2020届山东省莱州市第一中学高三10月月考数学试题
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2020 届山东省莱州市第一中学高三 10 月月考数学试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先求出集合 ， ，然后根据交集的定义求出
【详解】
，
故选
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题
2．命题 的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据含有量词的命题的否定形式求解,改变量词否定结论.
【详解】
命题 的否定是 ，故选 C.
【点睛】
本题主要考查含有量词的命题的否定形式，含有量词的命题的否定形式求解,一是要改
变量词，二是要否定结论.
3．已知 ， ，则 是 的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
{ }| 1 2 A x x= − < < { }2| 2 0 B x x x= + ≤ A B =
{ }|0 2 x x< < { }|0 2 x x≤ < { }| 1 0 x x− < <
{ }| 1 0 x x− < ≤
A B A B∩
{ }| 1 2A x x= − < < { } { }2| 2 0 | 2 0B x x x x x= + ≤ = − ≤ ≤
{ }| 1 0A B x x∴ ∩ = − < ≤
D
0 0 0: R,tanp x x x∃ ∈ >
0 0 0,tanx R x x∃ ∈ ≤ ,tanx R x x∀ ∈ <
,tanx R x x∀ ∈ ≤ 0 0 0,tanx R x x∃ ∈ <
0 0 0: R,tanp x x x∃ ∈ > R,tanx x x∀ ∈ ≤
(1, 1)a x= − ( 1,3)b x= + 2x = / /a b
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【解析】已知 ， 。根据向量平行的坐标表示得到
故 是 的充分不必要条件。
故答案为：A。
4．函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】判断函数的奇偶性和对称性，利用 的符号进行排除即可．
【详解】
，
函数 是奇函数，图象关于原点对称，排除
，排除 ，故选： ．
【点睛】
本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已
知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的
排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特
殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括 等.
5．数列 的通项公式为 ,其前 项和为 ,则 等于( )
A．1008 B．2016 C．504 D．0
【答案】A
( )1, 1a x= − ( )1,3b x= +
2 2/ / 1 3 4, 2.a b x x x⇒ − = ⇒ = = ±
2x = / /a b
( ) [ ]cos sin , ,= − ∈ −f x x x x x π π
2f
π
( ) ( ) ( )cos sin cos sinf x x x x x x x f x− = − + = − − = −
( )f x ,A C
cos sin 1 02 2 2 2f
π π π π = − = − < B D
, , 0 , 0x x x x+ −→ +∞ → −∞ → →
{ }na cos 2n
na n
π= n nS 2016S
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【解析】由余弦函数的性质可得 为周期为 4 的数列，则有
，
再分组求和即可得解.
【详解】
解:令 ，则 为周期为 4 的数列，即当 时有，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
即 ，
所以 =
，
故选 A.
【点睛】
本题考查了数列的周期性及数列求和，此题关键是归纳出
，属中档题.
6．已知 a∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则 sinα=
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1 关系得出答
案．
【详解】
cos 2
nπ
4 3 4 2 4 1 4 2k k k ka a a a− − −+ + + =
cos 2n
nb
π= { }nb *k N∈
4 3n k= − (4 3)cos 02
k π− = 4 3 0ka − =
4 2n k= − (4 2)cos 12
k π− = − 4 2 (4 2)ka k− = − −
4 1n k= − (4 1)cos 02
k π− = 4 1 0ka − =
4n k= 4cos 12
kπ = 4 4ka k=
4 3 4 2 4 1 4 2k k k ka a a a− − −+ + + =
2016S
(0 2 0 4) (0 6 0 8) ... (0 2014 0 2016) 504 2 1008− + + + − + + + + − + + = × =
4 3 4 2 4 1 4 2k k k ka a a a− − −+ + + =
π
2
1
5
5
5
3
3
2 5
5
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， ．
，又 ， ，
又 ， ，故选 B．
【点睛】
本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余
弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后
得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
7．函数 （其中 ， ）的图象如图所示，为了得到
的图象，只需将 的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】C
【解析】根据图象求出 的值，再由“左加右减”法则，判断出函数图象平移的方向和单
位长度，即可得到答案．
【详解】
由题意，根据选项可知只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故 ，
又函数的图象的第二个点是 ， ，所以 ，
所以 ，故
所以只需将函数 的图形要向右平移 个单位，即可得到 的图象，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的函数图象，其中解答中根据函数图象求解析式时，注意应用
正弦函数图象的关键点进行求解，考查了读图能力和图象变换法则，属于中档题．
2sin 2 cos2 1α = α +
24sin cos 2cos . 0, , cos 02
π ∴ α⋅ α = α α∈ ∴ α >
sin 0, 2sin cosα > ∴ α = α 2 2sin cos 1α α+ = 2 2 15sin 1, sin 5
∴ α = α =
sin 0α > 5sin 5
α∴ =
( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0A >
2
πϕ <
( ) sin3g x x= ( )f x
π
4
π
4
π
12
π
12
φ
ω 3=
π ,04
π3 φ π4
∴ × + = πφ 4
=
( ) πf x Asin 3x 4
= +
( ) π πg x Asin3x Asin 3 x 12 4
= = − +
( )f x π
12
( )g x
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8．设 ，则 a,b,c 的大小关系是（ ）
A．a
10 2c< <
11 sin sin5 6 2
π π> > = 1 12 a< <
2 2log 3 log 2 1> = 1b >
2 1
3 21 1 1
4 4 2
< =
10 2c< <
c a b< <
R ( )f x (1 ) (1 )f x f x− = + [0,1]x∈
( )f x x= | 1|( ) ( 1 3)xg x e x− −= − < < ( )f x ( )g x
(1 ) (1 )f x f x− = + | 1|( ) ( 1 3)xg x e x− −= − < < ( ), ( )f x g x
1x = ( )f x ( )g x ( )1,3−
( )f x (1 ) (1 )f x f x− = + ( )f x 1x =
| 1|( ) ( 1 3)xg x e x− −= − < < 1x =
1 2x≤ ≤ ( ) 2f x x= − 1( ) xg x e −= 1( ) 2 xh x x e −= − − ( )1 2x≤ ≤
' 1( ) 1 0xh x e −= − + < ( )h x [ ]1,2 (1) 0h = ( ) 0h x ≤
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即函数 ， 的图像在 无交点，
则函数 ， 在 上的图像如图所示，可知两个图像有 3 个交点，一个在直
线
上，另外两个关于直线 对称，则三个交点的横坐标之和为 3，
故选 A.
【点睛】
本题考查了函数图像的对称性，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.
10．己知函数 有三个不同的零点，则实数 k 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】求导得到 得到函数的单调区间，只需满足
解得答案案.
【详解】
在 和 上单增,在 上单减，
当 时， ，当 时， ，
故 要有三个零点，只需满 ，
即
故答案选 B
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，计算函数的单调区间得到函数简图是解题的关键，意在考
查学生对于函数的导数的综合应用能力.
( )f x ( )g x ( )1,2
( )f x ( )g x ( )1,3−
1x = 1x =
2( ) ( 3 1) xf x x x e k= + + −
4
1 5( , )e e
− 4
5(0, )e 4
5 1( , )e e
− 1( , )e
− +∞
( ) ( 1)( 4)exf x x x′ = + +
0, ( 4) 0, ( 1) 0k f f− < − > − <
( )2( ) 5 4 e ( 1)( 4)ex xf x x x x x′ = + + = + +
( )f x∴ ( , 4)−∞ − ( 1, )− +∞ ( 4, 1)− −
x → −∞ ( )f x k→ − x → +∞ ( )f x → +∞
( )f x 4
5 10, ( 4) 0, ( 1) 0e ek f k f k− < − = − > − = − − <
4
50 ek< <
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11．若正实数 a，b 满足 ，则下列说法正确的是
A．ab 有最小值 B． 有最小值
C． 有最小值 4 D． 有最小值
【答案】C
【解析】根据 a，b 都是正数，以及 即可得出 ，从而判断选项 A 错误，根
据基本不等式即可排除选项 B，D，从而只能选 C．
【详解】
解： ， ，且 ；
；
；
有最大值 ， 选项 A 错误；
， ，即 有最大值 ，
B 项错误.
