人教版初一数学上学期 直线、射线、线段

人教版初一数学上学期 直线、射线、线段

‎2020-2021学年人教版初一数学上学期高频考点02 直线、射线、线段 知识框架 基础知识点：‎ 知识点1-1直线相关概念 ‎1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．‎ ‎2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线．‎ ‎3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．‎ 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点．‎ ‎4.点与直线的位置关系：‎ ‎（1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A．‎ ‎（2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B．‎ ‎1．（2020·福建长泰初一月考）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是_____．‎ ‎【答案】两点确定一条直线．‎ ‎【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可.‎ ‎【解析】根据公理“两点确定一条直线”得出答案为：两点确定一条直线.‎ ‎【点睛】本题考查了公理“两点确定一条直线”，在做这类题时，考生最好写公理的原话，所以在平时学习过程中要加强对一些公理的记忆.‎ ‎2．（2020·广西大新初一期末）能解释:“用两个钉子就可以把木条固定在墙上”,这实际问题的数学知识是( )‎ A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 ‎ C．垂线段最短 D．在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ‎【答案】B ‎【分析】根据题意，两个钉子可以把一个木条钉在墙上，也就是两个钉子 ‎【解析】用两个钉子就可以把木条固定在墙上，这样做的依据是两点确定一条直线.故选 B ‎【点睛】此题主要考查了直线的性质：两点确定一条直线，灵活应用概念于实际生活是解题的关键.‎ ‎3．（2019·内蒙古自治区初一期末）经过平面上的四个点，可以画出来的直线条数为（　　）‎ A．1 B．4 C．6 D．前三项都有可能 ‎【答案】D ‎【解析】解：（1）如果4个点，点A、B、C、D在同一直线上，那么只能确定一条直线，如图：‎ ‎（2）如果4个点中有3个点（不妨设点A、B、C）在同一直线上，而第4个点，点D不在此直线上，那么可以确定4条直线，如图：‎ ‎（3）如果4个点中，任何3个点都不在同一直线上，那么点A分别和点B、C、D确定3条直线，点B分别与点C、D确定2条直线，最后点C、D确定一条直线，这样共确定6条直线，如图：‎ 综上所述，过其中2个点可以画1条、4条或6条直线．故选D．‎ 点睛：本题考查了直线的定义．在解题过程中，注意分情况讨论，这样才能将各种情况考虑到．‎ ‎4．（2020·河北省初一期末）同一平面内的三条直线,其交点的个数可能为________.‎ ‎【答案】0个或1个或2个或3个 ‎【解析】解：如图，‎ 同一平面内的三条直线，其交点个数为：0个；1个；2个；3个．故答案是：个或1个或2个或3个 ‎【点睛】本题主要考查了相交线和平行线．当三条直线平行时，没有交点，三条直线交于一点时，有一个交点；两条平行线与一条直线相交时，有两个交点；三条直线两两相交时有三个交点．画出图形，即可得到正确结果．‎ ‎5．（2019·浙江省初一期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了____个部分．‎ ‎【答案】8或9．‎ ‎【分析】根据题意画出图形即可．‎ ‎【解析】如图，‎ 或 所以，平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了 8或9个部分．故答案为：8或9．‎ ‎【点睛】此题考查了相交线，关键是根据直线交点个数的问题，找出规律，解决问题．‎ ‎6．（2020·偃师市实验中学初一月考）按下所语句画图:点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a，b，c两两相交，下图中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【分析】点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，即点M是直线a与直线b的交点，是直线c外的一点，依此即可作出选择．‎ ‎【解析】∵点M在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，直线a、b、c两两相交，‎ ‎∴点M是直线a与直线b的交点，是直线c外的一点，∴图形符合题意的是选项B．故选：B．‎ ‎【点睛】此题主要考查根据几何语句画图，难度不大，注意读清题意要求．‎ ‎7．（2020·河北遵化初一期末）下列说法中错误的是（ ）‎ A．过一点可以画无数条直线 B．过已知三点可以画一条直线 C．一条直线经过无数个点 D．两点确定一条直线 ‎【答案】B ‎【分析】根据直线的确定方法分别进行分析即可．‎ ‎【解析】A.过一点可以画无数条直线，正确；B.过不在一条直线的三点不能画一条直线，错误；‎ C.一条直线通过无数个点，正确 ；D.两点确定一条直线，正确．故答案为：B．‎ ‎【点睛】本题考查了直线的性质以及相关概念，掌握直线的相关性质是解题的关键．‎ 知识点1-2线段相关概念 ‎1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．‎ ‎2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．‎ ‎3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：‎ 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．‎ 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a 的长度，再画一条等于这个长度的线段．‎ ‎4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．‎ 如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．‎ 注：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．‎ ‎（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．‎ ‎（3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．‎ ‎5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． ‎ 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．‎ ‎1．（2019·山东省聊城第四中学初一期中）下列语句中正确的是（ ）‎ A．两点之间直线的长度叫做这两点间的距离 B．两点之间的线段叫做这两点之间的距离 C．两点之间线的长度叫做这两点间的距离 D．两点之间线段的长度叫做这两点间的距离 ‎【答案】D ‎【分析】根据两点之间的距离定义直接判断得出即可．．‎ ‎【解析】解：根据两点之间的距离定义可知：只有选项D正确．故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查的是两点间的距离定义，熟练掌握定义是解题的关键．‎ ‎2．（2019·石家庄市第四中学初一期中）用圆规比较图中的四条线段，其中最长的是（　　）‎ A．BC B．AB C．DA D．CD ‎【答案】A 分析：用圆规量出四条线段，再进行比较即可．‎ ‎【解析】通过用圆规比较图中的四条线段，其中最长的是BC；故选A．‎ 点睛：此题考查了比较线段的长短，会用圆规度量各线段是本题的关键，是一道基础题．‎ ‎3．（2020·河北省初一期末）现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．如图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路，走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路线AC”．请你用数学知识解释出现这一现象的原因是_____．‎ ‎【答案】两点之间，线段最短 ‎【分析】根据线段的性质，可得答案．‎ ‎【解析】为了抄近道而避开横平竖直的路，走“捷径AC”，用数学知识解释出现这一现象的原因是两点之间，线段最短，故答案为：两点之间，线段最短．‎ ‎【点睛】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质是解题关键．‎ ‎4．（2020·湖北房县初一期末）如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上，点P也在小正方形的顶点上．某人从点P出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC且要回到P），则这个人所走的路程最少是（ ）‎ A．7 B．14 C．10 D．不确定 ‎【答案】B ‎【分析】根据题意作图得到运动的轨迹，根据矩形的周长特点即可求解．‎ ‎【解析】如图，这个人所走的路程是图中的矩形，周长为2（3+4）=14故选B．‎ ‎【点睛】此题主要考查网格的作图，解题的关键是根据题意作出图形求解．‎ ‎5．（2020·吉林省初一期末）往返于临江、靖宇两地的客车中途停靠3个站，最多有______种不同的票价．‎ ‎【答案】10‎ ‎【分析】将不同站点的票价问题转化为一条直线上5个点能组成线段的条数问题，先求出线段的条数，再计算票价和车票的种数．‎ ‎【解析】解：设五个站点用ABCDE表示，根据线段的定义：可知图中共有线段有AC，AD，AE，AB，CD、CE、CB、DE、DB、EB共10条，‎ ‎ ∴有10种不同的票价；故答案为：10．‎ ‎【点睛】本题考查了线段，运用数学知识解决生活中的问题．解题的关键是需要掌握正确数线段的方法．‎ ‎6．（2020·河北省初一期末）已知点A，B，C在同一条直线上，若线段AB=3，BC=2，AC=1，则下列判断正确的是（ ）‎ A．点A在线段BC上 B．点B 在线段AC上 C．点C在线段AB上 D．