上海市松江区(六校联考)2021届新高考模拟化学试题含解析

上海市松江区(六校联考)2021届新高考模拟化学试题含解析

上海市松江区 (六校联考） 2021 届新高考模拟化学试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知等差数列 na 的公差为 2 ，前 n 项和为 nS ， 1a ， 2a ， 3a 为某三角形的三边长，且该三角形有一 个内角为 120 ，若 n mS S 对任意的 *n N 恒成立，则实数 m （ ）. A． 6 B．5 C．4 D． 3 【答案】 C 【解析】 【分析】 若 n mS S 对任意的 *n N 恒成立，则 mS 为 nS 的最大值，所以由已知，只需求出 nS 取得最大值时的 n 即可 . 【详解】 由已知， 1a 2a 3 0a ，又三角形有一个内角为 120 ，所以 2 2 2 1 2 3 2 3a a a a a ， 2 2 2 1 1 1 1 1( 2) ( 4) ( 2)( 4)a a a a a ，解得 1 7a 或 1 2a （舍）， 故 2( 1)7 ( 2) 8 2n n nS n n n ，当 4n 时， nS 取得最大值，所以 4m . 故选： C. 【点睛】 本题考查等差数列前 n 项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题 . 2．若 0.60.5a＝ , 0.50.6b＝ , 0.52c＝ ,则下列结论正确的是 ( ) A． b c a B． c a b C． a b c D． c b a 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据指数函数的性质，取得 , ,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案 . 【详解】 由指数函数的性质，可得 0.5 0.5 0.61 0.6 0.5 0.5 0 ，即 1 0b a ， 又由 0.5 12c ，所以 c b a . 故选： D. 【点睛】 本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得 , ,a b c 的取值范围是解答的关 键，着重考查了计算能力，属于基础题 . 3．已知数列 na 满足： 1 1,a 1 3, 2 1, n n n n n a aa a a 为奇数 为偶数 ，则 6a ( ) A． 16 B．25 C．28 D． 33 【答案】 C 【解析】 【分析】 依次递推求出 6a 得解 . 【详解】 n=1 时， 2 1 3 4a ， n=2 时， 3 2 4 1 9a ， n=3 时， 4 9 3 12a ， n=4 时， 5 2 12 1 25a ， n=5 时， 6 25 3 28a . 故选： C 【点睛】 本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 . 4．若直线 不平行于平面 ，且 ，则（ ） A． 内所有直线与 异面 B． 内只存在有限条直线与 共面 C． 内存在唯一的直线与 平行 D． 内存在无数条直线与 相交 【答案】 D 【解析】 【分析】 通过条件判断直线 与平面 相交，于是可以判断 ABCD 的正误 . 【详解】 根据直线 不平行于平面 ，且 可知直线 与平面 相交，于是 ABC 错误，故选 D. 【点睛】 本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大 . 5．已知集合 A {x x 0}︱ ， 2B {x x x b 0}︱ ，若 {3}A B ，则 b （ ） A． 6 B． 6 C． 5 D． 5 【答案】 A 【解析】 【分析】 由 3A B ，得 3 B ，代入集合 B 即可得 b . 【详解】 3A BQ ， 3 B ， 9 3 0b ，即： 6b ， 故选： A 【点睛】 本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题 . 6．盒中装有形状、大小完全相同的 5 张“刮刮卡 ”，其中只有 2 张“刮刮卡 ”有奖，现甲从盒中随机取出 2 张，则至少有一张有奖的概率为 ( ) A． 1 2 B． 3 5 C． 7 10 D． 4 5 【答案】 C 【解析】 【分析】 先计算出总的基本事件的个数，再计算出两张都没获奖的个数，根据古典概型的概率，求出两张都没有奖 的概率，由对立事件的概率关系，即可求解 . 【详解】 从 5 张“刮刮卡 ”中随机取出 2 张，共有 2 5 10C 种情况， 2 张均没有奖的情况有 2 3 3C （种） ，故所求概率为 3 71 10 10 . 故选 :C. 【点睛】 本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系，意在考查数学建模、数学计算能力，属于基础题 . 