， 有最小值 4， C 正确；
, 的最小值是 ，不是 ， D 错误．
故选：C．
【点睛】
考查基本不等式的应用，以及不等式的性质．
二、多选题
12．已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列，前 n 项和为 Sn，满足 a1+5a3＝S8，下列选
项正确的有（ ）
A． B． C． 最小 D．
【答案】AB
【解析】由已知可得 ，由等差数列的性质，当 时，
可得 ，再结合等差数列的前 项和公式
求和即可得解.
【详解】
10 0a = 7 12S S= 10S 20 0S =
10 0a = p q m n+ = +
p q m na a a a+ = + 12 7 0S S− = n
2 1 (2 1)n nS n a− = −
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解：因为{an}是等差数列，设公差为 ，由 ，
可得 ，即 ，即选项 A 正确，
又 ，即选项 B 正确，
当 时，则 或 最小，当 时，则 或 最大，即选项 C 错误，
又 ， ，所以 ，即选项 D 错误，
故选 AB.
【点睛】
本题考查了等差数列的性质及前 项和公式，属中档题.
13．在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，如图，则下列等式成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由平面向量的数量积运算可得： ， = ，
再结合直角三角形中的射影定理可得选项 A,B 正确，由 的符号可得选
项 C 错误，由三角形全等可得选项 D 正确，综合可得解.
【详解】
解：由 ,由射影定理可得 ，
即选项 A 正确，
由 = ,由射影定理可得 ，
即选项 B 正确，
由 ,又 ，即选项 C 错误，
由图可知 ，所以 ，
d 1 3 85a a S+ =
1 9 0a d+ = 10 0a =
12 7 8 9 10 11 12 105 0S S a a a a a a− = + + + + = =
0d > 9S 10S 0d < 9S 10S
19 1019 0S a= = 20 0a ≠ 20 0S ≠
n
2
AC C ABA ⋅= 2
C B BCB A⋅=
2
B A CDA C ⋅=
( ) ( )2
2
AB BAC BA
B
C
CD
A
⋅ ×
=
⋅
AC AB AD AB⋅ = BA BC⋅ BA BD
2
,B A CDA C ⋅
cosAC AB AC AB A AD AB⋅ = = 2
AC C ABA ⋅=
BA BC⋅ cosBA BC B BA BD= 2
C B BCB A⋅=
cos( ) 0CD AC CDA CDC Aπ⋅ = − ∠ < 2
0AB >
Rt ACD Rt ABC∆ ≅ ∆ AC BC AB CD=
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由选项 A,B 可得 ，即选项 D 正确，
故选 ABD.
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算、直角三角形中的射影定理及三角形全等，属中档题.
三、填空题
14．某驾驶员喝了 升酒后，血液中的酒精含量 （毫克/毫升）随时间 （小时）
变化的规律近似满足表达式 《酒后驾车与醉酒驾车的标准及
相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过 毫克/毫升．此驾驶员至少要
过______小时后才能开车．（精确到 1 小时）
【答案】4
【解析】此驾驶员血液中酒精含量不得超过 毫克/毫升时，才能开车，因此只需由
，求出 的值即可.
【详解】
当 时，由 得 ，解得 ，
舍去；
当 时，由 得 ，即 ，解得
，因为 ，所以此驾驶员至少要过 4 小时后
才能开车.
故答案为 4
【点睛】
本题主要考查函数的应用，由题意得出不等式，分类求解即可，属于基础题型.
15．在△ABC 中， ， ， ，D 是 AC 的中点，E 在 BC 上，
且 ，则 • _____________.
