三角形的内角和教案(1)

三角形的内角和教案(1)

‎ ‎ ‎7.5 三角形的内角和（1）‎ 学习目标：‎ 通过操作活动认识“三角形的内角和是180°”，推出“直角三角形的两锐角互余”与“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”. 并会简单运用.‎ 学习过程：‎ A ‎(B)‎ ‎(C)‎ 图1‎ 一、三角形的内角和是180°‎ ‎1．如图1，先将三角形纸片一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行；然后把另外两角相向对折，使其顶点与对折角的顶点相嵌合，可得：三角形3个内角的和等于 . ‎ ‎2. 阅读课本第25页“议一议”，改编为：如图2，‎ 请说明在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°的理由. ‎ 图2‎ 过△ABC的顶点A画DE∥BC，延长BA到F. ‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴∠B=∠1(两直线平行，同位角相等)，‎ ‎∠C=∠2(两直线平行，内错角相等).‎ 又∵∠BAC+∠2+∠1=180°（平角定义），‎ ‎∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）‎ ‎ 3. 课本第26页做一做第1题. 做在书上.‎ ‎ 4. 阅读课本第25页例题.‎ 二、认识“直角三角形的两个锐角互余”‎ ‎1、课本第26页做一做第2题. 做在书上. 注：直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. ‎ 图3‎ 在Rt△ABC中，如果∠C=90°，那么∠A+∠B= °.‎ ‎2、如图3，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AD是AB边上的高. ‎ 那么在Rt△ABC中，∠B与∠ 互余；‎ 在Rt△BDC中，∠B+∠ =90°；‎ 在Rt△ADC中，∠A+∠ =90°.‎ 三、认识“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和” ‎ ‎1. 阅读课本第26页“试一试”. 三角形的一边与另一边的 ‎ 所组成的角，叫做三角形的外角. 三角形的一个外 角等于 的和.‎ 7‎ ‎ ‎ ‎2. 如图4，AF、BD、CE分别是边BA、CB、AC的延长线.‎ ‎∠ABD = ∠ +∠ ；‎ ‎∠BCE = ∠ +∠ ；‎ ‎∠CAF = ∠ +∠ .‎ 图4‎ ‎3. 如图5，∠ADE是△ 的外角，∠ADE =∠ +∠ ； ‎ 图5‎ ‎∠3是△ 的外角，∠3 = ∠ +∠ ；‎ ‎∠ADB可以是△ 的外角，‎ 也可以△ 的外角，∠ADB =∠ +∠ ，‎ 或∠ADB =∠ +∠ .‎ 四、解决问题 ‎1．课本第27页练一练第1题. ‎ 解：图① ∵∠BCD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和），‎ ‎∴112= x+65，解得x=57.‎ 图② ∵ ∠C=90°，∴∠A+∠ABC = 90°（直角三角形的两个锐角互余），‎ ‎∴ x +（x-10）= 90，解得x=50.‎ 又∵ ∠ABE=∠C+∠A（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和），‎ ‎∴ y =x+ 90，即y=50+90=140.‎ 22. 课本第27页练一练第2题改编：‎ ‎(1) 三角形的3个内角中，最多有 个直角；最多有 个钝角；至少有 个锐角. ‎ ‎(2) 直角三角形的外角中最大的度数是 °.‎ 图6‎ 直角三角形的外角可能是锐角吗？ . 为什么？