7．已知等边 △ABC 内接于圆 ： x2+ y 2=1，且 P 是圆 τ上一点，则 ( )PA PB PC uuur uuur uuur 的最大值是（ ） A． 2 B．1 C． 3 D． 2 【答案】 D 【解析】 【分析】 如图所示建立直角坐标系，设 cos ,sinP θ θ ，则 ( 1) cosPA PB PC uuur uuur uuur ，计算得到答案 . 【详解】 如图所示建立直角坐标系，则 ( )1,0A ， 1 3, 2 2 B ， 1 3, 2 2 C ，设 cos ,sinP θ θ ， 则 (1 cos , sin ) ( 1 2cos , 2si( n ))PA PB PC uuur uuur uuur 2 2 2(1 cos )( 1 2cos ) 2sin 2cos cos 1 2sin 1 cos 2 . 当 ，即 1,0P 时等号成立 . 故选： D . 【点睛】 本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键 . 8．已知平面向量 ,a b r r 满足 | | | |a b r r ，且 ( 2 )a b b r r r ，则 ,a b r r 所夹的锐角为（ ） A． 6 B． 4 C． 3 D． 0 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据题意可得 ( 2 ) 0a b b r rr ，利用向量的数量积即可求解夹角 . 【详解】 因为 ( 2 ) ( 2 ) 0a b b a b b r r r rr r 即 22 | |a b b r rr 而 2 2cos , 2| | | | | | a b a ba b a b b r rr rrr r rr 所以 ,a b rr 夹角为 4 故选： B 【点睛】 本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题 . 9．已知 ABC 中，角 A 、 B 所对的边分别是 a ， b ，则 “a b ”是 “A B ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 【答案】 D 【解析】 【分析】 由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可 . 【详解】 ABC中，角 A 、 B 所对的边分别是 a 、 b ，由大边对大角定理知 “a b ” “A B ”， “A B ” “a b ”. 因此， “a b ” 是 “A B ”的充分必要条件 . 故选： D. 【点睛】 本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题． 10．已知集合 1,0,1,2A ， 1 2 0B x x x ，则集合 A BI 的真子集的个数是（ ） A． 8 B．7 C．4 D． 3 【答案】 D 【解析】 【分析】 转化条件得 0,1A BI ，利用元素个数为 n 的集合真子集个数为 2 1n 个即可得解 . 【详解】 由题意得 1 2 0 1 2B x x x x x ， 0,1A BI ， 集合 A BI 的真子集的个数为 22 1 3个 . 故选： D. 【点睛】 本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题 . 11．设 i 为虚数单位，若复数 (1 ) 2 2z i i ，则复数 z 等于 ( ) A． 2i B． 2i C． 1 i D． 0 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据复数除法的运算法则，即可求解 . 【详解】 2 2(1 ) 2 2 , 2 1 iz i i z i i . 故选 :B. 【点睛】 本题考查复数的代数运算，属于基础题 . 12．已知复数 ,z a i a R ，若 | | 2z ，则 a 的值为（ ） A． 1 B． 3 C． D． 3 【答案】 D 【解析】 由复数模的定义可得： 2 1 2z a ，求解关于实数 a 的方程可得： 3a . 本题选择 D 选项 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．函数 2log 1f x x x 的定义域为 __________． 【答案】 0,1 【解析】 【分析】 根据函数成立的条件列不等式组 ,求解即可得定义域 . 【详解】 解 :要使函数有意义 ,则 0 1 0 x x , 即 0 1x .则定义域为 : 0,1 . 故答案为 : 0,1 【点睛】 本题主要考查定义域的求解 ,要熟练掌握张建函数成立的条件 . 14．已知 0x ， 0y ， 3 5x y xy ，则 2x y 的最小值是 __． 