【答案】16
【解析】由题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量 、 和 ，计算即
( ) ( )2
2
AB BAC BA
B
C
CD
A
⋅ ×
=
⋅
m ( )f x x
( )
25 0 1
3 1( ) 1.5 3
x
x
x
f x
x
− ≤ ≤= ⋅
，
， ＞
0.02
0.02
( ) 0.02f x ≤ x
0 1x≤ ≤ ( ) 0.02f x ≤ 25 0.02x− ≤ 5 52 0.02 0.5 0x log log≤ + = <
1x＞ ( ) 0.02f x ≤ 3 1( ) 0.025 3
x⋅ ≤ 13 0.1x− ≤
3 31 0.1 1 10x log log≥ − = + 33 1 10 4log< + <
4AB = 6BC =
2ABC
π∠ =
AE BD⊥ AE BC ==
AE BD BC
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可．
【详解】
解：建立平面直角坐标系，如图所示；
则 A（0，4），B（0，0），C（6，0），D（3，2），
设 E（x，0），则 （x，﹣4）， （3，2），
由 AE⊥BD，得 • 3x﹣8＝0，解得 x ，
∴ （ ，﹣4）；
又 （6，0），
∴ • 6﹣4×0＝16．
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了平面向量坐标表示与数量积运算问题，考查计算能力，是中档题．
16．在 中，角 的对边分别为 ，已知 ， ，角
的平分线交边 于点 ，其中 ，则 ______.
【答案】
【解析】根据余弦定理可得 ；利用 和
可构造方程求得 ，代入余弦定理的式子可求出 ，
代入三角形面积公式求得结果.
【详解】
AE = BD =
AE BD = 8
3
=
AE = 8
3
BC =
AE 8
3BC = ×
ABC∆ A B C， ， , ,a b c
3A
π= 4 7a = A
BC D 3 3AD = ABCS∆ =
12 3
( )2 3 112b c bc+ − = ABC ACD ABDS S S∆ ∆ ∆= +
1 sin2ABCS bc A∆ = 1
3b c bc+ = 48bc =
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由余弦定理 可得：
又
，解得：
本题正确结果：
【点睛】
本题考查解三角形中三角形面积的求解问题，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应用；
本题的解题关键是能够通过面积桥的方式构造方程求得 和 之间的关系，进而结
合余弦定理求得所需的值.
17．设函数 是单调函数．① 的取值范围是_____；②若
的值域是 ，且方程 没有实根，则 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】（1）先判断 的部分单调性，则 部分单调性与 部分一致，并且
注意在 处，两段函数取值的大小关系；
（2）通过 的值域为 ，结合函数图象可求 的值；由于 无实根，
根据函数图象，确定临界位置： 与 相切的时候，求出此时的 值，
通过将 平移，可得出 的取值范围.
【详解】
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − ( )22 2 3 112b c bc b c bc+ − = + − =
( )1 1 3 3sin sin2 2 2 2 4ABC ACD ABD
A AS S S b AD c AD b c∆ ∆ ∆= + = ⋅ + ⋅ = +
1 3sin2 4ABCS bc A bc∆ = = ( )3 3 3
4 4bc b c∴ = + 1
3b c bc∴ + =
( )21 3 1129 bc bc∴ − = 48bc =
3 48 12 34ABCS∆∴ = × =
12 3
b c+ bc
2 1, 1( )
, 1
x xf x x
ax x
+ ≥=
<
a ( )f x
R ( ) ln( )f x x m= + m
(0,2] ( ,ln 2 )e−∞
1x ≥ 1x < 1x ≥
1x =
( )f x R a ( ) ln( )f x x m= +
y ax= ln( )y x m= + m
ln( )y x m= + m
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①当 时， ，则 恒成立，故 在 上单调
递增， ，
当 时， ，
由于 在 上单调递增，故 也为单调递增函数，且 恒成立，
∴ ，
故 的范围为 ，
②由①可得当 时， ，
∵ 的值域是 ，
∴当 时， ，
∴ ，
∵方程 没有实根，
当 与 相切时，设切点为
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴
故 的取值范围为 ，
1x ≥ 1( )f x x x
= + 2
1( ) 1 0f x x
′ = − ≥ ( )f x [1, )+∞
min( ) (1) 2f x f= =
1x < ( )f x ax=
( )f x [1, )+∞ ( )f x ax= 2ax ≤
0
2
a
a
>
≤
a (0,2]
1x ≥ ( ) 2f x ≥
( )f x R
1x = 2ax =
2a =
( ) ln( )f x x m= +
2y x= ( ) ln( )y g x x m= = + ( )0 0,2x x
1( )g x x m
′ = +
0
1 2x m
=+ ( )0 0
12 ln ln 2x x m= + =
0
1 ln 22x = −
0
1 1 1 ln 2 ln 22 2 2m x e= − = + =
ln 2m e>
( ,ln 2 )e−∞
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故答案为： ，
【点睛】
（1）确定分段函数的单调性，不仅要考虑每一段函数的单调性，还要注意分段点处的
两段函数取值的大小关系；
（2）方程解得个数问题可以转化为函数图象的交点个数问题去解决，利用数形结合的
思想更便捷
四、解答题
18．已知函数 的相邻两条对称轴
之间的距离为 ．
（1）求 的值；
（2）当 时，求函数 的值域.
