《同步导学案》人教七年级数学（下册）第八章 ８.２ 消元----二元一次方程组的解法

《同步导学案》人教七年级数学（下册）第八章 ８.２ 消元----二元一次方程组的解法

８.２消元----二元一次方程组的解法1.会利用消元思想把二元一次方程组化为一元一次方程来解二元一次方程组.2.理解和掌握代入消元和加减消元两种不同的消元方法.3.体会二元一次方程组在实际问题中的应用.4.重难点:用代入消元和加减消元解二元一次方程组并理解解二元一次方程组的根本思想---消元知识导入前面提到过的我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题“鸡兔同笼问题”时列出的方程组吗?是如何得到解的呢？我们这节课重点学习如何解二元一次方程组.知识讲解知识点一：代入消元法解二元一次方程组例1如用代入法解方程组　　　　　　　　分析方程①式子较简单,可用x表示y,也可用y来表示出x后再代入②.下面把两种情况都展示出来.供同学们比较比较总结.解析法一:由①得x=y+3.③ 把③代入②得3（y+3）-8y=14.解这个方程，得y=-1.把y=-1代入③，得x=2.所以这个方程组的解是法二:由①得y=x-3.③把③代入②得3x-8(x-3)=14.解这个方程，得x=2.把x=2代入③，得y=-1.所以这个方程组的解是点拨用代入法解题时我们常选择未知数系数绝对值最小的变形，以方便计算.本题中法一就是选择了用y表示x.这样先解出来的就是y.法二中选择了用x表示y代入后先解出的是x.如果有些题中只要我们解出其中一个的时候,我们要选择用要求的未知数表示另一个.这样可减少计算节约时间.知识点二：加减消元法解二元一次方程组例用加减法解方程组分析我们的目的就是先消元把方程组变成一元一次方程.直接加减不能达到消元的目的，要先把其中一个未知数的系数化成相同或相反，以便加减消元.变化未知数的系数时关键是找系数的绝对值的最小公倍数.为了同学们更好的理解我们分别以y和x的系数变化为例讲解：法一：我们以先变化y的系数为例：第一个方程中含y项的系数为4，第二个方程中含y项的系数为-6,它们绝对值的最小公倍数为12.所以①式应×3，②式应×2.这样y的系数就可变为相反数.把变化后的式子相加即可消去未知数y. 法二：第一个方程中含x项的系数为3，第二个方程中含x项的系数为5,它们绝对值的最小公倍数为15.所以①式应×5，②式应×3.这样y的系数就可变为相同的数.把变化后的式子相减即可消去未知数x.解析法一：①×3，得9x+12y=48③②×2，得10x-12y=66④③+④，得19x=114，x=6.把x=6代入①，得3×6+4y=16解得y=所以这个方程组的解是法二：①×5，得15x+20y=80③②×3，得15x-18y=99④③-④，得38y=-19.解得，y=把y=代入①，得3x+4×（）=16解得，x=6.所以这个方程组的解是点拨加减消元时只要把其中的一个未知数的系数化为绝对值相同的即可.即关键找系数的绝对值的最小公倍数.利用加或减消去一个未知数后，解出的值代入原方程组中任一方程解出答案皆可. 知识点三：二元一次方程组在实际中的应用例根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2:5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？分析题目中单位不统一，先换算成同一单位.问题中的两个等式：大瓶数：小瓶数=2:5，大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=22.5吨.解：设这些消毒液装大瓶x瓶，小瓶y瓶.由题意得:解得答:这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶.点拨应用型题目关键是根据题目信息找出等量关系式,列出方程组,解方程组的过程可省略或简写,但是防止会列式不会解或解错等浪费时间的现象发生,平常练习中同学们一定要加强解方程组的速度和准确度.例2台大收割机和5台小收割机均工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大型收割机和2台小型收割机均工作5小时共收割小麦8公顷．1台大型收割机和一台小型收割机每小时各收割小麦多少公顷？分析本题的等量关系：2台大收割机2小时的工作量+5台小收割机2小时的工作量=3.63台大收割机2小时的工作量+2台小收割机2小时的工作量=8解设1台大型收割机和1台小型收割机工作1小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意可得：解得 答：1台大型收割机工作1小时收割小麦0.4公顷，1台小型收割机工作1小时收割小麦0.2公顷．点拨与实际生活较密切的应用型题目是中考的热点.此类题目的关键还是等量关系式的寻找．知识探究1.消元法解二元一次方程组①代入消元法定义：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.