【答案】 2 6 1 5 ． 【解析】 【分析】 因为 1 1 32 ( 2 ) 5 x y x y y x ，展开后利用基本不等式，即可得到本题答案 . 【详解】 由 3 5x y xy ，得 1 3 5 y x ， 所以 1 1 3 1 6 1 6 2 62 ( 2 ) 5 (5 2 ) 1 5 5 5 5 x y x yx y x y y x y x y x ，当且仅当 6x y ， 取等号 . 故答案为： 2 6 1 5 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力 . 15．小李参加有关 “学习强国 ”的答题活动，要从 4 道题中随机抽取 2 道作答，小李会其中的三道题，则抽 到的 2 道题小李都会的概率为 _____. 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 从四道题中随机抽取两道共 6 种情况，抽到的两道全都会的情况有 3 种，即可得到概率 . 【详解】 由题：从从 4 道题中随机抽取 2 道作答，共有 2 4 6C 种， 小李会其中的三道题，则抽到的 2 道题小李都会的情况共有 2 3 3C 种， 所以其概率为 2 3 2 4 1= 2 C C . 故答案为： 1 2 【点睛】 此题考查根据古典概型求概率， 关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个 数 . 16．若存在直线 l 与函数 1( ) ( 0)f x x x 及 2( )g x x a 的图象都相切， 则实数 a 的最小值为 ___________ ． 【答案】 33 2 2 【解析】 【分析】 【详解】 设直线 l 与函数 ( )f x 及 ( )g x 的图象分别相切于 1( , )( 0)A m m m ， 2( , )B n n a ， 因为 2 1( )f x x ，所以函数 ( )f x 的图象在点 A处的切线方程为 2 1 1 ( )y x m m m ，即 2 1 2y x m m ， 因为 ( ) 2g x x ，所以函数 ( )g x 的图象在点 B 处的切线方程为 2 2 ( )y n a n x n ，即 2 2y nx n a ， 因为存在直线 l 与函数 ( )f x 及 ( )g x 的图象都相切，所以 2 2 12 2 n m n a m ，所以 4 1 2 4 a m m ， 令 1 ( 0)t t m ，设 41( ) 2 ( 0) 4 h t t t t ，则 3( ) 2h t t ， 当 3 2t 时， ( ) 0h t ，函数 ( )h t 单调递减；当 3 2 0t 时， ( ) 0h t ，函数 ( )h t 单调递增， 所以 3 3 min 3 2( ) ( 2) 2 h t h ，所以实数 a 的最小值为 33 2 2 ． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方 程为 2sin 2 cos 0a a ；直线 l 的参数方程为 2 2 2 x t y t （t 为参数） .直线 l 与曲线 C 分 别交于 M ， N 两点 . （ 1）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （ 2）若点 P 的极坐标为 2, ， 5 2PM PN ，求 a 的值 . 【答案】 （1） 2 2 21 1x a y a ， 2 0x y ；（2） 2. 【解析】 【分析】 （ 1）由 2sin 2 cosa 得 2 2 sin 2 cosa ，求出曲线 C 的直角坐标方程 .由直线 l 的参数 方程消去参数 t ，即求直线 l 的普通方程； （ 2）将直线 l 的参数方程化为标准式 22 2 2 2 x t y t （ 't 为参数），代入曲线 C 的直角坐标方程，韦达定 理得 ' ' ' ' 1 2 1 2,t t t t ，点 P 在直线 l 上，则 ' ' 1 2PM PN t t ，即可求出 a 的值 . 【详解】 （ 1）由 2sin 2 cosa 可得 2 2 sin 2 cosa ， 即 2 2 2 2x y y ax ，即 2 2 21 1x a y a ， 曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 21 1x a y a ， 由直线 l 的参数方程 2 2 2 x t y t （t 为参数），消去 t 得 2 0x y ， 即直线 l 的普通方程为 2 0x y . （Ⅱ）点 P 的直角坐标为 2,0P ，则点 P 在直线 l 上 . 将直线 l 的参数方程化为标准式 22 2 2 2 x t y t （ 't 为参数），代入曲线 C 的直角坐标方程，整理得 '2 '3 2 2 4 4 0t a t a ， Q 直线 l 与曲线 C 交于 ,M N 两点， 2 3 2 2 4 4 4 0a a ，即 2 1 0, 1a a . 