 已知线段AB=3，AB∥x 轴，若点A的坐标为（-5 ，2），则B点的坐标为 ( ) ；若AC⊥x轴则C点的坐标为（ ）‎ 分析 主要考查与坐标轴平行或垂直的点的坐标特征：平行于x轴（垂直于y轴）的直线上的点，它们到x轴的距离相等即它们的纵坐标相等；平行于y轴（垂直于x轴）的直线上的点，它们到y轴的距离相等即它们的横坐标相等.由此可知，AB∥x 轴时点B的纵坐标与点A的纵坐标相同都为2，结合坐标系可知点B可在点A的右边也可在点A的左边，所以点B可有两个横坐标为-5+3=-2或-5-3=-8；同样的原理若AC⊥x轴则C点也有两个.‎ 解析 B点坐标为(-2,2)或(-8,2).C点的坐标为(-5,5)或(-5,-1).‎ 易错辨析 题1 已知点P到x轴距离是2，到y轴距离是3，则点P的坐标是__________．‎ 错解 (3，2)‎ 辨析 做题过程中许多同学往往会漏解或纵横坐标写反，为避免可画出草图，结合图形很容易得知每个象限中有一个点共4个．‎ 正解 (3，2)或(3，－2)或(－3，－2)或(－3，2)‎ 题2 己知点P的坐标为（2－x，3x+6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为（ ）．‎ ‎ A、（3，3） B、（3，－3） C、（6，－6） D、（3，3）或（6，－6）‎ 错解 A 辨析 点P到两坐标轴的距离相等，所以横综坐标相等或互为相反数, 2－x=3x+6或2－x=－(3x+6),解得x=－1或x=－4,所以点P的坐标为（3，3）或（6，－6）．‎ 正解 D ‎1. 若点P（a，b）在第四象限内，则a，b的取值范围是（ ）‎ A、a＞0，b＜0 B、a＞0，b＞0 C、a＜0，b＞0 D、a＜0，b＜0‎ ‎2. 已知点P（x，y）在第二象限，且，则点P的坐标为（ ）‎ A.(-2，3) B.(2，-3) C.(-3，2) D.(2，3)‎ ‎3. 若m>0，n<0，点Q( m，n )在第 象限.‎ ‎4.点A（2，7）到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ；‎ ‎5.点A(m,3)与点B(-2,n)所在直线与x轴垂直, 点B(-2,n)与点C(4,6) 所在直线与Y轴垂直,则m-n的值是? ‎ ‎ 建立平面直角坐标系，并描出下列各点：A(1,1)、B(3,1)、C（3，3）、D（－3，3）、E（1，－2）、F（1，4）、G（3，2）、H（3，－2）、I（－1，－1）、J（－1，1）.连接AB,CD,EF,GH,IJ,找出它们中点的坐标。将上述中点的横坐标和纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较，你发现它们之间有什么关系？写出你的发现 分析 遇到我们没见过的题型时,首先要有相信只要是考试中出现的题都是我们现有能力能解决的.在坐标系中描出各点，分别找到AB,CD,EF,GH,IJ,‎ ‎ AB中点的坐标为（2,1），CD中点的坐标为（0,3），EF的中点坐标为（1,1），GH的中点坐标为（3,0），IJ的中点坐标为（-1,0）.通过观察我们可以发现这些与坐标轴平行的点组成的线段的中点坐标分别是各坐标和的一半.‎ 解析 描出点后找到中点分别为AB中点的坐标为（2,1），CD中点的坐标为（0,3），EF的中点坐标为（1,1），GH的中点坐标为（3,0），IJ的中点坐标为（-1,0）.各中点坐标分别是两点的坐标和的一半.如图6.1-14所示 点拨 通过本题同学们要建立一个信念只要是现在考试出现的问题,都是可以用我们所学知识解决的.通过本题我们可以总结出中点坐标公式:A(x1, y1) B(x2, y2) 则它们的中点P的坐标为 ( ， ).‎ 练习 如图6.1-15，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（-2,8），（-11,6），（-14,0），（0,0），（1）求这个四边形的面积；（2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？‎ 如果D点的坐标不变，把原来A、B、C点的横、纵坐标都减少2，所得的四边形面积与原四边形的面积有什么关系？‎ 参考答案 ‎ 课时检测 1. A 2. A 3. 四 ‎4.7,2‎ ‎5. 点A(m,3)与点B(-2,n)所在直线与x轴垂直,则m=-2, 点B(-2,n)与点C(4,6) 所在直线与Y轴垂直,则n=6,所以m-n=-2-6=-8.‎ 拓展提升 解：(1)过B点作BD⊥x轴于D，过A点作AF⊥x轴于F．‎ 则D（-11，0），F（-2，0），所以CD=3，DF=9，OF=2，BD=6，AF=8．‎ ‎ S四边形ABCD=S△BDC+S梯形ABDF+S△AFO=×6×3++×8×2=9+63+8=80．‎ ‎（2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积不变，这里实际是将四边形ABCD平移，而平移只改变图形的相对位置，并不改变图形的大小．‎