点A在线段CB的延长线上 ‎【答案】C ‎【分析】根据题意画出图形再对选项依次进行判断即可得到答案.‎ ‎【解析】根据题意作图如下：‎ ‎∴点C在线段AB上，故选：C.‎ ‎【点睛】此题考查学生的作图能力，正确理解题意并会作出图形是解题的关键.‎ ‎7．（2020·北京初三二模）如图，小林利用圆规在线段上截取线段，使．若点D恰好为的中点，则下列结论中错误的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据线段中点的性质逐项判定即可．‎ ‎【解析】解：由题意得：D是线段CE的中点，AB=CD ‎∴CD=DE，即选项A正确；AB=CE=CD=DE,即B、D正确，C错误．故答案为C．‎ ‎【点睛】本题考查了尺规作图和线段中点的性质，其中正确理解线段中点的性质是解答本题的关键．‎ ‎8．（2020·河北省初一期末）已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（　　）‎ A．AC＝BC B．AB＝2AC C．AC+BC＝AB D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A、B、D都可以确定点C是线段AB中点 ‎【解析】解：A、AC＝BC，则点C是线段AB中点；B、AB＝2AC，则点C是线段AB中点；‎ C、AC+BC＝AB，则C可以是线段AB上任意一点；D、BC＝AB，则点C是线段AB中点．故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查线段中点，解决此题时，能根据各选项举出一个反例即可．‎ ‎9．（2019·辽宁省初一期中）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．‎ ‎(1)从火车站到码头怎样走最近？画图并说明理由；(2)从码头到铁路怎样走最近？画图并说明理由；‎ ‎(3)从火车站到河流怎样走最近？画图并说明理由．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) 见解析；(3) 见解析；‎ ‎【分析】本题考查的是垂线段最短，线段的性质，两点之间线段最短 ‎（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．‎ ‎（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．‎ ‎（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．‎ ‎【解析】解：如图所示：‎ ‎（1）沿AB走，两点之间线段最短；（2）沿BD走，垂线段最短；（3）沿AC走，垂线段最短．‎ ‎10．（2020·广州外国语学校附属学校初一期末）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2（MC-DN）；④2MN=AB-CD．其中正确的结论是（    ）‎ A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据M、N分别是线段AD、BC的中点，可得AM=MD，CN=BN.‎ 由①知，当AD=BM，可得AM=BD，故而得到AM=MD=DB，即AB=3BD；‎ 由②知，当AC=BD时，可得到MC=DN，又AM=MD，CN=BN，可解得AM=BN；‎ 由③知，AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；‎ 由④知，AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN 逐一分析，继而得到最终选项.‎ ‎【解析】解：∵M，N分别是线段AD，BC的中点，∴AM=MD，CN=NB.‎ ‎①∵AD=BM，∴AM+MD=MD+BD，∴AM=BD.∵AM=MD，AB=AM+MD+DB，∴AB=3BD.‎ ‎②∵AC=BD，∴AM+MC=BN+DN.‎ ‎∵AM=MD，CN=NB，∴MD+MC=CN+DN，∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，∴MC=DN，∴AM=BN.‎ ‎③AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；‎ ‎④AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN.‎ 综上可知，①②③④均正确故答案为：D ‎【点睛】本题主要考查线段长短比较与计算，以及线段中点的应用.‎ ‎11．（2020·重庆初一期末）已知，点C在直线 AB 上， AC=a ， BC=b ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【分析】由于点B的位置以及a、b的大小没有确定，故应分四种情况进行讨论，即可得到答案．‎ ‎【解析】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：‎ ‎①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．‎ ‎∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b． ∵点M是AB的中点，∴AMAB=，‎ ‎∴MC=AC﹣AM==．‎ ‎②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．‎ ‎∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，‎ ‎∴MC=AC﹣AM==．‎ ‎③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．‎ ‎∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵点M是AB的中点，∴AMAB=，‎ ‎∴MC=AM﹣AC==．‎ ‎④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．‎ ‎∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a． ∵点M是AB的中点，∴AMAB=，‎ ‎∴MC=AC+AM==．‎ 综上所述：MC的长为或（a＞b）或（a＜b），即MC的长为或．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了中点的定义，线段之间的和差关系，两点间的距离，掌握线段间的和差关系与分类讨论的数学思想是解题的关键．‎ ‎12．（2020·江苏姜堰初一期末）如图：A、B、C、D四点在同一直线上．（1）若AB＝CD．①比较线段的大小：AC　 　BD（填“＞”、“＝”或“＜”）；②若，且AC＝12cm，则AD的长为　 　cm；‎ ‎（2）若线段AD被点B、C分成了3:4:5三部分，且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是16cm，求AD的长．‎ ‎【答案】（1）①= ②15 （2）24‎ ‎【分析】（1）①因为AB=CD，故AB+BC=BC+CD，即AC=BD；②由BC与AC之间的关系，BC、CD的长度可求，AD=AC+CD即可求出；（2）根据题意可设AB=3t，BC=4t，CD=5t，AD=12t，MN= AD-AB-CD，即可求出t的值，则AD的长度可求．‎ ‎【解析】解：（1）①∵AB=CD，∴AB+BC=BC+CD，故AC=CD；‎ ‎②BC=，且AC=12cm，∴BC=9cm，CD=AB=AC-BC=3cm，∴AD=AC+CD=12+3=15cm；‎ ‎（2）线段AD被B、C点分成了3:4:5，设AB=3t，BC=4t，CD=5t，AD=12t，‎ AB中点M与CD中点N的距离为MN=AD-AM-ND=AD-AB-CD，‎ 即，解得t=2，∴AD=12t=24cm．‎ ‎【点睛】本题主要考察了线段之间的数量关系，本题属于基础题，只要将未知线段用已知线段表示即可．‎ ‎13．（2019·全国初一课时练习）如图所示的是某风景区的旅游路线示意图，其中B，C，D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为两相应点间的距离(单位：千米)．一位游客从A处出发，以2千米／时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为小时．(1)当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用了4小时，求CE的长；(2)若此学生打算从A处出发，步行速度与景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，说明这样设计的理由．‎ ‎【答案】（1）CE=0.2千米；（2）步行路线应为A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A)，见解析.‎ ‎【分析】（1）关系式为：总路程=速度×时间，注意时间应去掉逗留时间．‎ ‎（2）最短时间内看完三个景点返回到A处应选择不重复走景点所在的路线，比如可以不走CE．‎ ‎【解析】（1）设CE长为x千米，则2.2＋1.4＋x＋1.2=2×(4－2×0.75)，解得：x=0.2（千米）．‎ ‎ （2）若步行路线为A→D→C→B→E→A（或A→E→B→C→D→A），则所用时间为：‎ ‎（2.2＋1.4＋2＋0.6＋1.2）÷2＋3×0.75=5.95（小时）．‎ 若步行路线为A→D→C→E→B→E→A（或A→E→B→E→C→D→A），则所用时间为：‎ ‎（2.2＋1.4＋0.2＋0.6×2＋1.2）÷2＋3×0.75=5.35（小时）．‎ 因为5.95＞5.35，所以步行路线应为A→D→C→E→B→E→A（或A→E→B→E→C→D→A）．‎ ‎【点睛】本题考查了线段和差在实际生活中的应用，细心计算是解题关键．‎ 知识点1-3射线相关概念 ‎1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．‎ 如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．‎ ‎2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．‎ ‎3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l．‎ 注： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线．