设点 ,M N 所对应的参数分别为 ' ' 1 2,t t ， 由韦达定理可得 ' ' ' ' 1 2 1 23 2 2 , 4 4t t a t t a ， ' ' ' ' ' ' 1 2 1 2 1 20, 0, 0, 0, 0a t t t t t tQ . Q 点 P 在直线 l 上， ' ' ' ' 1 2 1 2 3 2 2 5 2PM PN t t t t a ， 2a . 【点睛】 本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化及应用，属于中档题 . 18．如图， 平面四边形 ABCD 为直角梯形， //AD BC ， 90ADC o ， 2 2AB AD BC ，将 ABD△ 绕着 AD 翻折到 PAD . （ 1） M 为 PC 上一点，且 PM MC uuuur uuuur ，当 //PA 平面 DMB 时，求实数 的值； （ 2）当平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角大小为 30o时，求 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦 . 【答案】 （1） 2 ；（2） 3 10 20 . 【解析】 【分析】 （ 1）连接 AC 交 BD 于点 N ，连接 MN ，利用线面平行的性质定理可推导出 //PA MN ，然后利用平行 线分线段成比例定理可求得 的值； （ 2）取 AD 中点 O ，连接 OP 、 OB ，过点 P 作 //l AD ，则 //l BC ，作 PH OB 于 H ，连接 CH ，推 导出 OP l ，OB l ，可得出 BPO 为平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角， 由此计算出 PH 、PC ， 并证明出 PH 平面 ABCD ，可得出直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 PCH ，进而可求得 PC 与平 面 ABCD 所成角的正弦值 . 【详解】 （ 1）连接 AC 交 BD 于点 N ，连接 MN ， //PAQ 平面 BDM ， PA 平面 PAC ，平面 PAC I 平面 BDM MN ， //PA MN ， 在梯形 ABCD 中， //BC ADQ ，则 ADN CBNV : V ， 1 2 CN BC NA AD ， //PA MNQ ， 2PM AN MC CN ，所以， 2 ； （ 2）取 AD 中点 O ，连接 OP 、 OB ，过点 P 作 //l AD ，则 //l BC ，作 PH OB 于 H ，连接 CH . OQ 为 AD 的中点，且 //BC AD ， 2AD BC ， //OD BC 且 OD BC ， 所以，四边形 OBCD为平行四边形，由于 90BCD o ， OB AD ， PA ABQ ， OA OA， PAO BAO ， PAO BAOV V ， 90AOP AOB o ， OQ 为 AD 的中点，所以， 2BD AB ， 2 2 3OB AB OA ，同理 3OP ， AD OPQ ， AD OB ， OP OB OI ， AD 平面 POB ， //l ADQ ， l OP， l OP ， BPO为面 PAD 与面 PBC 所成的锐二面角， 30BPO o ， 3OP OBQ ， 30BPO o ， 30OBP o ，则 120BOP o ， PH OBQ ， 3sin60 2 PH OP o ， ADQ 平面 POB， PH 平面 POB ， AD PH ， PH OBQ ， AD OB O ， PH 面 ABCD ， PCH 为 PC 与底面 ABCD 所成的角， 3 3cos60 2 BH OB OP oQ ， 2 2 31 2 CH BC BH ， 2 2 10PC PH CH . 在 Rt PCH△ 中， 3 3 102sin = 2010 PHPCH PC . 因此， PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 3 10 20 . 【点睛】 本题考查利用线面平行的性质求参数，同时也考查了线面角的计算，涉及利用二面角求线段长度，考查推 理能力与计算能力，属于中等题 . 19．唐诗是中国文学的瑰宝 .