‎ 解释一：因为直角三角形的3 个内角中有1个直角与2个锐角，那么与直角相邻的外角一定是直角，与锐角相邻的外角一定是钝角，所以直角三角形的外角中不可能有锐角. ‎ 解释二：假设直角三角形的外角中有1个锐角，那么与这个锐角相邻的内角一定是钝角，即这个三角形的3个内角中有1个直角及1个钝角，而1个直角与1个钝角的和一定大于180°，与“三角形3个内角和等于180°”相矛盾，所以直角三角形的外角不可能是锐角. ‎ ‎33. 课本第27页练一练第3题. 如图6，AD是角平分线，∠EAC=∠B，那么∠ADE与∠DAE相等吗？为什么？‎ 分析：(1)在图中将相等的角用不同的弧线表明；‎ 7‎ ‎ ‎ ‎(2) 条件中∠EAC=∠B，那么要求的∠ADE与∠EAC或∠B有何关系？那么要求的∠DAE与∠EAC或∠B有何关系？‎ ‎(3) ∠ADE是哪个三角形的外角？‎ 解：∠ADE=∠DAE ‎∵AD是角平分线，∴∠1=∠2（角平分线定义）.‎ 又∵∠ADE =∠ +∠ （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和），‎ ‎∠DAE =∠ +∠ ，‎ ‎∴∠ADE=∠DAE（等量代换）.‎ ‎7.5三角形的内角和（2）‎ 学习目标：探索多边形的内角和公式，并能运用公式解决问题.‎ 学习过程：‎ 一、探究多边形的内角和 ‎1．阅读课本第27页“议一议”及第28页的填表与结论. ‎ 三角形三个内角的和等于 °，四边形的内角和是 °, 五边形的内角和是 ‎ °, 六边形的内角和是 °, n边形的内角和是 ° .‎ D C B A 图1‎ ‎2. 四边形的内角和转化为三角形内角和，除了图1的方法外，还可以利用图2、图3的方法. ‎ D C B A 图2‎ O ‎(1) 在图2中，四边形分成了3个三角形，四边形的内角和等于3个三角形的内角和再减去一个平角的度数. ‎ ‎(2) 在图3中，四边形分割成4个三角形，四边形的内角和等于4个三角形的内角和再减去一个周角的度数. ‎ 请你根据图2、图3，算一算四边形的内角和是多少？‎ D C B A 图3‎ O ‎3. 阅读课本第28页想一想. 在课本图7-41（1）中，n边形可分成 个三角形，所以n边形的内角和为： 180°- °，即n边形的内角和等于 .‎ 在课本图7-41（2）中，n边形可分成 个三角形，所以n边形的内角和为：‎ 7‎ ‎ ‎ ‎ 180°- °，即n边形的内角和等于 .‎ 二、解决问题 ‎ 1. 已知多边形的边数，直接用公式求出多边形的内角和 ‎(1) 十二边形的内角和是多少度？‎ ‎(2) 八边形的内角和等于多少度？‎ ‎2. 已知多边形的内角和，利用公式，解方程求出多边形的边数 ‎(1) 课本第28页练一练第2题. 解答过程如下：‎ 解：设这个多边形是n边形. 根据题意，得（n -2）180°=1080. 解得，n= .‎ 答：‎ ‎(2) 一个多边形的内角和是2880，它是几边形？‎ 解：设 ‎(3) 一个多边形的每一个内角是144，求它的边数.‎ 解：设 ‎3. 课本第28页练一练第1题. 提示：设四边形4个内角的度数分别为x、2x、3x、4x.‎ ‎4. 课本第28页练一练第3题. 如果四边形的一组对角互补，则另一组对角也 .‎ ‎5. 课本第31页习题第7题. 已知六边形的内角都相等，求它的一个内角的度数.‎ 三、再探究多边形的内角和 7‎ ‎ ‎ 请你利用图4探究多边形的内角和.‎D C B A 图4‎ O 提示：图4中有 个三角形，哪3个三角形的内角和相加后，再减去哪个三角形的内角和，就得到四边形ABCD的内角和？‎ 请写出计算过程：‎ ‎7.5 三角形的内角和（3）‎ 学习目标：探索多边形的外角和公式，并会用公式解决问题.‎ 学习过程：‎ 一、认识多边形的外角、多边形的外角和 ‎1．阅读课本第29页第一段. A BB C E F D 图1‎ 如图1，DF是边CD的延长线，∠ 叫做五边形ABCDE的一个外角；多边形的一边与另一边的 所组成的角，叫做多边形的外角.