【答案】（1）1；（2） .
【解析】（1）先利用降幂公式和辅助角公式可把 转化为
，根据周期可求 的值.
（2）结合（1），可先求出 的取值范围，再利用三角函数的性质可求函数
的值域
【详解】
（1）
= .
∵函数 的最小正周期为 且 ，
,解得 .
（2） ，根据正弦函数的图像可得：
当 即 时， 取最大值 1；
(0,2] ( ,ln 2 )e−∞
2( ) sin 3sin sin 1( 02f x x x x
πω ω ω ω = + ⋅ + − >
2
π
ω
,12 2x
π π ∈ −
( )f x
1 3 1[ , ]2 2
+−
( )f x
( ) 1sin(2 ) .6 2f x x
πω= − − ω
2 6x
π− ( )f x
1 cos2 3 1 1( ) 3sin cos 1 sin 2 cos22 2 2 2
xf x x x x x
ω ω ω ω ω−= + − = − −
1sin(2 )6 2x
πω − −
( )f x π 0>ω
2
2
π πω∴ = 1, ( ) sin 2 6f x x
πω = ∴ = −
5, , 2 ,12 2 6 3 6x x
π π π π π ∈ − ∴ − ∈ −
2 26x ππ− =
3x
π= ( ) sin 2 6g x x
π = −
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当 即 ， 最小值 .
,即 的值域为 .
【点睛】
形如 的函数，可以利用降幂公式和辅
助角公式将其化为 的形式，再根据复合函数的讨论方法
求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．
19．已知 是公差为 3 的等差数列，前 项和为 ， 是首项为 的等
比数列，且公比大于 ， ， .
（1）求 和 的通项公式；
（2）求 的前项和
【答案】(1) ； ； (2)
【解析】（1）由已知可得等差数列的首项为 、等比数列的公比 ，
再由等差数列，等比数列的通项公式求解即可.
（2）由 为等差比数列，采用错位相减法，将
左右两边同时乘以 2，再作差即可得解.
【详解】
(1)等差数列 的公差为 3,等比数列 的公比为 q.
由已知 得 ,而 ,所以 .
又因为 q>0,解得 q=2.所以, .
，
即 ,可得 ，
所以 的通项公式为 , 的通项公式为 .
(2)由(1)得
2 6 3x
π π− = −
12x
π= − ( ) sin 2 6g x x
π = −
3
2
−
1 3 1 1sin(2 )2 2 6 2 2x
π∴− − ≤ − − ≤ ( )f x 1 3 1[ , ]2 2
+−
( ) 2 2sin sin cos cosf x A x B x x C xω ω ω ω= + +
( ) ( )'sin 2 'f x A x Bω ϕ= + +
{ }na n ( )*
nS n N∈ { }nb 2
0 2 3 12b b+ = 11 411S b=
{ }na { }nb
{ }n na b nT
3 2na n= − 2n
nb = ( ) 13 5 2 10n
nT n += − ⋅ +
1 1a = 2q =
{ }n na b
1 1 2 2 3 3 1 1n n n n nT a b a b a b a b a b− −= + + + + +
{ }na { }nb
2 3 12b b+ = ( )2
1 12b q q+ = 1 2b = 2 6 0q q+ − =
2n
nb =
( ) 46
11 6
1 11
1 4
211 11 11 11 5 11 11 22 2
aa aS a a d b
+= × = × = = + = = ×
1 5 16a d+ = 1
1
1, ( 1) 3 23 n
a a a n d nd
= ∴ = + − = − =
{ }na 3 2na n= − { }nb 2n
nb =
( ) ( )3 2 3 2 2n
n n na b n a n= − = − ⋅
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所以
,①
,②
①—②得
所以 .