为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分 成 7 大类别，并从《全唐诗》 48900 多篇唐诗中随机抽取了 500 篇，统计了每个类别及各类别包含 “花 ”、 “山”、“帘 ”字的篇数，得到下表： 爱情婚姻 咏史怀古 边塞战争 山水田园 交游送别 羁旅思乡 其他 总计 篇数 100 64 55 99 91 73 18 500 含 “山 ”字的 篇数 51 48 21 69 48 30 4 271 含 “帘 ”字的 篇数 21 2 0 0 7 3 5 38 含 “花 ”字的 篇数 60 6 14 17 32 28 3 160 （ 1）根据上表判断，若从《全唐诗》含 “山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大， 属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率； （ 2）已知检索关键字的选取规则为： ①若有超过 95% 的把握判断 “某字 ”与 “某类别 ”有关系，则 “某字 ”为“某类别 ”的关键字； ②若 “某字 ”被选为 “某类别 ”关键字，则由其对应列联表得到的 2K 的观测值越大，排名就越靠前； 设 “山 ”“帘 ”“花 ”和 “爱情婚姻 ”对应的 2K 观测值分别为 1k ， 2k ， 3k .已知 1 0.516k ， 2 31.962k ，请完 成下面列联表，并从上述三个字中选出 “爱情婚姻 ”类别的关键字并排名 . 属于 “爱情婚姻 ”类 不属于 “爱情婚姻 ”类 总计 含 “花 ”字的篇数 不含 “花 ”的篇数 总计 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d ，其中 n a b c d . 2P K k 0.05 0.025 0.010 k 3.841 5.024 6.635 【答案】 （1）该唐诗属于 “山水田园 ”类别的可能性最大，属于 “其他 ”类别的可能性最小；属于 “山水田园 ” 类别的概率约为 69 271 ；属于 “其他 ”类别的概率约为 4 271 （2）填表见解析；选择 “花 ”，“帘 ”作为 “爱情婚 姻 ”类别的关键字，且排序为 “花 ”， “帘 ” 【解析】 【分析】 （ 1）根据统计图表算出频率，比较大小即可判断； （ 2）根据统计图表完成列联表，算出 2K 观测值，查表判断 . 【详解】 （ 1）由上表可知， 该唐诗属于 “山水田园 ”类别的可能性最大，属于 “其他 ”类别的可能性最小 属于 “山水田园 ”类别的概率约为 69 271 ；属于 “其他 ”类别的概率约为 4 271 ； （ 2）列联表如下： 属于 “爱情婚姻 ”类 不属于 “爱情婚姻 ”类 共计 含 “花 ”的篇数 60 100 160 不含 “花 ”的篇数 40 300 340 共计 100 400 500 计算得： 2 3 500 14000 45.037 100 400 340 160 k ； 因为 2 3, 3.841k k ， 1 3.841k ，所以有超过 95% 的把握判断 “花 ”字和 “帘 ”字均与 “爱情婚姻 ”有关系， 故 “花 ”和 “帘 ”是 “爱情婚姻 ”的关键字，而 “山”不是； 又因为 2 3k k ，故选择 “花 ”，“帘 ”作为 “爱情婚姻 ”类别的关键字，且排序为 “花 ”，“帘 ”. 【点睛】 本题主要考查统计图表、频率与概率的关系、用样本估计总体、独立性检验等知识点 .考查了学生对统计 图表的识读与计算能力，考查了学生的数据分析、数学运算等核心素养 . 20．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PAD 为正三角形，平面 PAD 平面 , ,ABCD E F 分别是 ,AD CD 的中点 . （ 1）证明 : BD 平面 PEF （ 2）若 60BAD ，求二面角 B PD A 的余弦值 . 【答案】 （1）详见解析； （2） 5 5 . 【解析】 【分析】 （ 1）连接 AC ，由菱形的性质以及中位线， 得 BD FE ，由平面 PAD 平面 ABCD ，且 PE 交线 AD ， 得 PE 平面 ABCD ，故而 BD PE ，最后由线面垂直的判定得结论 . （ 2）以 E 为原点建平面直角坐标系，求出平面平 PAD 与平面 PBD 的法向量 0,1,0m ur ， 3, 1, 1n r ，最后求得二面角 B PD A 的余弦值为 5 5 . 【详解】 解：（ 1）连结 AC ∵ PA PD ，且 E 是 AD 的中点， ∴ PE AD ∵平面 PAD 平面 ABCD ， 平面 PAD I 平面 ABCD AD ， ∴ PE 平面 ABCD . ∵ BD 平面 ABCD ， ∴ BD PE 又 ABCD 为菱形，且 ,E F 为棱的中点， ∴ / / ,EF AC BD AC ∴ BD EF . 