②代入法步骤：（1）将期中一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；（2）把变形的方程代入未参与表示的方程中，消去一个未知数；（3）解含有保留未知数的一元一次方程，得一个未知数的值；（4）把未知数的值代入变形的方程中，求出另一个未知数的值；（5）写出方程组的解.（6）检验解得正确性.③加减消元法定义：两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.④加减法步骤：（1）用适当的数去乘方程的两边，使方程组化成一个未知数的系数绝对值相等的形式.（2）将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程.（3）解这个一元一次方程，求出一个未知数得值.（4）把求得的未知数的值代入方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值.(5)写出方程组的解.(6)检验解得正确性.例　　方程组的解是．分析解二元一次方程组是中考中常考查的内容，只要能解出方程组的答案即可.分别以代入法和加减法解答分析如下: 法一：代入法，由第二个方程得：x=8-3y，代入第一个方程后解出答案即可.法二：加减法，根据含y项的系数互为相反数可把两方程相加消去y，解出x后再代入方程解得答案.解：法一：由②，得x=8+3y.③把③代入①，得2（8+3y）+3y=7解得y=-1.把y=-1代入③得x=8+3×（-1）=5所以这个方程组的解是法二：①+②，得3x=15，解得x=5.把x=5代入②，解得y=-1.以这个方程组的解是2.解较复杂的方程组只要是方程组，解决问题的根本思想就是消元.只要把复杂的方程组转换成我们能解决的即可.例解方程组：分析方程组中出现了分数，我们可以先把分母去掉后在解新的方程组．仍然考虑如何消元，本题数据利用代入消元法要复杂些，所以我们可考虑利用加减消元法来解题． 解：将原方程组变形：①×4得：16x+12y=144③②×3得：9x—12y=6④③+④，得：25x=150解得x=6把x=6代入①，得4×6+3y=36.解得y=4.以这个方程组的解是例解下列方程组：分析对于系数比较复杂的方程组，首先要将原方程组化简，再观察新方程组的系数特征，选择消元方法．①×12，即可将未知数的系数化为整数.解①×12，得8(x－y)－3(x＋y)＝－12．化简，得5x-11y=-12.把方程②化简，得：-2x+10y=16.所以原方程组化简为:③×2+④×5,得28y=56.解得y=2.把y=2.代入方程③，解得x=2. 所以这个方程组的解是例　已知．求关于的方程组的解．分析：先把两个式子组成方程组并解的解，代入另一方程组，求．解：，得代入①，得将代入到中，得所以这个方程组的解是3.二元一次方程组解法的综合运用灵活运用解一元二次方程组的方法解决问题.例　已知是二元一次方程组的解，则的值为（）A．－1B．1C．2D．3解析把代入二元一次方程组得： 解得所以a-b=-1.答案为A.例　　m取何整数值时，方程组的解x和y都是整数？分析先把m看成已知数来解方程组，用m分别来表示出x和y，观察讨论即可．解：把m作为已知数，解方程组得因为x是整数，所以m－8取8的约数±1，±2，±4，±8．因为y是整数，所以m－8取2的约数±1，±2．　取它们的公共部分，m－8＝±1，±2．解得　m=9，7，10，6．　经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数．易错辨析题1已知二元一次方程组无解，则a的值是（　　）　错解6辨析　先按照方程有解消元解方程.由第2个方程可得y=2x-3，代入第一个方程得：ax+3（2x-3）=2.化简得（a+6）x=11.要使方程组无解需a+6=0即a=-6.正解-6. 题2已知x、y满足方程组则x－y的值为()错解由第一个方程得y=2-2x.代入第二个方程得：x+2×2-2x=-3.解得x后在求出y.上面的求解在代入过程中出现了漏乘的错误.正确为:x+2×(2-2x)=-3.辨析很多出错的同学都是直接求方程组的解,在解题的过程中出现符号问题或计算中因括号出现错误而求出错误的方程组的解.本题注意观察我们可以不用解出方程组的解直接相减即可.正解法一:解出方程组的解所以x-y=-(-)=5.法二:用第一个方程减去第二个方程可得:2x+y-(x+2y)=2-(-3)；即x-y=2-(-3)=5.1.已知的解是，则（）A、B、C、D、2.已知方程组，则，.3.用代入法解下列方程组 （1）（2）4.用加减法解方程组（1）（2）看下面的一位同学解方程过程中遇到一道题，要求用两种方法解答，你能解答出来吗?解方程组：分析此题可有两种解法，一种是把方程组加以整理，化为关于的二元一次方程组；另一种是将看作m，看作，求出后再求，这是一种换元法.解析法一：原方程化为： 解得解法二：设，，得解得所以解得点拨换元法是一种重要的数学方法，通过换元，使方程或方程组转化为较为简单的形式，从而化难为易，化繁为简.练习用换元法解下列方程组（1）解方程组(2)解方程组参考答案 课时检测1.B2.-1,53.(1)(2)4.(1)(2)拓展提升(1)解：设，.原方程组可化为解得所以即解得所以原方程组的解为（2）解：设，.则原方程组可化为 解得，即解得