【点睛】
本题考查了等差数列，等比数列的通项公式及等差比数列求和，重点考查了错位相减法，
属中档题.
20．如图所示， 是边长为 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全
等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 四个点重合于图中的点 ，正好形
成一个正四棱柱形状的包装盒， 、 在 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两
个端点，设 .
（1）若广告商要求包装盒侧面积 最大，试问 应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积 最大，试问 应取何值？并求出此时包装盒的高
与底面边长的比值。
【答案】(1) .(2) 当 时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长
的比值为 .
【解析】设包装盒的高为 ，底面边长为 ，（1）中，求得
1 1 2 2 3 3 1 1n n n n nT a b a b a b a b a b− −= + + + + +
2 31 2 4 2 7 2= × + × + × + + ( ) ( )13 5 2 3 2 2n nn n−− ⋅ + − ×
2 3 42 1 2 4 2 7 2nT = × + × + × + + ( ) ( ) 13 5 2 3 2 2n nn n +− ⋅ + − ×
( ) ( )2 3 12 3 2 2 2 3 2 2n n
nT n +− = + + + + − −
( )2
12 2 22 3 3 2 21 2
n
nn +− ⋅= + × − − ⋅−
( )1 12 3 2 12 3 2 2n nn+ += + ⋅ − − − ⋅
( ) 110 5 3 2nn += − + − ⋅
( ) 13 5 2 10n
nT n += − ⋅ +
ABCD 40cm
ABCD P
E F AB
AE FB x cm= =
( )S cm x
( )V cm x
15x = 20x =
1
2
h a
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，根据二次函数的性质，即可求解.
（2）中，求得容积 ，利用导数求解函数的单调性与最值，
即可求解.
【详解】
设包装盒的高为 ，底面边长为 .
由已知得 ， ， .
（1） ，
所以当 时， 取得最大值.
（2）由题意，可得 ，则 .
由 得 （舍去）或 .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
所以当 时， 取得极大值，也是最大值，此时 .
即当 时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为 .
【点睛】
本题主要考查了导数的实际应用，其中解答中认真审题，设出变量，列出函数的解析式，
利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能
力，属于基础题.
21．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的面积 ．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）在 中，由正弦定理化简得 ，又由
，化简得 ，即可求得 的值；
（2）在 中，由余弦定理，列出关于 方程，求得 ，再利用三角形的面积
公式，即可求解．
【详解】
（1）由题意，知 ，
由正弦定理可得 ，
24 8( 15) 1800S ah x= = − − +
2 3 22 2( 30 )V a h x x= = − +
( )h cm ( )a cm
2a x= 60 2 2(30 )
2
xh x
−= = − 0 30x< <
24 8 (30 ) 8( 15) 1800S ah x x x= = − = − − +
15x = S
2 3 22 2( 30 )V a h x x= = − + ' 6 2 (20 )V x x= −
' 0V = 0x = 20x =
(0,20)x∈ ' 0V > V (20,30)x∈ ' 0V < V
20x = V 1
2
h
a
=
20x =
1
2
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整理得 ，
即 ，
又因为 ，则 ，所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，解得 ．
（2）在 中，由余弦定理可得 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ，所以 ，
则三角形的面积 ．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形
的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理李额
方程求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
22．已知正项数列 的前 n 项和为 ,且 ，
（1）求数列 的通项公式
（2）求数列 的前 n 项和
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由 的关系，因为 ，得等式 ，
两式相减，再确定数列 的性质，从而求其通项公式即可；
（2）先求出数列 ，再利用累加法求和即可.
【详解】
(1)当 时， ，
当 时， ，相减可得
又 ，
是首项为 1 是公差为 1 的等差数列,
即 ，
{ }na nS 2
1 1 11, n n na s s a+ += + = 1
1
n n
n
n n
a ab a a
+
+
= +
{ }na
{ }nb nT
na n= 21n
nT nn
= ++
,n nS a 2
1 1n n ns s a+ ++ = 2
1n n ns s a−+ =
{ }na
1 1 21nb n n
= − ++
1n = 2 2 2
2 1 2s s a+ = 20, 2na a> ∴ =
2n ≥ 2
1n n ns s a−+ = 1n na a+ + 2 2
1n na a+= −
10, 1( 2)n n na a a n+> ∴ − = ≥
2 1 1a a− =
{ }na∴
1 ( 1) 1na n n= + − × =
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故 ；
(2)由(1)知,
所以 .