‎ ‎(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．‎ ‎1．（2020·全国初一课时练习）手电筒射出去的光线,给我们的形象是( )‎ A．直线 B．射线 C．线段 D．折线 ‎【答案】B ‎【解析】根据光线的特点，可知手电筒发出的光线可看做是射线.故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是射线的定义，掌握射线的定义以及表示是解题的关键．‎ ‎2．（2020·山东潍坊初一期中）下列说法正确的是(　　)‎ A．线段与线段是同一条线段 B．射线与射线的同一条射线 C．若点在直线上，则点在射线上 D．直线与直线是两条直线 ‎【答案】A ‎【分析】根据线段、射线以及直线的定义与表示即可得出结果．‎ ‎【解析】解：线段与线段是同一条线段，故A选项正确；‎ 射线与射线不是同一条射线，故B选项错误；‎ 若点在直线上，则点不一定在射线上，故C选项错误；‎ 直线与直线是同一条直线，故D选项错误．故选：A ‎【点睛】本题主要考查的是直线、线段和射线的定义以及表示，掌握直线、线段和射线的定义以及表示是解题的关键．‎ ‎3．（2020·巨野县育才实验学校初一月考）图中直线PQ、射线AB、线段MN能相交的是（ 　 ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据直线和射线可以无限延伸求解．‎ ‎【解析】射线AB要注意方向是从A指向B的方向，‎ 观察题中各选项的图，可知A、B、C选项均不能相交，只有D选项能够相交．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了直线、射线、线段的性质,熟悉图像的性质是解题关键.‎ ‎4．（2020·内蒙古自治区初一期末）如图，下列说法错误的是（　　）‎ A．直线AC与射线BD相交于点A B．BC是线段 C．直线AC经过点A D．点D在直线AB上 ‎【答案】D ‎【分析】根据射线、直线与线段的定义，结合图形解答．‎ ‎【解析】解：如图：‎ A、直线AC与射线BD相交于点A，说法正确，故本选项错误； B、B、C是两个端点，则BC是线段，说法正确，故本选项错误； C、直线AC经过点A，说法正确，故本选项错误； D、如图所示，点D在射线BD上，说法错误，故本选项正确．故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了直线、射线、线段，注意：直线没有端点．‎ ‎5．（2019·河北省初一期中）如图，平面内有A，B，C，D四点，按下列语句画图．‎ ‎（1）画直线AB； 作射线BC；画线段CD；（2）连接AD，并将其反向延长至E，使DE=2AD；‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【分析】（1）根据直线向两方无限延伸；射线向一方无限延伸；线段有两个端点画出图形即可．‎ ‎（2）根据题意，作出线段即可．‎ ‎【解析】解：（1）如图：（2）如图：‎ ‎【点睛】本题考查的是直线、射线、线段的定义及性质，解答此题的关键是熟知以下知识，即直线向两方无限延伸；射线向一方无限延伸；线段有两个端点画出图形即可．‎ 知识点1-4直线、射线、线段的区别与联系 ‎1.直线、射线、线段之间的联系 ‎（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．‎ ‎（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．‎ ‎2．三者的区别如下表 注：（1） 联系与区别可表示如下：‎ ‎（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．‎ ‎1．（2020·衡水市第九中学）下列说法中，正确的有（ ）个 ‎ ‎①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点间的距离；③两点之间，线段最短;④若AB=‎ AC，则点B是线段AC的中点；⑤射线AB和射线BA是同一条射线 ；⑥直线有无数个端点．‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【答案】A ‎【分析】根据直线的性质，两点间的距离的定义，线段的性质进行分析．‎ ‎【解析】解：①过两点有且只有一条直线，故正确；②连接两点的线段的长叫做两点间的距离，故错误； ③两点之间，线段最短，故正确；④A、B、C在同一条直线上，若AB＝AC，则点B是线段AC的中点，故错误；⑤射线AB和射线BA的端点不同，故不是同一条射线，故错误；⑥直线没有端点，故错误． 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了直线、射线、线段，关键是熟悉它们的定义．属于基础题．‎ ‎2．（2020·江苏海州初一期末）下列结论：①两点确定一条直线；②直线AB与直线BA是同一条直线；‎ ‎③线段AB与线段BA是同一条线段；④射线OA与射线AO是同一条射线．其中正确的结论共有（ ）个．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【分析】根据直线、线段和射线以及直线的公理进行判断即可．‎ ‎【解析】解：①两点确定一条直线，正确；②直线AB与直线BA是同一条直线，正确；‎ ‎③线段AB与线段BA是同一条线段，正确；④射线OA与射线AO不是同一条射线，错误；故选C．‎ ‎【点睛】本题考查基本概念，直线、射线、线段；直线的性质：两点确定一条直线．‎ ‎3．下列说法中正确的个数有　　‎ 经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③A．B．C三点在同一直线上且，则B是线段AC的中点④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交；‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C ‎【分析】根据垂线段、垂直、平行和直线相交进行判断即可．‎ ‎【解析】①在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；‎ ‎②连接直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；‎ ‎③A.B.C三点在同一直线上且，则B是线段AC的中点，正确；‎ ‎④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交，正确.正确的共有3个，故选C.‎ ‎【点睛】此题主要考查了垂线以及垂线段和点到直线的距离等定义，正确把握相关定义是解题关键．‎ ‎4．（2020·山东宁津初一月考）下列说法：‎ ‎①两点之间的所有连线中，线段最短；②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是2；‎ ‎③连接两点的线段叫做两点间的距离；④射线AB和射线BA是同一条射线；‎ ‎⑤若AC=BC，则点C是线段AB的中点；其中错误的有_________(填序号)‎ ‎【答案】②③④⑤‎ ‎【分析】据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，射线、线段的中点的定义对各小题分析判断即可得解．‎ ‎【解析】①两点之间的所有连线中，线段最短，正确； ②在数轴上与表示-1的点距离是3的点表示的数是-4和2，故本小题错误；③应为连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故本小题错误；④射线AB和射线BA不是同一条射线，故本小题错误；⑤若AC=BC，则点C是线段AB的中点，错误，因为点A、B、C不一定共线.故答案为：②③④⑤‎ ‎【点睛】本题考查了射线、线段的性质，数轴，两点间的距离的定义，熟记各性质与概念是解题的关键．‎ ‎5．下列说法中错误的是（ ）‎ A．线段和射线都是直线的一部分 B．直线和直线是同一条直线 C．射线和射线是同一条射线 D．线段和线段是同一条线段 ‎【答案】C ‎【分析】根据线段、射线、直线的定义、表示方法与性质逐一判断即可．‎ ‎【解析】解：A、线段和射线都是直线的一部分，正确；B、直线和直线是同一条直线，正确；C、射线和射线不是同一条射线，故C错误；D、线段和线段是同一条线段，正确，‎ ‎【点睛】本题考查了线段、射线、直线的定义、表示方法与性质，熟练掌握概念和性质是解题的关键．‎ 重难点题型 题型1 直线、射线、线段基本概念 解题技巧：熟练掌握直线、射线、线段基本性质和概念。‎ ‎1．（2019·山东诸城�初一期中）下列说法正确的是（ ）‎ A．画射线 B．三条直线相交有3个交点 C．若点C在线段AB外，则 D．反向延长射线OA（0为端点）‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据直线、射线及线段的定义及三条直线相交可分三种情况可判断出各选项．‎ ‎【详解】解：A、射线没有长度，故本选项错误；‎ B、三条直线相交可能有1个或2个或3个交点，故本选项错误；‎ C. 若点C在线段AB外，则AC与AB的长度大小有三种可能，故本选项错误；‎ D. 反向延长射线OA（0为端点），说法正确.故选D.‎ ‎【点睛】本题考查直线、射线及线段的知识，属于基础题，注意掌握基本定义是解决本题的关键．‎ ‎2．（2020·四川利州�初一期末）下列说法： ①把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间线段最短； ②若线段AC=BC，则点C是线段AB的中点；③射线AB与射线AD是同一条射线；④ 连结两点的线段叫做这两点的距离；⑤将一根细木条固定在墙上，至少需要两根钉子，是因为两点确定一条直线．其中说法正确的有( )‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】B ‎【分析】根据线段的定义及两点之间的距离的定义逐个进行判断即可.‎ ‎【解析】解：①：符合两点之间线段最短的性质，故①正确；‎ ‎②：当A、B、C三点不共线时，点C不是线段AB的中点，故②错误；‎ ‎③：射线AB与射线AD只是有公共的起点，但是延伸的方向可能不一样，故③错误；‎ ‎④：连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，题目中缺少“长度”二字，故④错误；‎ ‎⑤：符合两点确定一条直线的原理，故⑤正确.故答案为：B.‎ ‎【点睛】本题考查的是线段的性质，掌握“两点之间线段最短”、“线段中点的定义”等是解决这类题的关键.‎ ‎3．下列说法正确的有（ ）‎ ‎①如果两条线段有无穷多个公共点，那么这两条线段相等；‎ ‎②经过一点，可以画无数条直线；经过两点，可以画2条射线；‎ ‎③若点A与点C重合，将线段与叠合，当点B在线段上时，则有；‎ ‎④联结两点的线段，叫两点之间的距离；‎ ‎⑤60°角放在两倍的放大镜下看，得到的角为120°．‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】A ‎【分析】利用直线与线段的性质，两点间的距离及角的定义判定即可．‎ ‎【解析】解：∵如果两条线段有无穷多个公共点，那么这两条线段不一定相等；，∴选项①不正确； ∵在同一平面内经过一点，可以画无数条直线；经过两点，可以画2条射线，∴②不正确； ∵若点A与点C重合，将线段与叠合，当点B在线段上时，则有，∴③不正确； ∵联结两点的线段的长度，叫两点之间的距离；，∴④不正确； ∵60°角放在两倍的放大镜下看，得到的角为60°∴⑤不正确；故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了命题与定理、定义，正确把握相关性质是解题关键．‎ ‎4．下列说法中，正确的是（ ）‎ A．过两点有且只有一条直线 B．连结两点的线段叫做两点间的距离 C．两点之间，直线最短 D．到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点 ‎【答案】A ‎【分析】根据两点确定一条直线的公理、连接两点间的线段的长度叫两点间的距离、线段的性质两点之间，线段最短以及线段的中点的定义进行分析即可．‎ ‎【解析】A.经过两点有且只有一条直线，是直线公理，该选项正确；‎ B.连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离，该选项错误；C.两点之间线段最短，该选项错误；‎ D.少了在线段上这一条件，本选项错误．故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线和线段的性质，以及两点之间的距离的定义，关键是掌握课本基础知识，注意线段的中点在线段上且到线段两个端点的距离相等．‎ ‎5．下列说法正确的是( )．‎ A．直线上两点及这两点之间的部分是线段 B．线段上一点及这一点一旁的部分是射线 C．射线是直线的一半 D．两条线段相加是指把两条线段叠合在一起 ‎【答案】A ‎【分析】根据线段、射线、直线的概念逐项判断即可．‎ ‎【解析】A、直线上两点及这两点之间的部分是线段，此项说法正确；‎ B、射线有端点，且向一方无限延伸，此项说法错误；‎ C、直线、射线都是无限长的，不存在一半的说法，此项说法错误；‎ D、两条线段相加是指把两条线段的长度相加，此项说法错误；故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了线段、射线、直线的概念，掌握理解线段、射线、直线的概念之间的联系与区别是解题关键．‎ ‎6．关于直线、射线、线段的描述正确的是（　　）‎ A．直线最长，线段最短 B．直线、射线及线段的长度都不确定 C．直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点 D．射线是直线长度的一半 ‎【答案】C ‎【分析】根据直线、射线、线段的意义，可得答案．‎ ‎【解析】直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点，故C符合题意；故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了直线、射线、线段，利用直线、射线、线段的意义是解题关键，注意直线、射线不能比较长短．‎ ‎7．下列说法中，正确的个数是（ ）‎ ‎①过两点有且只有一条直线；②若，则点是线段的中点．③连接两点的线段叫做两点间的距离；④两点之间的所有连线中，线段最短；⑤射线和射线是同一条直线； ⑥直线有无数个端点．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【分析】利用直线，射线及线段的定义求解即可．‎ ‎【解析】①过两点有且只有一条直线，正确，‎ ‎②若AB＝BC，则点B是线段AC的中点，不正确，只有点B在AC上时才成立，‎ ‎③连接两点的线段叫做两点间的距离，不正确，应为连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，‎ ‎④两点之间的所有连线中，线段最短，正确，⑤射线AB和射线BA是同一条射线，不正确，端点不同，‎ ‎⑥直线有无数个端点．不正确，直线无端点．共2个正确，故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线，射线及线段，解题的关键是熟记直线，射线及线段的联系与区别．‎ ‎8．如图1，已知三点，根据下列语言描述作出图2，下列选项中语言描述错误的是（ ）‎ A．作射线 B．作直线 C．连接 D．取线段的中点，连接 ‎【答案】A ‎【分析】根据图形结合直线、线段和射线定义分别判断各选项即可解答.‎ ‎【解析】解：作射线,故A错误；作直线，故B正确；连接，故C正确；‎ 取线段的中点，连接，故D正确；故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了直线、线段和射线定义的应用，熟练掌握是解题的关键.‎ ‎9．下列说法：①经过两点有且只有一条直线；②直线比射线长；③两点之间的所有连线中直线最短；④连接两点的线段叫两点之间的距离；其中正确的有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】B ‎【分析】根据直线和线段的性质，分别判断①②③④是否正确即可解答.‎ ‎【解析】解：过两点有且只有一条直线，故①正确；根据射线与直线都无限长，故②错误；‎ 两点之间线段最短，故③错误；连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，故④错误；故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了直线和线段的性质，熟练掌握是解题的关键．‎ ‎10．下列说法中，正确的有（ ）个 ‎①笔尖在纸上快速滑动写出一个又一个字，这说明点动成线；②要整齐地栽一行树，只要确定两端的树坑位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这是运用两点确定一条直线；③把一个直角三角形以直角边为轴旋转一周得到的几何体是圆柱；④ 射线AB与射线BA是同一条射线；⑤两条射线组成的图形叫角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4‎ ‎【答案】B ‎【分析】①利用点动成线，线动成面，面动成体，进而得出答案．‎ ‎【解析】解：①笔尖在纸上快速滑动写出一个又一个字，用数学知识解释为点动成线，故此选项正确；②是运用数学知识两点确定一条直线，故此选项正确；③依题意得到的是圆锥体，故此选项错误；④端点不同，不是同一条射线，故此选项错误；⑤有公共端点的两条射线组成的图形叫角，故此选项错误.所以正确的有两个.故选B.‎ ‎【点睛】本题考查点、线、面、体，两点确定一条直线，射线定义、角的定义等，解题关键是熟练掌握以上性质.‎ 题型2 直线射线线段的实际生活中的应用 解题技巧：主要考查“两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”，弄明白两者的区别即可 ‎1．（2020·温岭市实验学校初一期末）下列日常现象：‎ ‎①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；‎ ‎③利用圆规可以比较两条线段的大小；④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙．‎ 其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是（　　）‎ A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④‎ ‎【答案】A ‎【分析】根据直线的性质、线段公理，逐个进行分析、判断即可．‎ ‎【解析】解：①④可以用“两点确定一条直线”来解释；②可以用“两点之间线段最短”来解释；‎ ‎③利用圆规比较两条线段的大小关系是线段大小比较方法，依据是线段的和差关系；故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查直线的性质，线段公理等知识，掌握直线的性质和线段公理是解决问题的前提，将实际问题数学化是解决问题的关键．‎ ‎2．（2020·全国初一课时练习）下列现象中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的是（　　）‎ A．把弯曲的公路改直，就能缩短路程 B．植树的时候只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线 C．利用圆规可以比较两条线段的长短关系 D．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 ‎【答案】A ‎【分析】根据两点之间，线段最短解答．‎ ‎【解析】解：A、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，是根据两点之间，线段最短解释，正确；‎ B、植树的时候只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是根据两点确定一条直线解释，错误；‎ C、利用圆规可以比较两条线段的长短关系是根据线段的大小比较解释，错误；‎ D、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是根据两点确定一条直线解释，错误；故选A．‎ ‎【点睛】本题考查的是线段的性质，掌握两点之间，线段最短是解题的关键．‎ ‎3．（2020·河南潢川�初一期末）如图，如果用剪刀沿直线将一个正方形图片剪掉一部分，发现剩下部分的周长比原正方形图片的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）‎ A．线段比曲线短 B．经过一点有无数条直线 C．经过两点，有且仅有一条直线 D．两点之间，线段最短 ‎【答案】D ‎【分析】如下图，只需要分析AB+BC＜AC即可 ‎【解析】‎ ‎∵线段AC是点A和点C之间的连线，AB+BC是点A和点C经过弯折后的路径 又∵两点之间线段最短∴AC＜AB+BC故选：D ‎【点睛】本题考查两点之间线段最短，在应用的过程中，要弄清楚线段长度表示的是哪两个点之间的距离 ‎4．（2020·江西南昌�初一期末）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因_____．‎ ‎【答案】两点之间线段最短 ‎【分析】根据线段的性质解答即可．