又∵ ,BD PE PE EF E ， ,PE EF 平面 PEF ∴ BD 平面 PEF . （ 2）由题意有， ∵四边形 ABCD 为菱形，且 60 ,BAD ∴ EB AD 分别以 EA ， EB， EP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 xyzE ，设 1AD ，则 1 3 3,0,0 , 0, ,0 , 0,0, 2 2 2 D B P 设平面 PBD 的法向量为 , , .n x y z r 由 · 0 · 0 n DB n DP uuuvv uuuvv ，得 3 0 3 0 x y x z ， 令 3x ，得 3, 1, 1n r 取平面 APD 的法向量为 0,1,0m ur ∴ 1 5cos , 55 m n ur r Q 二面角 B PD A 为锐二面角， ∴二面角 B PD A 的余弦值为 5 5 【点睛】 处理线面垂直问题时，需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉，运用几何语言表示出来方才过关，一定 要在已知平面中找两条相交直线与平面外的直线垂直， 才可以证得线面垂直， 其次考查了学生运用空间向 量处理空间中的二面角问题，培养了学生的计算能力和空间想象力 . 21．设函数 11f x x （ ） ， lng x x（ ） ， （Ⅰ）求曲线 2 1y f x（ ）在点（ 1,0）处的切线方程； （Ⅱ）求函数 y f x g x（ ）（ ）在区间 1[ , ]e e 上的取值范围． 【答案】 （1） 1y x （2） [0, 1]e 【解析】 分析： (1)先断定 (1,0) 在曲线 (2 1)y f x 上，从而需要求 '(2 1)f x ，令 1x ，求得结果，注意复合函 数求导法则，接着应用点斜式写出直线的方程； (2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值 . 详解： （Ⅰ）当 1x ， 2 1 1 0y f f . 3/2 1' ' 2 1 2 1 y f x x ， 当 1x ， ' ' 1 1y f ， 所以切线方程为 1y x . （Ⅱ） 1 ln1 ln ln xy x x x x , ln11 1 ln 2' 2 xxxy x x x x x x x ,因为 1 ,x e e ，所以 0x x . 令 ln1 2 xh x x ， 1' 0 2 xh x x ，则 h x 在 1, e e 单调递减， 因为 1 =0h ，所以 y f x g x 在 1 ,1 e 上增，在 1,e 单调递增 . min 1 1 0y f g , max 1 1 1max , max 1,1y f g f e g e e e e e , 因为 11 1e e ，所以 y f x g x 在区间 1 ,e e 上的值域为 0, 1e . 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个点处 的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使 用 . 22．已知椭圆 C 2 2 2 2: 1(0 )x y b a a b 的离心率为 3 . 2 且经过点 3(1, ) 2 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过点 (0，2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A、B，以 OA 、OB 为邻边的平行四边形 OAMB 的顶点 M 在椭圆 C 上，求直线 l 的方程 . 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y （2） 15 2 2 y x 【解析】 【分析】 （ 1）根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及 2 22a cb 列方程，由此求得 2 2,a b ，进而求得椭圆的方 程 . （ 2）设出直线 l 的方程， 联立直线 l 的方程和椭圆的方程， 写出韦达定理 .根据平行四边形的性质以及向量 加法的几何意义得到 OM OA OB uuuur uuur uuur ，由此求得 M 点的坐标，将 , ,A B M 的坐标代入椭圆方程，化简后 可求得直线 l 的斜率，由此求得直线 l 的方程 . 【详解】 （ 1）由椭圆的离心率为 3 2 ，点 3(1, )2 在椭圆上，所以 2 2 3 1 3, 12 4 c a a b ，且 2 22a cb 解得 2 24, 1a b ，所以椭圆 C 的方程为 2 2 1 4 x y ． （ 2）显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程为 2y kx ，设 1 1 2 2 0 0, , , , ,A x y B x y M x y ，由 2 2 1 4 2 x y y kx 消去 y 得 2 2(1 4 ) 16 12 0k x kx ， 所以 1 2 1 22 2 16 12, 1 4 1 4 kx x x x k k ， 由已知得 OM OA OB uuuur uuur uuur ，所以 0 1 2 0 1 2 x x x y y y ，由于点 A B