‎ 在多边形的每个顶点处分别取这个多边形的 个外角，这些外角的和叫做这个多边形的外角和.‎ A B C α β γ ‎1 ‎ ‎2‎ ‎3‎ 图2‎ ‎2. 阅读课本第29页“做一做”. ‎ ‎(1) 如图2，∠α、∠β、∠γ是△ABC的三个外角，这三个 角的和就是三角形的外角和. 下面探求∠α+∠β+∠γ=?‎ 因为∠1+∠ = 180°①，（平角定义）‎ ‎∠2+∠ = 180°②，（平角定义） ∠3+∠ = 180°③，（平角定义）‎ ‎①+②+③，得，∠1+∠ +∠2+∠ +∠3+∠ =3×180°.‎ 又因为∠1+∠2+∠3=180°，（三角形的内角和等于180°）‎ 所以∠α+∠β+∠γ= . ‎ B A C D ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ α β γ δ 图3‎ 结论1： 。‎ 三角形的外角和等于360°．‎ ‎ (2) 如图3，∠α、∠β、∠γ、∠δ是四边形ABCD 的4个外角，这4个角的和就是四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少呢？‎ 因为∠1+∠ = 180°①， ∠2+∠ = 180°②，‎ ‎∠3+∠ = 180°③， ∠3+∠ = 180°④， ‎ ‎ ①+②+③+④，得，∠1+∠ +∠2+∠ +∠3+∠ +∠4+∠ =4×180°‎ 7‎ ‎ ‎ 又因为∠1+∠2+∠3+∠4= °，（四边形的内角和等于 °）‎ 所以∠α+∠β+∠γ+∠δ= . ‎ 结论2： 。‎ 四边形的外角和等于 °．‎ ‎(3) 设n边形的n个内角分别是∠1、∠2、∠3、…∠n，与这些内角分别相邻的一个外角分别是∠α1、∠α2、∠α3、…∠αn. ‎ 因为∠1+∠α1=180°，∠2+∠α2=180°，∠3+∠α3=180°，…∠n+∠αn=180°,‎ 将这n个式子相加，得∠1+∠α1+∠2+∠α2+∠3+∠α3+…+∠n+∠αn=n180°.‎ 又因为∠1+∠2+∠3+…+∠n=(n-2)180°, ‎ 所以∠α1+∠α2+∠α3+…+∠αn=n180°-(n-2)180°, 即∠α1+∠α2+∠α3+…+∠αn=360°.‎ 结论：n边形的外角和等于360°. 即任意多边形的外角和等于360°.‎ 二、解决问题：‎ ‎1. 课本第30页练一练第1题. ‎ 设这个多边形的边数为n. 则60 n=360，n=6. 这个多边形是六边形. ‎ 它的内角和为：（n-2）×360°= °.‎ ‎2. 一个多边形的每一个外角都等于30°,这个多边形的边数是_____.‎ ‎3. 课本第30页练一练第2题.‎ 解：设这个多边形的边数为n. 根据题意，得 （n-2）×360°= ‎ 解这个方程，得n= . 所以这个多边形是 边形.注：在几何计算题中常用设未知数、列方程的方法来解决.‎ ‎4. 已知一个多边形的内角和与外角和共2160°，求这个多边形的边数.‎ 解：设 . 根据题意，得 ‎ ‎5. 课本第31页习题第8题. 做在书上. 反过来问：如书上图，如果小明每次转过的角度都为60°，那么这个多边形是 边形；如果小明每次转过的角度都为30°，那么这个多边形是 边形.‎ 三、分类讨论“剪去五边形一个角”‎ 阅读课本第30页“议一议”. 将五边形剪去一个角，分3种情况：‎ ‎(1)如图4，剩下的多边形ABCDGE为 边形，它的内角和为 ，外角和为 ；‎ ‎(2)如图5，剩下的多边形ABCDF为 边形，它的内角和为 ，外角和为 ；‎ ‎(3)如图6，剩下的多边形ABCD为 边形，它的内角和为 ，外角和为 .‎ 7‎ ‎ ‎ 图4 图5 图6‎ A B C D 图7‎ 四、探究三角形外角和的其他方法 ‎ 如图7，过点A作AD∥BC. 你能根据图7，说明三角形的外角和等于360°吗？‎ 7‎