‎ ‎【解析】解：为抄近路践踏草坪原因是：两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短．‎ ‎【点睛】本题考查线段的性质：两点之间线段最短．‎ ‎5．（2020·河北泊头�初一期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是_____．‎ ‎【答案】两点确定一条直线 ‎【解析】应用的数学知识是：过两点有且仅有一条直线.‎ 故答案为过两点有且只有一条直线.‎ ‎【点睛】本题考查线段的性质：两点之间线段最短．‎ ‎6．（2020·赣州市南康区教学研究室初一月考）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光。如图，两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）‎ A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 ‎【答案】A ‎【分析】由题意，可以使路程变长，就用到两点间线段最短定理．‎ ‎【解析】解： 公园湖面上架设曲桥，可以增加游客在桥上行走的路程，从而使游客观赏湖面景色的时间变长， 其中数学原理是：两点之间，线段最短.故选A.‎ ‎【点睛】本题考查线段的性质，两点之间线段最短，属基础题.‎ ‎7．（2020·吉林初三三模）现实生活中，总有人乱穿马路（如图中AD），却不愿从天桥（如图中）通过，请用数学知识解释这一现象，其原因是（ ）‎ A．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 B．过一点有无数条直线 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 ‎【答案】D ‎【分析】根据，也就是两点之间，线段最短，即可选出答案．‎ ‎【解析】根据走天桥的距离，是因为处在马路两边的两点之间，线段最短．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查两点之间，线段最短在生活中的应用，较容易，也是考试的常考知识点．‎ ‎8．上体育课时，老师检查学生站队是不是在一条直线上，只要看第一个学生就可以了，若还能够看到其他学生，那就不在一条直线上，这一事例体现的基本事实是（ ）‎ A．两点之间，直线最短 B．两点确定一条线段 C．两点之间，线段最短 D．两点确定一条直线 ‎【答案】D ‎【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．‎ ‎【解析】解：只要确定老师和第一位学生，就可以确定一条直线，‎ 故根据的基本事实是“两点确定一条直线”，故答案为：D．‎ ‎【点睛】本题考查“两点确定一条直线”在实际生活中的运用，此题有利于培养学生生活联系实际的能力．‎ ‎9．在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　）‎ ‎①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案．‎ ‎【解析】①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； ‎ ‎②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释； ‎ ‎③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释； ‎ ‎④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释． 故选C．‎ ‎【点睛】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．‎ ‎10．小刚和小强在争论一道几何问题，问题是射击时为什么枪管上有准星．小刚说：“过两点有且只有一条直线，所以枪管上才有准星．”小强说：“过两点有且只有一条直线我当然知道，可是若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这样不是有三点了吗？既然过两点有且只有一条直线，那弄出第三点是为什么呢？”聪明的你能回答小强的疑问吗？‎ ‎【答案】见解析 ‎【分析】根据直线的性质，结合实际意义，易得答案．‎ ‎【解析】解：如果将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，那么要想射中目标，人眼与目标确定的这条直线应与子弹所走的直线重合，即与准星和目标所确定的这条直线重合，即可看到哪儿打到哪儿．换句话说要想射中目标就必须使准星在人眼与目标所确定的直线上．‎ ‎【点睛】‎ 题考查直线的性质，无限延伸性即没有端点；同时结合生活中的射击场景，立意新颖，熟练掌握直线的性质是解题的关键．‎ 题型3作图题 解题技巧：（1）尺规作图：做已知线段的和差倍数问题；（2）常规作图：与线段射线直线有关的基本作图。‎ ‎1．（2019·内蒙古自治区初一期末）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a＋b ‎【答案】见解析 ‎【分析】先画一条射线OP，再以点O为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线OP于点A，然后以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AP于点B，最后以点B为圆心，线段b的长为半径画弧，交射线BP于点C，线段OC即为所求．‎ ‎【解析】分以下四步：（1）画一条射线OP（2）以点O为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线OP于点A；‎ ‎（3）以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AP于点B；（4）以点B为圆心，线段b的长为半径画弧，交射线BP于点C；则线段OC即为所求，如图所示：‎ ‎【点睛】本题考查了作一条线段等于已知线段的尺规作图，掌握线段的和差与画法是解题关键．‎ ‎2．（2020·浙江省初一期末）已知线段、，作线段（要求：保留作图痕迹）．‎ ‎【答案】见解析 ‎【分析】可先作一条线段等于已知线段a，进而在所作的线段的延长线上再作一条线段等于b即可．‎ ‎【解析】解：作图：‎ ‎①作线段；②在线段的延长线上作．线段就是所求的线段．‎ ‎【点睛】本题考查两条线段的和的画法，注意第二条线段应在第一条线段的延长线上．‎ ‎3．（2020·陕西省初一期末）作图题：‎ 如图，已知线段和，请用直尺和圆规作出线段和，(不必写作法，只需保留作图痕迹)‎ ‎（1）使 ‎（2）使 ‎【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．‎ ‎【分析】（1）作2条线段和一条线段，相加即可．（2）作2条线段和一条线段，相减即可．‎ ‎【解析】（1）如图，线段为所求做图形 ‎（2）如图，线段为所求做图形．‎ ‎【点睛】本题考查了尺规作图的问题，掌握线段的性质是解题的关键．‎ ‎4．（1）如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺作线段，使它等于．‎ ‎（2）点A，B，C在同一直线上，AB=3cm，BC=1cm．求AC的长．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）2cm或4cm ‎【分析】（1）根据线段的作法及线段的和与差作图即可；（2）分两种情况：点C在线段AB上时和点C在线段AB的延长线上时，分别进行讨论即可．‎ ‎【解析】（1）如图，图中线段AE即为所求，‎ ‎（2）当点C在线段AB上时，‎ AC=AB-BC=2cm；‎ 当点C在线段AB的延长线上时，‎ AC=AB+BC=4cm，‎ ‎∴AC的长为2cm或4cm．‎ ‎【点睛】本题主要考查线段的和与差，找准线段之间的关系是解题的关键．‎ ‎5．（2020·全国初一课时练习）如图所示，读句画图．(1)连接AC和BD，交于点O.(2)延长线段AD，BC，它们交于点E.(3)延长线段CD与AB的反向延长线交于点F.‎ ‎【答案】图形见解析 分析：本题根据题目叙述直接画图即可.‎ ‎【解析】如图所示：‎ 点睛：本题主要练习辅助线的作法，注意要用虚线，AB的反向延长线就是从点A延BA的方向延长．‎ ‎6．（2020·内蒙古自治区内蒙古第四中学初一期中）(1)过点C画AB的平行线CD；(2)过点C画AB的垂线，垂足为E；(3)线段CE的长度是点C到直线__________的距离；(4)连接CA、CB，在线段CA、CB、CE中，线段__________最短，理由：______．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)AB；(4) CE，点到直线的距离垂线段最短.‎ ‎【分析】(1)过点C直接画出AB平行线即可；(2)过点C向 AB作垂线即可，注意要标上垂直符号；‎ ‎(3)由点C到直线AB的距离是指点C到直线AB的垂线段CE的长度，据此即可解题；‎ ‎(4)由点到直线的距离垂线段最短可知，CE最短.‎ ‎【解析】解：(1) 过点C直接画出AB平行线，如下图中红色线所示；‎ ‎(2) 过点C向 AB作垂线，标上垂直符号，如下图中蓝色线所示：‎ ‎(3)由点到直线的距离的定义知：点C到直线AB的距离是垂线段CE的长度.故答案为：AB.‎ ‎(4) 由点到直线的距离垂线段最短可知垂线段CE最短.故答案为：CE，点到直线的距离垂线段最短.‎ ‎【点睛】本题考查了基本平面几何图形中的线、角、垂线段的定义、垂线段的性质等知识点，熟练掌握线段、垂线段的性质是解决这类题的关键.‎ 题型4 利用线段解决计数问题 ‎1．（2020·安徽金寨初一期末）如图，线段上有两点，则图中共有线段（ ）条 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据线段有两个端点，写出所有线段后计算个数．‎ ‎【解析】解：由图得，图中的线段有AC，AD，AB，CD，CB，DB，共6条．故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查线段的定义，找出线段时要注意按顺序做到不重不漏．‎ ‎2．（2020·广东高明�初一期末）如图，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线段条数是（　　）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【答案】C ‎【解析】解：图中线段有：线段AB、线段AC、线段BC，共三条．