M、 、 都在椭圆上， 所以 22 2 2 2 2 2 201 2 1 2 1 2 0 1 2 (1, 1, 1, ( ) 1 4 4 4 ) 4 xx x x xy y y y y ， 展开有 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2 1, 2 4 0 4 4 2 x x x xy y y y x x y y ， 又 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4( 2)( 2) 2 ( ) 4 1 4 ky y kx kx k x x k x x k ， 所以 2 2 2 2 12 4 4 152 4 0 15 4 , 1 4 1 4 2 k k k k k ， 经检验满足 2 2 2(16 ) 4(1 4 ) 12 64 48 0k k k ， 故直线 l 的方程为 15 2 2 y x . 【点睛】 本小题主要考查根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求椭圆方程， 考查直线和椭圆的位置关系， 考查运 算求解能力，属于中档题 . 23． lnf x x ax 有最大值，且最大值大于 0 . （ 1）求 a 的取值范围； （ 2）当 1 3 a 时， f x 有两个零点 1 2 1 2,x x x x ，证明： 2 1 2 30x x . (参考数据： ln0.9 0.1) 【答案】 （1） 10, e ；（2）证明见解析 . 【解析】 【分析】 （ 1）求出函数 y f x 的定义域为 0, ， 1 axf x x ，分 0a 和 0a 两种情况讨论，分析函 数 y f x 的单调性，求出函数 y f x 的最大值，即可得出关于实数 a 的不等式，进而可求得实数 a 的取值范围； （ 2）利用导数分析出函数 y f x 在 0,3 上递增，在 3, 上递减，可得出 1 20 3x x ，由 1 2 1 12 2 2 1 1 1 30 30 103ln ln 30 3 xf x f f x f x x x x ，构造函数 2 103ln ln 30 3 xg x x x ， 证明出 1 0g x ，进而得出 2 2 1 30f x f x ，再由函数 y f x 在区间 3, 上的单调性可证得结 论 . 【详解】 （ 1）函数 lnf x x ax 的定义域为 0, ，且 1 axf x x . 当 0a 时，对任意的 0x ， 0f x ， 此时函数 y f x 在 0, 上为增函数，函数 y f x 为最大值； 当 0a 时，令 0f x ，得 1x a . 当 10 x a 时， 0f x ，此时函数 y f x 单调递增； 当 1x a 时， 0f x ，此时函数 y f x 单调递减 . 所以，函数 y f x 在 1x a 处取得极大值，亦即最大值， 即 max 1 ln 1 0f x f a a ，解得 10 a e . 综上所述，实数 a 的取值范围是 10 a e ； （ 2）当 1 3 a 时， 1ln 3 f x x x ，定义域为 0, ， 1 1 3 3 3 xf x x x ，当 0 3x 时， 0f x ；当 3x 时， 0f x . 所以，函数 y f x 的单调递增区间为 0,3 ，单调递减区间为 3, . 由于函数 y f x 有两个零点 1x 、 2x 且 1 2x x ， 1 20 3x x ， 1 2 1 12 2 2 2 1 1 1 1 30 30 30 10ln ln 3 xf x f f x f x x x x xQ 1 1 2 1 103ln ln 30 3 xx x ， 构造函数 2 103ln ln 30 3 xg x x x ，其中 0 3x ， 3 2 3 3 3 1 20 9 60 3 3 x xg x x x x ， 令 3 29 60h x x x ， 23 18 3 6h x x x x x ，当 0 3x 时， 0h x ， 所以，函数 y h x 在区间 0,3 上单调递减，则 3 6 0h x h ，则 0g x . 所以，函数 y g x 在区间 0,3 上单调递减， 10 3xQ ， 1 10 13 3ln 3 1 ln 30 ln 0.9 0 9 9 g x g ， 即 2 1 12 2 1 1 30 30 0f x f f x f g x x x ，即 2 2 1 30f x f x ， 10 3xQ ， 2 1 30 30 10 3 9 3x 且 2 3x ，而函数 y f x 在 3, 上为减函数， 所以， 2 2 1 30x x ，因此， 2 1 2 30x x . 【点睛】 本题考查利用函数的最值求参数， 同时也考查了利用导数证明函数不等式， 利用所证不等式的结构构造新 函数是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于难题 .