【点睛】
本题考查含 的递推式求数列的通项公式及累加法求数列的前 n 项和，
此题关键是由已知条件得等式 ，再作差求通项，属中档题.
23．已知函数
(1)判断函数 在 上的单调性
(2)若 恒成立，求整数 的最大值
(3)求证：
【答案】（1）函数 在 上为减函数 （2）整数 的最大值为 3 （3）见解析
【解析】（1）由导数的应用，结合 ，得函数 在 上为减函数；
（2）原命题可转化为即 恒成立，即
，再构造函数 ，利用导数
求其最小值即可；
（3）由（2）知， ， ，令 ，再求和即
可证明不等式，得解.
【详解】
解：（1）因为 ，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ， ，
所以 ，
即函数 在 上为减函数；
（2）由 恒成立，
na n=
1 1 1 21 1n
n nb n n n n
+= + = − ++ +
1 1 1 1 1 1 11 ... 2 22 2 3 3 4 1 1n
nT n nn n n
= − + − + − + + − + = ++ +
,n nS a
2
1n n ns s a−+ =
1 ln(1 )( ) ( 0)xf x xx
+ += >
( )f x (0, )+∞
( ) 1
kf x x
> + k
2 3(1 1 2)(1 2 3) [1 ( 1)] nn n e −+ × + × + + >
( )f x (0, )+∞ k
' ( ) 0f x < ( )f x (0, )+∞
1 ( 1)ln( 1)x x xk x
+ + + +<
min
1 ( 1)ln( 1)( )x x xk x
+ + + +< 1 ( 1)ln( 1)( ) x x xh x x
+ + + +=
2 1 3ln( 1) 21 1
xx x x
−+ > = −+ + ( 0)x > ( 1)x n n= +
1 ln(1 )( ) ( 0)xf x xx
+ += >
'
2
1 ln(1 )1( )
xxf x x
− − ++= ( 0)x >
0x > 1 01 x
>+ ln(1 ) 0x+ >
' ( ) 0f x <
( )f x (0, )+∞
( ) 1
kf x x
> +
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即 恒成立，
即 ，
设 ，
所以 ， ，
令 ，
则 ，
即 在 为增函数，
又 ， ，
即存在唯一的实数根 ，满足 ，且 ， ，
当 时， ， ，当 时， ， ，
即函数 在 为减函数，在 为增函数，
则 ，
故整数 的最大值为 3；
（3）由（2）知， ， ，
令 ，
则 ，
则
= ，
故 .
【点睛】
本题考查了利用导数判断函数的单调性、构造函数求解不等式恒成立问题及利用证明的
结论证明不等式，属综合性较强的题型.
1 ( 1)ln( 1)x x xk x
+ + + +<
min
1 ( 1)ln( 1)( )x x xk x
+ + + +<
1 ( 1)ln( 1)( ) x x xh x x
+ + + +=
'
2
1 ln( 1)( ) x xh x x
− − += ( 0)x >
( ) 1 ln( 1)g x x x= − − +
' 1( ) 1 01 1
xg x x x
= − = >+ +
( )g x ( )0, ∞+
(2) 1 ln3 0g = − < (3) 2 2ln2 0g = − >
a ( ) 0g a = ( )2,3a∈ 1 ln( 1) 0a a− − + =
x a> ( ) 0>g x ' ( ) 0h x > 0 x a< < ( ) 0 = −+ + ( 0)x >
( 1)x n n= +
3 3 1 1ln[1 ( 1))] 2 2 2 3( )( 1) 1 ( 1) 1n n n n n n n n
+ + > − > − = − −+ + + +
ln(1 1 2) ln(1 2 3) ... ln[1 ( 1)]n n+ × + + × + + + + >
1 1 1 1 12 3(1 ) 2 ( ) ... 2 3( )2 2 3 1n n
− − + − − + + − − +
12 3(1 ) 2 31n nn
− − > −+
2 3(1 1 2)(1 2 3) [1 ( 1)] nn n e −+ × + × + + >