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查线段的定义，找出线段时要注意按顺序做到不重不漏．‎ ‎3．（2020·尚志市田家炳中学初一期末）往返于两地的客车，中途停靠五个站，要准备______种车票．‎ ‎【答案】42‎ ‎【分析】先求出线段的条数，再计算车票的种类.‎ ‎【解析】∵两地的客车，中途停靠五个站，‎ ‎∴同一条线段上共有7个点，共有线段条，‎ ‎∵每两个站点之间有两种车票，即每条线段有两种车票，∴共有车票种，故答案为：42.‎ ‎【点睛】此题考查线段的条数计算公式：n个点之间的线段共有条.‎ ‎4．（2019·沈阳市第七中学初一期中）在线段AB上选取3种点，第1种是线段AB的中点，第2种是将线段AB三等分的点，第3种是将线段AB十等分的点．这些点连同线段AB的端点可组成线段的条数是_____．‎ ‎【答案】78．‎ ‎【分析】可先根据题意画出图形，去除重复的点，再求出所有的点的个数，利用组合即可求出线段的条数．‎ ‎【解析】解： 可知中点和十等分点有一个点重合，所以这些点连同线段AB的端点共有9+2+1-1+2=13，‎ ‎∴可组成线段的条数是：条．故答案为：78．‎ ‎【点睛】本题考查直线、线段、射线数量问题．解决此题的关键是理解在一条直线上n个点所形成的线段的个数等于．‎ ‎5．（2018·北京市第十一中学初一开学考试）阅读下列材料并填空： 在体育比赛中，我们常常会遇到计算比赛场次的问题，这时我们可以借助数线段的方法来计算.比如在一个小组中有 4 个队，进行单循环比赛，我们要计算总的比赛场次，我们就 设这四个队分别为 A、B、C、D，并把它们标在同一条线段上，如下图：‎ 因为单循环比赛就是每两个队之间都要比赛一场，这就相当于，在上述图形中四个点连接线段，按一定规律得到的线段有：‎ AB，AC，AD…………3 条 ‎ BC，BD………………2 条 ‎ CD……………………1 条 总的线段条数是 3＋2＋1＝6‎ 所以可知 4 个队进行单循环比赛共比赛六场.‎ ‎(1).类比上述想法，若一个小组有 6 个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是_____‎ ‎(2).类比上述想法，若一个小组有 n 个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是_____‎ ‎(3).我们知道 2006 年世界杯共有 32 支代表队参加比赛，共分成 8 个小组，每组 4 个 代表队.第一阶段每个小组进行单循环比赛.则第一阶段共 需 要 进 行_______ 场比赛.‎ ‎(4).若分成 m 个小组，每个小组有 n 个队，第一阶段每个小组进行单循环比赛.则第 一阶段共需要进行_____________场比赛.‎ ‎【答案】15 48 × m ‎ ‎【分析】依题意可得：若一个小组有 n 个队，进行单循环比赛，则总的比赛场次是1 + 2 + 3 +⋯+(n - 1)=；若分成 m 个小组，每个小组有 n 个队，第一阶段每个小组进行单循环比赛.则第 一阶段共需要进行× m.场比赛.‎ ‎【解析】(1) 1+2+3+4+5=15； (2)1 + 2 + 3 +⋯+(n - 1)=；（3）× 8=48； (4)× m.‎ 故答案为15,,× m.‎ ‎【点睛】本题考核知识点：类比归纳.解题关键点：分析总结出通用公式.‎ ‎6．（2020·全国初一课时练习）(1)观察思考 如图所示，线段AB上的点数与线段的总条数有如下关系：如果线段AB上有3个点，那么线段总条数为3；如果线段AB上有4个点，那么线段总条数为6；如果线段AB上有5个点，那么线段总条数为________．‎ ‎　　　　3＝2＋1＝ ‎ ‎ 6＝3＋2＋1＝ ‎ ‎ (2)模型构建 如果线段上有m个点(包括线段的两个端点)，那么共有________条线段．‎ ‎(3)拓展应用 ‎8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制(即每两位同学之间都要进行一场比赛)，那么一共要进行多少场比赛？‎ 请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．‎ ‎【答案】(1)10　(2)；（3）见解析.‎ ‎(3)把8位同学看作线段上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作一条线段，线段上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，因此一共要进行＝28(场)比赛．‎ ‎【分析】（1）根据图形可以得出5个点的线段总数为1+2+3+4=10条，故得出结论；‎ ‎（2）根据题意就可以得出m个点就有1+2+3+…+(m-1)=条线段；‎ ‎（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．‎ ‎【解析】（1）根据题意可知线段AB上有5个点，那么线段总条数为1+2+3+4=10条，故答案为：10；‎ ‎（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，‎ ‎∴倒序排列有x=1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），∴2x=m（m﹣1），∴x=，‎ 故答案为：；‎ ‎（3）把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，‎ 直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，‎ 因此一共要进行=28场比赛，答：一共要进行28场比赛.‎ ‎【点睛】本题考查了规律性问题，线段的条数，根据题意得出直线上点的个数与线段的总条数间的规律是解题的关键.‎ ‎7．（2020·全国初一课时练习）表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系：‎ 图形 ‎…‎ 直线条数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ 最多交点个数 ‎1‎ ‎3=1+2‎ ‎6=1+2+3‎ ‎…‎ 按此规律，6条直线相交，最多有_____个交点；n条直线相交，最多有_____个交点．（n为正整数）‎ ‎【答案】15, ‎ ‎【分析】根据观察，可发现规律：n条直线最多的交点是1+2+3+（n-1）．‎ ‎【解析】6条直线相交，最多有个交点1+2+3+4+5=15； n条直线相交，最多有1+2+3+（n-1）＝.故答案是：15，.‎ ‎【点睛】考查了直线，每两条直线有一个交点得出n条直线最多的交点是1+2+3+（n-1）是解题关键.‎ 题型5 与线段有关的计算 解题技巧：‎ ‎1．（2020·河北省初一期中）已知线段AB=8，延长线段AB至C，使得BC=AB，延长线段BA至D，使得AD=AB，则下列判断正确的是 （ ）‎ A．BC=AD B．BD=3BC C．BD=4AD D．AC=6AD ‎【答案】D ‎【分析】根据题意画出图形，由BC=AB，AD=AB，求出相关线段的长度，结合图形逐项分析即可.‎ ‎【解析】如图，‎ ‎∵BC=AB，AD=AB，AB=8，∴BC=4，AD=2，∴BD=2+8=10,AC=8+4=12.‎ A. ∵BC=4，AD=2，∴ BC=2AD，故不正确； B. ∵BD=10, BC=4，∴BD=2.5BC ，故不正确； ‎ C. ∵BD=10, AD=2，∴BD=5AD ，故不正确； D. ∵AC=12, AD=2，∴AC=6AD，故正确；故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了线段的和差倍分及数形结合的数学思想，根据题意画出图形是解答本题的关键.‎ ‎2．（2020·河北省初一期中）如图，BC=AB，D为AC的中点，若DB=1，则AB的长是___．‎ ‎【答案】4．‎ ‎【分析】根据题意可得AC=AB+BC=，DB=CD-BC=，把DB的值代入即可得出结果．‎ ‎【解析】∵BC=AB，∴AC=AB+BC=，‎ ‎∵D为AC的中点，∴CD=，‎ ‎∴DB=CD-BC=，即，∴AB=4．故答案为：4‎ ‎【点睛】考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．‎ ‎3．（2020·四川省中考真题）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（ ）‎ A．10cm B．8cm C．8cm或10cm D．2cm或4cm ‎【答案】C ‎【分析】根据题意作图，由线段之间的关系即可求解．‎ ‎【解析】如图，∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC=AB=6cm 当AD=AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm∴BD=BC+CD=6+2=8cm；‎ 当AD=AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm∴BD=BC+CD=6+4=10cm；‎ 故选C．‎ ‎【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系．‎ ‎4．（2020·石家庄市第四十中学初二期中）某公司员工分别住在三个住宅区，区有人，区有人，区有人．三个区在一条直线上，位置如图所示．公司的接送打算在此间只设一个停靠点，要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（ ）‎ A．区 B．区 C．区 D．不确定 ‎【答案】A ‎【分析】根据题意分别计算停靠点分别在各点是员工步行的路程和，选择最小的即可解 ‎【解析】解：∵当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×100+10×300=4500m；‎ 当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×100+10×200=5000m；‎ 当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×300+15×200=12000m．‎ ‎∴当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在A区．故选：A．‎ ‎【点睛】此题考查了比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键．要能把线段的概念在现实中进行应用．‎ ‎5．（2020·全国初一课时练习）如图，下列关系式中与图不符合的式子是（ ）‎ A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣BD C．AC﹣BC＝AC+BD D．AD﹣AC＝BD﹣BC ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：由图可知：AD - CD=AC，AB+ BC=AC，故AD - CD=AB+ BC，故A正确；‎ ‎∵AC- BC=AB，AD-DB=AB，∴AC- BC=AD-DB，故B正确；AC- BC=AB≠AC + BD，故C错误；‎ AD -AC=CD，BD –BC=CD，∴AD -AC=BD –BC，故D正确．故选C．‎ ‎6．（2020·湖北江汉�初一期末）已知点B在线段AC上，点D在线段AB上．‎ ‎（1）如图1，若AB=6cm，BC=4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度；‎ ‎（2）如图2，若BD=AB=CD，E为线段AB的中点，EC=12cm，求线段AC的长度．‎ ‎【答案】（1）1cm；（2）18cm ‎【分析】（1）由线段的中点，线段的和差求出线段DB的长度为1cm；‎ ‎（2）由线段的中点，线段的和差倍分求出AC的长度为18cm．‎ ‎【解析】（1）如图1所示：‎ ‎∵AC=AB+BC，AB=6cm，BC=4cm∴AC=6+4=10cm 又∵D为线段AC的中点∴DC=AC=×10=5cm∴DB=DC-BC=6-5=1cm ‎（2）如图2所示：设BD=xcm ‎∵BD=AB=CD∴AB=4BD=4xcm，CD=3BD=3xcm，‎ 又∵DC=DB+BC，∴BC=3x-x=2x，又∵AC=AB+BC，∴AC=4x+2x=6xcm，‎ ‎∵E为线段AB的中点∴BE=AB=×4x=2xcm 又∵EC=BE+BC，∴EC=2x+2x=4xcm又∵EC=12cm∴4x=12‎ 解得：x=3，∴AC=6x=6×3=18cm．‎ ‎【点睛】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的距离公式计算方法．‎ ‎7．（2020·吉林省初一期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，‎ ‎（1）写出数轴上点B所表示的数　 　；（2）点P所表示的数　 　；（用含t的代数式表示）；‎ ‎（3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．‎ ‎【答案】（1）﹣4；（2）6﹣6t；（3）线段MN的长度不发生变化，其值为5.‎ ‎【分析】（1）由已知得OA=6，则OB=AB-OA=4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；‎ ‎（2）动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6-6t；（3）可分两种情况，通过计算表示出线段MN的长都为AB，所以得出结论线段MN的长度不发生变化.‎ ‎【解析】（1）∵数轴上点A表示的数为6，∴OA=6，则OB=AB-OA=4，点B在原点左边， 所以数轴上点B所表示的数为-4，故答案为：-4； （2）点P运动t秒的长度为6t， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6-6t，故答案为：6-6t； （3）线段MN的长度不发生变化， 理由：分两种情况： ①当点P在A、B两点之间运动时，如图 ‎.‎ ‎②当点P运动到B的左边时，如图 综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5.‎ ‎8．已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且|a－b|＝7‎ ‎（1）若b＝－3，则a的值为__________；（2）若OA＝3OB，求a的值；‎ ‎（3）点C为数轴上一点，对应的数为c．若O为AC的中点，OB＝3BC，求所有满足条件的c的值．‎ ‎【答案】（1）4；（2）a＝±5.25；（3）C点对应±2.8，±4．‎ ‎【分析】（１）根据|a－b|＝7，a、b异号，即可得到a的值；‎ ‎（２）分两种情况讨论，依据OA＝3OB，即可得到a的值；‎ ‎（３）分四种情况进行讨论，根据O为AC的中点，OB＝3BC，即可求出所有满足条件的c的值．‎ ‎【解析】（1）∵|a﹣b|＝14，∴|a+3|＝14，又∵a＞0，∴a＝4，故答案为：4；‎ ‎（2）设B点对应的数为a+7．‎ ‎3（a+7﹣0）＝0﹣a，解得a＝﹣5．25；设B点对应的数为a﹣7．‎ ‎3[0﹣（a﹣7）]＝a﹣0，解得a＝5．25，综上所得：a＝±5．25；‎ ‎（3）满足条件的C有四种情况：‎ ‎①如图：3x+4x＝7，解得x＝1，则C对应﹣4；‎ ‎②如图：x+2x+2x＝7，解得x＝1．4，则C对应﹣2．8；‎ ‎③如图：x+2x+2x＝7，解得x＝1．4，则C对应2．8；‎ ‎④如图：3x+4x＝7，解得x＝1，则C对应4；‎ 综上所得：C点对应±2．8，±4．‎ ‎【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用和数轴的知识，用到知识点还有线段的中点，关键是根据线段的和差关系求出线段的长度．‎ ‎9．如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2（MC-DN）；④2MN=AB-CD．其中正确的结论是（    ）‎ A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④‎ ‎【答案】D ‎【分析】根据M、N分别是线段AD、BC的中点，可得AM=MD，CN=BN.‎ 由①知，当AD=BM，可得AM=BD，故而得到AM=MD=DB，即AB=3BD；‎ 由②知，当AC=BD时，可得到MC=DN，又AM=MD，CN=BN，可解得AM=BN；‎ 由③知，AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；‎ 由④知，AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN 逐一分析，继而得到最终选项.‎ ‎【解析】解：∵M，N分别是线段AD，BC的中点，∴AM=MD，CN=NB.‎ ‎①∵AD=BM，∴AM+MD=MD+BD，∴AM=BD.∵AM=MD，AB=AM+MD+DB，∴AB=3BD.‎ ‎②∵AC=BD，∴AM+MC=BN+DN.∵AM=MD，CN=NB，∴MD+MC=CN+DN，‎ ‎∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，∴MC=DN，∴AM=BN.‎ ‎③AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；‎ ‎④AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN.‎ 综上可知，①②③④均正确。故答案为：D ‎【点睛】本题主要考查线段长短比较与计算，以及线段中点的应用.‎ ‎10．（2020·内蒙古赤峰中考真题）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为0A2的中点A3；如此跳跃下去……最后落点为OA2019的中点A2020.则点A2020表示的数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】先根据数轴的定义、线段中点的定义分别求出点表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．‎ ‎【解析】由题意得：点表示的数为；点表示的数为 点表示的数为；点表示的数为 归纳类推得：点表示的数为（n为正整数）；则点表示的数为；故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了数轴的定义、线段中点的定义，根据点表示的数，正确归纳类推出一般规律是解题关键．‎ 题型6线段中的动态问题 ‎1．（2020·河北泊头初一期中）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有____________个．‎ ‎【答案】6‎ ‎【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段六条，所以出现报警次数最多6次．‎ ‎【解析】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报，‎ ‎∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA∴发出警报的点P最多有6个．故答案为：6．‎ ‎【点睛】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．‎ ‎2．（2020·全国颍上县教育局初一课时练习）如图，已知A，B，C是数轴上三点，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12．‎ ‎ ‎ ‎(1)写出数轴上点A，B表示的数．(2)动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．若M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为ts(t＞0)．①写出数轴上点M，N表示的数(用含t的式子表示)．②t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点?‎ ‎【答案】（1）A点表示-10；B点表示2；（2）①点M表示的数是-10+3t；点N表示的数是6-t；②t=.‎ ‎【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可求出A、B表示的数；（2）①根据距离=速度×时间可得AP=6t，CQ=3t，根据中点性质可得AM=3t，根据CN＝CQ可得CN=t，根据线段的和差关系即可得答案；②根据中点定义可得OP=OQ，再根据数轴的性质解答即可.‎ ‎【解析】（1）∵C表示的数为6，BC=4，∴OB=6-4=2，∴B点表示2，‎ ‎∵AB=12，∴AO=12-2=10，∴A点表示-10；‎ ‎（2）①由题意得：AP=6t，CQ=3t，‎ ‎∵M为AP中点，∴AM=AP=3t，∴在数轴上点M表示的数是-10+3t，‎ ‎∵点N在CQ上，CN＝CQ，∴CN=t.∴在数轴上点N表示的数是6-t.‎ ‎②∵原点O恰为线段PQ的中点，∴OP=OQ，‎ ‎∵OP=-10+6t，OQ=6-3t，∴-10+6t与6-3t互为相反数，∴-10+6t=-(6-3t)，‎ 解得：t=，∴t=时，原点O恰为线段PQ的中点.‎ ‎【点睛】本题主要考查中点的定义、线段之间的和差关系及数轴的性质，熟练掌握线段中点知识的运用是解题关键.‎ ‎3．（2020·河南宛城初一期中）如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．‎ ‎（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）‎ ‎（问题解决）‎ ‎（2）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数。‎ ‎（应用拓展）‎ ‎（3）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．‎ ‎【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3) ；t=6；；t=12；；．‎ ‎【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；（3）根据题意先用t的代数式表示出线段AP，AQ，PQ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t的值．‎ ‎【解析】解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点，答案为：是；‎ ‎（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，‎ 根据“巧点”的定义可知：‎ ‎①当AB=2AC时，有60=2（x+20），解得，x=10；‎ ‎②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），解得，x=0；‎ ‎③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），解得，x=20．‎ 综上，C点表示的数为10或0或20；‎ ‎（3）由题意得，‎ ‎（i）、若0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，有 ‎①当AQ=2AP时，60-4t=2×2t，解得，，‎ ‎②当PQ=2AP时，60-6t=2×2t，解得，t=6；‎ ‎③当AP=2PQ时，2t=2（60-6t），解得，；‎ 综上，运动时间的所有可能值有；t=6；；‎ ‎（ii）、若10＜t≤15时，点Q为AP的“巧点”，有 ‎①当AP=2AQ时，2t=2×（60-4t），解得，t=12；‎ ‎②当PQ=2AQ时，6t-60=2×（60-4t），解得，；‎ ‎③当AQ=2PQ时，60-4t=2（6t-60），解得，．‎ 综上，运动时间的所有可能值有：t=12；；．‎ 故，运动时间的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．‎ ‎【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．‎ ‎4．（2020·深圳市高级中学初一期末）如图，P是线段AB上一点，AB=12cm，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为t.‎ ‎（1）当t=1时，PD=2AC，请求出AP的长；（2）当t=2时，PD=2AC，请求出AP的长；‎ ‎（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请求出AP的长；‎ ‎（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ的长.‎ ‎【答案】（1）4cm；（2）4cm；（3）4cm；（4）4cm或12cm 分析：(1) 观察图形可以看出，图中的线段PC和线段BD的长分别代表动点C和D的运动路程. 利用“路程等于速度与时间之积”的关系可以得到线段PC和线段BD的长，进而发现BD=2PC. 结合条件PD=2AC，可以得到PB=2AP. 根据上述关系以及线段AB的长，可以求得线段AP的长.‎ ‎(2) 利用“路程等于速度与时间之积”的关系结合题目中给出的运动时间，可以求得线段PC和线段BD的长，进而发现BD=2PC. 根据BD=2PC和PD=2AC的关系，依照第(1)小题的思路，可以求得线段AP的长.‎ ‎(3) 利用“路程等于速度与时间之积”的关系可知，只要运动时间一致，点C与点D运动路程的关系与它们运动速度的关系一致. 根据题目中给出的运动速度的关系，可以得到BD=2PC. 这样，本小题的思路就与前两个小题的思路一致了. 于是，依照第(1)小题的思路，可以求得线段AP的长.‎ ‎(4) 由于题目中没有指明点Q与线段AB的位置关系，所以应该按照点Q在线段AB上以及点Q在线段AB的延长线上两种情况分别进行求解. 首先，根据题意和相关的条件画出相应的示意图. 根据图中各线段之间的关系并结合条件AQ-BQ=PQ，得到AP和BQ之间的关系，借助前面几个小题的结论，即可求得线段PQ的长.‎ ‎【解析】(1) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以(cm).‎ 因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=1(s)，所以(cm).故BD=2PC.‎ 因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.‎ 因为AB=12cm，所以(cm).‎ ‎(2) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以(cm).‎ 因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t=2(s)，所以(cm).故BD=2PC.‎ 因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.‎ 因为AB=12cm，所以(cm).‎ ‎(3) 因为点C从P出发以1(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以(cm).‎ 因为点D从B出发以2(cm/s)的速度运动，运动的时间为t(s)，所以(cm).故BD=2PC.‎ 因为PD=2AC，BD=2PC，所以BD+PD=2(PC+AC)，即PB=2AP.故AB=AP+PB=3AP.‎ 因为AB=12cm，所以(cm).‎ ‎(4) 本题需要对以下两种情况分别进行讨论.‎ ‎(i) 点Q在线段AB上(如图①).因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.‎ 因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.因为，所以.‎ 故.因为AB=12cm，所以(cm).‎ ‎(ii) 点Q不在线段AB上，则点Q在线段AB的延长线上(如图②).‎ 因为AQ-BQ=PQ，所以AQ=PQ+BQ.因为AQ=AP+PQ，所以AP=BQ.‎ 因为，所以.故.‎ 因为AB=12cm，所以(cm).‎ 综上所述，PQ的长为4cm或12cm.‎ 点睛：本题是一道几何动点问题. 分析图形和题意，找到代表动点运动路程的线段是解决动点问题的重要环节. 利用速度、时间和路程的关系，常常可以将几何问题与代数运算结合起来，通过运算获得更多的线段之间的关系，从而为解决问题提供有利条件. 另外，分情况讨论的思想也是非常重要的，在思考问题时要注意体会和运用.‎ ‎5．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB 向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）‎ ‎（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：‎ ‎（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值．‎ ‎（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．‎ ‎【答案】（1）点P在线段AB上的处；（2）；（3）②的值不变.‎ ‎【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的处；（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有CD＝AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝AB．‎ ‎【解析】解：（1）由题意：BD=2PC ‎∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.‎ ‎∴点P在线段AB上的处；‎ ‎（2）如图：‎ ‎∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，‎ ‎∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ=AB，∴ ‎ ‎（3）②的值不变.‎ 理由：如图，‎ 当点C停止运动时，有CD=AB，∴CM=AB，∴PM=CM-CP=AB-5，‎ ‎∵PD=AB-10，∴PN=AB-10）=AB-5，∴MN=PN-PM=AB，‎ 当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．‎ ‎6．如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题：‎ ‎（1）当AC＞BC时，点D在线段　 上； 当AC＝BC时，点D与　 　重合；当AC＜BC时，点D在线段　 　上；‎ ‎（2）若AC＝18cm,BC＝10cm,若∠ACB=90°,有一动点P从C点出发，在线段CB上向点B运动，速度为2cm/s, 设运动时间是t（s）, 求当t为何值，三角形PCD 的面积为10？‎ ‎（3）若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度．‎ ‎【答案】（1）AC，C，BC； (2) s；（3）CB的长度是4 cm 或28cm.‎ 分析：（1）根据图形及阅读材料所给的信息直接填空即可；(2)如图4，先表示PC=2t，由折中点的定义得AD=14，根据三角形的面积公式列式可求t的值；（3）分当点D在线段AC上与BC上两种情况求解即可.‎ ‎【解析】(1)当AC>BC时，如图1，点D在线段AC上； ‎ ‎ ‎ 当AC=BC时，如图2，点D与C重合；‎ ‎ ‎ 当AC

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